精品课件-计算机图形学-第5章 图形变换
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计算机图形学理论及应用技术 第5章 图形变换
1. 图形变换的操作步骤 尽管图形对象变换的种类有许多，但它们处理过程却是 十分相似的。实现图形变换操作需要以下3个步骤： (1) 确定图形变换操作的类型和参数。 (2) 构造齐次图形变换矩阵。 (3) 求出图形变换后的新坐标。
2. 图形变换的定义内容 (1) 对图形变换类型的定义。
(2) 定义图形齐次变换矩阵的构造方法。
5.4 立体图形的几何变换 5.4.1 立体图形的比例变换和平移变换阵 设Sx、Sy和 Sz分别为X方向、Y方向和Z方向的比例系数， 比例变换矩阵 S，设Tx、Ty和Tz分别为X方向、Y方向和 Z方向的平移量，平移变换矩阵T。根据平面图形的图形 变换矩阵可以推出：
Sx 0 S 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 ; 0 1 1 0 T 0 T x 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 . 0 1
5.6.2 向视平面坐标系转变的方法 视平面转换的方法有两种： (1)直接转换视平面，使之与物体坐标系重合。 (2)将物体坐标系转换，使它与视平面坐标系重合。 1. 视平面变换步骤 视平面变换需要以下3个步骤进行。 (1) 将物体坐标系原点移到视图参考点上，再沿视平面的 法向量平移视距，使两个坐标系原点相重合。 (2) 将物体坐标系旋转，使它的Z轴与视平面的法向量重 叠。这时的Z轴称之为Z' 轴。这个过程分两步进行： 1) 将物体坐标系绕 X 轴旋转，使物体坐标系的 Z 轴落在 X'OY' 平面上。 2) 将物体坐标系绕Y轴旋转，使Z轴与视平面法向量(Z' 轴) 重叠。 (3) 将物体坐标系绕Z轴旋转，使两个坐标系的X轴、Y轴 相重合。
5.3.1 窗口/视口变换的基本方法 5.3.2 窗口/视口变换矩阵的求法
2. 图形变换的定义内容 (1) 对图形变换类型的定义。
(2) 定义图形齐次变换矩阵的构造方法。
5.4 立体图形的几何变换 5.4.1 立体图形的比例变换和平移变换阵 设Sx、Sy和 Sz分别为X方向、Y方向和Z方向的比例系数， 比例变换矩阵 S，设Tx、Ty和Tz分别为X方向、Y方向和 Z方向的平移量，平移变换矩阵T。根据平面图形的图形 变换矩阵可以推出：
Sx 0 S 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 ; 0 1 1 0 T 0 T x 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 . 0 1
5.6.2 向视平面坐标系转变的方法 视平面转换的方法有两种： (1)直接转换视平面，使之与物体坐标系重合。 (2)将物体坐标系转换，使它与视平面坐标系重合。 1. 视平面变换步骤 视平面变换需要以下3个步骤进行。 (1) 将物体坐标系原点移到视图参考点上，再沿视平面的 法向量平移视距，使两个坐标系原点相重合。 (2) 将物体坐标系旋转，使它的Z轴与视平面的法向量重 叠。这时的Z轴称之为Z' 轴。这个过程分两步进行： 1) 将物体坐标系绕 X 轴旋转，使物体坐标系的 Z 轴落在 X'OY' 平面上。 2) 将物体坐标系绕Y轴旋转，使Z轴与视平面法向量(Z' 轴) 重叠。 (3) 将物体坐标系绕Z轴旋转，使两个坐标系的X轴、Y轴 相重合。
5.3.1 窗口/视口变换的基本方法 5.3.2 窗口/视口变换矩阵的求法
图形学课件之变换
0 Sy 0 0 0 1 Sx 0 0
令二维缩放变换矩阵为： S2(Sx,Sy)=
0 Sy 0 0 0 1
Y
X
旋转变换
y P´(x´,y´) P(x,y)
θ
x
• 点的旋转变换是只将点绕坐标原点旋转一角度的 坐标变换。设有图形上点P(x,y)，将其绕原点旋 转变换θ 角度(假设按逆时针旋转为正角)，结果 生成的新的点坐标P´(x´,y´)。 x´=xcosθ - ysinθ y´=xsinθ ＋ ycosθ
y Tx
2 0 0
(x´´,y´´) x
x
1 0 0 0 1 0 10 0 1 0 2 0 0 0 1
• 令：M=S2(2,2)T2(10,0)=
M即为组合变换矩阵。
=
0 2 0 10 0 1
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组合变换举例（二）
例：对一图形，绕平面上的一点(Cx,Cy) 作旋转变换，旋转角度为θ， 计算其变换矩阵。 y
图形变换
图形显示 流程 中作平移、放缩、旋转、对称 等变换，使显示对象能以合适 的位置、大小和方向显示出来；
• 通过投影，将三维空间中的对 象在二维的屏幕或图纸上显示 出来。
视区
屏幕或绘图纸
图形显示 流程
投影平面 窗口
•为了只显示图形的某一部分， 可在投影平面上定义一个二 维窗口，通过对图形的裁剪， 只显示窗口内的图形；
组合变换矩阵也可由一系列基本几何变换矩
阵的乘积来表示
组合变换举例（一）
例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。
y
y
(x,y)
x
(x´,y´)
y Tx
(x´´,y´´)
x
令二维缩放变换矩阵为： S2(Sx,Sy)=
0 Sy 0 0 0 1
Y
X
旋转变换
y P´(x´,y´) P(x,y)
θ
x
• 点的旋转变换是只将点绕坐标原点旋转一角度的 坐标变换。设有图形上点P(x,y)，将其绕原点旋 转变换θ 角度(假设按逆时针旋转为正角)，结果 生成的新的点坐标P´(x´,y´)。 x´=xcosθ - ysinθ y´=xsinθ ＋ ycosθ
y Tx
2 0 0
(x´´,y´´) x
x
1 0 0 0 1 0 10 0 1 0 2 0 0 0 1
• 令：M=S2(2,2)T2(10,0)=
M即为组合变换矩阵。
=
0 2 0 10 0 1
58
组合变换举例（二）
例：对一图形，绕平面上的一点(Cx,Cy) 作旋转变换，旋转角度为θ， 计算其变换矩阵。 y
图形变换
图形显示 流程 中作平移、放缩、旋转、对称 等变换，使显示对象能以合适 的位置、大小和方向显示出来；
• 通过投影，将三维空间中的对 象在二维的屏幕或图纸上显示 出来。
视区
屏幕或绘图纸
图形显示 流程
投影平面 窗口
•为了只显示图形的某一部分， 可在投影平面上定义一个二 维窗口，通过对图形的裁剪， 只显示窗口内的图形；
组合变换矩阵也可由一系列基本几何变换矩
阵的乘积来表示
组合变换举例（一）
例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。
y
y
(x,y)
x
(x´,y´)
y Tx
(x´´,y´´)
x
计算机图形学-图形变换与裁剪投影变换
10
平面几何投影（4/17）
n 投影线 n 从投影中心向物体上 各点发出的射线 n 直线—光线 n 曲线—喷绘
n 平面几何投影 n 投影面是平面 n 投影线为直线
n 投影变换 n 投影过程 n 投影的数学表示
11
平面几何投影（5/17）
n 投影分类
投影中心与投影平面之间的距离为有限
投影中心与投影平面之间的距离为无限
第五章 图形变换与裁剪
投影变换
哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红
1
基本内容
1 三维图形的基本问题 2 平面几何投影
平行投影 透视投影
2
三维图形的基本问题（1/5）
1. 在二维屏幕上如何显示三维物体？
n 显示器屏幕、绘图纸等是二维的 n 显示对象是三维的 n 解决方法----投影 n 三维显示设备正在研制中
n 解决方法 n 建立光照明模型 n 开发真实感图形绘制方法
6
三维图形的基本问题（5/5）
三维图形的基本研究内容
1. 投影 2. 三维形体的表示 3. 消除隐藏面与隐藏线 4. 建立光照明模型、研究真实感图形绘制方法
7
平面几何投影（1/17）
n 照像机模型与投影
n 如何投影? n 生活中的类比--如何拍摄景物？
12
平面几何投影（6/17）
透视投影
平行投影
13
平面几何投影（7/17）
n 平行投影
n 投影中心与投影平面之间的距离为无限 n 是透视投影的极限状态
投影方向
投影平面
14
平面几何投影（8/17）
n 正投影与斜投影
正平行投影
斜平行投影
15
平面几何投影（9/17）
n 三视图：正视图、侧视图和俯视图
平面几何投影（4/17）
n 投影线 n 从投影中心向物体上 各点发出的射线 n 直线—光线 n 曲线—喷绘
n 平面几何投影 n 投影面是平面 n 投影线为直线
n 投影变换 n 投影过程 n 投影的数学表示
11
平面几何投影（5/17）
n 投影分类
投影中心与投影平面之间的距离为有限
投影中心与投影平面之间的距离为无限
第五章 图形变换与裁剪
投影变换
哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红
1
基本内容
1 三维图形的基本问题 2 平面几何投影
平行投影 透视投影
2
三维图形的基本问题（1/5）
1. 在二维屏幕上如何显示三维物体？
n 显示器屏幕、绘图纸等是二维的 n 显示对象是三维的 n 解决方法----投影 n 三维显示设备正在研制中
n 解决方法 n 建立光照明模型 n 开发真实感图形绘制方法
6
三维图形的基本问题（5/5）
三维图形的基本研究内容
1. 投影 2. 三维形体的表示 3. 消除隐藏面与隐藏线 4. 建立光照明模型、研究真实感图形绘制方法
7
平面几何投影（1/17）
n 照像机模型与投影
n 如何投影? n 生活中的类比--如何拍摄景物？
12
平面几何投影（6/17）
透视投影
平行投影
13
平面几何投影（7/17）
n 平行投影
n 投影中心与投影平面之间的距离为无限 n 是透视投影的极限状态
投影方向
投影平面
14
平面几何投影（8/17）
n 正投影与斜投影
正平行投影
斜平行投影
15
平面几何投影（9/17）
n 三视图：正视图、侧视图和俯视图
计算机图形学课件第五章
计算机图形学
三维几何变换
绕任意轴的旋转变换（详见教材P371）
已知空间有一任意轴AB，A点坐标为（XA，YA，ZA）， AB的方向数为（a，b，c）。空间一点P（x，y，z）绕 AB逆时针旋转θ角后变成P’（x’，y’，z’）。若旋转变换矩 阵为Rab，则有
[x’ y’ z’ 1]=[x y z 1]*Rab 下面讨论如何求出Rab的表达式。 基本思想：先平移坐标系，使A点成为新坐标系AX’Y’Z’的 原点；再使AB分别绕x’轴和y’轴旋转适当角度，使AB与z’ 轴重合，那么绕AB转θ角就变成了绕z’轴旋转θ角；最后， 再作逆变换，使AB回到原来的位置。
P P T
x P y
x P y
t x T t y
x x t x y y ty
计算机图形学
点的基本变换
旋转变换
–
–
点P(x,y,)的极坐标表示 x=rcosφ，y=rsinφ 绕坐标原点旋转角度 （逆时针为正，顺时针为负）
x1 y 1 x2 y2 x3 x n y3 y n
或
对图形的几何变换就可以归结为对点的变换
计算机图形学
二维图形的变换
点的基本变换 平面图形的变换 平面图形变换的齐次坐标表示 复合变换及变换的模式 其它变换
计算机图形学
一、点的基本变换
平移变换
变换的数学基础
u x U u y u z
vx V v y vz
矢量
–
矢量和
u x vx U V u y v y u z vz
计算机图形学课件——fifth1PPT
其中变换矩阵： 1 0 0
T
0
1
0
0 0 1
11.06.2020
21
对称Y轴变换的几何表示见下图
11.06.2020
22
3. 对称于原点 当图形对X轴和Y轴都进行对称变换时，即得相
对于坐标原点的对称变换。这一变换前后点坐标之 间的关系为：
x' x
y'
y
写成齐次坐标矩阵形式为：
1 0 0
11.06.2020
31
5.1.6 错切变换 错切（shear）变换是轴上点不动，其它点沿平行于
此轴方向移动变形的变换。错切变换也称为剪切、错位 或错移变换。常用的错切变换有两种：改变x坐标值和 改变y坐标值。
可以分解为平移、旋转、对称于坐标轴等变换的组合。 首先平移直线经过坐标原点，而后将直线绕坐标原点 旋转至同某一坐标轴重合，做对称于坐标轴的变换， 最后反向旋转和反向平移将直线置回原处。
如下图所示，平移直线经过坐标原点需要在Y轴方 向上移动距离b，然后将直线绕坐标原点旋转至同Y轴
重合，设旋转角度为 ，两步的变换矩阵分别为：
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28
1 0 0
T1
0
1
0
0 b 1
cos sin 0
T2 sin cos 0
0
0 1
1 0 0
做对称于Y轴的对称变换，其变换矩阵为：T3
0
1
0
0 0 1
最后反向旋转和反向平移将直线置回原处，其变换矩阵分别
为：
cos)( sin )( 0 co ssin0
1 0 0
T4sin )( cos)(0sin co s0
T5
计算机图形学-第五章-图形变换
第五章图形变换重点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换，二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
齐次坐标系齐次坐标系：n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以X、Y和W为三维变量，构成没有常数项的三维平面(因此得名齐次空间)。
点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不为零的比例系数。
所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。
例如齐次空间点P(X、Y、W) 对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。
将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时，W的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示，并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用，它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。
5.1 二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
二维几何变换主要包括：平移、比例、旋转、对称、错切、仿射和复合变换。
5.1.1 二维平移变换如图所示，它使图形移动位置。
新图p'的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Txy'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：［x' y'］=［x y］+［Tx Ty］简记为：P'=P+T，T=［Tx Ty］是平移变换矩阵(行向量)。
从矩阵形式来看，平移变换是矩阵加法，而比例和旋转变换则是矩阵乘法。
计算机图形学_PPT完整版
图形软件主要类型
3. 专用图形软件包 针对某一种设备或应用，设计/配置专用的图形 生成语言或函数集，例如： 场景描述：Open Inventor 建立虚拟世界的三维模型：VRML 生成三维Web显示：Java3D 创建Java applet中的二维场景：Java 2D 生成各种光照模型下的场景：Renderman Interface（Pixar）……
图元的绘制、显示过程
顶点
法向量、颜色、纹理…
像素
图元操作、像素操作 光栅化（扫描转换）
像素信息 帧缓存 显示器
调用底层函数，如 setPixel (x,y)；将当 前像素颜色设定值存 入帧缓存的整数坐标 位置（x,y）处。
图元描述与操作
几何图元由一组顶点（Vertex）描述 这一组顶点可以是一个或是多个。每个顶点信息二维或 三维，使用 2~4 个坐标。顶点信息由位置坐标、颜色 值、法向量、纹理坐标等组成。 图元操作： 几何变换、光照、反走样、消隐、像素操作等，然后准 备进行光栅化处理。 扫描转换或光栅化（Rasterization ） 将对象的数学描述、颜色信息转换成像素信息（像素段 写入帧缓存），送到屏幕显示。
应用程序
图形应用程序
图形语言连接 外部应用 数据库 内部应用 数据库 API GKS/GKS 3D PHIGS OpenGL
图形编程软件包，如OpenGL、 VRML、Java2D、Java3D……
GKSM
图形设备驱动程序，如显卡驱动、 打印机/绘图仪驱动…… 支持图形处理的操作系统,如 Macintosh、Windows、Unix、 Linux 、各种嵌入式OS…… 图形输
计算机图形软件的标准化意义
可移植性 通用、与设备无关 推动、促进计算机图形学的推广、应用 资源信息共享
计算机图形学基础教程(Visual C++版)第05章 二维图形变换与裁剪(清华大学出版社 孔令德)
x O
y
5-19 设备坐标系
图形学中常用的坐标系
规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate,NDC) 将设备坐标系规格化到（0.0,0.0）到（1.0，1.0）的 范围内而定义的坐标系。 规格化设备坐标系独立于具体输出设备。 一旦图形变换到规格化设备坐标系中，只要作一个简 单的乘法运算即可映射到具体的设备坐标系中。
wyt (xw,yw) 0000 wyb
vyt (xv,yv) 0000 vyb
wxl
wxr
vxl
已知窗口内的一点P的坐标(xw，yw)，求视区中 对应点P’的坐标(xv，yv) 这属于相对于任一参考点的二维几何变换
vxr
变换步骤为：
1.将窗口左下角点（wxl，wyb）平移到观察坐标系 原点
写成方程为：
xv S x xw vxl wxl S x yv S y yw vyb wyb S y
则窗视变换的展开式为：
令
xv a x w b yv c y w d
裁剪
图形变换到观察坐标系下，需要按照窗口进行 裁剪，即只保留窗口内的那部分图形，去掉窗 口外的图形 假设窗口是标准矩形，即边与坐标轴平行的矩 形，由 上（y=wyt）、 下（y=wyb）、 左（x=wxl）、 右（x=wxr） 四条边描述
30
裁剪——点的裁剪
点是构成图形的基本元素 点的裁剪：
wxl x wxr, 且wyb y wyt
把图形全部打散成点进行裁剪？
31
二维直线段的裁剪
直线的裁剪是二维图形裁剪的基础 裁剪的实质是判断直线是否与窗口相交，如相 交则进一步确定位于窗口内的部分
y
5-19 设备坐标系
图形学中常用的坐标系
规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate,NDC) 将设备坐标系规格化到（0.0,0.0）到（1.0，1.0）的 范围内而定义的坐标系。 规格化设备坐标系独立于具体输出设备。 一旦图形变换到规格化设备坐标系中，只要作一个简 单的乘法运算即可映射到具体的设备坐标系中。
wyt (xw,yw) 0000 wyb
vyt (xv,yv) 0000 vyb
wxl
wxr
vxl
已知窗口内的一点P的坐标(xw，yw)，求视区中 对应点P’的坐标(xv，yv) 这属于相对于任一参考点的二维几何变换
vxr
变换步骤为：
1.将窗口左下角点（wxl，wyb）平移到观察坐标系 原点
写成方程为：
xv S x xw vxl wxl S x yv S y yw vyb wyb S y
则窗视变换的展开式为：
令
xv a x w b yv c y w d
裁剪
图形变换到观察坐标系下，需要按照窗口进行 裁剪，即只保留窗口内的那部分图形，去掉窗 口外的图形 假设窗口是标准矩形，即边与坐标轴平行的矩 形，由 上（y=wyt）、 下（y=wyb）、 左（x=wxl）、 右（x=wxr） 四条边描述
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裁剪——点的裁剪
点是构成图形的基本元素 点的裁剪：
wxl x wxr, 且wyb y wyt
把图形全部打散成点进行裁剪？
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二维直线段的裁剪
直线的裁剪是二维图形裁剪的基础 裁剪的实质是判断直线是否与窗口相交，如相 交则进一步确定位于窗口内的部分
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4. 规格化设备坐标系(NDCS-Normalized Device Coordinate System)
在早期的图形系统中, 图形程序(或软件包) 大多是在用户坐标系(WCS)中画图, 然后直接映射到设备 坐标空间(DCS)显示输出带来不方便。 为此, 在WCS和DCS之间定义了一个与设备无关的规格化 设备坐标系, 考虑到且坐标系与设备坐标系， 它常被取 为三维或二维左手直角坐标系, 取值范围约定为(0.0, 0.0, 0.0)到(1.0, 1.0, 1.0)或者(0.0, 0.0)到(1.0, 1.0), 如图5.7所示。 用户的绘图数据经过转换成NDCS 中的值, 使得图形有了统一的设备空间。 这对图形的统 一处理, 带来很大的方便, 从而提高图形程序的可移植 性。
第 5 章 图形变换
5.1.2 坐标系 1. 世 界 坐 标 系 (WCS-World Coordinate
System) 世界坐标系一般是三维右手直角坐标系, 它
的单位根据所描述的实际对象的大小来确定, 通常使用 实数, 取值范围并无限制。 它是一般用户绘图时所取的 坐标系, 有时也称为用户坐标系或物体坐标系。 通常表 示为图5.4(a), 它也可以是二维的, 表示为图5.4(b)。
x1
Hx1 H
,
x2
Hx2 H
,,
xn
Hxn H
第 5 章 图形变换
现设点P(x,y)进行平移后移到P*(x*,y*), 其
中x方向的平移量为l, y方向的平移量为m。 那么, 点
P*(x*,y*)x的 坐x标 l为 5.2所示。 y y m
, 如图
第 5 章 图形变换 y
P(x*, y*)
第 5 章 图形变换
＋y
＋z
＋x
y z
1 1
O
1x
图 5.7 规格化设备坐标系(NDCS)
第 5 章 图形变换
以上介绍的坐标系均为三维坐标系, 但在显 示器屏幕上或绘图机上, 则要求用户定义一个平面。 较 为简单方便的办法是使z坐标值取零。 因此在三维直角 坐标系中, xOy平面也可以看作是基本工作平面。 任何 不在xOy平面内的图形可以通过本章介绍的图形变换来处 理。
m
P(x, y) y
Ox
l
x
图 5.2 点的平移
第 5 章 图形变换
z
b1a1
H＝1 c1
O
a
c
y
b
x
图 5.3 齐次坐标的几何意义
第 5 章 图形变换
引入齐次坐标的主要优点如下: (1) 如上所述, 齐次坐标提供了用矩阵运算 把二维、 三维甚至高维空间中的一个点集(图形)从一个 坐标空间变换到另一个坐标空间的有效而统一的方法。 二维图形齐次坐标变换矩阵的一般形式是
ze
Oe
O
h
y
x
图 5.5 目坐标系(ECS)
第 5 章 图形变换
＋y
y
z
＋z
＋x O
x
图 5.6 设备坐标系(DCS)
第 5 章 图形变换
3. 设备坐标系(DCS-Device Coordinate System)
为了便于输出真实图形, 设备坐标系(DCS)有 时也采用左手三维直角坐标系， 但它不全都是左手的、 三维的。 它的单位根据输出设备的实际大小来确定, 一 般使用整数, 如图5.6所示。
第 5 章 图形变换
所以, 为了提高图形程序的设计效率和质量, 开拓图 形程序应用范围的新领域, 深入学习图形变换是十分必 要的。 图形变换应用的例子如图5.1所示。 目前, 较为 完善的图形软件中, 都包含有图形几何变换的一些功能。
第 5 章 图形变换
图 5.1 图形变换应用示例
第 5 章 图形变换
5.1.1 齐次坐标 所谓齐次坐标, 就是将一个原本是n维的向
量用一个n+1维向量来表示。 例如, 向量(x1, x2, …, xn)的齐次坐标表示为(Hx1, Hx2, …, Hxn, H), 其中H 是一个不为0的实数。
第 5 章 图形变换
由点或向量的齐次坐标(Hx1, Hx2, …, Hxn, H) 求它的规范化齐次坐标, 可根据如下公式求得
第 5 章 图形变换
建立目坐标系的主要作用有两个, 第一个是用 于指定裁剪空间, 确定三维立体的哪部分要显示输出; 第二个是通过定义观察(投影)平面, 把可显示部分的用 户坐标变换成规格化的设备坐标。 用户坐标与目坐标之 间的关系, 如图5.5所示。
第 5 章 图形变换
zz
ye
xe
x
P
y
yPs*xs Os
第 5 章 图形变换
第 5 章 图形变换
5.1 图形变换基础 5.2 二维图形变换 5.3 三维图形变换 5.4 窗口—视区变换 5.5 正投影三视图变换
第 5 章 图形变换
5.6 轴测投影变换 5.7 透视投影与视图变换 5.8 参数图形的几何变换 5.9 图形变换实例 习题
第 5 章 图形变换
第 5 章 图形变换
＋y
y
＋B
＋C O ＋z
＋A ＋x
O
x
z (a)
y
O
x
(b)
图 5.4 世界坐标系(WCS) (a) 3D右手直角坐标系； (b) 2D右手直角坐标系
第 5 章 图形变换
System)
2. 目 坐 标 系 (ECS/VCS-Eye Coordinate
目坐标系一般是三维左手直角坐标系, 通过 变换可在用户坐标系的任何位置, 任何方向定义。 它的 单位根据所描述的实际对象的大小来确定, 一般使用实 数。 它是一般用户观察图形对象时所取的坐标系, 有时 也称为观察坐标系(VCS-View Coordinate System)。
a b p T2D c d q
l m s
(5-2)
第 5 章 图形变换
三维图形齐次坐标变换矩阵的一般形式
是
a b c p
T3D
d g
e h
f i
q
r
(5-3)
l
m
n
s
(2) 用齐次坐标可以表示无穷远点。 (3) 齐次坐标在图形几何变换中的另一个应用是: 如 某点S(60000, 50000)在16位计算机上表示则大于32767 的最大坐标值, 需要进行复杂的操作。
5.1 图形变换基础
图形变换是指对计算机生成的图形进行变换 的技术, 它是计算机图形学中较为基础的内容之一。 通 过图形变换可以从简单图形生成复杂图形; 可以从某一 个图形得到多个其它图形; 可用二维图形表示三维形体; 可对静态图形经过快速变换而获得图形的动态显示效果; 当图形具有一定的规律性时, 还可以使绘图程序简单化。
在早期的图形系统中, 图形程序(或软件包) 大多是在用户坐标系(WCS)中画图, 然后直接映射到设备 坐标空间(DCS)显示输出带来不方便。 为此, 在WCS和DCS之间定义了一个与设备无关的规格化 设备坐标系, 考虑到且坐标系与设备坐标系， 它常被取 为三维或二维左手直角坐标系, 取值范围约定为(0.0, 0.0, 0.0)到(1.0, 1.0, 1.0)或者(0.0, 0.0)到(1.0, 1.0), 如图5.7所示。 用户的绘图数据经过转换成NDCS 中的值, 使得图形有了统一的设备空间。 这对图形的统 一处理, 带来很大的方便, 从而提高图形程序的可移植 性。
第 5 章 图形变换
5.1.2 坐标系 1. 世 界 坐 标 系 (WCS-World Coordinate
System) 世界坐标系一般是三维右手直角坐标系, 它
的单位根据所描述的实际对象的大小来确定, 通常使用 实数, 取值范围并无限制。 它是一般用户绘图时所取的 坐标系, 有时也称为用户坐标系或物体坐标系。 通常表 示为图5.4(a), 它也可以是二维的, 表示为图5.4(b)。
x1
Hx1 H
,
x2
Hx2 H
,,
xn
Hxn H
第 5 章 图形变换
现设点P(x,y)进行平移后移到P*(x*,y*), 其
中x方向的平移量为l, y方向的平移量为m。 那么, 点
P*(x*,y*)x的 坐x标 l为 5.2所示。 y y m
, 如图
第 5 章 图形变换 y
P(x*, y*)
第 5 章 图形变换
＋y
＋z
＋x
y z
1 1
O
1x
图 5.7 规格化设备坐标系(NDCS)
第 5 章 图形变换
以上介绍的坐标系均为三维坐标系, 但在显 示器屏幕上或绘图机上, 则要求用户定义一个平面。 较 为简单方便的办法是使z坐标值取零。 因此在三维直角 坐标系中, xOy平面也可以看作是基本工作平面。 任何 不在xOy平面内的图形可以通过本章介绍的图形变换来处 理。
m
P(x, y) y
Ox
l
x
图 5.2 点的平移
第 5 章 图形变换
z
b1a1
H＝1 c1
O
a
c
y
b
x
图 5.3 齐次坐标的几何意义
第 5 章 图形变换
引入齐次坐标的主要优点如下: (1) 如上所述, 齐次坐标提供了用矩阵运算 把二维、 三维甚至高维空间中的一个点集(图形)从一个 坐标空间变换到另一个坐标空间的有效而统一的方法。 二维图形齐次坐标变换矩阵的一般形式是
ze
Oe
O
h
y
x
图 5.5 目坐标系(ECS)
第 5 章 图形变换
＋y
y
z
＋z
＋x O
x
图 5.6 设备坐标系(DCS)
第 5 章 图形变换
3. 设备坐标系(DCS-Device Coordinate System)
为了便于输出真实图形, 设备坐标系(DCS)有 时也采用左手三维直角坐标系， 但它不全都是左手的、 三维的。 它的单位根据输出设备的实际大小来确定, 一 般使用整数, 如图5.6所示。
第 5 章 图形变换
所以, 为了提高图形程序的设计效率和质量, 开拓图 形程序应用范围的新领域, 深入学习图形变换是十分必 要的。 图形变换应用的例子如图5.1所示。 目前, 较为 完善的图形软件中, 都包含有图形几何变换的一些功能。
第 5 章 图形变换
图 5.1 图形变换应用示例
第 5 章 图形变换
5.1.1 齐次坐标 所谓齐次坐标, 就是将一个原本是n维的向
量用一个n+1维向量来表示。 例如, 向量(x1, x2, …, xn)的齐次坐标表示为(Hx1, Hx2, …, Hxn, H), 其中H 是一个不为0的实数。
第 5 章 图形变换
由点或向量的齐次坐标(Hx1, Hx2, …, Hxn, H) 求它的规范化齐次坐标, 可根据如下公式求得
第 5 章 图形变换
建立目坐标系的主要作用有两个, 第一个是用 于指定裁剪空间, 确定三维立体的哪部分要显示输出; 第二个是通过定义观察(投影)平面, 把可显示部分的用 户坐标变换成规格化的设备坐标。 用户坐标与目坐标之 间的关系, 如图5.5所示。
第 5 章 图形变换
zz
ye
xe
x
P
y
yPs*xs Os
第 5 章 图形变换
第 5 章 图形变换
5.1 图形变换基础 5.2 二维图形变换 5.3 三维图形变换 5.4 窗口—视区变换 5.5 正投影三视图变换
第 5 章 图形变换
5.6 轴测投影变换 5.7 透视投影与视图变换 5.8 参数图形的几何变换 5.9 图形变换实例 习题
第 5 章 图形变换
第 5 章 图形变换
＋y
y
＋B
＋C O ＋z
＋A ＋x
O
x
z (a)
y
O
x
(b)
图 5.4 世界坐标系(WCS) (a) 3D右手直角坐标系； (b) 2D右手直角坐标系
第 5 章 图形变换
System)
2. 目 坐 标 系 (ECS/VCS-Eye Coordinate
目坐标系一般是三维左手直角坐标系, 通过 变换可在用户坐标系的任何位置, 任何方向定义。 它的 单位根据所描述的实际对象的大小来确定, 一般使用实 数。 它是一般用户观察图形对象时所取的坐标系, 有时 也称为观察坐标系(VCS-View Coordinate System)。
a b p T2D c d q
l m s
(5-2)
第 5 章 图形变换
三维图形齐次坐标变换矩阵的一般形式
是
a b c p
T3D
d g
e h
f i
q
r
(5-3)
l
m
n
s
(2) 用齐次坐标可以表示无穷远点。 (3) 齐次坐标在图形几何变换中的另一个应用是: 如 某点S(60000, 50000)在16位计算机上表示则大于32767 的最大坐标值, 需要进行复杂的操作。
5.1 图形变换基础
图形变换是指对计算机生成的图形进行变换 的技术, 它是计算机图形学中较为基础的内容之一。 通 过图形变换可以从简单图形生成复杂图形; 可以从某一 个图形得到多个其它图形; 可用二维图形表示三维形体; 可对静态图形经过快速变换而获得图形的动态显示效果; 当图形具有一定的规律性时, 还可以使绘图程序简单化。