第六章 卡方检 验

i 1
k
Ai Ti 2 ,
Ti
i 1,2,, k。
（6 2）
一、分布函数及其图形
2分布的密度函数为
2 f ( ) e , 0 , v 1,2,3,。 v 2 2( ) 2 v 式中是 （ ） 伽玛（gamma）函数在v/2处的函数值。 2
2 （3） 确定 P值和作出统计推断：查附表 3， 界值表，得
0.025＜P＜0.05。按α＝0.05水准，拒绝 H0，接受 H1，两组溃疡愈 合率差别有统计学意义，故可以认为洛赛克治疗消化道溃疡的愈合 率高于雷尼替丁。
3．四格表专用公式：为了简化计算，省去求理论频数，可用式 2 值，该式称为四格 （6-10）代替式（6-8）计算四格表资料的 表专用公式， (ad bc) 2 n 2 (6 10) (a b)(c d )(a c)(b d ) 式中a、b、c、d分别为四格表的实际频数，n为总例数=a＋b＋c ＋d。如例6-2，用四格表
例6-3 某医生欲研究不同分娩方式与重症肝炎孕产妇的结局 的关系，资料见表6-4。问 两种分娩方式的结局有无差别？ 本例的 2 检验，检验步骤如下： （1）建立检验假设和确定检验水准
第三节
独立性检验
本节介绍应用 2 检验推断两个或两个以上总体率（或 构成比）之间有无差别及两分类变量间有无相关关系等。
2 一、四格表资料的 检验（两个样本率的比较）
例6-2 某医生欲了解洛赛克治疗消化道溃疡的疗效，以雷尼 替了作对照，试验结果见表6-2。问两种药物治疗4周的疗效有无 差别（两组性别、年龄、病程、病情等方面均衡）？ 表6-2中，64、21、51、33是整个表的基本数据，其余数据都是 从这四个基本数据相加而得的，这种资料系两组两分类资料，称 为四格表（fourfold table），亦称2×2表（2×2 table）。
第二节
拟合优度检验
拟合优度检验是判断样本实际频数分布与拟合的理论频数分布 是否符合，或者说判断此样本是否来自某种分布。本节以正态分布 的拟合优度检验为例，说明该方法的步骤，具体步骤如下： 1.建立检验假设，确定检验水准。 H0：实际频数与正态分布的理论频数符合 H1：实际频数与正态分布的理论频数不符合 α＝0.05 或α＝0.10
2
2 四、 分布的应用
1.直接应用：用于检验某一分布的实际频数与理论频数是否符 合；某些统计量的分布可用 2 分布作近似处理，如各组含量 不小于5，且组数不小于3时，秩和检验统计量H的分布可近似 2 地用 分布来代替；正态总体方差的区间估计等。
2 2.间接应用：如t分布和F分布就是在 分布的基础上推导出 来的。
2
1
2
v 1 2 2 2
(6 3)
这样，已知v时，就能按式（6-3）绘出 2 分布曲线，如图62 1。 分布的分布函数为
F ( 2 )

2
0
2 它的几何意义是： 分布曲线下从0到某给定 2 值的面
v 2( ) 2 2 1
2

v 1 2 2 2
v个相互独立的标准正态变量ui（i=1，2，…，v）的平方和称 2 为 变量，即
u u u ,
2 2 1 2 2 2 v
ui
Xi u

(6 1)
它的分布即Baidu Nhomakorabea 2 分布，其自由度为v。式中Xi为服从正态分 布的变量，μ 为总体均数，σ 为总体标准差。
在实际应用时，资料中k个实际频数Ai与相应的理论频数Ti之 间差别的大小，可用式（6-2）表示。如果样本含量n足够大 2 （大于40），且各Ti都大于5，则式（6-2）近似于 分布。n 愈大，近似程度愈好。
专用公式计算如表6-3。 用表6-3资料，代人式（6-10），求 值如下：
2
2 =4.13
与前面计算的结果一致。
表6-3
处理 洛赛克 雷尼替丁 合计
两种药物治疗消化道溃疡效果
未愈合 21（b） 33（d） 54 合计 85 84 169（n） 愈合率（％） 75.29 60.71
愈合 64（a） 51（c） 115
2 （2）求统计量。第（7）列系接式（6-6）的要求作 值计算，得 2 ＝ 。表中共有10个F参加 值计算，故 的自由度＝ 10－3＝7。 15.05 2 2
（3）确定概率P并作统计推论。查附表3， 界值表得0.05＞P＞ 2 0.025，故按α＝0.10水准拒绝H0，可认为实际频数与正态分布的理论频 数不符合，拟合优度不好。
第六章
2 检 验
2 检验（chi-square test）是一种用途较广的假设检验方
法。本章重点介绍它用于频数分布资料拟合优度检验和分类 资料的假设检验。
第一节

2
分布
2 分布是一种连续型分布，可用于检验资料的实际频数和
按检验假设计算的理论频数是否相符等问题。早在1875年， 2 F．Helmet即得出来自正态总体的样本方差的分布服从 分布。 1900年，K．Pearson也独立地从检验分布的拟合优度发现这一 2 相同的 分布。
2 2
三、
2分布与正态分布的关系
2 1．从图6-l可见，当v逐渐增大时， 曲线逼近于正态曲线， 这时它们的分布函数有如下关系：

2
0
f ( 2 )d 2 (u)，
u
2 v
2v
(6 5)
2 式中的自由度v恰好等于 分布的均数，2v等于它的方差。
2．当v=1时，由式（6-l）可知， 变量等于标准正态变量的 2 平方，因此 (1) 等于标准正态分布的双侧分位数uα之平方和。例 2 如u0.05＝1.96，而＝3.84＝（1.96）2＝ u0 .05
2. 检验步骤
本例的检验步骤如下：
（1）建立检验假设和确定检验水准 H0：两种药物疗效相等，即π 1＝π
2 2
H1：两种药物疗效不等，即π 1≠π
α＝0.05
2 （2）计算检验统计量 值
按式（6-9）计算理论频数，见表 6-2括号内的数字。按式（6-8） 2 计算 值：
2 =4.13，v=1
其计算公式为：
TRC
nR nC n
(6 9)
式中TRC表示R行（row） C列（column）所对应格子的理论频数， nR为相应的行合计，nC为相应的列合计，n为总例数。如表6-2中， 第2行第1列的理论频数为：T21＝（84 ×115）／169＝57.16。仿此 可计算 T11、T12、T22。就本例而言，假定消化道溃疡的愈合率与药 物种类无关，用概率术语就是愈合率与治疗药物相互独立。样本中 两种药物的治愈率不同，只是由于抽样误差所致。此处独立性检验 等价于检验无效假设是否成立。
（2）T＜1，或n＜40时，改用四格表资料的确切概率法。
2 连续性校正 值的计算公式为：
(| A T | 0.5) 2 T
2
(6 11)
2 (| ad bc | n / 2 ) n 2 (a b)(c d )(a c)(b d )
(6 12)
表6-2
处理 洛赛克
两种药物治疗消化道溃疡效果
未愈合 合计 85 愈合率（％） 75.29
愈合
64（57.84） 21（27.16）
雷尼替丁
合计
51（57.16） 33（26.84）
115 54
84
169
60.71
68.05
1. 2 检验的基本思想 检验要计算检验统计量值，值的计算公式 如下： ( A T )2 2 (6 8) T 式中A为实际频数，T是根据无效假设确定的理论频数，∑是对 所有格子求和。例如，上例要作洛赛克（试验组）和雷尼替了 （对照组）的溃疡愈合率比较，假设试验组和对照组的溃疡愈合 率相等，均等于合计的溃疡愈合率 68.05％（115／169 ×100％）。 试验组理论溃疡愈合数应为85（115／169）＝57.84，对照组理论 溃疡愈合数应为84（11／169）＝57.16；同理，合计未愈合率为 31.95％（54／169 ×100％），则试验组理论溃疡未愈合数为 85 （54／169）＝27.16，对照组理论溃疡未愈合数为 84（54／169） ＝26.84，见表 6-2中括号里的数字。即某格子理论频数是所在行 合计乘所在列合计，除以总数。
从式（6-9）中可以看出， 值反映了实际频数和根据检验假 设算得的理论频数吻合程度。如果检验假设成立，则实际频数 与理论频数之差一般不会很大， 2 值应很小，即出现大的 2 2P值的对应关系可查附表 3， 值的概率 P是很小的。 与 2 2 界值表。 值愈大产值愈小。若 P≤α（检验水准），就怀疑 检验假设的成立，因而拒绝它；若P＞ α ，则没有理由拒绝它。
2 4．四格表 值的校正
2分布是连续性分布，而四格表资料属于分类资料，是不
连续的，由此计算的 2 值也是不连续的。在下列情况下， 2 用式（6-8）和式（6-10）计算的 值偏大，所得概率偏小， 应进行校正。
2 （1）l≤T＜5，而n≥40时，需计算校正 值或改用四格
表资料的确切概率法计算；
2.按式（6-6）计算统计量 2
( f F )2 , F
2
值。
(6 6)
v k 3
式中f为各组段的实际频数J为由拟合曲线算得的各组段的理论 2 频数，ｋ为用式（6-6）计算 值时所用F的个数，由于计算F 时，用了n、X 、S三个统计量，故v＝k－3。当总体参数μ 及σ 已知时，则 v＝k－l。 然后由u值附表1得Ф （u），它的意义是正态曲线下由-∞至u 的面积。相邻两Ф （u）之差值δ为各组段的相对频率，乘以n化 为理论频数F。
e
d 2 ,
0 2 ,
v 1,2,3, 。
(6 4)
积，如图6-l。
二、分布的分位数
2 当v确定后， 分布曲线下右侧尾部的面积P为指定值α时， 2 2 横轴上相应的界值 ，记作 (v )，如图6-l，这就是 2 分布的
分位数，此值有 界值表，即附表3。作 检验时，先求得 2 观察样本的统计量 值，然后按v由附表3查得 2 界值，与统 计量比较得到与统计量相应的P值。
检验水准为 α＝0.10。
本资料的均数 X ＝4.1966，S＝0.6737。 表6-1中第（3）列为各组段上下限处的u值，如第1组段的上限对 应的u=-1.85；
第（4）列Ф （u）系按第（3）列的u值由附表1查出。如u＝－1.87时， 查表得Ф （－1.87）＝0.0307，余仿此。
第（5）列δ为相邻两Ф （u）之差值。如第一组段2.65～2.95的相对频 数 δ＝0.0322；而2.95～3.25组段的相对频数δ＝0.0793－0.0322＝0.0471； 余仿此，但最末组段5.35～5.65的δ＝l—0.9582＝0.0418。 第（6）列F是将第（5）列的相对频数乘以样本含量n化成的理论频数， 如第一行100仇0322）d．22，余仿此。注意第（5）、（6）列的6值与F 均写在相应组段中间，反映直方图上该直条的面积。
2
由式（6-9）可见， 值的大小，除决定于 A-T的差值外， 还取决于格子数（严格地说是自由度）的多少。格子数愈多， 2 值也会愈大。只有排除了这种影响， 值才能正确地反映A与 2 2 T的吻合程度。因此，在查附表 3时，要考虑自由度的大小。其 计算公式为：v＝（行数一1）（列数一1），更确切地说v=（比 较组数一l）（分类组数一1）。四格表由2行2列组成，故v= （2—1）（2—l）=1。
F=nδ
注意∑F应与∑f相等或很相近，否则计算有误。求 2 值时一 般要求F不宜过小，比如不小于 5。因此常将 F值小的相邻组合 并，相应的f亦合并。
3.确定概率P并作出统计推论。
例6-l 某医学院校医随机抽取100名一年级医学生，测定空腹血 糖值（mmol／L），其频数分布如表6-l（教材62页）中第（1）栏 2 和第（2）栏所示，试用 检验判断该资料是否符合正态分布。 （l）建立检验假设和确定检验水准 H0：一年级大学生空腹血糖的实际频数与正态分布的理论频数 符合 H1：一年级大学生空腹血糖的实际频数与正态分布的理论频数 不符合