导数大题练习带的答案解析

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高考数学专题：导数大题专练(含答案)

高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 3．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．4．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．5．已知函数()2()2e =+-xf x x a ．(1)讨论函数的单调性；(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值． 6．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．7．已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>，①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析【解析】【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可；（2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x <<令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=，则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭ 令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭，又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <3．(1)详见解析； (2)详见解析；【解析】【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解；（2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x'=-，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以1x =是函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x，当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>，所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点；当12a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上：当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点；当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.4．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得；（2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >，当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，()()2242ee e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，020000e ln 10x g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =． 5．(1)答案见解析 (2)4 【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）由(0,),()x f xa ∈+∞≥-恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)()'2(22)e x f x x x a =++-①当1a≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，(11x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减， (1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增；当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，在(11--上单调递减.(2)2e (2)(e 1)xxx a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)e 1x x x a +≤-，2e (2)()e 1x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-，令2()2e 22x h x x x x =---，()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，3334443393338()e 2e 4(e )042162223h =---<-=-<，(1)2e 50h =->，所以存在03(,1)4x ∈使得0()0h x =，即020002e 22xx x x =++，当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增；那么()()00202000e 222e 1x x x a g x xx +≤==++-，03(,1)4x ∈，故034()()(1)54g g x g <<<=，由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围. 6．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1x xxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >，令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时，由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点，又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+，令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增，又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >，又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点，综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.7．(1)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)(],1-∞- 【解析】【分析】（1）求出导函数()e x a f x x'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得()e 0x af x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案. (1)解：()e xa f x x'=+，因为()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()e 0xa f x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0xg x x x =-⋅<，则()()e e 1e x x xg x x x '=--=-+，当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<，所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，所以()()max 11eg x g =-=，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)解：由()()f x f x '≤得()ln 1aa x x-+≤，即()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，()()()221,0a x a a h x x x x x +'=+=<，当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>，所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增，所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-，综上所述，a 的取值范围(],1-∞-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力. 8．(1)12K K <； (2)1. 【解析】【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=，设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =．检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<，所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间；（2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=，当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。

导数难题(含答案)

一、单选题1．已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，()f x ()'f x ()02018f =x R ∈()()'f x f x >则不等式的解集为（）()2018xf x e <A.B. C. D. ()0,+∞21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(),0-∞2．定义在上的偶函数的导函数为，且当.则（）R ()f x ()f x '()()0,20x xf x f x +'><A.B.C.D.()()224f e f e >()()931f f >()()239f e f e -<()()224f e f e -<3．已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式()f x ()0,+∞()()'f x xf x >()210x f f x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（） A. B. C. D.()1,+∞(),1-∞()2,+∞(),2-∞二、解答题4．已知函数 .()()2ln f x ax x a R =-+∈（1）讨论的单调性；()f x （2）若存在，求的取值范围. ()()1,,x f x a ∈+∞>-a5．设函数． ()()222ln f x x ax x x x =-++-（1）当时，讨论函数的单调性；2a =()f x （2）若时，恒成立，求整数的最小值． ()0,x ∈+∞()0f x >a6．已知函数. ()()()1ln ,af x x a xg x a R x+=-=-∈若，求函数的极值；1a =()f x 设函数，求函数的单调区间；()()()h x f x g x =-()h x 若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围. []()1, 2.71828e e =⋯0x ()()00f x g x <a7．已知函数 . ()()ln ,f x x a x a R =-∈（1）当时，求函数的极小值；0a =()f x （2）若函数在上为增函数，求的取值范围. ()f x ()0,+∞a8．已知函数． ()()2x f x x ax a e =--（1）讨论的单调性；()f x （2）若，对于任意，都有恒成立，求的取值范()0,2a ∈[]12,4,0x x ∈-()()2124a f x f x e me --<+m 围【解析】令()()()()()()0,02018xxf x f x f xg x g x g ee-<'=='=∴因此，选A.()2018xf x e <()()()201800xf xg x g x e⇒<⇒⇒点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造()()f x f x '<()()xf xg x e=()()0f x f x '+<，构造，构造等()()x g x e f x =()()xf x f x '<()()f x g x x=()()0xf x f x +<'()()g x xf x =2．D【解析】根据题意，设g （x ）=x 2f （x ），其导数g′（x ）=（x 2）′f （x ）+x 2•f （x ）=2xf （x ）+x 2•f （x ）=x[2f （x ）+xf'（x ）]，又由当x ＞0时，有2f （x ）+xf'（x ）<0成立，则数g′（x ）=x[2f （x ）+xf'（x ）]<0，则函数g （x ）在（0，+∞）上为减函数，若g （x ）=x 2f （x ），且f （x ）为偶函数，则g （-x ）=（-x ）2f （-x ）=x 2f （x ）=g （x ），即g （x ）为偶函数，所以即因为为偶函数，所以,所()()2g e g <()()224f e f e <()f x ()()2f 2f -=以()()224f e f e-<故选D点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g （x ）并分析g （x ）的单调性与奇偶性． 3．A【解析】令，则()()f x g x x=()()()2xf x f x g x x-=''∵()()f x xf x >'∴，即在上恒成立()()0xf x f x -<'()()()20xf x f x g x x'-='<()0,+∞∴在上单调递减 ()g x ()0,+∞∵ ()210x f f x x ⎛⎫->⎪⎝⎭∴，即 ()11f f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>()1g g x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴，即 1x x<1x >故选A点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.4．（1）在上递增，在上递减.；（2）. ()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）对函数求导，再根据分类讨论，即可求出的单调性；（2）将()f x a ()f x 化简得，再根据定义域，对分类讨论，时，满足题意，()f x a >-()21ln 0a x x --<()1,x ∈+∞a 0a ≤时，构造，求出的单调性，可得的最大值，即可求出的取值0a >()()21ln g x a x x =--()g x ()g x a 范围.试题解析：（1），()21122ax f x a x x-='=-+当时，，所以在上递增， 0a ≤()0f x '>()f x ()0,+∞当时，令，得， 0a >()0f x '=x =令，得；令，得，()0f x '>x ⎛∈ ⎝()0f x '<x ⎫∈+∞⎪⎭所以在上递增，在上递减. ()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎭（2）由，得，因为，所以， ()f x a >-()21ln 0a x x --<()1,x ∈+∞2ln 0,10x x --当时，满足题意，0a ≤()21ln 0a x x --<当时，设，12a ≥()()()22211ln (1),0ax g x a x x x g x x -'=-->=>所以在上递增，所以，不合题意， ()g x ()1,+∞()()10g x g >=当时，令，得，令，得， 102a <<()0g x '>x ⎫∈+∞⎪⎭()0g x '<⎛ ⎝所以，则， ()()max 10g x g g =<=()()1,0x g x ∃∈+∞<综上，的取值范围是. a 1,⎛⎫-∞ ⎪理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 5．(1) f （x ）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）；(2)1. 1212【解析】试题分析：（1）求出函数f （x ）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a>x-2（x-1）lnx 恒成立，令g （x ）=x-2（x-1）lnx ，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．试题解析：（1）由题意可得f （x ）的定义域为（0，+∞），当a=2时，f （x ）=﹣x 2+2x+2（x 2﹣x ）lnx ，所以f′（x ）=﹣2x+2+2（2x﹣1）lnx+2（x2﹣x ）•=（4x﹣2）lnx ，由f'（x ）＞0可得：（4x﹣2）lnx ＞0，所以或，解得x ＞1或0＜x ＜；由f'（x ）＜0可得：（4x﹣2）lnx ＜0，所以或，解得：＜x ＜1．综上可知：f （x ）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）．（2）若x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0恒成立，即a ＞x﹣2（x﹣1）lnx 恒成立，令g （x ）=x﹣2（x﹣1）lnx ，则a ＞g （x ）max ．因为g′（x ）=1﹣2（lnx+）=﹣2lnx﹣1+，所以g'（x ）在（0，+∞）上是减函数，且g'（1）＞0，g′（2）＜0，故存在x 0∈（1，2）使得g （x ）在（0，x 0）上为增函数，在（x 0，+∞）上是减函数， ∴x=x 0时，g （x ）max =g （x 0）≈0， ∴a ＞0，又因为a ∈Z ，所以a min =1．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，()0f x >()min 0f x >若恒成立，转化为;()0f x <()max 0f x <（3）若恒成立，可转化为.()()f x g x >()()min max f x g x >6．（1）极小值为；（2）见解析（3）()11f =212e a +-≤≤求导函数零点，讨论与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点1a +,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）0x ()()00f x g x <a 单调性可得实数的取值范围，最后取补集得结果a 试题解析：解：（I ）当时，，列极值分布表 1a =()()1ln '01x f x x x f x x x-=-⇒=>⇒>在（0,1）上递减，在上递增，∴的极小值为； ()f x ∴1+∞（，）()f x ()11f =（II ） ()1ln a h x x a x x+=-+()()()211'x x a h x x ⎡⎤+-+⎣⎦∴=①当时，在上递增；1a ≤-()()'0,h x h x >∴0+∞（，）②当时，，1a >-()'01h x x a >⇒>+∴在上递减，在上递增； ()h x 0,1a +（）()1,a ++∞（III ）先解区间上存在一点,使得成立[]1,e 0x ()()00f x g x <在上有解当时，()()()0h x f x g x ⇔=-<[]1,e ⇔[]1,x e ∈()min 0h x <由（II ）知①当时，在上递增， ∴ 1a ≤-()h x []1,e ()min 1202h h a a ∴==+<⇒<-2a <-②当时，在上递减，在上递增 1a >-()h x 0,1a +（）()1,a ++∞当时，在上递增，无解 10a -<≤()h x []1,e ()min 1202h h a a ∴==+<⇒<-a ∴当时，在上递减1a e ≥-()h x []1,e ，∴； ()2min1101a e h h e e a ae e ++∴==-+⇒-211e a e +>-当时，在上递减，在上递增01a e <<-()h x []1,1a +()1,a e +()()min 12ln 1h h a a a a ∴=+=+-+令，则 ()()()2ln 121ln 1a a a F a a aa +-+==+-+()221'01F a a a=--<+在递减，，无解， ()F a ∴()0,1e -()()2101F a F e e ∴>-=>-()0F a ∴<即无解；()min 2ln 10h a a a =+-+<综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为：或.0x ()()00f x g x <a 2a <-21e a +>所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为.0x ()()00f x g x <a 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.7．（1）（2） 1e-21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）当时，得出函数的解析式，求导数，令，解出的值，利用导0a =()'0f x =x 数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；（2）求出，由于函数在是增函数，转化为对任意恒成立，()'f x ()f x ()0,+∞()'0f x ≥()0,x ∈+∞分类参数，利用导数的最小值，即可求实数的取值范围． ()ln g x x x x =+a 试题解析：（1）定义域为．()0,+∞当时，，． 0a =()ln f x x x =()'ln 1f x x =+令，得． ()'0f x =1x e=当时，，为减函数；10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()'0f x <()f x 当时，，为增函数．1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()'0f x >()f x 所以函数的极小值是． ()f x 11f e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由已知得． ()'ln x af x x x-=+因为函数在是增函数，所以对任意恒成立， ()f x ()0,+∞()'0f x ≥()0,x ∈+∞由得，即对任意的恒成立． ()'0f x ≥ln 0x ax x-+≥ln x x x a +≥()0,x ∈+∞设，要使“对任意恒成立”，只要. ()ln g x x x x =+ln x x x a +≥()0,x ∈+∞()min a g x ≤因为，令，得． ()'ln 2g x x =+()'0g x =21x e=当时，，为减函数； 210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()'0g x <()g x 1所以的最小值是． ()g x 2211g e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭故函数在是增函数时，实数的取值范围是． ()f x ()0,+∞a 21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学的重点和难点，应熟练掌握，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数在是增函数，所以对任意恒()f x ()0,+∞()'0f x ≥()0,x ∈+∞成立是解答的关键．8．（1）见解析；（2）.231e m e +>【解析】试题分析：（1）求出，分三种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数()'f x ()'0f x >x ()f x 增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知， ()'0f x <x ()f x 所以，，()()()2max 24f x f a e -=-=+()()()443+160f a e a f --=>-=恒成立，即恒成立，即恒成()()2124a f x f x e me --<+()222144a a e e e me ---++<+()21a a m e e->+立，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值，即可得结果. ()21aa e e -+试题解析：（1）()()()2xf x x x a e '=+-①若，则在，上单调递增，在上单调递减； 2a <-()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -②，则在上单调递增；2a =-(),-∞+∞③若，则在，上单调递增，在上单调递减； 2a >-()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -（2）由1知，当时，在上单调递增，在单调递减， ()0,2a ∈()f x ()4,2--()2,0-所以，，()()()2max 24f x f a e -=-=+()()()443+160f a ea f --=>-=故，()()()()12max20f x f x f f -=--=()()222414a e a a e e ---++=++恒成立，()()2124a f x f x e me --<+即恒成立()222144a a e e e me ---++<+即恒成立， ()21aa m e e ->+令，()(),0,2x xg x x e=∈..所以 231e m e +>。

高二数学导数大题练习题(含答案)

高二数学导数大题练习题(含答案)一、解答题1．已知函数()()()211e 2x f x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围. 2．已知函数()ln f x x =．(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()12h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()()2e 2e 1e 2e x xf x x =-++．(1)若函数()()g x f x a =-有三个零点，求a 的取值范围． (2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，证明：120x x +>．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<．（注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．已知函数()()()1111ln k knk x f x x k-=-⋅-=-∑．(1)分别求n=1和n=2的函数()f x 的单调性； (2)求函数()f x 的零点个数． 6．已知()21e 2x f x k x =-．(1)若函数()f x 有两个极值点，求实数k 的取值范围；(2)证明：当n *∈N 时，()222221123123e 4e 1en n n -+++⋅⋅⋅+<+． 7．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．8．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.9．已知函数()ln (1af x x a x =+-为常数)，且函数()f x 的图象在2x =处的切线斜率小于1.2-(1)求实数a 的取值范围;(2)试判断(1)ln e a -与(e 1)ln a -的大小，并说明理由. 10．已知函数2()ln f x a x x =+.(1)若1a =，求()f x 在点(1(1))f ，处的切线方程；(2)若对于任意2x ≥，()f x x '≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)0a < 【解析】【分析】（1）求出导函数()(e )x f x x a '=-，对a 分0a ≤、01a <<、1a =、1a >四种情况讨论即可求解；（2）由（1）问结论，对a 分0a <、0a =、1a =、01a <<、1a >讨论即可得答案. (1)解：()e (1)e (e )x x x f x x ax x a '=+--=-，若0a ≤，则当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；若0a >，由()0f x '=得0x =或1x na =，①若1a =，则()()e 10xx f x '-=≥，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增；②若01a <<，则ln 0a <，当(,ln )(0,)x a ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；当(ln ,0)x a ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(,ln )a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减；③若1a >，则ln 0a >，当(,0)(ln ,)x a ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞和(ln ,)a +∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减；当1a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(,0)-∞和(ln ,)a +∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减； (2)解：当0a <时，由（1）知，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()()1010,102f f a =-<=->，取b 满足3b <-且ln(b a <-)，则()()()2211122022f b a b ab a b b >---=+->，所以()f x 有两个零点；当0a =时，令()(1)e 0x f x x =-=，解得0x =，所以()f x 只有一个零点；当1a =时，令()()01x f x e x -==，解得0x =，所以()f x 只有一个零点；当01a <<时，由（1）知，()f x 在(,ln )a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减，又()01f =-，当ln b a =时，()f x 有极大值()()()2211122022f b a b ab a b b =--=--+<，所以()f x 不存在两个零点；当1a >时，由（1）知，()f x 在(,0)-∞和(ln ,)a +∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减，当0x =时，()f x 有极大值()010f =-<，所以()f x 不存在两个零点；综上，a 的取值范围为0a <. 【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是，当0a <时，取b 满足3b <-且ln(b a <-)，从而可得()()()2211122022f b a b ab a b b >---=+->.2．(1)单调递增 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；（2）直接由1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点得到1212122ln x x x x x x -=，分别解出1211212ln x x x xx -=，2121212ln x x x x x -=，再换元令12x t x =构造函数()12ln l t t t t=--，求导确定单调性即可求解. (1)由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)根据题意，()()1ln 02h x x b x x =+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=．两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x xx x x -=，2121212ln xx x x x -=．令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=．记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=．又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<．因为ln 0t <，可得112ln t t t->，∴121x x +>．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=作差，化简得到1212122ln x x x x xx -=，分别得到12,x x 后，换元令12x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 3．(1)2(e ,2e 1)--- (2)证明见详解【解析】【分析】（1）令e x t =换元得函数2()2(e 1)2eln ,0h t t t t t =-++>，然后通过导数求极值，根据y a =与函数图象有三个交点可得；（2）构造函数1()()()m t h t h t=-，通过导数研究在区间(1,e)上的单调性，然后由单调性结合已知可证. (1)令e x t =，则ln x t =，记2()2(e 1)2eln ,0h t t t t t =-++> 令2e 2(1)(e)()22(e 1)0t t h t t t t--'=-++==，得121,e t t == 当01t <<时，()0h t '>，1e t <<时，()0h t '<，t e >时，()0h t '>所以当1t =时，()h t 取得极大值(1)2e 1h =--，e t =时，()h t 取得极大值2(e)e h =-，因为函数()()g x f x a =-有三个零点⇔()y h t =与y a =有三个交点，所以2e 2e 1a -<<--，即 a 的取值范围为2(e ,2e 1)---. (2)记221111()()()2(e 1)2eln 2(e 1)2eln m t h t h t t t t t t t=-=-++-++- 2212(e 1)2(e 1)4eln t t t t t+=-++-+ 4323234e 22(e 1)22(e 1)4e 2(e 1)2()22(e 1)t t t t m t t t t t t +-++-++'=-+++-=记432()22(e 1)4e 2(e 1)2n t t t t t =-++-++ 则32()86(e 1)8e 2(e 1)n t t t t '=-++-+ 记32()86(e 1)8e 2(e 1)s t t t t =-++-+ 则2()2412(e 1)8e s t t t '=-++易知()s t '在区间(1,e)上单调递增，所以()(1)124e 0s t s ''>=-> 所以()s t 在区间(1,e)上单调递增，所以()(1)0s t s >= 所以()n t 在区间(1,e)上单调递增，所以()(1)0n t n >=所以()m t 在区间(1,e)上单调递增因为()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，记312123e ,e ,e x x xt t t ===所以()()()()123123h t h t h t t t t ==<< 由（1）可知，12301e t t t <<<<<所以2221()()()(1)0m t h t h m t =->=，即221()()h t h t > 又()()12h t h t =，所以121()()h t h t > 因为21e t <<，所以2101t << 由（1）知()h t 在区间(0,1)上单调递增，所以121t t >，即1212e1x xt t +=> 所以120x x +> 【点睛】本题第二问属于极值点偏移问题，关键点在于构造一元差函数，通常构造成00()()()F x f x x f x x =+--或0()()(2)F x f x f x x =--，本题由于采取了换元法转化问题，因此构造函数为1()()()m t h t h t=-. 4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式.(1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x 的方程a =-的两正根，设())0g x x =>，则()g x '=，令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<-所以a 的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-，因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011xxx x+<<<-，设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+，所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011xxx x+<<<-成立，因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<，所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201t a tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<；因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<；所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα-> 所以21x x-> 综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011xx x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ixax f x ix +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222mx ax a x =-++++21x x ->5．(1)当1n =时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；当2n =时，()f x 在()0,∞+上单调递增； (2)1个. 【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间得解；（2）求出()()1nx f x x-'=，再对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解.(1)解：由已知，得()()()()()()2311111ln 123n nx x x f x x x n-⎡⎤----=---+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ①当1n =时，()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-．由()110f x x '=->，得01x <<；由()110'=-<f x x，得1x >．因此，当1n =时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．②当2n =时，()()()21ln 12x f x x x ⎡⎤-=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()()()21111x f x x x x -'=-+-=．因为()0f x '≥在()0,∞+恒成立，且只有当1x =时，()0f x '=，所以()f x 在()0,∞+上单调递增． (2)解：由()()()()()()2311111ln 123n nx x x f x x x n-⎡⎤----=---+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得()()()()()()()()211111111111111nnn n x x f x x x x x x x x-----⎡⎤'=---+-++--=-=⎣⎦--．当n 为偶数时，()0f x '≥在()0,∞+恒成立，且只有当1x =时，()0f x '=，所以()f x 在()0,∞+上单调递增．因为()10f =，所以()f x 有唯一零点1x =．当n 为奇数时，由()()10nx f x x-'=>，得01x <<；由()()10nx f x x-'=<，得1x >．因此，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．因为()10f =，所以()f x 有唯一零点1x =．综上，函数()f x 有唯一零点1x =，即函数()f x 的零点个数为1． 6．(1)1(0,)e(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求解导函数，再构造新函数，求导，判断单调性，求解极值，分类讨论1e k ≥与10e <<k 两种情况；（2）由（1）知，1e ex x ≤，可证2121(1)e (1)n n n n -++≤，由21111(1)(1)1n n n n n <=-+++，可得2111(1)e 1n n n n n -≤-++，从而利用裂项相消法求和可证明()222221123123e 4e 1en nn -+++⋅⋅⋅+<+. (1)由21()e 2x f x k x =-，得()e e ()e x x xxf x k x k '=-=-．设()e x xg x =，则1()ex x g x -'=，当1x <时，()0g x '>，()g x 是增函数；当1x >时，()0g x '<，()g x 是减函数．又(1)0g '=，∴max 1()()(1)eg x g x g ===极大．设1e λ≥，当1ln x λ<-时，11111ln ln ()ln e x x g x e λλλλλ--=<=-<-．由于(0)0g =，所以()g x 在区间(,0)-∞上的值域是(,0)-∞．又0x >时，()0>g x ，所以当0k ≤时，直线y k =与曲线()y g x =有且只有一个交点，即()'f x 只有一个零点，不合题意，舍．当1ek ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上是增函数，不合题意，舍．当10e<<k 时，若1x ≤，由（1）可知，直线y k =与曲线()y g x =有一个交点．下面证明若1x >，直线y k =与曲线()y g x =有一个交点．由于()g x 是区间(1,)+∞上的减函数，所以需要证明()g x 在区间(1,)+∞上的值域为1(0,)e ，即对21(0,)eλ∀∈，都存在01x >，使得020()g x λ<<．构造函数2()e x h x x =-，则()e 2x h x x '=-，∴当ln 2x >时，()'()20xh x e =->'，()h x '在区间(ln2,)+∞上是增函数，∴当1x >时，()(1)e 20h x h ''>=->，即()h x 是区间[1,)+∞的增函数，∴1x >时，()(1)e 10h x h >=->，此时2e x x >．设210e λ<<，当21x λ>时，0()e x x g x <=<221x x xλ=<，∴当10e<<k 时，直线y k =与曲线()y g x =有两个交点，即()'f x 有两个零点．设这两零点分别为1x ，212()x x x <，则1201x x <<<，不等式()0f x '>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞，不等式()0f x '<的解集为12(,)x x ．所以1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点．综上所述，实数k 的取值范围是1(0,)e．(2)证明：由（1）知，1e e x x ≤，∴对*n N ∀∈，2121(1)e (1)n n n n -++≤． ∵211(1)(1)n n n <=++111n n -+， ∴2111(1)1n n n e n n -<-++， ∴22222112311111111(1)()()()123e 4e (1)e 2233411n n n n n n -++++<-+-+-++-=-+++，所以，222221123123e 4e (1)e n n n -++++<+．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．7．(1)答案见解析；(2)12a =.【解析】【分析】（1）由题可得()11ax f x a x x +'=+=，讨论0a ≥，0a <即得；（2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1) ()11ax f x a x x +'=+=，0x >，当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x x g x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，()()2242e e e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，00000e ln 10g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x x x x +=-，()000001111e ln x x x x x +=+， ∴()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e x x =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由001e x x =知，0020x ax -+=，故12a =．8．最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况.【详解】由()31443f x x x =-+，得()24f x x '=- 令()0f x '=.得2x =± 1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x =-舍去，列表如下：()f x ∴的极小值为()23f =- 又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()31f =，所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 9．(1)(1,)+∞(2)答案见解析【解析】【分析】（1）求导后根据题意解不等式（2）化为相同形式，构造函数根据单调性判断(1)由22(2)1()(1)x a x f x x x '-++=-，且函数()f x 在2x =处的切线斜率小于12-，知2222(2)11(2)2(21)2a f -++'=<--，解得 1.a > 故a 的取值范围为(1,)+∞(2)由(1)可知(1)ln e a -与(e 1)ln a -均为正数.要比较(1)ln e a -与(e 1)ln a -的大小，可转化为比较ln e e 1-与ln 1a a -的大小.构造函数ln ()(1)1x x x x ϕ=>-，则211ln ()(1)x x x x ϕ--'=-，再设1()1ln m x x x =--，则21()x m x x -'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减，此时()()10m x m <=，故()0x ϕ'<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1x x x ϕ=-在(1,)+∞上单调递减. 综上可得，当(1,e)a ∈时，(1)lne (e 1)ln a a -<-当e a =时，(1)lne (e 1)ln a a -=-当(e,)a ∈+∞时，(1)lne (e 1)ln a a ->-10．(1)320x y --=；(2)[)4,∞-+.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义结合直线点斜式方程求解作答.（2）根据给定条件，分离参数，借助二次函数的最大值推理作答.(1)当1a =时，2()ln f x x x =+，求导得：1()2f x x x '=+，则(1)3f '=，而(1)1f =，有13(1)y x -=-，即320x y --=，所以所求切线方程为320x y --=.(2)当2x ≥时，()f x x '≥恒成立，即当2x ≥时，2a x x x+≥恒成立，有2≥-a x 在[2,)x ∈+∞上恒成立，而函数2y x =-在[2,)+∞上单调递减，当2x =时，max 4y =-，于是得4a ≥-，所以实数a 的取值范围为[)4,∞-+.。

导数的运算专项练习(含答案)

导数的运算一、单选题（共33题；共66分）1.f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A. 0B. 3C. 4D. －2.函数的导数为（）A. B. C. D.3.设函数，若，则等于（）A. B. C. D.4.设则等于( )A. B. C. D.5.已知函数的导函数,且满足，则＝( )A. B. C. 1 D.6.已知函数的导函数为，且，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.下列求导运算的正确是（）A. 为常数B.C.D.8.已知函数的值为（）A. B. C. D.9.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sinx-cosx，则f'（）=（）A. B. C. D.11.若函数f（x）=2+xcos2x，则f'（x）=（）A. cos 2x-xsin 2xB. x-sin 2xC. 1-2sin 2xD. cos2x-2sin2x12.函数的导数为（）A. ＝2B. ＝C. ＝2D. ＝13.设函数的导函数为，且，则＝( )A. 0B. －4C. －2D. 214.设，若，则（）A. B. C. D.15.已知函数，则其导数（）A. B. C. D.16.若函数，则的值为（）A. 0B. 2C. 1D. －117.已知函数，且，则的值为（）A. B. C. D.18.已知函数，为的导函数，则的值为（）A. B. C. D.19.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B. C. D.21.若，则函数的导函数（）A. B. C. D.22.函数的导数为（）A. B. C. D.23.下列导数式子正确的是（）A. B. C. D.24.已知，则等于（）A. -2B. 0C. 2D. 425.已知函数，则（）A. B. C. D.26.已知，则（）A. B. C. D.27.设，，则x0＝( )A. e2B. eC.D. ln 228.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D.29.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为（）A. (0，＋∞)B. (－1，0)∪(2，＋∞)C. (－1，0)D. (2，＋∞)30.下列求导运算正确的是( )A. B. C. D.31.已知，则 ( )A. B. C. D. 以上都不正确32.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )A. e2B. eC.D. ln 233.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（共11题；共11分）34.已知函数的导函数为，若，则的值为________.35.若函数,则的值为________．36.已知，则________．37.若函数，则________．38.已知函数，则________．39.已知函数，是的导函数，则________．40.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．41.已知在上可导，，则________．42.已知函数的导函数为，且，则________．43.已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=________．44.已知函数f（x）＝2e x﹣x的导数为，则的值是________．三、解答题（共6题；共60分）45.求下列函数的导函数.①②③④⑤⑥46.求下列函数的导函数①②③④⑤⑥47.求下列函数的导数：（1）；（2）.48.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）．49.求下列函数的导数．（1）；（2）.50.求下列函数的导数．（1）y＝3x2＋xcos x；（2）y＝lgx－；答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：因为，则，所以，故答案为：B.【分析】先由函数，求得导函数，再求即可得解.2.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】因为,则函数的导函数,故答案为：D.【分析】先根据完全平方公式对展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.3.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】，，，解得，故答案为：D,【分析】对函数求导，再由可求出实数的值.4.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】由，得.故答案为：D.【分析】由已知利用导数的运算性质进行计算，即可得结果.5.【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得。

高考数学专题：导数大题专练含答案

高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数()ln f x x =．(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()12h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<．（注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．6．已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.7．已知函数()323f x x ax x =-+.(1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；(2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围.8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．10．已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224e f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)单调递增 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；（2）直接由1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+-的两个零点得到1212122ln x xx x x x -=，分别解出1211212ln x xx x x -=，2121212ln xx x x x -=，再换元令12x t x =构造函数()12ln l t t t t=--，求导确定单调性即可求解. (1)由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)根据题意，()()1ln 02h x x b x x =+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=．两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=．令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=．记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=．又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<．因为ln 0t <，可得112ln t t t->，∴121x x +>．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=作差，化简得到1212122ln x x x x xx -=，分别得到12,x x 后，换元令12x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==，所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=，所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥，因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044，所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞.4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x x x x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根，设())0g x x =>，则()g x '=，令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-，因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-，设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+，所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立，因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<，所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<；因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<；所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a-<<<-，所以βα-> 所以21x x->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011x xx x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax ax =-++++21x x ->5．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 6．(1)()3232f x x x =+-(2)()2,2- 【解析】【分析】（1）由已知可得()()2013f f ⎧-=⎪⎨-=-''⎪⎩，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）分析可知，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数λ的取值范围.(1)解：因为()322f x x ax bx =++-，则()232f x x ax b '=++，由题意可得()()212401323f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-''⎪⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，所以，()3232f x x x =+-.当3a =，0b =时，()236f x x x '=+，经检验可知，函数()f x 在2x =-处取得极值. 因此，()3232f x x x =+-.(2)解：问题等价于()f x λ=有三个不等的实数根，求λ的范围.由()2360f x x x '=+>，得2x <-或0x >，由()2360f x x x '=+<，得20x -<<，所以()f x 在(),2-∞-、()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减，则函数()f x 的极大值为()22f -=，极小值为()02f =-，如下图所示：由图可知，当22λ-<<时，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，因此，实数λ的取值范围是()2,2-. 7．(1)最大值为15，最小值为9- (2)3a ≤ 【解析】【分析】（1）由()30f '=可求得实数a 的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；（2）分析可知()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数a 的取值范围. (1)解：因为()323f x x ax x =-+，则()2323f x x ax =-+'，则()33060f a '=-=，解得5a =，所以，()3253f x x x x =-+，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，列表如下：所以，min 39f x f ==-，因为11f =-，515f =，则max 515f x f ==. (2)解：由题意可得()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，即312a x x⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得313322x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故3a ≤.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310，则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故要准备的礼品大致为73a b +元. 9．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值. (1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+，又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直，所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞，令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值．【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围. (1)()()()()221422(0)e e xxmx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-< 当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦(2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立所以()f x 在[]1,2上为增函数，即()()max min242()2,()1e em mf x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立()224e 24e e m -+∴≥ 即24em ≤-，又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦ 故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。

导数大题经典练习及答案

导数大题专题训练1 .已知f(x) = xlnx—ax, g(x)= —x2—2,(I )对一切x€ (0,+ a), f(x) > g恒成立，求实数a的取值范围；(n )当a=—1时，求函数f(x)在［m,m+ 3］(m > 0)上的最值；(川)证明：对一切x€ (0, +^),都有1 2 lnx + 1 >=—eex成立.2 _2、已知函数f(x) al nx 2( a 0). (I)若曲线y=f (x)在点P (1, f (1))处的切线与直线x函数y=f (x)的单调区间；(n)若对于x (0,)都有f (x)> 2(a—1)成立，试求a的取值范围; y=x+2垂直，求(出)记g (x)=f(x)+x—b (b € R) •当a=1时，函数g (x)在区间［e—1, e］上有两个零点，求实数b的取值范围3 .设函数f (x)=In x+(x—a)2, a€ R. (I)若a=0,求函数f (x)在［1 , e］上的最小值;1(n)若函数f (x)在［-2］上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；2 '(川)求函数f (x)的极值点.1 24、已知函数f(x) ax (2a 1)x 2ln x (a R).2(i )若曲线y f (x)在x 1和x 3处的切线互相平行，求a的值；(n )求f (x)的单调区间;2g(x) x 2x，若对任意X! (0, 2］，均存在X2 (0,2］，使得f(xj g(X2)，求a的取值范围25、已知函数f x aln x 2(a 0)x(I )若曲线y = f(x)在点P(1, f(1))处的切线与直线y= x+ 2垂直，求函数y= f(x)的单调区间;(n )若对于任意x 0, 都有f x 2(a 1)成立，试求a的取值范围;1(川)记g(x)= f(x) + x- b(b€ R).当a= 1时，函数g(x)在区间e ,e上有两个零点，求实数b的取值范围x1 In x6、已知函数f(x)(1)若函数在区间(a, a )(其中a 0)上存在极值，求实数a的取值范围;⑵如果当x 1时，不等式f(x) 恒成立，求实数k的取值范围.x221.解：(I )对一切 x (0, ), f (x) g(x)恒成立，即 xlnxax x 2恒成立.也就是a ln x xx (0,)恒成立；令F(x)lnx x 2 x，则 F (x)11x 22 x x 2 (x 2)( x 1)~ 2 2 ,x x x在(0,1)上 F (x) 0,在(1, )上 F (x) 0,因此, F(x)在 x 1处取极小值，也是最小值,即 F min (x) F(1) 3，所以 a 3. (n )当 a 1 时，f (x) xln x x , f (x) In x 2 , 由 f (x) ①当0 m —时，在x [m ，2)上f (x) e e (A ，m e3]上 f (x) 1 因此，f (x)在x 2处取得极小值，也是最小值 e f min (x)由于 f (m) 0, f (m 3) (m 3)[l n(m 3) 1] 0因此,max (x)f (m 3) (m 3)[l n(m 3)1]②当m 时，f'(x) e 0 ,因此 f (x)在[m,m 3］上单调递增，所以f min (x) f (m)m(l n m 1)，f max (x) f(m 3) (m 3)[ln( m3) 1] (9)分 (川)证明：问题等价于证明 xln x xx 2-(x (0,)) e e 由(n )知 a 1 时，f (x) xlnx x 的最小值是设 G(x) 2 2(x (0, e1 x ))，则 G (x) r e 但-2 e2、解: 1 .—，当且仅当x —时取得, e-，易知 G max (X) G (1) 1 —,当且仅当 e x 1时取到, ,从而可知对一切x (0,)，都有ln x 1 e2 、成立• ex (I)直线y=x+2的斜率为1•函数f (x)的定义域为(0,+ m) ，因为 f'(x ) -，所以 x x 2亠 2 •由 f '(x) x 0, 2)2 a121 1，所以 a=1 所以 f(x) - lnx 2. f'(x) x 解得0v xv 2.所以f (x)的单调增区间是(2, +s)，单调减区间是( f'(1) 0 解得 x > 0 ；由 f'(x) 0 (n) f '(x)(2a)上单调递增，在区间 ax 2 2 2，由f '(x) 0解得x —;由f '(x) 0解得0 x a2 2(0,—)上单调递减.所以当x —时，函数 a a x —.所以f (x)在区间a(0,)都有 f (x) 2(a 1)成立,所以f(2) 2(a 1)即可.a则 2aln? 2 2(a 1).由 aln- a 解得 02a af (x)取得最小值,ymin(■2).因为对aa ?.所以a 的取值范围是(0,二). e e2x2 x 2x 2 b ，则 g '(x)2 .由 g '(x) 0 解得 x > 1；由 g '(x) 0解得 0V xxg(e 1) 0两个零点，所以g(e) 0 .解得1 beg(1) 0e 1.所以b 的取值范围是(1, e 1］. e1因为f'(x) — 2x 0,所以f (x)在［1 , e ］上是增函数,x当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1.所以f (x)在［1, e ］上的最小值为1.22x 2 2ax 112(x a)设g (x)=2x 2 — 2ax+1,依题意，在区间［㊁，2］上存在子区间V 1•所以函数g(x)在区间(0,1)为减函数, 在区间(1, +8)为增函数.又因为函数g(x)在区间［e 一1, e ］上有(川)依题得g(x) ln x x3•解：(I) f (x)的定义域为(0, +8)1 (n)解法一：f '(x)— x使得不等式g (x)> 0成立. > 0，即 8—4a+1> 0,得 a 所以实数a 的取值范围是(1注意到抛物线g (x)=2x 2— 2ax+1开口向上，所以只要g ⑵>0,或g(-)0即可由g ⑵1 13 9，由 g (―) 0,即 a 10 ,得 a ，所以 a —,2 2 2 44)1解法二：f'(x)— 2(x xa) 2x 22ax 11，依题意得，在区间［护上存在子区间使不等式2x 2— 2ax+1 > 0成立•又因为x >0,所以2a1(2x -).x设 g(x) 112x 一，所以2a 小于函数g (x)在区间［―,2］的最大值.又因为g'(x)x 2 由 g'(x) 2 A 0解得x 上2 ；由g '(x) 2 x 2 2 A 0解得0x所以函数 J 2g (x)在区间(二,2)上递增，在区间2所以函数 1g (x)在 x -, 2或x=2处取得最大值.又 g(2) 2 , g(H2 23，所以 2a所以实数 a 的取值范围是9(,4)(川)因为f '(x) 2x 22 ax 1，令 h (x)=2x 2— 2ax+1①显然，当a < 0时, (0, +8)上 h (x)>0恒成立，f '(x)>0,此时函数f (x)没有极值点;②当a > 0时,2时，在(0, +8)上h (x)>0恒成立，这时f '(X)A0，此时，函数f (x)没有极值点;(ii)当4> 0时，即2时，易知，当aa一2xa a—2时，h (x)v 0，这时f '(x)v 0;2,xx当0 xa ,a 222 或xa 、a 222时，h (x)> 0,这时f '(x)> 0；所以，当.2时, a 、a 22a V O 2~2ax2是函数f (x)的极大值点； x是函数f (x)的极小值点综上，当 a、2时, 函数f (x)没有极值点；2时, a，a 22，亠a ,a 2 2当 ax 一是函数 f (x)的极大值点；x是函数f (x)的极小值点.2 222 4•解：f (x) ax (2a 1) (x 0). (i )f(1) f (3)，解得 a .x3(ax 1)(x 2) /(n ) f (x) (x 0).x①当a 0时，x 0 , ax 10,在区间(0,2)上，f (x) 0；在区间(2,)上f (x) 0 ,故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,).1 11 ②当0 a 时， 2，在区间(0,2)和(一2 aa12，在区间(0,—)和(2,)上，f (x) 0 ；在区间a1 1 故f (x)的单调递增区间是(0,—)和(2,)，单调递减区间是(一，2).aa(川)由已知，在(0,2］上有f (x)maxg(X)max ・由已知，g(x)max 0,由(n )可知，1①当 a 时，f(x)在(0,2］上单调递增，故 f(x)maxf (2) 2a 2(2a 1) 2l n2 2a 2 2l n2 ,1所以， 2a 2 2ln2 0,解得 a In 2 1，故 In 2 1 a .2)上，f (x) 0 ；在区间 1(2,-)上 f (x)a故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(-a)，单调递减区间是(2,丄).a③当a 1时,f (x)(x 2)22x，故f (x)的单调递增区间是(0,).④当a 丄时,21(-,2)上 f (x) a②当a 1时2时,(x)在(0,1］上单调递增，在［丄，2］上单调递减，故f(x)max f(J)a a a2 2a 2Ina.2,xx综上所述，a In 2 1.(I)直线y = x + 2的斜率为1,函数f(x)的定义域为 0, 因为f '(x)2 '所以 a = 1，所以 f x In x 2, f xxg(e 1) 0g(e) 0 g(1)•- f(x)在(0,1)上单调递增；在(1,)上单调递减,1 f (x)在区间(a,a -)(其中a 0)上存在极值,0解得 x > 2由f x 0解得0v xv 2所以f(x)得单调增区间是,单调减区间是0,22(x) —x 2 所以f(x)在区间(2, a x -时，a (n)f 所以当因为对于任意x ax 2 '2 ，由 f x x20解得x ;由fax 0解得0)上单调递增，在区间函数f(x)取得最小值y min2 (0,—)上单调递减'af (-) a 0, 都有f x 2(a 1)成立，所以f (2) a 2(a 1)即可 2(a21)，由aIn — a 解得0a所以 a 得取值范围是 (0,-)e(川)依题意得g(x)In xb ，则 g (x)2x—xx 0解得 x > 1,0解得 0 v xv 1所以函数g(x)在区间e 1,e 上有两个零点,所以 b 得取值范围是 6、解：(1)因为 f (x) (1,2e e1 In x 1]则 f(x)In x ~—, x当 0 x 1时，f (x)0 ;当x 1时, •••函数(2)不等式f(x)上，即为(x1)(1 Inx)kx 1' 记 g(x) (X 1)(1 Inx) • g(x) [(x 1)(1 In x)]x (x 1)(1 Inx)5、解: x 2 2~ x所以解得1•••函数f (x)在x 1处取得极大值.1令h(x) x In x，则h'(x) 1 - 1 , • h'(x) 0, • h(x)在[1,)上递增,2,xx• ••[h(X)]min h(1) 1 0 ,从而 g (X) 0,故 g(X)在[1,)上也单调递增, •••[g(X)]min g(1) 2 ,••• k 2 •2 1,11, 2。

函数与导数大题练习(含解析)

函数与导数大题专练1．已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋1＋ln x (a ∈R )．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若a ＝5，求f (x )的单调区间；(3)若3<a ≤4，证明：f (x )在x ∈[1，e]上有唯一零点．解析：(1)若a ＝0，则f (x )＝2x 2＋1＋ln x ，f ′(x )＝4x ＋1x ，故f ′(1)＝5，即曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为5，又f (1)＝3，所以所求切线方程为y －3＝5(x －1)，即5x －y －2＝0.(2)当a ＝5时，f (x )＝2x 2－5x ＋1＋ln x ，其定义域为(0，＋∞)，f (x )＝4x －5＋1x ＝(4x －1)(x －1)x，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，14，(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，14和(1，＋∞)上单调递增．当x ∈⎝⎛⎭⎫14，1时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫14，1上单调递减． (3)由f (x )＝2x 2－ax ＋1＋ln x 得f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝4x 2－ax ＋1x. 设h (x )＝4x 2－ax ＋1，Δ＝a 2－16，当3<a ≤4时，Δ≤0，有h (x )≥0，即f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (1)＝3－a <0，f (e)＝2e 2－a e ＋2＝e(2e －a )＋2>0，所以f (x )在x ∈[1，e]上有唯一零点．2．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．解析：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.3．已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0.解析：解法一 (1)f ′(x )＝e x－a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a >0，则当0<x <e a 时，f ′(x )>0；当x >e a 时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，e a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫e a ，＋∞上单调递减． (2)证明：因为x >0，所以只需证f (x )≤e x x －2e ，由(1)知，当a ＝e 时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝－e.设g (x )＝e x x －2e(x >0)，则g ′(x )＝(x －1)e x x 2，所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e.所以当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤e x x－2e ，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0.解法二 (1)同解法一．(2)证明：由题意知，即证e x ln x －e x 2－e x ＋2e x ≤0(x >0)，从而等价于ln x －x ＋2≤e xe x. 设函数g (x )＝ln x －x ＋2，则g ′(x )＝1x－1. 所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1.设函数h (x )＝e xe x ，则h ′(x )＝e x (x －1)e x 2.所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0.故h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1.综上，当x >0时，g (x )≤h (x )，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0.4．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x (x ＋1)2，其中a 为常数． (1)当1<a ≤2时，讨论f (x )的单调性；(2)当x >0时，求g (x )＝x ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1x ln(1＋x )的最大值．解析：(1)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1.①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即a >32时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0,2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1,2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3,0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a ≤2时，f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0,2a －3)上单调递减．(2)∵g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln(1＋x )－x ln x ＝g ⎝⎛⎭⎫1x ， ∴g (x )在(0，＋∞)上的最大值等价于g (x )在(0,1]上的最大值．令h (x )＝g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2ln(1＋x )＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x ·11＋x －(ln x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2ln(1＋x )－ln x ＋1x －21＋x ，则h ′(x )＝2x 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (1＋x )－2x 2＋x (x ＋1)2. 由(1)可知当a ＝2时，f (x )在(0,1]上单调递减，∴f (x )<f (0)＝0，∴h ′(x )<0，从而h (x )在(0,1]上单调递减，∴h (x )≥h (1)＝0，∴g (x )在(0,1]上单调递增，∴g (x )≤g (1)＝2ln2，∴g (x )的最大值为2ln2.5．已知函数f (x )＝x ln x －ax ＋a (a ∈R )．(1)f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－x ＋t ，求a 和t 的值；(2)对任意的x >1，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解析：(1)函数定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－a ，由已知f ′(1)＝－1，则1－a ＝－1，即a ＝2，所以f (1)＝0－2＋2＝0，将(1,0)代入切线方程有t ＝1，所以a ＝2，t ＝1.(2)对任意x ∈(1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，即ln x ＋a x－a ≥0恒成立，令g (x )＝ln x ＋a x －a ，有g ′(x )＝x －a x 2，①当a >1时，g (x )，g ′(x )随x 的变化情况为由表可知g (x )min 又因为在函数h (x )＝ln x ＋1－x 中，h ′(x )＝1－x x ，所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，所以g (x )min ＝g (a )＝h (a )<h (1)＝0，与“对任意x ∈(1，＋∞)，ln x ＋a x －a ≥0恒成立”矛盾，故a >1不合题意；②当a ≤1时，g ′(x )＝x －a x 2≥0，则g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，即对任意x ∈(1，＋∞)，ln x ＋a x－a ≥0恒成立，故a ≤1满足题意，综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，1]．6．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数，a ∈R )．(1)判断函数f (x )极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x ∈R ，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求a 的取值范围．解析：(1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，f (x )在(－∞，ln(2a ))上单调递增，在(ln(2a )，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )在R 上单调递增，此时f (x )没有极值点；当a >12时，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln(2a ))上单调递减，在(ln(2a )，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点，综上所述，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x ，得x e x －x 3－ax 2－x ≥0.当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0，即a ≤e x －x 2－1x对∀x >0恒成立．设g (x )＝e x －x 2－1x (x >0)，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2. 设h (x )＝e x －x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －1.∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2；当x ＝0时，原不等式恒成立，a ∈R ；当x <0时，e x －x 2－ax －1≤0，设m (x )＝e x －x 2－ax －1(x <0)，则m ′(x )＝e x －2x －a .设φ(x)＝e x－2x－a(x<0)，则φ′(x)＝e x－2<0，∴m′(x)在(－∞，0)上单调递减，∴m′(x)>m′(0)＝1－a，若a≤1，则m′(x)>0，∴m(x)在(－∞，0)上单调递增，∴m(x)<m(0)＝0；若a>1，∵m′(0)＝1－a<0，∴∃x0<0，使得x∈(x0,0)时，m′(x)<0，即m(x)在(x0,0)上单调递减，∴m(x)>m(0)＝0，不符合题意，舍去．∴a≤1.综上，a的取值范围是(－∞，e－2]．。

导数复习导数大题练习(含详解答案)

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间；〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ．〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式；〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕；〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

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导数大题练习1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex ex21-成立． 2、已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.3．设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x )的极值点.4、已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.5、已知函数())0(2ln 2>-+=a x a xx f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围；(Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点，求实数b 的取值范围．6、已知函数1ln ()xf x x+=． (1)若函数在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立.………1分令xx x x F 2ln )(++= ，则F '2222)1)(2(2211)(xx x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分在)10(，上F '0)(<x ，在)1(∞+，上F '0)(>x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……4分(Ⅱ)当时，1-=a x x x x f +=ln )(， f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21ex =. ………6分 ①当210em <<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在]3,1(2+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min1)(e x f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f 因此，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f………8分②当时21e m ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增，所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x ee x x x x x ,………10分由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x xf +=ln )(的最小值是21e-，当且仅当21e x =时取得，……11分设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G'xe xx -=1)(，易知 eG x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， ………12分但，e e 112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞，都有ex ex x211ln ->+成立. ………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()af x x x=-+，所以22'(1)111af =-+=-，所以a =1.所以2()l n 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x )的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.…… 4分（Ⅱ）2222'()a ax f x x x x -=-+=，由'()0f x >解得2x a>；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a=时，函数f (x )取得最小值，min 2()y f a=. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a >-即可. 则22ln 22(1)2a a a a+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e. ……………… 8分（Ⅲ）依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()g x 在区间[e －1，e]上有两个零点，所以1()0()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩.解得21e 1e b <≤+-.所以b 的取值范围是2(1,e 1]e+-. (13)分3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）.……………… 1分因为1'()20f x x x=+>，所以f (x )在[1，e]上是增函数，当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.……………… 3分（Ⅱ）解法一：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=设g (x )=2x 2―2ax +1，……………… 4分依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式g (x )＞0成立.…… 5分注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1()02g >即可……………… 6分由g (2)＞0，即8―4a +1＞0，得94a <，由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，所以94a <，所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分解法二：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=，……………… 4分依题意得，在区间1[,2]2上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1＞0成立. 又因为x ＞0，所以12(2)a x x<+. ……………… 5分设1()2g x x x =+，所以2a 小于函数g (x )在区间1[,2]2的最大值. 又因为1'()2g x x=-，由21'()20g x x=->解得2x >；由21'()20g x x =-<解得0x <<所以函数g (x )在区间2)2上递增，在区间1(,22上递减. 所以函数g (x )在12x =，或x =2处取得最大值.又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，94a < 所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分（Ⅲ）因为2221'()x ax f x x-+=，令h (x )=2x 2―2ax +1①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x )＞0恒成立，f '(x )＞0，此时函数f (x )没有极值点； ……………… 9分 ②当a ＞0时，（i ）当Δ≤0，即0a <≤时，在（0，+∞）上h (x )≥0恒成立，这时f '(x )≥0，此时，函数f (x )没有极值点；……………… 10分（ii ）当Δ＞0时，即a >x <<h (x )＜0，这时f '(x )＜0；当0x <<x >时，h (x )＞0，这时f '(x )＞0；所以，当a >x =是函数f (x )的极大值点；x =是函数f (x )的极小值点.……………… 12分综上，当a ≤f (x )没有极值点；当a >2a x =是函数f (x )的极大值点；2a x =是函数f (x )的极小值点.4．解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ………1分 (Ⅰ)(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………3分(Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………4分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………5分 ②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. ………6分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分 ④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………8分 (Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………9分由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.……10分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-. ………12分5、(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数f (x )的定义域为 ()+∞,0因为x a x x f +-=2'2)(，所以()111212'-=+-=a f ，所以a ＝1 所以()()2'2,2ln 2xx x f x x x f -=-+=由()0'>x f解得x ＞2 ；由()0'<x f 解得0＜x ＜2所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0 ………4分 (Ⅱ)22'22)(xax x a x x f -=+-= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'<x f 解得a x 20<<所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2,0(a 上单调递减所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2(min af y =因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，所以)1(2)2(->a af 即可则)1(222ln 22->-+a a a a，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e……… 8分(Ⅲ)依题意得b x xx g --+=2ln 2)(，则22'2)(x x x x g -+=由()0'>x g 解得x ＞1，由()0'<x g 解得0＜x ＜1所以函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b所以b 得取值范围是]12,1(-+e e……… 12分 6、解：(1)因为1ln ()x f x x +=，0x >，则2ln ()xf x x'=-， …1分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分∵函数()f x 在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，∴1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得112a <<．……….5分(2)不等式()1k f x x ≥+，即为(1)(1ln )x x k x ++≥， ………7分记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x xg x x x '++-++-'==，…9分令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增， ∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．………12分。