01-代数复习

n=1时，称f为一元运算。如：对一个整数x求绝对值|x|
n=2时，称f为二元运算。如：对两个实数x和y求和x+y n=m时，称f为m元运算。如：语句if x then y else z 是一个以x, y, z作为运算对象的三元运算。
代数结构
定义在载体上的运算
2015年6月6日星期六
n元运算是一个闭运算，即经过运算后产生的象仍在同一 个集合中
并且 < * - ∧, & > 也是一个代数结构。
同类型的代数结构
二、同类型的代数结构 称两个代数结构是是同类型的，首先需要满足： 有相同的构成成分
2015年6月6日星期六
两个代数结构< S, f1, …, fm >和< T, g1, …, gm >有
相同个数的运算（和代数常数），且 fi 和 gi 的元数相同
2015年6月6日星期六
若运算⊙对于既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙ 对于满足吸收律，或⊙对于是可吸收的
吸收律
四、吸收律
设有代数结构< S, ⊙, >，若
2015年6月6日星期六
若运算⊙对于是可吸收的，且对于⊙也是可吸收的， 则称⊙和是互为吸收的，或⊙和同时满足吸收律
吸收律
设有代数结构< S, ⊙> ，其中S={0,1}，运算表如下。 ⊙ 0 1 0 0 0 1 0 1
这种表称为运算表或复合表，它由 运算符、行表头元素、列表头元素 和复合元素组成。
运算⊙具有封闭性：运算表中的每个元素都属于S
结合律
一、结合律
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设有代数结构< S, ⊙ >，若
(x)(y)(z)(x,y,z S (x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)) 则称运算⊙满足结合律，或⊙是可结合的
同类型的代数结构
例6.1.2：
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代数结构 < N, ×>与< Z, - > 具有相同的构成成分
因为它们都有一个二元运算 代数结构 < {F, T}, ∧, ∨> 与 < P(S), , >具有相 同的构成成分，它们都具有两个二元运算
同类型的代数结构
结构都成立*。 例6.1.2 代数结构<N, +, 0>具有下述公理 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+0=a
a (a⊙b) = min{a, max{a,b}} = a = (a⊙b) a
所以⊙和是互为吸收的
等幂律
五、等幂律 设有代数结构< S, ⊙ >，若 (x) (x S x⊙x = x ) 则称运算⊙满足等幂律，x是关于⊙的等幂元 ⊙ 0 1 0 0 0 1 0 1
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< S, f1, f2, …, fm >
集合S的基数|S|定义代数结构的基数 如果S是有限集合，则称代数结构是有限代数结构 否则便称作无穷代数结构。
代数结构
代数结构
2015年6月6日星期六
有时还在代数结构的表示中加入特异元素k，记做 < S, f1, f2, …, fm , k >
载体中的特异元素，也叫做代数常数
运算表中的⊙满足等幂律。
运算⊙具有等幂律：主对角线上的元素与表头元素相同
等幂律
定理：
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若x是代数结构< S, ⊙ >中关于⊙的等幂元，
对于任意正整数n，有xn=x 注意：一个代数中可以有等幂元，但是未必满足等幂律 例如: <Z, ×>中，Z是整数集合，×是乘法运算
其中，0和1就是等幂元，但是×却不满足等幂律
等幂律
2015年6月6日星期六
例6.2.4 设有代数结构< P(S), , > ，其中P(S)是集合S的 幂集， 和 分别是集合的并和交运算。 试证明： 和 是等幂的
证明： 对于任意A P(S)，有A A = A，A A = A
所以 和 是等幂的
么元
六、么元 设有代数结构< S, ⊙ >，el, er, e S若
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例6.2.3 设有代数结构< N, ⊙, > ，其中N是自然数集合， ⊙ 和 定义如下：对于任意a, b N，有 a ⊙ b=max{a,b}，a b=min{a,b}
试证明： ⊙和是互为吸收的
证明： a⊙(ab) = max{a, min{a,b}} = a = (ab) ⊙ a
一个集合，叫做代数的载体
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载体，是我们将要处理的数学目标的集合
如整数集合、实数集合、符号集合等 一般不讨论载体是空集合的代数结构
代数结构
定义在载体上的运算 定义在载体上的运算是一个函数 f: Sn S
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称 f 是一个n元运算。n是自然数，称为运算的元数或阶
2015年6月6日星期六
办公室电话：80798486
答疑时间：周二下午
复习
代数结构
第一节 代数结构的定义
一、代数结构的定义
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一个代数结构< S, f1, f2, …, fm >通常由两个部分组成：
一个集合S ，叫做代数的载体； 定义在载体上的运算f1, f2, …, fm
代数结构
分配律
定理：
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设有代数结构< S, ⊙, >，且⊙是可交换的，
若⊙对于满足左分配律或满足右分配律， 则⊙对于满足分配律
分配律
2015年6月6日星期六
例6.2.2 设有代数结构< S, ⊙, > ，其中S={0,1}，下表中 分别定义了运算⊙和 。问⊙对于是可分配的吗？ ⊙ 0 1 0 1 0 1
考核办法
待定
课程说明
课程要求
课前做好预习，有准备地听讲
2015年6月6日星期六
课堂保持头脑清醒，思维活跃，不要做与听课无关 事情，如有问题，举手示意，或者下课讨论 独立、按时完成作业，要求作业都写在作业本上
课程说明
我的联系方式 陈菲 cfncepu@ cfncepu@ 教2-513 计算机系软件教研室
所以， ⊙是可结合的
交换律
二、交换律 设有代数结构< S, ⊙ >，若 (x)(y) (x, y S x⊙y=y⊙x ) 则称运算⊙满足交换律，或⊙是可交换的 ⊙ 0 1 0 0 0 1 0 1
2015年6月6日星期六
运算表中的⊙满足交换律。
运算⊙具有交换律：运算表关于主对角线对称
交换律
有些运算存在么元和零元，它们在运算中起着特殊的作用
代数结构示例
例6.1.1：
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整数集合Z，以及在Z上的加法+、减法-可以构成一个代Байду номын сангаас数结构（因为运算加法和减法在Z上是封闭的）
记做 < Z, +, - >
非空集合S的幂集P(S)，及其上的运算：交()、并()、 补(’)，可以构成一个代数结构 记做 < P(S), , , ’ >
am ⊙ an=am+n
(am)n=amn
分配律
三、分配律
设有代数结构< S, ⊙, >，若
2015年6月6日星期六
(x)(y)(z)(x,y,z Sx⊙(yz)= (x⊙y)(x⊙z)) 则称⊙对于满足左分配律，或⊙对于是可左分配的 (x)(y)(z)(x,y,z S(yz)⊙x=(y⊙x) (z⊙x)) 则称⊙对于满足右分配律，或⊙对于是可右分配的 若运算⊙对于既满足左分配律又满足右分配律，则称⊙ 对于满足分配的，或⊙对于是可分配的
称两个代数结构是是同类型的，需要满足： 有相同的构成成分
2015年6月6日星期六
两个代数结构< S, f1, …, fm >和< T, g1, …, gm >有
相同个数的运算（和代数常数），且 fi 和 gi 的元数相同
有一组相同的称为公理的规则 （“公理”指用载体中的元素和代数运算符号写成的方程）
2015年6月6日星期六
< Z, min, max >是一个代数结构，S={1, 2, 3, 4} < S, min, max >是< Z, min, max >的子代数吗？ 是，因为S对于运算min和max是封闭的
子代数
是
2015年6月6日星期六
设E是偶数集合，则< E, + >是< Z, + >的子代数吗？
1) 2)
2015年6月6日星期六
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
3)
4)
a+(-a)=0
a+0=a
代数< Q, + , - , 0 >和< R, + , - , 0 >是与之同类型
而< P(S), , ’ , >（’ 表示集合的补）与之不同类型， 因为公理3)对其不成立。
同类型的代数结构
设M是正奇数集合，则< M, ×>是< Z, ×>的子代数吗？ 是 设M是正奇数集合，则< M, +>是< Z, +>的子代数吗？ 不是，因为M对于运算+不是封闭的 设+4表示模4运算，则<{0,2},+4>是<{0,1,2,3},+4>的 子代数吗？ 是