第14讲 三角函数图像与性质教师

0，π 2
时，2x－π∈
－π，5π 66
，由函数图象知，
6
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f(x)＝sin
2x－π 6
∈
sin
－π 6
，sin
π 2
＝
－1，1 2
.
所以 f(x)在
0，π 2
上的最大值和最小值分别为 1，－1.
(2)y＝lg( 3－tan x)．
sin x>0，
sin x>0，
解 （1）由题意，得 x 满足不等式组
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示．
16－x2≥0，
－4≤x≤4，
结合图象可得 x∈[－4，－π)∪(0，π)．
(2)因为 3－tan x>0，所以 tan x< 3.又因为当 tan x＝ 3时，x＝π＋kπ(k∈Z)， 3
＝3sin
x＋π 2
＝3cos
x.
所以 f(x)＝3cos x.
题型五 由图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
A＞0，ω＞0，|φ|＜π
例 6 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)
2 的图象，求 A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
解
方法一
(逐一定参法)由图象知，振幅
A＝3，又
T＝5π－
－π 6
－π＋kπ，π＋kπ
2
2
(k∈Z)上是增函数，∴－π＋kπ<2x－π<π＋kπ，k∈Z，
2
32
即－ π ＋kπ<x<5π＋kπ，k∈Z.∴函数 y＝tan
2x－π
－ π ＋kπ，5π＋kπ
3 的单调递增区间是 12 2 12 2 (k∈Z)．
12 2 12 2
题型三 三角函数的周期性对称性和奇偶性
2x＋2π
| 根据正切函数图象，得
kπ－π＜x＜kπ＋π(k∈Z)，所以函数的定义域是
x
kπ－π＜x＜kπ＋π，k∈Z
2
3
.
2
3
例 2 求下列函数的最大值和最小值和值域．
2x－π
0，π
(1)f(x)＝sin 6 ，x∈ 2 ；
π，5π (2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈ 6 6 .
解
(1)当 x∈
∴f(0)＝2cos
2π－2φ 3
＝0.∴2π－2φ＝kπ＋π，k∈Z，解得φ＝ π －kπ(k∈Z)．
3
2
12 2
令 k＝0，得φ＝ π .∴φ的最小正值是 π .
12
12
[玩转跟踪]
1．把函数 y＝cos
x＋4π 3 的图象向右平移φ个单位长度，正好关于 y 轴对称，求φ的最小正值．
x＋4π－φ 解 由题意可知，平移后的函数为 y＝cos 3 ，
[玩转跟踪] 1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
2x－π A．y＝2sin 6
2x－π B．y＝2sin 3
x＋π C．y＝2sin 6
x＋π D．y＝2sin 3
答案 A
解析
由图可知，A＝2，T＝2
π－ 3
－π 6
＝π，所以ω＝2.由五点作图法可知 2×π＋φ＝π，
3
2
.由
2kπ－π≤x－π≤2kπ(k∈Z)，
23
得 4kπ－4π≤x≤4kπ＋2π(k∈Z)，∴函数 y＝3cos
π－x 3 2 的单调递增区间为
3
3
4kπ－4π，4kπ＋2π
3
3 (k∈Z)．
[玩转跟踪]
π－x
1.求函数 y＝ log 1 cos 3 2 的单调递增区间．
2
x－π 解 根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数 y＝cos 2 3 的单调递减区间，同时 x 应使
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第 14 讲 三角函数图像与性质
[玩前必备]
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tanLeabharlann x图象定义域R
{x|x∈R 且 x≠π＋
R
2
kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
[－π＋2kπ，π＋
2
2
2kπ](k∈Z)上递增；
所以φ＝－π，所以函数的解析式为
y＝2sin
2x－π 6
，故选
A.
6
类型六 函数 y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
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例7
A>0，ω>0，|φ|<π
π ，0
已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)
π，5 3
，得 sin
2π＋φ 3
＝1，∴2π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z.
3
2
令 k＝0，则φ＝－π，∴y＝5sin
2x－π 6
.
6
(2)∵函数的增区间满足 2kπ－π≤2x－π≤2kπ＋π(k∈Z)，∴2kπ－π≤2x≤2kπ＋2π(k∈Z)，
2
6
2
3
3
∴kπ－π≤x≤kπ＋π(k∈Z)．∴函数的增区间为
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当 t＝－1，即 x＝－π时，ymin＝－4， 4
当 t＝1，即 x＝π时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4,4]． 4
题型二 三角函数的单调性
π－x 例 3 求函数 y＝3cos 3 2 的单调递增区间．
解
y＝3cos
π－x 32
＝3cos
x－π 23
cos
x－π 23
>0.∴2kπ≤x－π<2kπ＋π(k∈Z)．整理得
4kπ＋2π≤x<4kπ＋5π(k∈Z)．
23
2
3
3
∴函数 y＝ log 1 cos
π－x 3 2 的单调递增区间是
4kπ＋2π，4kπ＋5π
3
3 (k∈Z)．
2
2.求函数 y＝tan
2x－π 3
的单调区间．
解
∵y＝tan
x
在
x∈
[玩转跟踪]
1. 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
tan x＋1≥0，
解 由题意，得
即－1≤tan x<1.
1－tan x>0，
－π，π
－π，π
在 2 2 内，满足上述不等式的 x 的取值范围是 4 4 ，又 y＝tan x 的周期为π，
所以函数的定义域是
kπ－π，kπ＋π
6
6
－π，π 3.函数 y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈ 4 4 的值域为____________．
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答案 [－4,4]
解析 ∵－π≤x≤π，∴－1≤tan x≤1.令 tan x＝t，则 t∈[－1,1]， 44
ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(π＋kπ，0) 2
(k∈Z)
(kπ，0)(k∈Z) 2
对称轴 方程
x＝π＋kπ 2
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
2．五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
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它是偶函数，因此，当 x＝0 时，cos
4π－φ 3
取得最大值 1 或最小值－1，故4π－φ＝2nπ或(2n＋1)π
(n∈Z)，
3
即4π－φ＝kπ (k∈Z)．∴φ＝4π－kπ (k∈Z)，当 k＝1 时，φ取最小正值π.
3
3
3
2.已知函数
f(x)＝sin
2ωx－π 3
(ω>0)的最小正周期为π，则函数
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用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列 5 个特殊值：0, π, π, 3π, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得 22
到图象. 3．三角函数图象变换
[玩转典例]
题型一 三角函数的定义域和值域
例 1 （1）求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域．
6
来的2倍，所得图象的解析式是 y＝2sin
1x＋π 23
，求 f(x)的解析式．
3
解
y＝2sin
1x＋π 23
纵坐标伸长到原来的3倍
―――――――――2―→y＝3sin
1x＋π 23
横坐标缩短到原来的1倍
―――――――――2―→
y＝3sin
x＋π 3
向左平移π个单位
――――6――→y＝3sin
x＋π＋π 63
[π＋2kπ，3π＋
2
2
2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递减
(－π＋kπ，π＋kπ)
2
2
(k∈Z)上递增
x＝π＋2kπ(k∈Z)时， 2
x＝2kπ(k∈Z)时，