小学数学 数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版
数的整除判断技巧
数的整除判断技巧数的整除判断是数学中的基础概念之一，它涉及到了整数的性质和运算规则。
在进行整除判断时，我们需要掌握一些技巧和方法，以便能够更快、更准确地判断一个数是否能够整除另一个数。
下面将介绍一些常用的整除判断技巧：1.除法法则整除是除法的一个基本概念，即整数a除以整数b，如果能够得到整数商，则a能够整除b，反之则不能整除。
这是最常用、最直观的整除判断方法。
2.末位法则末位法则是指判断一个数能否整除另一个数的时候，只需要判断两个数的个位数是否能够整除。
例如，要判断120是否能够整除10，可以直接判断0是否能够整除10，显然是能够整除的。
3.因数分解法对于一个给定的数，我们可以使用因数分解的方法将其分解成若干个质数的乘积。
例如，要判断一个数是否能够整除24，我们可以将24分解成2×2×2×3的形式，然后判断这些质数是否能够整除另一个数。
如果能够整除，则原数也能够整除；反之，则不能整除。
4.尾数法则尾数法则是指判断一个数能否整除另一个数的时候，只需要判断两个数的最后几位数是否能够整除。
例如，要判断一个数能否整除210，可以直接判断该数的最后两位数是否能够整除210的最后两位数。
如果能够整除，则原数也能够整除；反之，则不能整除。
5.公因数法如果判断一个数能否整除另一个数，可以先判断两个数的公因数。
如果两个数有相同的公因数，那么被除数能够整除除数；反之，则不能整除。
例如，要判断72能否整除120，可以先求出它们的公因数，如24和12，而72能够整除24，则可以判断72能够整除120。
上述是几种常用的整除判断技巧，应用它们可以快速判断一个数能否整除另一个数。
在实际问题中，我们还可以根据具体的整除性质和条件，灵活运用这些技巧进行整除判断。
同时，我们需要注意到整除的一些特殊情况1.被除数为0的情况：任何非零数除以0都是无意义的，因此0不能被任何数整除。
2.除数为0的情况：任何非零数除以0都是无穷大或无穷小，因此任何数都不能整除0。
数的整除判断技巧
数的整除判断技巧一个数被整除的判断方法：被2整除：个位是0、2、4、6、8的，则这个数能被2整除。
被3（或9）整除：数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
被4（或25）整除：末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。
被5整除：若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
被6整除：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
被7、11、13整除：后3位数减去前面的数，所得的数被7整除，则这个数能被7、11、13整除。
例如：6139是否能被7整除的过程如下：后三位减去前一位139-6=133133÷7=69能除开，所以6139能被7整除。
能被11整除的特征：适用于□奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差（大减小），能被11整除，这个数就能被11整除被8（或125）整除：未三位数能被8或125整除，则这个数能被8或125整除。
被10整除：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
判断互质数的技巧：1、1和其它的自然数。
例：1和99、1和462、两个连续的或相邻的自然数一定是互质数。
例：3和4、9和103、两个连续的奇数或相邻的奇数是互质数。
例：7和9、13和154、两个质数是互质数。
例：5和7、11和17判断最大公因数的技巧：1、如果两个数是互质数关系，那么最大公因数是1。
例：7和112、如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是较小数。
例：7和21判断最小公倍数的技巧：1、如果两个数是互质数关系，那么最小公倍数是它们的乘积。
例：5和72、如果两个数是倍数关系，那么最小公倍数是较大数。
例：7和14。
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用小学奥数是培养学生数学思维能力、观察能力和逻辑推理能力的重要方式之一、在小学奥数中，数的整除是一个重要的概念和技巧。
数的整除是指一个数能够整除另一个数，即一个数可以被另一个数整除，这在小学中学习，通常会讲解四大判断法，即整除的特征判断法、整除的除数判断法、整除的因子判断法和整除的位数判断法。
本文将综合运用这四大判断法，解决一些与数的整除相关的问题。
首先，整除的特征判断法是指整数n能够被整数m整除的充要条件是n的特征之积能够被m的特征之积整除。
这个特征指的是数的各位数字之和。
例如，对于一个数234，它的特征就是2+3+4=9、如果一个数的特征之积能够被另一个数的特征之积整除，那么这个数就能被另一个数整除。
例如，对于一个数36，它的特征之积是3×6=18，而另一个数9的特征之积是9，18能够被9整除，所以36能够被9整除。
其次，整除的除数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n能够被m的约数整除。
这个方法利用了约数的概念。
约数是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数15，它的约数有1、3、5、15，这些数都能够整除15，所以15能够被1、3、5、15整除。
如果一个数能够被另一个数的约数整除，那么这个数就能被另一个数整除。
再次，整除的因子判断法是指整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是m是n的因子。
这个方法利用了因子的概念。
因子是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数21，它的因子有1、3、7、21，这些数都能够整除21，所以21能够被1、3、7、21整除。
如果一个数是另一个数的因子，那么这个数就能被另一个数整除。
最后，整除的位数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n的位数能够被m的位数整除。
这个方法利用了位数的概念。
位数是指一个数的十进制表示中，不含小数点的位数。
例如，对于一个数5678，它的位数是4，而另一个数28的位数是2，4能够被2整除，所以5678能够被28整除。
小学数学 数的整除之四大判断法综合运用(一).教师版
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目标1.了解整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac ；例题精讲模块一、2、5系列【例 1】975935972⨯⨯⨯□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空【解析】积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5．9755539=⨯⨯，9355187=⨯，⨯⨯=．=⨯⨯，共有3个5，2个2，所以方框内至少是2252097222243【答案】22520⨯⨯=【例 2】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【解析】首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有+++=个0．742114【答案】14个连续的0【例 3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．551=⨯，3056=⨯，2555=⨯，……，=⨯，1052=⨯，1553=⨯，2054发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现11213+=个因数5，所以至少应当写到55。
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法数的整除是数学中的一个重要概念，它是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数称为因数，而被整除的数称为倍数。
在小学数学中，学生需要掌握数的整除性质与判断方法，以便能够正确地解决与整除相关的问题。
本文将对小学数学中数的整除性质与判断方法进行归纳，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、整除性质1. 整除定义：如果一个数a能被另一个数b整除，即a÷b的结果是一个整数，那么我们说a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
2. 整除传递性：如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么a能被c整除。
例如，如果2能够整除6，6能够整除12，那么2也能够整除12。
3. 整除对称性：如果a能被b整除，那么b也能被a整除。
例如，如果4能够整除8，那么8也能够整除4。
4. 0的整除性：任何一个非零数与0做除法时都不能整除0，但0除以任何一个非零数都等于0。
5. 1的整除性：任何一个整数都能被1整除。
二、判断整除的方法1. 除法法：判断整数a能否整除整数b，可以直接进行除法运算，即计算a÷b的结果。
如果结果是一个整数，那么a能被b整除；反之，如果结果不是整数，则a不能被b整除。
2. 因数法：如果一个数是另一个数的因数，那么它能整除这个数。
可以通过列举出一个数的所有因数，然后判断这些因数是否能整除给定的数。
3. 整除性质法：利用数的整除性质来判断整除关系。
例如，能被2整除的数必定是偶数，能被3整除的数的各位数字之和能被3整除，能被5整除的数的个位数字只能是0或5等。
三、应用示例下面通过一些具体的示例来说明数的整除性质与判断方法的应用。
1. 判断一个数是否能被2整除：如果一个数的个位数字是0、2、4、6或8，则它能被2整除；反之，如果个位数字是1、3、5、7或9，则不能被2整除。
2. 判断一个数是否能被3整除：将这个数的各位数字相加，如果所得和能被3整除，则这个数也能被3整除；反之，如果所得和不能被3整除，则这个数不能被3整除。
(小学奥数)数的整除之四大判断法综合运用(二)
5-2-2.數的整除之四大判斷法綜合運用（二）教學目標1.瞭解整除的性質；2.運用整除的性質解題；3.整除性質的綜合運用.知識點撥一、常見數字的整除判定方法1. 一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除；2. 一個位數數字和能被3整除，這個數就能被3整除；一個數各位數數字和能被9整除，這個數就能被9整除；3. 如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除，那麼這個數能被11整除.4. 如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那麼這個數能被7、11或13整除.5.如果一個數能被99整除，這個數從後兩位開始兩位一截所得的所有數（如果有偶數位則拆出的數都有兩個數字，如果是奇數位則拆出的數中若干個有兩個數字還有一個是一位數）的和是99的倍數，這個數一定是99的倍數。
【備註】（以上規律僅在十進位數中成立.）二、整除性質性質1 如果數a和數b都能被數c整除，那麼它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那麼c︱(a±b)．性質2 如果數a能被數b整除，b又能被數c整除，那麼a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那麼c∣a．用同樣的方法，我們還可以得出：性質3如果數a能被數b與數c的積整除，那麼a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那麼b∣a，c∣a．性質4如果數a能被數b整除，也能被數c整除，且數b和數c互質，那麼a 一定能被b與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那麼bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那麼(3×4) ∣12．性質5 如果數a能被數b整除，那麼am也能被bm整除．如果b｜a，那麼bm｜am（m為非0整數）；性質6如果數a能被數b整除，且數c能被數d整除，那麼ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那麼bd｜ac；例題精講模組一、11系列【例 1】以多位數142857為例，說明被11整除的另一規律就是看奇數位數字之和與偶數位數字之和的差能否被11整除.【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110000114199992100118199511171()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯()()11000014999921001899511418275=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因為根據整除性質1和鋪墊知，等式右邊第一個括弧內的數能被11整除，再根據整除性質1，要判斷142857能否被11整除，只需判斷()()能否被11整除，因此結論得到說明.418275487125-+-+-=++-++【例 2】試說明一個4位數，原序數與反序數的和一定是11的倍數(如：1236為原序數，那麼它對應的反序數為6321，它們的和7557是11的倍數．【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】設原序數為abcd，則反序數為dcba，則abcd＋dcba100010010100010010()()=+++++++a b c d d c b a=+++10011101101001a b c d=+++()，因為等式的右邊能被11整除，所以abcd+dcba能被11a b c d1191101091整除【例 3】一個4位數，把它的千位數字移到右端構成一個新的4位數.已知這兩個4位數的和是以下5個數的一個：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.這兩個4位數的和到底是多少?【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】設這個4位數是abcd，則新的4位數是bcda.兩個數的和為+=+++,是11的倍數.在所給的5個數中只有9867 abcd bcda a b c d1001110011011是11的倍數，故正確的答案為9867．【答案】9867模組二、7、11、13系列【例 4】 以多位數142857314275為例，說明被7、11、13整除的規律.【考點】整除之7、11、13系列 【難度】3星 【題型】解答【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+ (14210000000018579999993141001)(857142275314)=⨯+⨯+⨯+-+-因為根據整除性質1和鋪墊知，等式右邊第一個括弧內的數能被7、11、13整除，再根據整除性質1，要判斷142857314275能否被7、11、13整除，只需判斷857142275314-+-能否被7、11、13整除，因此結論得到說明.【例 5】 已知道六位數20279□是13的倍數，求□中的數字是幾？【考點】整除之7、11、13系列 【難度】2星 【題型】填空 【解析】 根據一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那麼這個數能被7、11或13整除的特點知道：27920=7-□□，7□是13的倍數，□是8的時候是13倍數，所以知道方格中填1。
数字的整除判断一个数字是否能整除另一个数字
数字的整除判断一个数字是否能整除另一个数字在数学中，整除是指一个数可以被另一个数整除，即能够得到整数的商。
判断一个数字是否能整除另一个数字，我们可以利用取余运算来进行判断。
下面将详细介绍如何判断一个数字能否整除另一个数字。
判断整除的方法：1. 取余运算：当两个数相除时，如果余数为0，那么被除数可以整除除数；如果余数不为0，那么被除数不能整除除数。
举例来说，我们可以判断数字8是否能整除数字4。
即判断8是否能被4整除。
我们可以进行如下计算：8 ÷ 4 = 2，余数为0。
因此，我们可以得出结论，8可以被4整除。
另一个例子是判断数字7是否能整除数字3。
即判断7是否能被3整除。
计算过程如下：7 ÷ 3 = 2，余数为1。
因此，我们可以得出结论，7不能被3整除。
2. 取余运算的应用：当两个数相除时，如果被除数可以整除除数，那么对这两个数进行取余运算的结果必定为0。
例如，判断数字12是否能整除数字6。
即判断12是否能被6整除。
我们可以进行如下计算：12 ÷ 6 = 2，余数为0。
同时，我们也可以进行取余运算：12 % 6 = 0。
由于取余运算的结果为0，我们可以得出结论，12可以被6整除。
综上所述，判断一个数字是否能整除另一个数字，可以通过取余运算来进行判断。
当对两个数进行取余运算的结果为0时，被除数可以整除除数；当取余运算的结果不为0时，被除数不能整除除数。
通过这种方法，我们可以轻松判断一个数字是否能整除另一个数字，从而得到所需的答案。
数字的整除在数学中有着重要的应用和概念，对于理解和解决许多数学问题和实际问题都非常有帮助。
同时，理解整除的概念也有助于培养逻辑思维和数学思维能力。
小学数学中的数的整除性和能整除的规则
小学数学中的数的整除性和能整除的规则在小学数学中，数的整除性和能整除的规则是一个重要的概念。
理解数的整除性和能整除的规则对于学生建立起数学思维，提高解决问题的能力具有重要意义。
本文将从整除性的定义、整除性的判断方法和能整除的规则三个方面来介绍小学数学中与整除性相关的知识。
一、整除性的定义整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
例如，2能够整除4，因为4÷2=2，没有余数；而3不能整除5，因为5÷3=1余2。
在数学中，如果一个数能够被另一个数整除，我们称之为后者是前者的倍数，前者是后者的约数。
二、整除性的判断方法在判断一个数能否被另一个数整除时，有以下几种常用的方法。
1. 直接整除法：将被除数除以除数，若没有余数则能整除。
例如，判断36能否被9整除，可以进行36÷9=4，没有余数，所以36能被9整除。
2. 因数分解法：将被除数和除数进行因数分解，若除数的因数都是被除数的因数，则能整除。
例如，判断180能否被12整除，可以将180和12同时进行因数分解，得到180=2×2×3×3×5，12=2×2×3，由于12的因数都是180的因数，所以180能被12整除。
3. 整除规则：对于特定的除数，有一些整除规则可以帮助我们判断被除数是否能够整除。
例如，能被2整除的数一定是偶数，能被3整除的数各位上的数字和能被3整除，能被5整除的数个位数是0或5等。
三、能整除的规则在小学数学中，有一些常见的能整除的规则。
1. 2的整除规则：能被2整除的数一定是偶数。
偶数的个位数字一定是0、2、4、6或8，因为偶数是由2相加得到的，而2乘以这些数字都能得到偶数。
2. 3的整除规则：能被3整除的数各位上的数字和能被3整除。
例如，36的各位数字和为3+6=9，而9能被3整除，所以36能被3整除。
3. 4的整除规则：能被4整除的数的个位和十位数字组成的两位数能被4整除。
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方法二，设而不求设这个三位数为 aaa 时，根据题意列出式子整理得到：111 a (a a a) 37 。
是我的年龄。”老师今年
岁。
【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 10 题，12 分
【解析】方法一：操作找规律，当这个三位数为 111 时， 111 (1 1 1) 37 ，当这个三位数为 222 时，
222 (2 2 2) 37 ，所以老师今年 37 岁。
或 13 整除. 5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个
数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定 是 99 的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a，
【解析】 8ab8ab8ab8ab8ab 8ab 1001001001001 1001001001001 既不是 7 的倍数，也不是11的倍数
所以 8ab 是 7 和11的倍数 77 10 770 ， 770 77 847 ， 847 77 924
所以 ab 47 【答案】 47
【例 9】 一个 19 位数 77 77 0 444 44 能被 13 整除，求О内的数字．
2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11
1(100001 1) 4 (1 9999) 2 (1001 1) 8 (1 99) 5 (11 1) 7 1 (1100001 4 9999 2 1001 8 99 5 11)(4 1 8 2 7 5) 因为根据整除性质 1 和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被 11 整除，再根据整除性质 1，要判 断142857 能否被 11 整除，只需判断 4 1 8 2 7 5 (4 8 7)(1 2 5)能否被 11 整除，因此结 论得到说明.
1
么 bd｜ac；
例题精讲
模块一、11 系列
【例 1】 以多位数 142857 为例，说明被 11 整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能 否被 11 整除.
【考点】整除之 11 系列 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略 【答案】142857 1100000 4 10000 2 1000 8 100 5 10 7 1
2009个5ab
前面数字的差是 7 和 13 的倍数，由此可知 5ab5ab5ab 5ab 5ab5ab5ab 000 也是 7 和 13 的
2008个5ab
2007 个5ab
倍数，即 5ab5ab5ab 也是 7 和 13 的倍数，依次类推可知 5ab5ab5ab 末三位和前面数字的差
2007个5ab
【例 6】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是 5，a 和 b，将它连续重复写 2008 次成为：5ab5ab5ab .
2009个5ab
如果此数能被 91 整除，那么这个三位数 5ab 是多少？
【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】因为 91 7 13 ，所以 5ab5ab5ab 也是 7 和 13 的倍数，因为能被 7 和 13 整除的特点是末三位和
abcd bcda 1001a 1100b 110c 11d ,是 11 的倍数.在所给的 5 个数中只有 9867 是 11 的倍数，故 正确的答案为 9867． 【答案】9867
模块二、7、11、13 系列
【例 4】 以多位数142857314275 为例，说明被 7、11、13 整除的规律. 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略 【答案】142857314275 142 1000000000 857 1000000 314 10 00 275
142 (1000000001 1) 857 (999999 1) 314 (1001 1) 27 5 142 1000000001 142 857 999999 857 314 1001 314 27 5 (142 1000000001 857 999999 314 1001) (857 142 27 5 314) 因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被 7、11、13 整除，再根据整除性质 1， 要判断142857314275 能否被 7、11、13 整除，只需判断 857 142 275 314 能否被 7、11、13 整除， 因此结论得到说明.
【例 5】 已知道六位数 20□279 是 13 的倍数，求 □ 中的数字是几？ 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、
2
11 或 13 整除的特点知道： 279 20□=7□ ， 7□ 是 13 的倍数，□ 是 8 的时候是 13 倍数，所以知道 方格中填 1。 【答案】1
所以 ab 46 . 【答案】546
【例 7】 已知四十一位数 555□999 （其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数字是多 少？
【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】我们知道 abcabc 这样的六位数一定能被 7、11、13 整除。原 41 位数中从高位数起共有 20 个 5，从 低位数起共有 20 个 9，那么我们可以分别从低位和高位选出 555555，和 999999，从算式的结构上 将 就 是 进 行 加 法 的 分 拆 ， 即 ： 555555×10…00(35 个 0)+555555×10…00(29 个 0)+…+55□99+999999×10…00(12 个 0)+…+999999.这个算式的和就是原来的 41 位数，我们可以发现 每一组含有 555555 或 999999 因数的部分都已经是 7 的倍数，唯独剩余 55□99 待定，那么只要令 55□99 是 7 的倍数即可，即只要□44 是 7 的倍数即可，□应为 6。
2007个5ab
即为： 5ab5ab5ab 5ab 5ab5ab5ab 000 也是 7 和 13 的倍数，即 5ab5ab5ab 也是 7 和
2006个5ab
2005 个5ab
2005个5ab
13 的倍数，由此可知 5ab 也是 7 和 13 的倍数，百位是 5 能被 7 和 13 即 91 整除的数是：91 6 546 ，
9个
ห้องสมุดไป่ตู้
9个
3
【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】∵13| 77 77 0 444 44 ，∴13| 77 77 0444 ，∴13|7777770000000+ 7770444
9个
9个
9
∵13|777777，∴13|7777770000000，∴13| 7770444 ，∴13| 7770 444 ∵ 444 13 432 ，∴13| 7770 2，∴设 7770 =7770 7770 13 5979 ，∴0 13 (9 2) 6
【答案】6
【巩固】应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数 666?555 可被 7 整除？
50个6 50个5
【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】由于111111 1111001 可被 7 整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉 48 个数码，并不改变其对
c︱b，那么 c︱(a±b)．
性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a， c∣b，那么 c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那
【解析】去掉头尾后的两位数必为1001 的约数。1001 的两位数的约数有11，13 ， 77 ， 91 ，所有可能的数为
1111 ，1131 ，1771 ，1911 。
【答案】所有可能的数为1111 ，1131 ，1771 ，1911
模块三、特殊的数字系列
【例 11】学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就
么 b∣a，c∣a． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b
与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a． 例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那
【例 3】 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数.已知这两个 4 位数的和是以下 5 个数 的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个 4 位数的和到底是多少?
【考点】整除之 11 系列 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】设这个 4 位数是 abcd ，则新的 4 位数是 bcda .两个数的和为