新教材人教版高中数学必修第二册 3 6.2.3 向量的数乘运算
合集下载
人教A版高中数学必修第二册教学设计6.2.3向量的数乘运算
6.2.3向量的数乘运算教学设计沿 的方向或反方向放大或缩短.,当沿 的方向放大了 倍.当 的方向缩短了 倍.,沿 的反方向放大了倍.当 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问0a ≠1>λλ〈〈0λλ时1-<λa λ〈〈01λ-λa a a a a 知识探究（ 三）:数乘运算的运算律思考5:如果把非零向量a 的长度伸长到原来的方向不变得到向量b ,向量b a ,b 之间的关系怎样?b 由已知得：思考6:如果把思考倍,方向不变得到向量a ,c 之间的关系怎样c 的方向与根据向量数乘运算的定由已知得：;14,8)2(e b e a -==ab 47-=;31,32)3(e b e a =-=ab 21-=;32,43)4(e b e a -=-=ab 98=2、如图,四边形ABCD 是一个梯形,AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|,M ,N 分别是DC ,AB 的中点,已知AB →＝e 1,AD →＝e 2,试用e 1,e 2表示下列向量．(1)AC →＝________;(2)MN →＝________.(1)因为AB →∥CD →,|AB →|＝2|CD →|,所以AB →＝2DC →,DC →＝12AB →.AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2. 方法总结用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程． 知识探究（ 四）:平面向量共线基本定理例3、如图,已知任意两个非零向量a,b,试作2,3OA OB OC ==+=+a +b,a b a 你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?并证明你的猜想。
6.2.3向量的数乘运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(2)
22
3
人教A版（202X）
18
1．下列各式中不表示向量的是( C )
A．0·a
B．a＋3b
C．|3a|
D．x－1 ye(x，y∈R，且 x≠y)
【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向 量．
人教A版（202X）
19
2．下列计算正确的个数是( C )
①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋
的核心素养.
人教A版（202X）
2
微课1 温故情境引入
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，连首尾
特点:同一起点,对角线
C
ab b
B
C
b
ab
A
a
Bபைடு நூலகம்
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
a
bB
BA a b
b
O A a 人教A版（202X）
又 AD 与 BC 不重合，∴直线 AD∥BC．
人教A版（202X）
23
一、1.数乘向量的定义及运算律
2.向量共线定理
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC
A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
直线AB∥直线CD
AB与CD不在同一直线上
3
微课2 向量的数乘运算
探究：已知非零向量a，作出a a a和 a a (a)，
它们的长度和方向分别是怎样的？
a
aaa OA B C
6.2.3 向量的数乘运算(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
（1） a 2e,b 2e; （2） a e1 e2,b 2e1 2e2; （3） a e1 e2,b e1 2e2 。
（1）共线 （2）共线 （3） 不共线
向量的数乘运算
例练结合
例1：计算 (1) (3) 4a; 解：（1）原式= (-3 4) a 12a;
(2) 3(a b) 2(a b) a;
（2）原式= 3a 3b 2a 2b a 5b;
(3) (2a 3b c) (3a 2b c).
（3）原式= 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c.
向量的数乘运算
方法小结
3:6
向量的数乘运算
例练结合
例2：□ABCD的两条对角线相交于点M，且 AB a, AD b, 试用 a, b
解析：因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|，所以A→B＝2D→C，D→C＝1A→B. 2
(1)A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1.
(2)M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－1D→C－A→D＋1A→B＝－1e1－e2＋1e1＝1e1－e2.
2
2
4
24
向量的数乘运算
例练结合
在本例中，若条件改为B→C＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示向量M→N.
B．－1A→B－1A→D 22
C．－1A→B＋1A→D D．1A→B－1A→D
22
22
4.已知 e1，e2 是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若 a 与 b 是共线向量，则实数
k＝________.
1.B 2.C 3.D 4.－2
向量的数乘运算
课堂小结
思考：
(1)通过这节课，你学到了什么知识？ (2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？
新人教版高中数学必修2课件：6.2.3 向量的数乘运算
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
第六章
6.2.3 向量的数乘运算
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算律,理解其几何意
义.(数学抽象、直观想象)
2.理解两个平面向量共线的含义.(数学抽象、直观想象)
3.了解平面向量的线性运算性质,能用已知向量表示未知向
量.(数学运算、直观想象)
2
1 3
7
2 5 11
5 11
③原式=3 4-3 + 3 - 2 + 4 = 3 (2a-12b)=3a-18b.
(2)由 x-4y=2b,可得 x=4y+2b,代入 2x+3y=a,可得 2(4y+2b)+3y=a,
1 4
于是 8y+4b+3y=a,解得 y=11a-11b,
4
6
再代入 x=4y+2b 中可得 x=11a+11b.
2
1 1
③3 (4-3) + 3 - 4 (6-7) .
(2)已知 2x+3y=a,x-4y=2b,试用 a,b 表示 x,y.
分析(1)根据向量的线性运算法则求解.(2)运用实数的二元一次方程组的解
法求解.
解 (1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.
②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
探究三
向量共线问题
例 3(1)已知非零向量 e1,e2 不共线,如果 =e1+2e2, =-5e1+6e2, =7e1-2e2,
必修第二册6.2.3向量的数乘运算课件(人教版)
问题1：在上面的动画中，小马所走路
线如何用向量a表示？
++
问题2：该向量的长度为多少？与
向量 的模长有何关系？
Ԧ
| + + | = = ||
问题3：该向量方向与向量 Ԧ 有何关系？
相同
新知生成
O
A
B
C
= + + = Ԧ + Ԧ + .
2
3
，=
b=2 Ԧ
1
3
1
b=− Ԧ
2
7
b=− Ԧ
4
（2）=8 ，=-14
（4）=−
3
，
4
=−
2
3
8
b= Ԧ
9
实数与向量的积与原向量有何位置关系？
向量共线定理：
向量 （ ≠ 0 ）与 共线的充要条件：存在唯一一个实数 λ ，
使 = .
四、向量共线定理
【考点一】判定向量共线与三点共线
= λ(或者 = λ)即可。
四、向量共线定理
例4：如图，已知任意两个非零向量 ，，试做
Ԧ
= Ԧ + ，
= Ԧ + 2， = Ԧ + 3.猜想A, B, C三点之间的位置关系，
并证明你的猜想。
证明：由题意可知
= − = (Ԧ + 2) − (Ԧ + ) =
= − = (Ԧ + 3) − (Ԧ + ) = 2
所以， = 2，且有公共点A
因此A，B，C三点共线。
C
B
A
线如何用向量a表示？
++
问题2：该向量的长度为多少？与
向量 的模长有何关系？
Ԧ
| + + | = = ||
问题3：该向量方向与向量 Ԧ 有何关系？
相同
新知生成
O
A
B
C
= + + = Ԧ + Ԧ + .
2
3
，=
b=2 Ԧ
1
3
1
b=− Ԧ
2
7
b=− Ԧ
4
（2）=8 ，=-14
（4）=−
3
，
4
=−
2
3
8
b= Ԧ
9
实数与向量的积与原向量有何位置关系？
向量共线定理：
向量 （ ≠ 0 ）与 共线的充要条件：存在唯一一个实数 λ ，
使 = .
四、向量共线定理
【考点一】判定向量共线与三点共线
= λ(或者 = λ)即可。
四、向量共线定理
例4：如图，已知任意两个非零向量 ，，试做
Ԧ
= Ԧ + ，
= Ԧ + 2， = Ԧ + 3.猜想A, B, C三点之间的位置关系，
并证明你的猜想。
证明：由题意可知
= − = (Ԧ + 2) − (Ԧ + ) =
= − = (Ԧ + 3) − (Ԧ + ) = 2
所以， = 2，且有公共点A
因此A，B，C三点共线。
C
B
A
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.3向量的数乘运算(共21张ppt)
问题1 已知非零向量，作出 + + 和 − + − + − . 它们的长度和方
向分别是怎样的?
a
a
a
a
a
O
A
a
a
B
C
OC a a a 3a
3的方向与
Ԧ
相同，长度是
Ԧ
的3倍
Ԧ
即 3Ԧ = 3 Ԧ
N
M
a
Q
P
PN a a a 3a
（）( + ) − ( − ) −
（）( + − ) − ( − + )
复习回顾
例6 如图， 的两条对角线相交于点M，且 = , = ，用，表示
，，和.
C
D
1
1
1
1
1
= = = ( + ) = Ԧ +
上述运算律呢？
（1）根据数乘定义，求作向量3(2)和6
Ԧ
，并比较
Ԧ
Ԧ
3(2)
Ԧ
结论：3(2)
Ԧ = 6Ԧ
6Ԧ
（2）已知向量，，求作向量2(
Ԧ
Ԧ + )和2Ԧ + 2，并比较
Ԧ
2Ԧ + 2
2(Ԧ + )
Ԧ 2Ԧ
2
结论：2(Ԧ + ) = 2Ԧ + 2
2. 向量加法平行四边形法则:
B
a b
b
O
a
C
A
a b OA OB OC
特点: 起点相同，连对角
复习回顾
《向量的数乘运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.3 向量的数乘运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。
【教学目标与核心素养】A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
【教学过程】。
特点:首尾相接，连首尾。
2.向量的平行四边形法则特点:同一起点,对角线。
3.向量减法的三角形法则。
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。
二、探索新知探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？，记作。
即。
的方向与的方向相同，。
类似地，，其方向与的方向相反，。
AC BC AB =+OC OB OA =+BA OB OA b a =-=-a a a a ++)()(a a a -+-+-a a a BC AB OA OC ++=++=a 3a OC 3=a 3a ||3|3|a a =a PN 3-=a ||3|3-|a a =1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： （1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.3向量的数乘运算(共27张ppt)
| Ԧ|=| Ԧ |=| Ԧ |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 Ԧ +
Ԧ + Ԧ =0,则 G 是△ABC 的重心.
三、课堂小结
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，
(3)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( √ )
(4)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( × )
(5)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.( × )
a
(6) 表示向量a方向上的单位向量．( √ )
|a|
二、课堂练习
探究一
向量的线性运算
例1(1)化简下列各向量表达式:
①3(6a+b)-9
(2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值；
(3)已知 A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点.若
的值.
=x
+y
,求 x+y
→ →
→
→
→
(1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC ＝OC
→
→
→ →
－OB ＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB ，∴AB 与BC 共线，且有
即 Ԧ−
Ԧ=λ(
Ԧ−
Ԧ ),∴ Ԧ =(1-λ) Ԧ+λ Ԧ.
又 Ԧ =x Ԧ+y Ԧ,
∴x Ԧ+y Ԧ=(1-λ) Ԧ +λ Ԧ ,即(x+λ-1) Ԧ =(λ-y) Ԧ .
∵ Ԧ,
Ԧ 不共线,∴x+y-1=0,λ-y=0.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 Ԧ +
Ԧ + Ԧ =0,则 G 是△ABC 的重心.
三、课堂小结
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，
(3)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( √ )
(4)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( × )
(5)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.( × )
a
(6) 表示向量a方向上的单位向量．( √ )
|a|
二、课堂练习
探究一
向量的线性运算
例1(1)化简下列各向量表达式:
①3(6a+b)-9
(2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值；
(3)已知 A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点.若
的值.
=x
+y
,求 x+y
→ →
→
→
→
(1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC ＝OC
→
→
→ →
－OB ＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB ，∴AB 与BC 共线，且有
即 Ԧ−
Ԧ=λ(
Ԧ−
Ԧ ),∴ Ԧ =(1-λ) Ԧ+λ Ԧ.
又 Ԧ =x Ԧ+y Ԧ,
∴x Ԧ+y Ԧ=(1-λ) Ԧ +λ Ԧ ,即(x+λ-1) Ԧ =(λ-y) Ԧ .
∵ Ԧ,
Ԧ 不共线,∴x+y-1=0,λ-y=0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．向量的数乘的定义 一般地，规定实数 λ 与向量 a 的积是一个__向__量___，这种运算叫 做向量的数乘，记作__λ_a____，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝_|_λ|_|a_|___． (2)当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向__相__同___；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向__相__反___；当 λ＝0 时，λa＝__0_____． ■名师点拨 λ 是实数，a 是向量，它们的积 λa 仍然是向量．实数与向量可 以相乘，但是不能相加减，如 λ＋a，λ－a 均没有意义．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 λ 与向量 a 的积还是向量．(√ ) (2)3a 与 a 的方向相同，－3a 与 a 的方向相反．(√ ) (3)若 ma＝mb，则 a＝b.( × ) (4)向量共线定理中，条件 a≠0 可以去掉．( × )
答案：A
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
在四边形
ABCD
中，
若 A→B ＝ － 12
→ CD
，
则此四边形
的形状是
________．
答案：梯形
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
向量的线性运算 (1)计算： ①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； ③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）. (2)设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．
【解析】 因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|， 所以A→B＝2D→C，D→C＝12A→B. (1)A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1. (2)M→N＝M→D＋D→A＋A→N ＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－14e1－e2＋12e1＝14e1－e2. 【答案】 (1)e2＋12e1 (2)14e1－e2
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝________． 解析：由题意知存在 k∈R，使得 a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以 1λ＝＝－3kk，，解得kλ＝＝－13，13. 答案：－13
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
用已知向量表示其他向量 如图，ABCD 是一个梯形，A→B∥C→D且 |A→B|＝2|C→D|，M，N 分别是 DC，AB 的中点，已 知A→B＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示下列向量． (1)A→C＝________； (2)M→N＝________．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
A．12A→B＋12A→D
B．－12A→B－12A→D
C．－12A→B＋12A→D
D．12A→B－12A→D
解析：选 D.E→F＝E→C＋C→F＝12A→B－12A→D.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于(
)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
第六章 平面向量及其应用
6．2.3 向量的数乘运算
第六章 平面向量及其应用
考点 向量数乘运算 的定义及运算律
向量共线定理
学习目标
核心素养
理解向量数乘的定义及 几何意义，掌握向量数乘 的运算律
数学抽象、 直观想象
掌握向量共线定理，会判 断或证明两个向量共线
逻辑推理
第六章 平面向量及其应用
问题导学 预习教材 P13－P16 的内容，思考以下问题： 1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3．向量共线定理是怎样表述的？ 4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
2．若 2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，其中 a，b，c 为已知向量， 求未知向量 x. 解：因为 2x－23a－12b－12c＋32x＋b＝0， 所以72x－23a＋12b－12c＝0， 所以72x＝23a－12b＋12c， 所以 x＝241a－17b＋17c.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
栏目 导引
2．向量数乘的运算律
第六章 平面向量及其应用
设 λ，μ 为实数，那么：
(1)λ(μa)＝_(_λ_μ_)_a__． (2)(λ＋μ)a＝__λ_a_＋__μ_a_______． (3)λ(a＋b)＝__λ_a_＋__λ_b_______．
3．向量的线性运算及向量共线定理 (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的__线__性__运__算___．对于任意
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
栏目 导引
向量共线定理及其应用 已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A、 B、D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)证明：因为A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2 ＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B. 所以A→B，B→D共线，且有公共点 B， 所以 A、B、D 三点共线． (2)因为 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， 所以存在实数 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于 e1 与 e2 不共线，只能有kλk－－λ＝1＝0，0， 所以 k＝±1.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a ＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c ＝－a－c. ③原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b ＝2352a－1112b ＝53a－1118b.
栏目 导引
(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a ＝13－1－1a＋－1＋23＋2b ＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j) ＝－5＋130i＋－130－53j ＝－53i－5j.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．化简25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)＝________． 解析：原式＝25a－25b－23a－43b＋145a＋2165b＝(25－23＋145)a＋(－25 －43＋2165)b＝0a＋0b＝0＋0＝0. 答案：0
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
解析：选 B.原式＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)＝13a＋43b－43a＋23b＝ －a＋2b.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．若点 O 为平行四边形 ABCD 的中心，A→B＝2e1，B→C＝3e2，
则32e2－e1＝(
)
→ A.BO
→ B.AO
→ C.CO
→ D.DO
解析：选 A.B→D＝A→D－A→B＝B→C－A→B＝3e2－2e1，B→O＝12B→D＝
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
[变条件]在本例中，若条件改为B→C＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示向量M→N.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
解：因为M→N＝M→D＋D→A＋A→N， M→N＝M→C＋C→B＋B→N， 所以 2M→N＝(M→D＋M→C)＋D→A＋C→B＋(A→N＋B→N)． 又因为 M，N 分别是 DC，AB 的中点， 所以M→D＋M→C＝0，A→N＋B→N＝0. 所以 2M→N＝D→A＋C→B， 所以M→N＝12(－A→D－B→C)＝－12e2－12e1.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
向量共线定理的应用 (1)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直 线平行． (2)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直 线重合．例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公 共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方 法．
第六章 平面向量及其应用
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例 如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等 变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类 项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未 知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意 观察，恰当运用运算律，简化运算．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
4(a－b)－3(a＋b)－b 等于( A．a－2b C．a－6b 答案：D
) B．a D．a－8b
栏目 导引
பைடு நூலகம்
第六章 平面向量及其应用
若|a|＝1，|b|＝2，且 a 与 b 方向相同，则下列关系式正确的是
() A．b＝2a C．a＝2b
B．b＝－2a D．a＝－2b
32e2－e1.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
3．已知 e1，e2 是两个不共线的向量，若A→B＝2e1－8e2，C→B＝e1 ＋3e2，C→D＝2e1－e2，求证 A，B，D 三点共线． 证明：因为C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2， 所以B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2. 又A→B＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以A→B＝2B→D，所以A→B与B→D共 线． 因为 AB 与 BD 有交点 B，所以 A，B，D 三点共线．
向量 a，b，以及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝__λμ_1_a_±_λ_μ_2_b___． (2)向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使
第六章 平面向量及其应用
1．向量的数乘的定义 一般地，规定实数 λ 与向量 a 的积是一个__向__量___，这种运算叫 做向量的数乘，记作__λ_a____，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝_|_λ|_|a_|___． (2)当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向__相__同___；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向__相__反___；当 λ＝0 时，λa＝__0_____． ■名师点拨 λ 是实数，a 是向量，它们的积 λa 仍然是向量．实数与向量可 以相乘，但是不能相加减，如 λ＋a，λ－a 均没有意义．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 λ 与向量 a 的积还是向量．(√ ) (2)3a 与 a 的方向相同，－3a 与 a 的方向相反．(√ ) (3)若 ma＝mb，则 a＝b.( × ) (4)向量共线定理中，条件 a≠0 可以去掉．( × )
答案：A
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
在四边形
ABCD
中，
若 A→B ＝ － 12
→ CD
，
则此四边形
的形状是
________．
答案：梯形
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
向量的线性运算 (1)计算： ①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； ③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）. (2)设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．
【解析】 因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|， 所以A→B＝2D→C，D→C＝12A→B. (1)A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1. (2)M→N＝M→D＋D→A＋A→N ＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－14e1－e2＋12e1＝14e1－e2. 【答案】 (1)e2＋12e1 (2)14e1－e2
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝________． 解析：由题意知存在 k∈R，使得 a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以 1λ＝＝－3kk，，解得kλ＝＝－13，13. 答案：－13
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
用已知向量表示其他向量 如图，ABCD 是一个梯形，A→B∥C→D且 |A→B|＝2|C→D|，M，N 分别是 DC，AB 的中点，已 知A→B＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示下列向量． (1)A→C＝________； (2)M→N＝________．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
A．12A→B＋12A→D
B．－12A→B－12A→D
C．－12A→B＋12A→D
D．12A→B－12A→D
解析：选 D.E→F＝E→C＋C→F＝12A→B－12A→D.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于(
)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
第六章 平面向量及其应用
6．2.3 向量的数乘运算
第六章 平面向量及其应用
考点 向量数乘运算 的定义及运算律
向量共线定理
学习目标
核心素养
理解向量数乘的定义及 几何意义，掌握向量数乘 的运算律
数学抽象、 直观想象
掌握向量共线定理，会判 断或证明两个向量共线
逻辑推理
第六章 平面向量及其应用
问题导学 预习教材 P13－P16 的内容，思考以下问题： 1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3．向量共线定理是怎样表述的？ 4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
2．若 2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，其中 a，b，c 为已知向量， 求未知向量 x. 解：因为 2x－23a－12b－12c＋32x＋b＝0， 所以72x－23a＋12b－12c＝0， 所以72x＝23a－12b＋12c， 所以 x＝241a－17b＋17c.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
栏目 导引
2．向量数乘的运算律
第六章 平面向量及其应用
设 λ，μ 为实数，那么：
(1)λ(μa)＝_(_λ_μ_)_a__． (2)(λ＋μ)a＝__λ_a_＋__μ_a_______． (3)λ(a＋b)＝__λ_a_＋__λ_b_______．
3．向量的线性运算及向量共线定理 (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的__线__性__运__算___．对于任意
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
栏目 导引
向量共线定理及其应用 已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A、 B、D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)证明：因为A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2 ＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B. 所以A→B，B→D共线，且有公共点 B， 所以 A、B、D 三点共线． (2)因为 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， 所以存在实数 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于 e1 与 e2 不共线，只能有kλk－－λ＝1＝0，0， 所以 k＝±1.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a ＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c ＝－a－c. ③原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b ＝2352a－1112b ＝53a－1118b.
栏目 导引
(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a ＝13－1－1a＋－1＋23＋2b ＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j) ＝－5＋130i＋－130－53j ＝－53i－5j.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．化简25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)＝________． 解析：原式＝25a－25b－23a－43b＋145a＋2165b＝(25－23＋145)a＋(－25 －43＋2165)b＝0a＋0b＝0＋0＝0. 答案：0
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
解析：选 B.原式＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)＝13a＋43b－43a＋23b＝ －a＋2b.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．若点 O 为平行四边形 ABCD 的中心，A→B＝2e1，B→C＝3e2，
则32e2－e1＝(
)
→ A.BO
→ B.AO
→ C.CO
→ D.DO
解析：选 A.B→D＝A→D－A→B＝B→C－A→B＝3e2－2e1，B→O＝12B→D＝
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
[变条件]在本例中，若条件改为B→C＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示向量M→N.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
解：因为M→N＝M→D＋D→A＋A→N， M→N＝M→C＋C→B＋B→N， 所以 2M→N＝(M→D＋M→C)＋D→A＋C→B＋(A→N＋B→N)． 又因为 M，N 分别是 DC，AB 的中点， 所以M→D＋M→C＝0，A→N＋B→N＝0. 所以 2M→N＝D→A＋C→B， 所以M→N＝12(－A→D－B→C)＝－12e2－12e1.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
向量共线定理的应用 (1)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直 线平行． (2)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直 线重合．例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公 共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方 法．
第六章 平面向量及其应用
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例 如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等 变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类 项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未 知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意 观察，恰当运用运算律，简化运算．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
4(a－b)－3(a＋b)－b 等于( A．a－2b C．a－6b 答案：D
) B．a D．a－8b
栏目 导引
பைடு நூலகம்
第六章 平面向量及其应用
若|a|＝1，|b|＝2，且 a 与 b 方向相同，则下列关系式正确的是
() A．b＝2a C．a＝2b
B．b＝－2a D．a＝－2b
32e2－e1.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
3．已知 e1，e2 是两个不共线的向量，若A→B＝2e1－8e2，C→B＝e1 ＋3e2，C→D＝2e1－e2，求证 A，B，D 三点共线． 证明：因为C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2， 所以B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2. 又A→B＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以A→B＝2B→D，所以A→B与B→D共 线． 因为 AB 与 BD 有交点 B，所以 A，B，D 三点共线．
向量 a，b，以及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝__λμ_1_a_±_λ_μ_2_b___． (2)向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使