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自行车轮胎规格知识
自行车轮胎规格知识第一篇：自行车轮胎规格知识自行车轮胎规格知识自行车轮胎在一辆车子里的重要性，往往很容易被人忽视。
轮胎特性对整车的性能和效率密切相关。
在这里给大家介绍一下自行车轮胎的构造和轮胎的特性，以及自行车轮胎价格。
轮胎的构造说到这个轮胎的构造，也许用「再生胎」这个词会比较好解释。
每次发生大型车辆因爆胎出车祸的社会新闻，「再生胎」的问题总是会被拿出来检讨。
所谓的再生胎，就是把磨损的胎皮清除掉，保留原有的胎体，再重新贴上一层胎皮。
听起来好像很不可靠是吗？但其实轮胎的构造就是这个样子。
自行车的开口式外胎（clincher），就是由织网罩构成轮胎的主体，贴上一层胎皮来给滚动时磨耗，并埋入两条胎唇用来把轮胎固定在轮框上，这样就形成了轮胎的主要构造。
由于自行车轮胎比较薄，易被穿刺或割伤，大部份都会在胎皮和织网罩之间再加一片防爆层，以增加轮胎的强度。
自行车轮胎的构造：自行车的开口式外胎（clincher），就是由织网罩构成轮胎的主体，贴上一层胎皮来给滚动时磨耗，并埋入两条胎唇用来把轮胎固定在轮框上，这样就形成了轮胎的主要构造。
由于自行车轮胎比较薄，易被穿刺或割伤，大部份都会在胎皮和织网罩之间再加一片防爆层，以增加轮胎的强度。
自行车轮胎的特性：一般在描述轮胎的特性时，大致上是分成几个方向：滚动阻力、抓地力、路感、耐磨性、防爆、重量、价钱。
除此之外，还有两个特性是经常被忽略但很重要的：力量传导以及制造品质。
1.滚动阻力当轮子开始滚动的时候，你会希望它一直滚下去不要变慢，当然这是不可能的，因为会面临风阻和其他阻力。
以自行车本身的阻力来说，一小部份原因是花毂培林的阻力，另一个主要的部份就是轮胎的「滚动阻力」了。
滚动阻力越小，速度就越容易维持，换句话说你用同样力气去踩速度就会加快。
不必说，滚动阻力越小越好。
2.抓地力在你过弯或煞车的时候，最不希望发生的事情就是打滑，此时轮胎的「抓地力」就是一个关键。
即使是直线加速，力道强大的时候也会需要抓地力。
高中数学教案 第3讲 圆的方程
第3讲圆的方程1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.圆的定义与方程2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，设M 的坐标为(x 0，y 0).三种情况(x 0－a )2＋(y 0－b )2□6＝r 2⇔点在圆上(x0－a )2＋(y 0－b )2□7>r2⇔点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2□8<r 2⇔点在圆内二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为＝C ≠0，＝0，2＋E 2－4AF ＞0.常用结论1.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线.2.以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(3)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()(4)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0不是圆.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2.回源教材(1)当m∈时，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圆，半径最大时圆的一般方程为.解析：原方程可化为(x－2)2＋(y＋m)2＝－m2＋2m＋3，它表示圆时应有－m2＋2m＋3＞0，得－1＜m＜3.当－m2＋2m＋3最大时，此时m＝1，故此时圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.答案：(－1，3)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0(2)若直线2x＋y＋3＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝.解析：圆心坐标为(a，0)，由题意知点(a，0)在直线上，故2a＋0＋3＝0，得a＝－32.答案：－3 2(3)已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是.解析：圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，可得圆心为C(2，0)，半径为|CA|＝10，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10圆的方程例1(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为.解析：法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，a＋b－1＝0，3－a）2＋b2＝r2，2＋（1－b）2＝r2，＝1，＝－1，2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M(－D2，－E2)，·（－D2）＋（－E2）－1＝0，＋3D＋F＝0，＋E＋F＝0，＝－2，＝2，＝－3，∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三：设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，则k AB＝1－00－3＝－13，AB的中点坐标为(32，12)，∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3(x－32)，即3x－y－4＝0.x－y－4＝0，x＋y－1＝0，＝1，＝－1，所以M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5反思感悟求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，基本方法有：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.训练1在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(－2，－1)的圆C和直线x－y＋1＝0相切，且圆心在直线y＝2x上，则圆C的标准方程为.解析：根据题意，圆心在直线y＝2x上，则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r，又圆C过点M(－2，－1)且与直线x－y＋1＝0相切，2n＋1）2＝r2，r，＝－1，＝2，则圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝2.答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2与圆有关的最值问题利用几何性质求最值例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.解：(1)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x2＋y2＋2x－4y＋5＝（x＋1）2＋（y－2）2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.反思感悟与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.利用对称性求最值例3已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－22D.17解析：A P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.反思感悟求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路(1)动化定：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离.(2)曲化直：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.建立函数关系求最值例4(2024·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA→·PB →的最大值为.解析：由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA→·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：12反思感悟建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.训练2(1)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值是()A.6B.25C.26D.36解析：D (x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到(5，－4)的距离的平方，∵P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，∴(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x －5)2＋(y ＋4)2]max ＝[（2－5）2＋（0＋4）2＋1]2＝36.(2)若点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上，则yx ＋1的最大值为.解析：圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径为1，yx＋1表示圆上的点(x，y)与点(－1，0)连线的斜率，设过点(－1，0)的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，可得|k－1＋k|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝4 3，所以0≤k≤43，即yx＋1的最大值为43.答案：4 3与圆有关的轨迹问题例5如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和26，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN 的中点P的轨迹方程.解：(1)设圆心E(0，b)，则C(6，3)，B(3，0).由|EB|＝|EC|，得（0－3）2＋（b－0）2＝（0－6）2＋（b－3）2，解得b＝1，所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由于P 是MN 中点，由中点坐标公式，得M (2x －5，2y －2)，代入x 2＋(y －1)2＝10，化简得(x －52)2＋(y －32)2＝52即线段MN 的中点P 的轨迹方程为(x －52)2＋(y －32)2＝52反思感悟求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.训练3(2024·宜昌模拟)已知定点M (1，0)，N (2，0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知点B (6，0)，点A 在轨迹C 上运动，求线段AB 上靠近点B 的三等分点Q 的轨迹方程.解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，因为M (1，0)，N (2，0)，且|PN |＝2|PM |，所以（x －2）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝2，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点Q 的坐标为(x ，y )，点A 的坐标为(x A ，y A )，因为Q 是线段AB 上靠近点B 的三等分点，所以AQ →＝2QB →，即(x －x A ，y －y A )＝2(6－x ，－y )，A ＝3x －12，A ＝3y ，又点A在轨迹C上运动，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝2 9，即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝2 9 .限时规范训练(五十九)A级基础落实练1.经过坐标原点，且圆心坐标为(－1，1)的圆的一般方程是()A.x2＋y2－2x－2y＝0B.x2＋y2－2x＋2y＝0C.x2＋y2＋2x－2y＝0D.x2＋y2＋2x＋2y＝0解析：C设圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝R2，经过坐标原点(0，0)，则R2＝2.所以(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＋2x－2y＝0.2.若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2，0)，B(0，－4)，O(0，0)，则△AOB 外接圆的圆心坐标为()A.(1，－1)B.(－1，－2)C.(1，－2)D.(－2，1)解析：C由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点，设圆心坐标为(x，y)，由中点坐标公式得x＝2＋02＝1，y＝0－42＝－2.故所求圆心坐标为(1，－2).3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为()A.x2＋y2－2y－3＝0B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0D.x2＋y2＋2y－15＝0解析：A由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2，故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.4.(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则()A.yx－1的最大值为3B.yx－1的最小值为－3C.yx－1的最大值为3 3D.yx－1的最小值为－3 3解析：CD由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圆心坐标为(－1，0)，半径r ＝1的圆，则yx－1为圆上的点与点(1，0)连线的斜率的值，设过点(1，0)的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，即求直线kx－y－k＝0与圆相切时k的值，当直线与圆相切时，圆心到直线kx－y－k＝0的距离d＝r，即|－2k|1＋k2＝1，整理可得3k2＝1，解得k＝±33，所以yx－1∈－33，33.即yx－1的最大值为33，最小值为－33.5.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ 的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A.8x－6y－21＝0B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0D.6x－8y－21＝0解析：D由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示.设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x20＋y20＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意.6.(多选)(2024·潍坊调研)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是()A.圆M的圆心坐标为(1，3)B.圆M的半径为5C.圆M关于直线x＋y＝0对称D.点(2，3)在圆M内解析：ABD设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，1＋4－D＋2E＋F＝0，4＋1＋2D＋E＋F＝0，9＋16＋3D＋4E＋F＝0，D＝－2，E＝－6，F＝5.所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为5，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内.7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是，半径是.解析：依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心为(－2，－4)，半径是5；当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，该方程不表示圆.答案：(－2，－4)58.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为.解析：设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).答案：x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))9.已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为.解析：求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径.直线AB的方程为x4＋y－3＝1，即3x－4y－12＝0，圆x2＋y2－2y＝0，即为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，∵圆心到直线AB的距离为d＝|－4－12|5＝165，∴P到直线AB的最小值为165－1＝115，∵|AB|＝32＋42＝5，∴△ABP面积的最小值为12×5×115＝112.答案：11210.已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程.解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2).所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210.所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11.已知圆心为C 的圆经过点A (1，1)和点B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上.线段PQ 的端点P 的坐标是(5，0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.解：设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D (32，－12).又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.－3y －3＝0，－y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝（－3－1）2＋（－2－1）2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)3＋(y ＋2)2＝25.设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0).因为点P的坐标为(5，0)，＝x0＋52，＝y0＋02，0＝2x－5，0＝2y.又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝25 4即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25 4 .B级能力提升练12.(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2，－1)在满足条件的圆C上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为42解析：ACD因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C 正确；它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D正确.13.已知P(m，n)是圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上的一点，则（m－1）2＋n2的最小值是()A.32－2 B.32C.32＋2 D.22解析：D （m －1）2＋n 2表示圆上的点P (m ，n )到点(1，0)的距离，由x 2＋y 2－8x －6y ＋23＝0可化为(x －4)2＋(y －3)2＝2，则圆心为(4，3)，半径为2，所以点(1，0)到圆心的距离为（1－4）2＋（0－3）2＝32，所以点P (m ，n )到点(1，0)的距离的最小值为32－2＝22，即（m －1）2＋n 2的最小值是2 2.14.已知圆C 1经过点A (1，3)和B (2，4)，圆心在直线2x －y －1＝0上.(1)求圆C 1的方程；(2)若M ，N 分别是圆C 1和圆C 2：(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝9上的点，点P 是直线x ＋y ＝0上的点，求|PM |＋|PN |的最小值，以及此时点P 的坐标.解：(1)由题意知AB 的中点坐标为(32，72)，k AB ＝4－32－1＝1，∴AB 的垂直平分线为y ＝5－x ，＝5－x ，＝2x －1，＝2，＝3，即圆C 1的圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1，其方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)注意到点C 1(2，3)和点C 2(－3，－4)在直线x ＋y ＝0的两侧，直线x ＋y ＝0与两圆分别相离，如图所示.∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|－1＋|PC 2|－3≥|C 1C 2|－4＝74－4，当且仅当M ，N ，P 在线段C 1C 2上时取等号，此时点P 为直线C 1C 2与x ＋y ＝0的交点，过C 1，C 2的直线方程为7x －5y ＋1＝0，＋y＝0，x－5y＋1＝0，＝－112，＝112，∴点P的坐标为(－112，112).。
对数函数测试题及答案
对数函数测试题及答案对数与对数函数测试题一、选择题。
1．log89的值就是log23a．（）23b．1c．d．2322．若log2[log1(log2x)]?log3[log1(log3y)]?log5[log1(log5z)]=0，则x、y、z的大小 235关系是a．z＜x＜yb．x＜y＜z3c．y＜z＜xc.0d．z＜y＜xd.（）3．未知x=2+1,则log4(x－x－6)等同于a.（）32b.5412（）4．已知lg2=a，lg3=b，则lg12等同于lg15a．2a?b1?a?bb．a?2b1?a?bc．2a?b1?a?bd．a?2b1?a?b（）5．未知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则x的值ya．1b．4c．1或4c．(d．4或16（）6.函数y=log1(2x?1)的定义域为2a．(1，＋∞)22b．［1，＋∞)1，1]2d．(－∞，1)（）7．未知函数y=log1(ax＋2x＋1)的值域为r，则实数a的值域范围就是2a．a＞1xb．0≤a＜1c．0＜a＜1c．ln5d．0≤a≤1d．log5e（）（）8.已知f(e)=x，则f(5)等于a．e5b．5e9．若f(x)?logax(a?0且a?1),且f?1(2)?1,则f(x)的图像是yyxoxyxoyxooabcd110．若y??log2(x?ax?a)在区间(??,1?3)上就是增函数，则a的值域范围就是（） a．[2?23,2]22b．?2?23,2c．2?23,2?d．2?23,2（）11．设集合a?{x|x?1?0},b?{x|log2x?0|},则a?b等于a．{x|x?1}b．{x|x?0} c．{x|x??1}d．{x|x??1或x?1}12．函数y?lnx?1x?1,x?(1,??)的反函数为xa．y?e?1ex?1,x?(0,??)b．y?ex?1ex?1,x?(0,??)c．y?ex?1ex?1,x?(??,0)d．y?ex?1ex?1,x?(??,0)二、填空题.13．计算：log6.25＋lg12.51?log23100＋lne＋2=．14．函数y=log24(x－1)(x＜1＝的反函数为__________．15．已知m＞1，试比较(lgm)0.9与(lgm)0.8的大小．16．函数y=(log21x)－log21x＋5在2≤x≤4时的值域为______．44三、答疑题.17．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．2）（18．已知函数f(x)=lg[(a－1)x＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为r谋实数a的值域范围．19．已知f(x)=x＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈r时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，先行比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．322221．未知函数f(x)=loga(a－a)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）探讨f(x)在其定义域上的单调性；（3）证明函数图象关于y=x等距．22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有a、b、c三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、xa＋2，其中a≥1，谋△abc面积的最大值．4对数与对数函数测试题参考答案一、选择题：adbcbcdcbaab二、填空题：13.三、答疑题：17.解析：先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2又a就是对数的底数，∴a＞0且a≠1，∴x＜2513x0.90.8，14.y=1－2(x∈r)，15.(lgm)≤(lgm)，16.?y?8242a2＞1，∴a＜2a由递增区间[0，1]应当在定义域内可以得又2－ax在x∈[0，1]就是减至函数∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1∴1＜a＜218、求解：依题意(a－1)x＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈r恒设立．当a－1≠0时，其充要条件是：2?5?a?1?0Champsaura＜－1或a＞?223(a?1)?4(a?1)?0222又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意．所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪(5，＋∞)319、解析：由f(－1)=－2，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga －lgb=1，∴a=10，a=10b．b22又由x∈r，f(x)≥2x恒设立．言：x＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x＋xlga＋lgb≥0，对x∈r恒设立，由δ=lga－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)－4lg b≤0即(lgb－1)≤0，只有lgb=1，不等式成立．即b=10，∴a=100．∴f(x)=x＋4x＋1=(2＋x)－3当x=－2时，f(x)min=－3．522222。
线性代数 华中科技大学出版社 2-5 刘少平课件
矩阵F 称为标准形.
对任何m×n矩阵，总可以经过初等变 换(行变换和列变换)把它化为标准形
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 F 0 0 1 0 0 r行 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m×n
E (i , j )
i列
j列
（2）用非零数k乘与E的第i行（列）所得到的矩阵
1 0 E 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 i行×k 0 0 1 0 0 0 0 1 i列×k
非零行（列）数
Er O ( m r )r Or ( n r ) O( m r )( n r )
r列
F称为矩阵Am×n的最简形式—标准形。
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B． 等价关系的性质：
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 k 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Ei (k )
（3）将E的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加 到第j列)所得到的矩阵
不难证明，对于任何矩阵Am×n ，总可以 经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩 阵和行最简形矩阵。 例如在引例中，把增广矩阵化成了 行阶梯形矩阵：
1 2 1 2 0 5 5 5 0 0 1 1
例1 用矩阵的初等行变换将B化为行最简形：
1 2 r r 2 1 1 2 1 1 2 1 4 r 1 1 3 B 2 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
三国群英传7组合技大全
三国群英传7组合技大全组合计一、两组合404箭石坠火箭烈炬石405炎流星赤焰炬石406箭雨冲连弩火箭烈407赤焰火轮赤焰火轮408震地诀滚石突石409天火焚炬石炎墙410裂地刃地茅刺突石411水火相生赤焰地泉412破空鸢龙炮神鸢413百兽奔火牛阵驱豹414双月斩半月斩水月斩415风火双龙风龙火龙416地水双龙地龙水龙417隐忍二连击火雷玉忍镖418隐忍超暗杀土遁火雷玉419旋灯剑旋灯心剑420太极火集火柱太极门421八卦灯八卦二象阵旋灯422幽冥借法生死门尸鬼423机关阵炎兽井阑立424日月并行落月弓落日弓425莲华神剑莲华神剑426救命术回天术妖盾427怒雷轰雷击五雷袭428雷厉风行雷击旋风429伏兵夹击伏兵班阵后伏班阵430七煞鬼刀飞鬼戟御飞刀431轰雷冲车冲车浮雷432剑无量噬血天剑斩433八卦符兵八卦斩符兵437箭石雨火箭强袭炬石轰438烈炎流星赤焰燃炬石轰439箭雨袭连弩激射火箭强袭440赤焰火轮诀赤焰燃火轮冲441震地大法滚石剧压突石剑442天火降世炬石轰炎墙烈烧443裂地狂刃地茅乱刺+突石剑444破空火凤迫击龙炮神鸢弹445千兽奔火牛群舞驱豹冲446十六夜斩三日月斩月刃烈斩447群龙卷风火风龙旋火龙焰448群龙引地水水龙涛地龙震449超忍二连击火雷鬼玉隐忍镖450旋灯绝剑旋灯火心剑齐发451太极圣火强火柱太极华阵452八卦灵灯八卦四方阵旋灯火453幽冥引归食尸鬼地狱之门454机关冲炎兽杀阵井阑冲阵455莲华剑阵莲华爆神剑闪456续命术返天术鬼面盾457伏兵奇袭伏兵排阵后伏排阵458天助神兵剑轮舞铁骑突击459剑无敌噬血刃天剑开光460八卦符兵阵八卦突斩符兵引510赤焰击赤焰重击511憾地击突石重击512二连重击重击二连斩513四方重击重击四方斩514二连旋风斩旋风二连斩515四方雷击斩雷击四方斩516挪移剑心剑挪移阵
高中数学二项式定理题型总结.doc
高中数学二项式定理题型总结高中数学二项式定理题型总结二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：（1）(ab)CnaCnabCnan1rrn0n1nrnrbCnb(nN)，rnn（2）(1x)1CnxCnxx2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnarnrrnb(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）(ab)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：n(ab)展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnCnn2nmnmn012nr）直线rn2是图象的对称轴n12n1（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn（3）各二项式系数和：∵(1x)1Cnx Cnxx，令x1，则2CnCnCnCnCn，Cn2取得最大值n1rrnn012rn题型讲解例1如果在（x+12x4）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，r=C8r1n2，n(n1)8，由题意得2×n2=1+n(n1)8358，得n=8设第r+1项为有理项，T1r163rx42点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=x，T9=1256x2例2求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+1|x|1|x|－2）3的展开式中的常数项－2）3=（｜x｜+1|x|－2）（｜x｜+1|x|1|x|－2）（｜x｜+1|x|－2）得到常数项的情况有：①三个括号11中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取3，一个括号取－2，得C3C2（－2）=－12，∴常数项为（－2）r+（－12）=－20解法二：（|x|+1|x|－2）3=（|x|－1|x|）6设第r+1项为常数项，则Tr1=C6（－1）r（1|x|）r|x|6r=（－1）6C6|x|r62r，得6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C6=－203例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+⑶求（1+x）+（1+x）++（1+x）的展开式中x的系数4x－4）4的展开式中的常数项；34503解：⑴原式=41x441x（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C846－1=14⑵（x+4x－4）=(x4x4)x42=(2x)x4，展开式中的常数项为C4824（－1）4=1120⑶方法一：原式(1x)[(1x)1](1x)1=(1x)(1x)x4展开式中x3的系数为C51方法二：原展开式中x3的系数为44C3+C3+C3++C3=C4+C3++C3=C5+C3++C3==C51505050444355点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键129例4求x展开式中x的系数2x解：Tr19Crr9x29r31r1183r令1r182rr12193C9xxC9x183r9,则r3,故x的系数为:C9＝－22x222rrr点评：①Cnanrb是ab展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，rn1第4项的二项式系数是C，第4项x的系数为C，二者并不相同2393939例5求3xr32100展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数解：Tr1C1003x100r23r100rrC100xr100r3223依题意：100r2,r3Z，r为3和2的倍数，即为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征解法一：x051例6求x223x2展开式中x的系数53x2x1x24505144455555C5xC5xC5xC5C5xC5x2C5x2C524故展开式中含5C5xC52C5C5x2Tr1C5x1r455544240x，故展开式中x的系数为240，解法二：x3x2252x23x52245r3x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即rT2C5x22，故x的系数为152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的乘法法则，从23x15xx42x64x48x222228642442以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则积为x的一次项，此时系数为C53C42240 点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用144例7设an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=Cna1+Cna2++Cnan12n（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3012nn024135n1点评：①记住课本结论：CnCnCnCn2，CnCnCnCnCnCn2②注意所求式中缺少一项，不能直接等于2例9已知2x解：令x1时，有22634a0a1xa2xa3xa4x，求a0a2a4a1a32342234a0a1a2a3a4，令x1时，有2234a0a1a2a3a4∵a0a2a4a1a3a0a1a2a3a4a0a1a2a3a4∴a0a2a4a1a322232434114点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10求x2y展开式中系数最大的项7rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1116222rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312rr1r22r!7r!3r17rr1!7r1!故系数最大项为T6C7x2y5255672xy25点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最12大；当n为奇数时，中间两项Tn121，Tn12的二项式系数相等且为最大1小结：1在使用通项公式Tr1=Cnarnrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数Cn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，T rr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n2证明组合恒等式常用赋值法学生练习1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B22x+x）4的展开式中x3的系数是A6B12C24D48解析：（2x+3（2x3－x）4=x2（1+2x）4，在（1+22x）4中，x的系数为C242=24答案：C1x）7的展开式中常数项是3A14B－14C42D－42解析：设（2x－1x）的展开式中的第r+1项是T7r=C7r1（2x）37r（－1x）r=C727r（－1）xr23(7x)，24一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A20B219C220D220－1当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C7（－1）621=14答案：A 解析：C1+C2++C20=220－1答案：D202X205已知（x－ax）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是B38A28C1或38D1或28rr4解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38答案：C36已知（x2+x13）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）3解析：∵（x2+xr713）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128，∴n=7设该二项展开式中3的r+1项为Tr1=C（x2）7r6nn32*7若（x+1）=x++ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=________（x136311r）r=Cxr76，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C7=35答案：353解析：a∶b=Cn∶Cn=3∶1，n=11答案：11328（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r（－答案：289若（x3+r1xrr）=（－1）C8xr83r2令8－3r22=5得r=2时，x5的系数为（－1）C8=2821xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________解析：Trr=Cnr1（x）3n－r（x32）=Cxrn3n92r，令3n－92r=0，∴2n=3r∴n必为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，Cn=C9=84答案：9610已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为202*0，求x的值解：由题意Cnn2＋Cnn1＋Cn=22，即Cn＋Cn＋Cn=22，∴n=6∴第4项的二项式系数最大∴C6（xn2103lgx）3=202*0，即x3lgx=1000∴x=10或x=1011若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0②1①+②得a0+a2++a10=12点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（－26+0）=－32（1）求它是第几项；（2）求rab－的范围解：（1）设Tr1=C12（axm）12r（bxn）r=C12a12rbrxm∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，－r（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②由①得43451211109432a8b4≥12111032a9b3，∵a＞0，b＞0，∴由②得94b≥a，即ab≤94ab≥85，∴854≤ab≤9413在二项式（x+1）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项2x分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项解：前三项系数为Cn，012解得n=8或n=1（舍去）Cn，114Cn，由已知Cn=Cn+3r421014Cn，即n2－9n+8=0，2Tr=C8r1（x）8－r（24x）－rr=C812rx4∵4－3r4∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=358x，T9=1256x－2点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－14求证：2 扩展阅读：高中数学二项式定理题型总结二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：0n1nrnrrnn（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，1rr（2）(1x)n1CnxCnxxn2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：01，Cn，Cn2，，Cnn．Cnr可以看成以r为自变量(ab)n展开式的二项式系数是Cn的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnmCnnm）直线r是图象的对称轴n2（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C，C取得最大值1rr（3）各二项式系数和：∵(1x)n1CnxCnxxn，012rn令x1，则2nCnCnCnCnCn题型讲解n2nn12nn12n例1如果在（的有理项x+124x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中解：展开式中前三项的系数分别为1，n，n(n1)，由题意得2×n=1+n(n1)，2828得n=8设第r+1项为有理项，Tr1=Cr81r2x163r4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=35x，T9=81256x2点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例2求式子（｜x｜+ 1－2）3的展开式中的常数项|x|解法一：（｜x｜+1111－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－|x||x||x||x|3 2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）；②一个括号取｜x｜，1，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+|x|1（－12）=－20解法二：（|x|+－2）3=（|x|－1）6设第r+1项为常数项，则|x||x|一个括号取rTr1=C6（－1）r（1r）r|x|6r=（－1）6C6|x|62r，得|x|6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C36=－20例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+4－4）4x的展开式中的常数项；⑶求（1+x）3+（1+x）4++（1+x）50的展开式中x3的系数1x4解：⑴原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）1x24(2x)84444(x4x4)44C6－1=14⑵（x+－4）==4，展开式中的常数项为C8（－1）24xxx(1x)3[(1x)481](1x)51(1x)344=1120⑶方法一：原式==展开式中x3的系数为C51x(1x)1方法二：原展开式中x3的系数为3333434334C33+C4+C5++C50=C4+C4++C50=C5+C5++C50==C51点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键192例4求x展开式中x的系数2x9解9：339Tr1Cxr929r1r1183r1r182rrC9xxC9x2x22rrr令211183r9,则r3,故x的系数为:C＝－223nnrr点评：①Cr是展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与ababn1某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是C，第4项x 的系数为C，239939二者并不相同10033x2例5求展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数100rr,Z，r为3和232的倍数，即为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，解：Tr1Cr1003x100r23rCxr100100r3100r22依题意：r3公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6求x23x2展开式中x的系数555解法一：x23x2x1x25145C50x5C5xC54xC5C50x5C51x42C54x24C5525故展开式中含x的项为4554C5xC525C5C5x2424x0，故展开式中x的系数为240，解法二：TCx23x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即TCx23x15xx42x64x48x2，故x的系数为152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的x23x2x223xr115r525rr248556424422522222乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则14积为x的一次项，此时系数为C53C424240点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用n例7设an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2++Cnan（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3 ∴a0a2a42a1a322323141点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10求x2y7展开式中系数最大的项44rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1121622rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312r2r2r17rr13r1!7r1!r!7r!52故系数最大项为T6C7x25y5672x2y5点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项Tn1，Tn1212121的二项式系数相等且为最大小结：1在使用通项公式Tr1=Crnanrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n2证明组合恒等式常用赋值法课堂练习1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B22x+x）4的展开式中x3的系数是A6B12C24D482解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为C22=24答4案：C3（2x3－1x）7的展开式中常数项是B－14A14C42D－42解析：设（2x3－r=C727r1xr）7的展开式中的第r+1项是Tr1=C7（2x3）7r（－1x）（－1）x2rr3(7x)2，61当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）2=14答案：A4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A20B219C220D220－1202X解析：C120+C2++C=2－1答案：D202X5已知（x－a）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各x项系数的和是A28B38C1或38D1或28rr解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，4∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38答案：C6已知（x+x）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）3213解析：∵（x+x）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项r系数和为2=128，∴n=7设该二项展开式中的r+1项为Tr1=C7（x）7r （x）3213n3213rr=C7x6311r6，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C37=35答案：357若（x+1）=x++ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=________2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11答案：11nn68（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________r解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r（－1xr）=（－1）C8x83r2令8－3r22=5得r=2时，x5的系数为（－1）2C8=28答案：289若（x3+1xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________解析：Tr1=Crn （x3）n－r（x）r=Crnx3293nr2，令3n－9r=0，∴2n=3r∴n必26为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84答案：9 10已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为202*0，求x的值2n1n10解：由题意Cn即C2∴n=6∴第4项的二项n＋Cn＋Cn=22，n＋Cn＋Cn=22，33lgxlgx式系数最大∴C3（x）=202*0，即x=1000∴x=10或x=611若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0②110①+②得a0+a2++a10=1（－26+0）=－322点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（1）求它是第几项；（2）求a的范围rr解：（1）设Tr1=C12（axm）12－r（bxn）r=C12a12－rbrxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，4345∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②b由①得1211109a8b4≥121110a9b3，43232∵a＞0，b＞0，∴9b≥a，即a≤94b4由②得a≥8，∴8≤a≤9b55b413在二项式（x+124x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项111212210解：前三项系数为C0，C，C，由已知C=C+C，即n－9n+8=0，nnnnnn244解得n=8或n=1（舍去）rTr1=C8（x）8－r（24x）－r1r=C8r2x43r4∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=35x，T9=8点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－3r∈Z即可，而不需要指数441256x－2－3r∈N414求证：2友情提示：本文中关于《高中数学二项式定理题型总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高中数学二项式定理题型总结：该篇文章建议您自主创作。
第二章矩阵论
例 设 H I n 2uu H , u C n ,且 变换 H 2uu H , 则
uH u 1
,定义
H , H 2uu H , 2uu H
H 2 H uu H 2uu H H ,
例 设欧氏空间P3 x 中的内积定义为
f x , g x
1 1
f x g x dx ,
f x , g x P3 x
取 f1 x x ，构造子空间 W Span x ， W 的一组正交基； （1）求 （2）将 W 分解为两个正交的非零子空 间的和。
, 也是 R 2 的内积。 可验证这样定义的
例3 对 f x , g x C a, b ，定义内积为
f x , g x
b a
f x g x dx
用定积分的性质可证明这样定义的 f x , g x 是 C a, b 的内积。
2 , 1 2 2 1 ,, 1 , 1 i , 1 i , 2 i , i 1 i i 1 2 i 1 1 , 1 2 , 2 i 1 , i 1
例 设P3 x 是全体次数小于3的实系数多项 式构成一个实线性空间，定义内积为 f x , g x 11 f x g x dx , f x , g x P3 x 不难验证这样定义的 f x , g x 是 P3 x 的内 积，求 P3 x 的一组标准正交基。
所以H是 C n 上的酉变换，称为Householder 镜象变换.
定理2.5 设T是内积空间V上的一个线性 变换，则下列命题等价： （1） T , T , , , V , （2） T , V ， 当V是有限维时，以上命题进一步与以下 命题等价。 （3） 1 , 2 ,, n 是V的一组标准正交基，则 T 1 , T 2 ,, T n 是V的一组标准正交基; （4）T在任一组标准正交基 1 , 2 ,, n下的 矩阵是酉矩阵。
2005年四川省高考理科数学真题
2005年四川高考理科数学真题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷一、选择题：()(1)已知α为第三象限角，则2α所在的象限是______。
(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限()(2)已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为______。
(A)0(B)-8(C)2(D)10()(3)在8(1)(1)x x -+的展开式中5x的系数是______。
(A)-14(B)14(C)-28(D)28()(4)设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC的体积为______。
(A)16V (B)14V (C)13V (D)12V ()(5)___________)3412331(221=+--+-→x x x x im lx 。
(A)21-(B)21(C)61-(D)61()(6)若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则______。
(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b(D)b<a<c()(7)设02x π≤≤sin cos x x =-，则______。
(A)0x π≤≤(B)744x ππ≤≤(C)544x ππ≤≤(D)322x ππ≤≤()(8)22sin 21cos 2cos 2cos αααα⋅=+______。
(A)tan α(B)tan 2α(C)1(D)12()(9)已知双曲线2212y x-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为______。
(A)43(B)53(C)3()(10)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是______。