第三章 稳定性分析
第三章监测网平差及基准点稳定性分析
剔除动点后，其余点构成统计量
F1
ˆF 2 ˆ02
ˆF
2
=
dFT
PFF fF
dF
当F1<F分析值，分析即结束，反之，继续 剔除动点，继续检验，直到原假设不再拒绝，
最后剩下的都是稳定的点。
• 当网中存在固定点时，采用这些固定点作 基准，应用经典平差；
• 当网中某些点具有相对的稳定性，它们相 互变动是随机的情况下，则用这些点作拟 稳点，用拟稳平差对成果进行分析；
• 当监测网所有网点具有微小的随机变动时, 自由网平差是一种有效的分析方法.
因此，要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定哪些点是稳定的或相对稳定的点，哪些点是 不稳定的点。从20世纪70年代起，人们相继提出 了多种关于监测点稳定性分析方法，其中平均间 隙法是一种比较典型的方法。
m i=1
xi =0
xm
x
1 m
m i 1
xi
0, x为水准网的高程重心.
x =0说明水准网的自由网平差参考系是网的高程重心.
以测边网为例：自由网平差
x1
1
G
T
X=
0
- y10
0 1 x10
1 0 - y20
0 1 x20
…1 …0 … ym0
0 1 xm0
y1 xm
所以：对监测网进行稳定性分析，并 根据稳定性分析结果选择平差方法，确立 一个对变形分析比较有利的参考系，是变 形观测数据处理的一项重要任务。
§3—2 监测网的参考系及其平差
起算数据称为平差问题的基准：基准给出了控制网的位 置。
尺度和方位的定义 即控制网的参考系.
• 经典平差：采用选择固定基准的办法确定参考 系. （满足待估参数的求取要求） • 监测网平差：满足有多期复测的观测值估计的 位移 是一种“绝对的”或接近绝对的位移
第三章路基稳定性分析解析
公路—Ⅰ级和公路—Ⅱ级汽车荷载，L=12.8m
B——横向分布车辆轮胎外缘之间总距，m
B Nb （N 1）d
b——每一辆车轮胎外缘之间的距离，m d——相邻两辆车轮胎之间的净距，m
2.荷载分布方式
⑴可分布在行车道宽度范围内 ⑵考虑实际行车有可能偏移或车辆停放在路肩上，也可认为当量土层
四、各种方法的应用——针对不同的填方土质和可能的破坏形式
（一）填方高边坡
1.砂性土边坡：平面滑动面 法验算； 2.粘性土边坡或软弱地基：圆弧法（宜于使用简化Bishop法） 验算路堤稳定性和路堤——地基整体稳定性。 3.针对工况考虑其他外力影响和安全系数 （1）施工期 （2）运营期——新建成和已建成 （3）集中降雨、浸水路堤（考虑渗透动水压力和浮力）和地震 （考虑地震力）
（二）挖方高边坡
——土质高于20m，岩质高于30m或不良地质地段挖方边坡
基于地质勘察，针对可能的破坏形式
1.规模较大的碎裂结构岩质边坡和土质边坡采用简化Bishop法； 2.可能产生直线形破坏的边坡采用平面滑动面 法； 3.可能残生折线形破坏的边坡采用不平衡推力法； 4.对于结构复杂的岩质边坡，可配合采用赤平投影法和、实体比 例投影法和楔形滑动面法； 5.针对工况采用不同的外力组合和安全系数。 （1）正常工况——天然状态下的工况； （2）非正常工况Ⅰ——暴雨或连续降雨状态； （3）非正常工况Ⅱ——地震
根据不同土类及其所处的状态，经过长期的生产实践和大量的 资料调查，拟定边坡的稳定值参考数据，在设计时，将影响边 坡稳定的因素作比拟，采用类似条件下的稳定边坡值。
（一）平面滑动面法
K F Q cos tan cL
T
第3章边坡稳定性分析
§3.1 边坡稳定性分析概述
学风严谨 崇尚实践
边坡工程
§3.1 边坡稳定性分析概述
学风严谨 崇尚实践
当结构面的倾向与坡面倾向相反时，边坡为稳定结构。
当结构面的倾向与坡面倾向基本一致但其倾角大于坡角时，边坡为基 本稳定结构。
当结构面的倾向与坡面倾向之间夹角小于30°且倾角小于坡角时，边 坡为不稳定结构。
注：使用本表时应考虑地区性水文、气象等条件，结合具体情况予以修正。本表 不适用于岩层层面或主要节理面有顺坡向滑动可能的边坡。
边坡工程
§3.1 边坡稳定性分析概述
(3) 图解法
图解法可以分为两类：
① 用一定的曲线和图形来表征边坡有 关参数之间的定量关系，由此求出边 坡稳定性系数，或已知稳定系数及其
它参数（f 、c、r、结构面倾角、坡
力学分析。通过反复计算和分析比较，对可能的滑动面给出
稳定性系数。
目前，刚体极限平衡方法已经从二维发展到三维。
边坡工程
§3.1 边坡稳定性分析概述
学风严谨 崇尚实践
刚体极限平衡分析方法很多，在处理上，各种条分法在以下 几个方面引入简化条件：
(a) 对滑裂面的形状作出假定，如假定滑裂面形状为折线、 圆弧、对数螺旋线等；(b) 放松静力平衡要求，求解过程中仅满 足部分力和力矩的平衡要求；(c) 对多余未知数的数值和分布形 状做假定。
§3.1 边坡稳定性分析概述
学风严谨 崇尚实践
对于新设计的大型边坡，根据设计对边坡的要求及 边坡的荷载情况，分别预选2～3个坡角并按坡高段进行 稳定性验算，作出包括开挖、支护费用在内的技术经济 比较，然后从中选出最优的坡角、坡形。
目前，针对不同类型的边坡，已经提出一种或多种 分析方法。在具体应用中，根据具体边坡工程地质条件， 选取一种或几种方法进行综合分析。
第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1
线性系统的稳定性分析
将 0.2,n 86.6代入特征方程得
s3 34.6s2 7500s 7500K 0
由特征方程列劳斯表
s3
1
7500
s2 34.6
s1 346 7500 7500K
34.6
s0 7500K
7500K
要使系统稳定，必须满足
7500K 0
解不等式得
34.6 7500 7500K 0 34.6
3.线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环 系统特征方程的所有根都具有负实部。这个 结论好像也不新鲜。有意义吗？
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
号（正值）时，则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。
注意：a0>0
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0
解 列劳斯表 s5
1
14
10
s4
6
17
2
s3
6 14 117 67
2.物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
3.数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 ， (这t) 相当于系统在零平衡状态 下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞ 时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状 态，即
第三章稳定性分析
辅助方程:
s3 51 51
s2+1=0
斯 s2 61 61
对其求导得零行系数: 2s1
表 s1 02
继续计算劳斯表
s0 1
劳斯表出现零行
1 2
出劳系斯 现统表零一何行定时怎不会么出办稳现?定零行?
第一列全大于零,所以系统稳定
③ 解辅助错方啦程得!!对!称根:
s1,2=±j
由综合除法可得另两
3 如何求对称的根?
解：列出劳斯表 s 4
1
3
5
s3
2
4
0
s2
1
5
s1
6
0
s0
第一列数据不同号，
5
系统不稳定性。
➢注意两种特殊情况的处理：
1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用 很小的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。
2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅 助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。
0.5
1.2
c(t)
0.6
1.0
0.7
0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
3.4 高阶系统的暂态响应
–用部分分式展开得
Xc (s)
A0 s
q j 1
Aj s pj
r
s2
k 1
Bk s Ck
2
k nk
令h(t)一阶导数=0， 取其解中的最小值，
π
- S1,2=得ξωtnp=±ωjdωn√1-ξ2
3第三章 飞机的稳定性和操纵性
第三章飞机的稳定性和操纵性3.1 飞机的稳定性在飞行中，飞机会经常受到各种各样的扰动，如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。
这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态，而在偏离以后，飞机能否自动恢复原状，这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。
飞机的稳定性是飞机本身的一种特性，与飞机的操纵性有密切的关系。
例如，飞行员操纵杆、舵，需要用力的大小，飞机对杆、舵操纵的反应等，都与飞机的稳定性有关。
因此，研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。
所谓飞机的稳定性，就是在飞行中，当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态，并在扰动消失以后，不经驾驶员操纵，飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。
3.1.1 纵向稳定性飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。
当飞机处于平衡飞行状态时，如果有一个小的外力干扰，使它的攻角变大或变小，飞机抬头或低头，绕横轴上下摇摆(也称为俯仰运动)。
当外力消除后，驾驶员如果不操纵飞机，而靠飞机本身产生一个力矩，使它恢复到原来的平衡飞行状态，我们就说这架飞机是纵向稳定的。
如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态，就称为纵向不稳定的。
如果它既不恢复，也不远离，总是上下摇摆，就称为纵向中立稳定的。
飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。
飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。
影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。
下面，我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。
当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时，如果一阵风从下吹向机头，使飞机机翼的攻角增大，飞机抬头。
阵风消失后，由于惯性的作用，飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。
这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大，从而产生了一个低头力矩。
飞机在这个低头力矩作用下，使机头下沉。
经过短时间的上下摇摆，飞机就可恢复到原来的飞行状态。
同样，如果阵风从上吹向机头，使机头下沉，飞机攻角减小，水平尾翼的攻角也跟着减小。
这时水平尾翼上产生一个抬头力矩，使飞机抬头，经过短时间的上下摇摆，也可使飞机恢复到原来的飞行状态。
《自动控制原理》第三章 3-4 稳定性分析
第三章 线性系统的时域分析法
赫尔维茨稳定判据: 线性系统稳定的充要条件: i 0, i 1,2, n
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第三章 线性系统的时域分析法
15
3. 劳思-赫尔维茨稳定判据…
例3 2 s 4 s 3 3s 2 5s 10 0
1 5 4 0 1 0 2
系统不稳定
0 5 3
0 0 0 10
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第三章 线性系统的时域分析法
11
1. 稳定性的基本概念
稳定性：扰动作用 偏离平衡状态 产生初始偏差 扰动消失 恢复到原平衡状态
例1. 单摆 例2. 曲面坡
大范围稳定 小范围稳定
稳定平衡点 不稳定平衡点
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第三章 线性系统的时域分析法
12
2. 线性系统稳定的充要条件
第三章 线性系统的时域分析法
3
重点回顾
R(s) E(s)
1
n s(s 2n )
2
C(s)
Td s
n s(s 2n )
2
R(s)
E (s )
C(s)
Kt s
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第三章 线性系统的时域分析法
4
重点回顾
主导极点: 如果在所有的闭环极点中，距虚轴 最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭 环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极 点在系统响应过程中起主导作用，这样的 闭环极点称为主导极点 非主导极点：除主导极点外的其他闭环极点
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第三章 控制系统的李亚普诺夫稳定性主要内容： 1、 李亚普诺夫稳定性概念 2、 稳定性定理 3、 系统稳定性分析 4、 非线性系统稳定性分析难点：李亚普诺夫函数的构造§3.l 李亚普诺夫第二法的概述3.1.1物理基础系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后，系统偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性，用数学方法表示就是 ε≤∆∞→)(lim t x t式中)(t x ∆为系统被调量偏离其平衡位置的大小；ε为任意小的规定量。
物理事实：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即e t X X =∞→lim ，那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。
基本思想：李亚普诺夫引入了“广义能量”函数，称之为李亚普诺夫函数，表示为 V(x,t)，它是状态n x x x ,,,21 和时间t 的函数。
对定常系统，“广义能量”函数则为V(X)。
如果考察的动态系统是稳定的，当存在),,,()(21n x x x V X V =对任意e X X ≠（平衡点）时，0V 0)(<>）（、X X V 成立，且对e X X =时，才有0V)(==）（X X V 。
关键:能否找到一个合适的李亚普诺夫函数。
数学基础:二次型及其定号性。
3.1.2二次型及其定号性1．二次型n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式为222112222222121112112211121),,,(nnn n n n n n n n n n x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x V ++++++++++++= 称为二次型。
式中，),,2,1,(n k i a ik +是二次型的系数。
设ki ik a a =，既对称且均为实数。
用矩阵表示二次型较为方便，即[]PX X x x x a a a a a a a a a x x x X V T n nn n n n n n =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2121222211121121,,,)( 必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性，也就是V(X)在坐标原点附近的特性。
(1)正定性当且仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X ，恒有V(X)>0，则V(X)为正定。
(2)负定性如果V(X)是负定的,或仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X ，恒有V(X)<0,则V(X)为负定。
(3)正半定性与负半定性 如果对任意0≠X ，恒有0)(≥X V ，则V(X)为正半定或称准正定。
如果对任意0≠X ，恒有0)(≤X V ，则V(X)为负半定或称准负定。
(4) 不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(X)为不定。
2. 赛尔维斯特准则①二次型PX X X V T =)(或对称矩阵P 为正定的充要条件是P 的主子行列式均为正，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a P 212222111211 如果,0,,0,0222112112111>=∆>=∆>=∆P a a a a a n则P 为正定，即V(X)正定。
②二次型PX X X V T =)(或对称阵P 为负定的充要条件是P 的主子行列式满足)(0为奇数i i <∆；n ,,2,1i )0(i i =>∆为偶数。
§3．2 李亚普诺夫意义下的稳定性3.2.1平衡点的概念 系统描述为),(t X f X= 式中 X 为n 维状态向量。
当在任意时间都能满足 0),(=t X f e （3.1）时称为系统的平衡状态。
凡满足式(3．1)的一切值均是系统的平衡点，对于线性定常系统,),(AX t X f X == A 为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态；对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。
由式(3．1)可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。
任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为 0),0(=t f3.2.2李亚普诺夫定义下的稳定性下面用二维空间图3．1来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。
稳 定渐近稳定不稳定图 3.1)(εS1．稳定与一致稳定设e X 为动力学系统),(t X f X= 的一个孤立平衡状态。
如果对球域)(εS 或任意正实数0>ε，都可找到另一个正实数),(0t εδ或球域)(δS ，当初始状态X 0满足),(00t X X e εδ≤-时，对由此出发的X的运动轨迹有ε≤-∞→e t X X lim ，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。
如果δ与初始时刻t 0无关，则称平衡状态e X 为一致稳定。
2．渐近稳定和一致渐近稳定设e X 为动力学系统),(t X f X= 的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且从充分靠近e X 的任一初始状态X 0出发的运动轨迹有0lim =-∞→e t X X 或),,2,1(0)(lim n i x x ie i t ==-∞→，即收敛用于平衡状态e X ，则称平衡状态e X 为渐近稳定。
如果δ与初始时刻t 0无关，则称平衡状态e X 为一致渐近稳定。
渐近稳定性等价于工程意义上的稳定性。
如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性。
即),,2,1(0)(lim n i x x ie i t ==-∞→对所有点都成立，称平衡状态为大范围渐近稳定。
可见，这样的系统只能有一个平衡状态。
由于线性定常系统有唯一解，所以如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的。
在控制工程中，确定大范围内渐近稳定的范围是很重要的，因为渐近稳定性是个局部概念，知道渐近稳定的范围，才能明确这一系统的抗干扰程度，从而可设法抑制干扰，使它满足系统稳定性的要求。
3．不稳定如果平衡状态e X 既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当0t t >并无限增大时，从X 0出发的运动轨迹最终超越)(εS 域，则称平衡状态e X 为不稳定的。
§3．3 李亚普诺夫稳定性定理定理3．1 设系统的状态方程为),(t X f X= 式中，)(0),0(0t t t f ≥=如果有连续一阶偏导数的标量函数),(t X V存在，并且满足以下条件： ),(t X V 是正定的；),(t X V是负定的。
则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
如果随着∞→X ，有∞→),(t X V ，则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。
例3．1 设系统方程为⎩⎨⎧+--=--=)()(22212122221121x x x x xx x x x x 试确定其平衡状态的稳定性。
解 很明显，原点)0,0(21==x x 是给定系统的唯一平衡状态，选取一个正定的标量函数V(X)为2221)(x x X V += 则 221122)(xx x x X V +=将系统方程代入上式得22221)(2)(x x X V +-= ( V(X)为正定) 又由于∞→X 时，∞→)(X V ，因此系统在平衡点(0,0)是大范围渐近稳定的。
定理3．2 设系统的状态方程为 ),(t X f X= 式中 )(0),0(0t t t f ≥=。
如果存在一标量函数V(X,t)，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：),(t X V 是正定的；),(t X V是负半定的； ]),,,([00t t X t V Φ 对任意t 0和任意00≠x ，在0t t ≥时不恒等于零。
则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。
如果还有∞→X 时，∞→),(t X V ，则为大范围渐近稳定。
式中的),,(00t X t Φ表示0t t =时从0x 出发的解轨迹。
由于),(t X V不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定的曲面),(t X V 相切。
然而，由于]),,,([00t t X t V Φ 对于任意t 0和任意00≠X 在0t t ≥时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处(在切点上0),(=t X V)，而必须运动到原点。
例3．2 设系统方程为21221x x x x x --== 确定系统平衡状态的稳定性。
解 显然，原点(0,0)为给定系统的唯一平衡状态。
选取标准型二次函数为李氏函数，即2222112221222),(),(x x x xx t X V x x t X V -=+=+= ( V(X,t)为正定) 当 0,021==x x 时，0),(=t X V 0,021=≠x x 时，0),(=t X V 因此),(t X V是负半定的。
下面我们进一步分析),(t X V 的定号性，即当0,021=≠x x 时,),(t X V 是否恒等于零。
由于222),(x t X V -= 恒等于零，必需要求22x 在02t t ≥时恒等于零，而22x 恒等于零又必需要求2x 恒等于零。
但从状态方程212x x x --= 来看，在0t t ≥时，要使022=x 和02=x ，必需满足1x 等于零的条件。
这表明),(t X V 只可能在原点)0,0(21==x x 处恒等于零，因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
又由于∞→X 时，有∞→)(X V ，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
若在例中选取如下正定函数为李氏函数，即]2)[(21),(2221221x x x x t X V +++=则)(),(2221x x t X V +-= 是负定的。
而且当∞→X 时， ∞→),(t X V ，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
由上分析看出，选取不同的李氏函数，可能使问题分析得出不同的结果。
上面第二种情况下的选择，消除了进一步对),(t X V判别的必要性。
定理3．3 设系统方程为 ),(t X f X= 式中,)(0),0(0t t t f ≥=。
如果存在一个标量函数),(t X V ，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： ),(t X V 是正定的；),(t X V是负半定的，但在某一X 值恒为零。
则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的，但非渐近稳定。
这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。
例3．3 系统方程为1221x xKx x-== 试确定系统平衡状态的稳定性。
解 显然，原点为平衡状态。
选取正定函数为李氏函数，即)(),(2221Kx x t X V += (K>0)则 02222),(21212211=-=+=x Kx x Kx xKx x x t X V 由上式可见，),(t X V在任意X 值上均可保持为零，则系统在李亚普诺夫定义下是稳定的，但不是渐近稳定的。