2019高考数学考点突破——数列：数列求和 含解析

数列求和
【考点梳理】
1．公式法
(1)等差数列的前n 项和公式：
S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2
d ；
(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q
＝a 1－q n
1－q ，q ≠1.
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)裂项时常用的三种变形：
①
1n n ＋＝1n －1n ＋1； ②1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．
5．倒序相加法
如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．
6．并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n
f (n )类型，可采用两项合并求解．
例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
【考点突破】
考点一、公式法求和
【例1】已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.
[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2＋a 4＝10得1＋d ＋1＋3d ＝10，
所以d ＝2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.
(2)由(1)知a 5＝9.
设{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 2·b 4＝a 5得qq 3＝9，所以q 2＝3，
所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列，
所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·（1－3n ）1－3＝3n －12
. 【类题通法】
1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.
2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之.
【对点训练】
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.
(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；
(2)若T 3＝21，求S 3.
[解析] (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)， 故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.
(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝－1或⎩
⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝8. ∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6；
当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.
考点二、分组转化求和
【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝
n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.
[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .
a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .
(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n
n .
记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，
则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ).
记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，
则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .
故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝2
2n ＋1＋n －2.
【类题通法】
1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.
2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.
【对点训练】
已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．
[解析] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93
＝3，
所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3
n －1(n ＝1,2,3，…).
设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.
所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…).
(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3
n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3
n －1.
从而数列{c n }的前n 项和 S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1
＝n ＋2n －2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n
－12
. 考点三、裂项相消法求和 【例3】已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝1
a n a n ＋1，求数列{
b n }的前n 项和．
[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．
由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
(2)b n ＝1
n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15
＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 【类题通法】
1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
【对点训练】
设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.
(1)求a n ；
(2)设b n ＝1S n
，求数列{b n }的前n 项和为T n . [解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3， 解得a 1＝3，d ＝2，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.
(2)由(1)得S n ＝na 1＋
n （n －1）2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n
＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 考点四、错位相减法求和
【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
[解析](1)由题意，得S n n ＝a 1＋n －1，即S n ＝n (a 1＋n －1)，
所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.
解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，
所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也满足.。