第05讲一次方程(组)(教师版)

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05.秋季-八年级-第5讲-一元二次方程-韦达定理(教师版)

第五讲一元二次方程根与系数的关系姓名:_______【知识要点】一、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=−，12x x q ⋅=．二、韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x −++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=−，12cx x a=，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．三、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=−≥0的条件下，我们有如下结论：（1）当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0ba −≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba−<，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a −>，则此方程的两根均为正根；若0ba −<，则此方程的两根均为负根．其他有用结论：（1）若有理系数一元二次方程有一根aa a ，b 为有理数）．（2）若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根．（3）若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根．（4）若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．（5）若0a b c −+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =−．四、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．精讲例题：【例1】已知关于x 的方程220x kx +−=的一个解与方程131x x +=−解相同．（1）求k 的值；（2）求方程220x kx +−=的另一个解．【解析】解131x x +=−得2x =，所以方程220x kx +−=有一根为2，设另一根为2x ，则有22222x k x +=−⎧⎨=−⎩，所以211k x =−⎧⎨=−⎩．【答案】⑴-1 ⑵-1练：若方程240x x c −+=的一个根为2+，则方程的另一个根为，c = ．【答案】2−1c =【例2】已知关于x 的方程260x x c −+=的一个根是另一个根的平方，求c 的值．【解析】设方程的两根分别为t 和2t ，由一元二次方程根与系数的关系，得226t t t t c⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得t 的值为2或3−，进而求得8c =或27c =−．【答案】8c =或27c =−【例3】已知1x ，2x 是方程2310x x −+=的两个实数根，则2212x x += ,12(2)(2)x x −⋅−= ,221122x x x x +⋅+= ,2112x xx x += ,12x x −= ，2212x x −= ,1211x x −= ,2112x x x x −= ．【解析】2222121212()23217x x x x x x +=+−⋅=−⨯=，121212(2)(2)2()412341x x x x x x −⋅−=⋅−++=−⨯+=−, 22211221212()918x x x x x x x x +⋅+=+−⋅=−=, 2221211212771x x x x x x x x ++===⋅, 222121212()()43415x x x x x x −=+−⋅=−⨯=，∴12x x −=∴22121212()()3(x x x x x x −=+−=⨯=± 21121211551x x x x x x −−===．222121121235351x x x x x x x x −−===⋅．此题是韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【答案】22127x x +=；12(2)(2)1x x −⋅−=−；2211228x x x x +⋅+=；21127x x x x +=；2212x x −=±；12115x x −=；211235x x x x −=练：已知1x ，2x 是方程2310x x −+=的两个实数根，则1211x x += ．【解析】由韦达定理知：12123,1x x x x +=⋅=．所以：121212113x x x x x x ++==⋅．【答案】3【例4】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=−=+−，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac −>，∴220b ac −>，∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=−=+−> ∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【例5】设1x 、2x 是方程()222120x k x k −+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，求k 的值．【解析】由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+−+=−>，即12k >．所以()()12118x x ++=．从而2230k k +−=，解之得3k =−或1k =．又12k >，所以1k =．【答案】1k =【例6】（1）做一个方程，使它的两个根是33 1.【解析】设所做的方程两个实数根是12,x x ，1233x x =+=−因此所做的方程是2670x x −+=.（2）已知12,x x 是方程2350x x +−=的两个根，求以11x +和21x +为根的一个一元二次方程. 【解析】∵12,x x 是方程2350x x +−=的两个根，∴12123,5x x x x +=−⋅=−∴1212(1)(1)2321,x x x x +++=++=−+=−121212(1)(1)(+)+15317,x x x x x x ++=+=−−+=−∴以11x +和21x +为根的一个一元二次方程为270x x +−=.【例7】如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值【解析】由题意知：,a b 为方程2220x x +−=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +−=得：11x =−+21x =−−⑴当a b ≠时，有2a b +=−，2ab =−，11212a b a b ab +−∴+===−；⑵当a b =时，方程的根为11x =−+21x =−−当1a b ==−+1121a b a ∴+==；当1a b ==−−1121a b a ∴+===−【答案】当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当1a b ==−+时，111a b+=，当1a b ==−−时，111a b+=−【例8】已设实数s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t ，并且1≠st ，求ts st 14++的值．【解析】由299190t t ++=可知，0t ≠，故21119()9910t t +⋅+=．又2199910s s ++=，11st s t ≠⇒≠，故s 、1t是方程2199910x x ++=的两根，从而可知19919s t +=−，119s t =，故41199195445191919st s s s t t t ++−=++⋅=−+⨯==−．【例9】已知关于x 的方程22(23)30x k x k +−+−=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值．【解析】∵方程22(23)30x k x k +−+−=有两个实数根1x ，2x ，∴2212212(23)4(3)21120(23)3k k k x x k x x k ⎧∆=−−−=−≥⎪+=−−⎨⎪⋅=−⎩，由（1）得：74k ≤．∵121211x x x x +=+，∴121212x x x x x x ++=，120x x +=或121x x =① 当120x x +=时，320k −=，32k =，∵3724k =<，所以32k =符合题意．② 当121x x =时，231k −=，2k =±，∵74k ≤，∴2k =舍去．∴k 的值为32或2−．此题是已知方程两根满足的条件，求参数的取值．【例10】已知关于x 的方程2(6)0x a x a +−+=的两根都是整数，求a 的值．【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得12126x x ax x a +=−⎧⎨=⎩．从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++= ⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=−⎧⎨+=−⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =−⎧⎨=−⎩．所以120a x x ==或16．点评：利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于1x ，2x 的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．第五讲回家作业姓名1. 已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．【解析】12126,x x p x x q+=−=⎧⎨=⎩∴6p =−，22212121212()220220236x x x x x x x x q +=++=+=+=，∴8q =．2. 已知关于x 的方程2130x x k −+=的两根α、β满足条件31αβ−=，求k 的值．【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得13αβ+=，与31αβ−=联列方程组，解得10α=，3β=．所以30k αβ==．3. 关于x 的二次方程22(1)40(0)mx m x m −−−=≠的两根一个比1大，另一个比1小，求m 的取值范围.【解析】设方程有两个根为12,x x ，由韦达定理得12122(1)4,,m x x x x m m−+=⋅=− 又由已知，有121212(1)(1)0,()10x x x x x x −−<−++<即故有2(1)410m m m −−−+< ∴20mm+>，∴0m >或2m <−4. 关于x 的方程2230x mx m −+=的两根12,x x 满足212()16x x −=，如果关于x 的另一个方程22690x mx m −+−=的两实根都在12,x x 之间，求m 的值。

第5课讲(初三复习)一次方程(组)

第五讲一次方程（组）复习目标：1、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

2、会解一元一次方程、简单的二元一次方程组。

3、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

教学重点：了解一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题．教学难点：会解一元一次方程、简单的二元一次方程组，能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，解决实际问题。

教学方法:探究、引例、当堂训练．讲练结合。

教学准备：讲学稿教学过程：【课前热身】1．在等式367y -=的两边同时，得到313y =.2．方程538x -+=的根是 .3．x 的5倍比x 的2倍大12可列方程为 .4．如果1x =-是方程234x m -=的根，则m 的值是 .5．如果方程2130m x -+=是一元一次方程，则m = .6. 在方程y x 413-＝5中，用含x 的代数式表示y 为y ＝；当x ＝3时，y ＝ . 7．如果x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝ . 8. 请写出一个适合方程13=-y x 的一组解： .9. 如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是【知识梳理】1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca . 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a .3. 解一元一次方程的步骤：①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.4．二元一次方程：含有未知数（元）并且未知数的次数是的整式方程.5. 二元一次方程组：由2个或2个以上的组成的方程组叫二元一次方程组.6．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有个解.7．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的，叫做二元一次方程组的解.8. 解二元一次方程的方法步骤：二元一次方程组方程. 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有消元和消元法两种.9．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+x x 等不是一元一次方程. （2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.（3）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；（4）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值；（5）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.【典例精析】例1．（1）解方程.x x +--=21152156（2）解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．方法1 方法2例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A. B. C. D. 例4．在中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例5．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？． ②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为．【当堂检测】月份用电量交电费总数3月 80度 25元4月 45度 10元消元转化⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x x 032=-+y x1．方程x -=52的解是___ ___．2．一种书包经两次降价10%，现在售价a 元，则原售价为_______元．3.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 4．若⎩⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==22y x ，⎩⎨⎧==c y x 3都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____． 5．解下列方程（组）：（1）()x x -=--3252；（2）....x x +=-0713715023；（3）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x ；（4）x x -+=-2114135；6．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？8．甲、乙两人同时解方程组8(1)5 (2)mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值．【中考演练】1．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____．2．关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为________________.3. 某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为x 元，则得到方程( )A.15025%x =⨯B. 25%150x ⋅=C.%25150=-x x D. 15025%x -= 4．解方程16110312=+-+x x 时，去分母、去括号后，正确结果是（） A. 111014=+-+x x B. 111024=--+x xC. 611024=--+x xD. 611024=+-+x x5．解下列方程： ()()()(1) 3175301x x x --+=+；（2）121253x x x -+-=-.6. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10 % ，乙种机器产量要比第一季度增产20 %．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？7. 苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；(1) 若租用水面n 亩，则年租金共需__________元；(2) 水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润=收益－成本)；(3) 李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖.已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？总结归纳：1、师友讨论归纳交流本节课全部的知识点及收获。

第5讲一次方程组ppt课件

(5)系数化为 1 注意符号的变化
第5讲┃ 一次方程(组)
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
考点2 二元一次方程组及其解法
1．代入法解方程组32xx＋－4y＝y＝5（2（2）1），，比较合理的变形是( D )
＋y＝____9____．
第5讲┃ 一次方程(组)
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
9．[2013·凉山州] 购买一本书，打八折比打九折少花 2 元钱，那么这本书的原价是___2_0____元． x＋y＝5，
不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮
忙算一算，该洗发水的原价是
(D )
A．15.36 元 B．16 元 C．23.04 元 D．24 元
第5讲┃ 一次方程(组)
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
A．由(1)得 x＝2－34y
B．由(1)得 y＝2－43x
C．由(2)得 x＝5＋2 y
D．由(2)得 y＝2x－5
第5讲┃ 一次方程(组)
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
2．二元一次方程组x3＋x－2y2＝y＝57，的解是
11．[2013·淄博] 解方程组：2xx＋－23y＝ y＝－3， 2. 解：2xx＋－23y＝y＝－3，2，①② 方法一(代入消元法)：由②得，x＝－2－2y③，将③代入①得 2(－2－2y)－3y＝3，整理得－7y＝7，解得 y＝－1. 将 y＝－1 代入③得 x＝－2－2×(－1)，即 x＝0，所以原方程组的解为yx＝＝－0，1.

第05讲正弦定理和余弦定理的应用 (精练)(教师版)

第05讲正弦定理和余弦定理的应用(精练）一、单选题1．（2022·全国·高一课前预习）若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°【答案】B【详解】由∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A 在点B 的北偏西15°.故答案为B.2．（2022·全国·高三专题练习）如图,设,A B 两点在河的两岸,在A 所在河岸边选一定点C ,测量AC 的距离为50m ,30ACB ︒∠=,105CAB ︒∠=,则可以计算,A B 两点间的距离是（）A．B． C． D．【答案】A解:在三角形ABC 中, 30ACB ︒∠=,105CAB ︒∠=,所以1803010545ABC ∠=--=,由正弦定理: sin sin AC AB ABC ACB=∠∠,所以150sin 50sin 30sin sin 45AC ACB AB ABC ⨯⋅∠⋅====∠故选:A3．（2022·全国·高三专题练习）若点A 在点C 的北偏东60°方向上，点B 在点C 的南偏东30°方向上，且AC=BC ，则点A 在点B的（）A ．北偏东15︒方向上B ．北偏西15︒方向上C ．北偏东10︒方向上D ．北偏西10︒方向上【答案】A 由题意，点A 在点C 的北偏东60°方向上，点B 在点C 的南偏东30°方向上，且AC=BC ，可得几何位置关系如下图所示：则30CBE ∠=，45ABC ∠=所以15ABE ∠=,故点A 在点B 的北偏东15︒方向上故选：A4．（2022·青海西宁·一模（文））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m 和68m ，它们的夹角是30.已知改造费用为50元/m 2，那么，这块三角形空地的改造费用为（）A ．B ．C ．27200元D ．54400元【答案】C 由题意，三角形空地的面积为211326854422m ⨯⨯⨯=，改造费用为50元2/m ，∴这块三角形空地的改造费用为：5445027200⨯=元.故选：C .5．（2022·江苏·高一课时练习）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为A /时B ．/时C 海里/时D ．/时【答案】A68,45,15PM PNM PMN =∠=︒∠=︒，在PMN ∆ 中有sin120sin 45MN PM MN =⇒=︒︒4MN V ==/时，选A. 6．（2022·全国·高三专题练习（文））“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点12,P P ，且12PP a =，已经测得两个角1221,PP D P PD αβ∠=∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的有（）组①1DPC ∠和1DCP ∠；②12PP C ∠和12PCP ∠；③1PDC ∠和1DCP ∠. A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D由12PP a =，1221,PP D P PD αβ∠=∠=， ∴可求出2DP 、1DP ，①1DPC ∠和1DCP ∠：△1DPC 中111sin sin DP DC DPC DCP =∠∠，即可求DC ； ②12PP C ∠和12PCP ∠：可求1DPC ∠、1PC ，则在△1DPC 中222111112cos DC DP PC DP PC DPC =+-⋅⋅∠求DC ；③1PDC ∠和1DCP ∠：可求1DPC ∠，则在△1DPC 中111sin sin DP DC DPC DCP =∠∠，即可求DC ； ∴①②③都可以求DC .故选：D二、多选题 7．（2022·湖南·宁乡市第九高级中学高一期中）为了测量B ，C 之间的距离，在河的南岸A ，C 处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（）A ．c 与αB ．c 与bC ．b ，c 与βD ．b ，α与γ【答案】ABC 因为A ，C 在河的同一侧，所以可以测量b ，α与γ，故选：ABC8．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75︒，距离为；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30︒，距离为.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60︒，则下列说法正确的是（）A ．A 处与D 处之间的距离是24nmileB ．灯塔C 与D处之间的距离是 C ．灯塔C 在D 处的西偏南60︒D ．D 在灯塔B 的北偏西30︒【答案】ABC在ABD △中，由已知得60ADB ∠=，75DAB ∠=︒，则45B ∠=，AB =由正弦定理得sin 24sin AB B AD ADB ∠===∠，所以A 处与D 处之间的距离为24n mile ，故A 正确；在ADC 中，由余弦定理得，2222cos30CD AD AC AD AC =+-⋅，又AC =，解得CD =所以灯塔C 与D处之间的距离为n mile ，故B 正确，AC CD ==30CDA CAD ∴∠=∠=︒，∴灯塔C 在D 处的西偏南60︒，故C 正确；灯塔B 在D 的南偏东60︒，D ∴在灯塔B 的北偏西60︒，故D 错误；故选：ABC ．9．（2022·全国·高一单元测试）某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离．货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是（）A ．A 处与D 处之间的距离是24n mile ；B ．灯塔C 与D 处之间的距离是16n mile ；C ．灯塔C 在D 处的西偏南60°；D ．D 在灯塔B 的北偏西30°．【答案】AC由题意可知60,75,30ADB BAD CAD ∠=∠=∠=，所以180607545B ∠=--=，AB AC ==,在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB =∠∠，所以()24AD nmile ==，故A 正确；在ACD △中，由余弦定理得CD即)CD nmile ==，故B 错误；因为CD AC =，所以30CDA CAD ∠=∠=，所以灯塔C 在D 处的西偏南60，故C 正确；由60ADB ∠=，D 在灯塔B 的北偏西60处，故D 错误.故选：AC三、填空题10．（2022·河北深州市中学高一期末）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C D E ----为某区的一条健康步道，其中,,,AB CD DE AE 为线段，,,B C D 三点共线，BC 是以BC 为直径的半圆，AB BD ⊥，336km,cos ,,225AB CD BAD AE DE E BAD ∠∠∠=====.则该健康步道的长度为___________.【答案】()22.52πkm +连接,AD BC ，因为362AB CD ==，所以6,4AB CD ==，在ABD △中，3,cos5AB BD BAD ∠⊥=，所以4tan 3BAD ∠=，由直角三角形三角函数的定义知，4tan 683BD AB BAD ∠=⋅=⨯=，所以844BC BD CD =-=-=，所以半圆BC 的弧长为14π2π2⨯=. 在Rt ABD △中，6,8AB BD ==，所以10AD ，在ADE 中，设(0)AE DE t t ==>，由余弦定理可得，2222cos AD AE DE AE DE E =+-⋅，即()2501cos t E =-，因为2E BAD ∠∠=，所以97cos cos2212525E BAD ∠∠==⨯-=-，所以2750125t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：254t =，所以健康步道的长度为()252642π22.52πkm 4⨯+++=+.故答案为：()22.52πkm +11．（2022·浙江·高三专题练习）如图，无人机在离地面的高200m AE =的A 处，观测到山顶M 处的仰角为30，山脚C 处的俯角为45︒，已知60MCN ∠=︒，则山的高度MN 为___________.【答案】300+m在Rt AEC 中，200m,sin 45AE AE AC ︒===，由图知75MAC MCA ∠=∠=︒，即30AMC ∠=︒，在AMC 中，由正弦定理得sin 30sin 75AC MC =︒︒，∵()sin 75sin 3045sin 30cos 45cos30sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒=∴sin7541)1sin302ACMC⨯===︒︒m，在Rt MNC△中，sin601)300MN MC=︒==+.故答案为：300+m四、解答题12．（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口A、B间的距离，开车从A点出发，沿正西方向行驶米到达D点，然后从D点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C点，再从C点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口B点处，测得BD间的距离为1000米.(1)若隧道口B在点D的北偏东θ度的方向上，求cosθ的值；(2)求隧道口AB间的距离.【答案】(1)cosθ=(2)1000米.(1)在BCD△中，由正弦定理得sin sinBD BCC CDB=∠，即1000400sin45sin CDB=︒∠，所以sin CDB∠=由题可知，90CDB∠<︒，所以cos CDB∠=，即cosθ=(2)由（1）可知，cos sinADB CDB∠=∠=在ABD△中，由余弦定理得2222cosAB BD AD BD AD ADB=+-⋅⋅⋅∠221000210001000000=+-⨯⨯=，所以1000AB=，故两隧道口AB间的距离为1000米.13．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分,BAD ABC∠△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.cos cos cos0B aC c A++=.(1)求B ；(2)若2AB CD ==，且________，求线段AD 的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC 的面积2S =；②AC =【答案】(1)3π4；(2)选①4=AD ；选②4=AD .(1)cos cos cos 0B a C c A ++=，cos sin cos sin cos 0B B A C C A ++=，cos sin()0B B A C ++=，cos sin 0B B B +=，因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以cos B = 所以3π4B =. (2)选①，因为ABC 的面积2S =，所以13π2sin 24S ac ==，2=，a =所以AC 所以cos∠==CAB 因为AC 平分BAD ∠，所以2cosCAD ∠=，所以4=AD ，选②，因为AC =ABC 中，由余弦定理：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即2223π222cos 4BC BC =+-⋅⋅，所以BC =sin 4=所以sin BAC ∠=因为AC 平分BAD ∠，所以sin DAC ∠= 因为2CD =，AC =sin sin CD AC DAC D =∠∠，所以sin 5sin 12AC DAC D CD ⋅∠∠=== ，又()0,πD ∠∈，所以π2D ∠=，所以ADC 是直角三角形，且90ADC ︒∠=，所以4=AD .14．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足tan tan tan B C B C +⋅．(1)求角A 的大小；(2)若1b c ==，在边,AB AC 上分别取,D E 两点，将ADE 沿直线DE 折叠，使顶点A 正好落在边BC 上，求线段AD 长度的最小值．【答案】(1)π3A =(2)3(1)由tan tan tan B C B C +=⋅得tan tan tan tan tan tan )tan()tan 1tan tan B C B C B C B C A B C+∴+=-⋅∴==+=--⋅tan A ∴=，由()0,πA ∈，可得π3A =． (2)1b c ==，π3A =，ABC ∴为等边三角形，连接AP ，由折叠性质可知,A P 两点关于折线DE 对称，,AD PD BAP APD ∴=∠=∠设BAP APD α∠=∠=，==AD PD x ，则2,1BDP DB x α∠==-，在ABC 中，2ππ3APB ABP BAP α∠=-∠-∠=-，2π23BPD α∠=-，又π3DBP ∠=，则在BDP 中，由正弦定理得：12ππsin(2)sin 33x x α-=-，整理可得：2sin(2)3x α=-， π2π2π0,02333αα≤≤≤-≤，当2ππ232α-=，即π12α=时，2πsin(2)13α-=，则取得最小值323323=-+ 即AD 的最小值为3.。

课时一次方程(组)及其应用ppt课件

题
3.解方程
步骤
4.检验，作答
常见类型及等量关系式
打折销售问题：利润＝售价-本钱价，售价＝原价×折扣〔打几折，
折扣就是百分之几十〕利润率＝ ×100％
工程问题：任务量＝任务效率×⑩_______
行程问题
利润
分配类问题
进价
任务时间
路程＝速度×时间
相遇问题：
甲、乙分别以A、B为起点，同时相向而行，经过一段时间在C处
〔3〕该物流公司4月承接的A种货物和B种货物的分量与3月份一样，3月份共收取运费19000元，4月份共收取运费26000元，求该物流公司4月份运输A、B 两种货物各多少吨？自主作答：
设该物流公司4月运输A货物x吨，运输B货物y吨，根据题意得：
解得 x=100 y=150，
100x+60y=19000 140x+80y=26000,
设3月份B货物的运费单价为m元/吨，根据题意得： 2m-20=100, 解得m=60. 答：3月份B货物的运费单价是60元/吨；
〔2〕4月份由于工人工资上涨，A、B货物运费单价上调的百分率分别为x％和 1.25x％，且共上调了70元/吨，求4月份A、B货物的运费单价；自主作答：
根据题意得：100·x％+60×1.25x％＝70，解得x=40，那么1.25x=50. 100×〔1+40％〕＝140， 60×〔1+50％〕＝90，答：4月份A货物的运费单价为140元/吨，B货物的运费单价为90元/吨.
2.等式两边乘以同一个数〔或除以同一个不为0的数〕，结果仍是等式，即假
等
设a=b,那么ac=bc, (c≠0)
式
的 3.假设a=b,那么b=a〔对称性〕

一次方程(组)及应用(教师版)

巨人教育学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：学员编号：年级：课时：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题一次方程（组）及其应用授课日期及时段年月日上课时间段：教学目标1、会解一元一次方程，能利用一元一次方程，解决实际问题，并检验根的合理性2、会解二元一次方程，能利用二元一次方程，解决实际问题，并检验根的合理性重点、难点一次方程的解法及实际应用教学内容一、疑难讲解二、知识点梳理1、一元一次方程及其应用考点1 等式的概念与等式的性质概念表示相等关系的式子，叫做等式性质性质一：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式所得的结果仍相等．如果a＝b，那么a＋c＝b＋c性质二：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)所得的结果仍是等式．如果a＝b，那么ac＝bc，ac＝bc(c≠0)性质其他性质：传递性、对称性考点2 方程、方程的解、解方程（1）含有未知数的等式叫做方程；（2）使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；（3）求方程解的过程叫做解方程。

考点3 一元一次方程的定义及解法定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程一般式：ax＋b＝0(a≠0)解一元一次方程的步骤：（1）去分母:在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意别漏乘（2）去括号:注意括号前的系数与符号（3）移项:把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号（4）合并同类项:把方程化成ax＝b(a≠0)的形式（5）系数化为1:方程两边同除以x的系数，得x＝ba的形式2、二元一次方程及其应用考点1 二元一次方程的定义（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。

（2）二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

（3）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。

组合数学第05讲_距离问题(教师版)A4

一．距离总和最短基本有两个做题思路1．枚举所有可能的情况，再逐步调整．枚举的时候可以通过适当分类． 2．利用“两点之间线段最短”，往往会用到对称．二．最短路线问题利用“两边和大于第三边”排除某些可能不需要走的边，再枚举比较．重难点：对所有可能的情况一定要枚举清楚，然后再进行比较．题模一：距离总和最短例1.1.1如图，一条路上从西向东有A 、B 、C 、D 、E 五所学校，分别有200人、300人、400人、500人、600人．任意相邻的两所学校之间的距离都是100米．现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方？这时距离之和是多少？【答案】D 校；220千米【解析】因为C 校处在所有学校的中间，我们以C 校为起点开始调整．如果车站从C 校搬到D 校，A 、B 、C 三所学校的200300400900++=名学生每人要多走100米，而D 、E 两所学校的5006001100+=名学生每人要少走100米．这样受益者更多，所以我们先把车站搬到D 校．如果继续搬到E 校的话，A 、B 、C 、D 四所学校的2003004005001400+++=名学生每人多走100米，而只有E 校的600名学生每人少走100米，所以不再向E 校搬，车站就修在D 校门口．以千米为单位算出总路程为0.32000.23000.14000.1600⨯+⨯+⨯+⨯=220千米．例1.1.2东升乡有8个行政村．分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：千米）．现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线．问：电线至少要架多长？组合数学第05讲_距离问题A B C D E【答案】50千米【解析】架设的线路如图．例1.1.3如图，从一个格到相邻的格需要走1步，那么从第1行第1列走到第3行第3列需要走__________步．（只能横着走或竖着走，不能斜着走）【答案】4【解析】从第1行第1列走到第3行第1列要走312-=步，再走到第3行第3列需要312-=步，所以从第1行第1列走到第3行第3列需要走224+=步．例1.1.4有2015名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，完成任务后，要使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小，应该在第________________个岗位地点集合．【答案】1008【解析】通过尝试发现在中点处集合路程综合最小，所以应该在第1008个岗位地点集合．题模二：最短路线问题例1.2.1在一条公路上有4个工厂，每两个相邻工厂的距离相等，每个工厂的工人人数如图所示．现要在这条公路上设一车站，使得这四个工厂的所有工人步行到车站的总路程最短，这个车站应设在几号工厂门口？【答案】3【解析】设相邻两厂距离为1，假设车站在2号．若车站移至1号，1号的90人少走1，其余所有人多走1，显然所有工人步行到车站的总路程增加；若移至3号，1、2号的人多走1，3、4号的人少走1．由于10011590120+>+，故总路程减少，建在3号优于2号；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………若车站从3号移至4号，4号的人少走1，其余多走1，显然总路程增加．综上，车站应建在3号门口．例1.2.2如图，在下面的方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“★”最少要爬________________步．【答案】8【解析】先向上走把最左边的吃掉后，向右走吃掉最低下的一个，再向上走吃掉最右方一个，最少需要爬8步．例1.2.3如图，在六面体的顶点A 和B 处各有一只蚂蚁，它们比赛看谁能最快爬完所有的棱线，最先到达终点C ．如果它们的爬行速度相同，那么哪只蚂蚁能获胜？【答案】从A 点出发的蚂蚁获胜【解析】两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达C 点，因而获胜．图中只有A ，C 两个奇点，所以从A 点到C 点可以一笔画出，而从B 点到C 点却不能，因此A 点的蚂蚁获胜．随练1.1有八个村庄1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A ，7A ，8A 分布在公路两侧，由一些小路与公路相连．现要在公路上设一个汽车站，并且使得汽车站到各村庄的距离之和最小，车站应设在哪里？【答案】E 到F 之间的任意一点【解析】首先尽量靠近中间，考虑EFG 三点应用调整法，汽车站应当建在E 到F 之间的任意一点．随练1.2王乡长下村召集甲、乙、丙、丁四个村的村干部会议．这四个村相距的位置如下图所示，参加会议的人数为甲村8人、乙村5人、丙村3人、丁村7人．请问王乡长应在哪个村子召集会议才使所有参加会议的人所走的路程总和最小？【答案】乙ABCB CDEF GH I【解析】先暂定在乙村．若调整为甲村，则甲村人少走5公里，其它人多走5公里．由于8537<++，故不应调整；若调整为丙村，则丙、丁村人少走5公里，甲、乙村人多走5公里．由于3785+<+，故不应调整；同理也不应调整为丁村．综上，应在乙村．作业1某公路旁有5所学校（如图），每所学校学生数都相同．现要在公路上设一车站（车站要求建在学校门口），使这5所学校的同学到车站步行路程的总和越小越好．问车站应设于何处？【答案】C【解析】假设方案为设于C 处．若调整为B ，则C 、D 、E 处的学生每人将多走BC 段，A 、B 处的学生每人将少走BC 段．由于32>，故不应调整．同理，调整到其它处均不合理，因此应在C 建站．作业2在一条公路上有四个工厂，每两个相邻工厂的距离相等,每个工厂的工人人数如图所示．现要在这条公路上设一车站，使得这四个工厂的所有工人步行到车站的总路程最短，这个车站应设在几号工厂门口？【答案】3号【解析】先假设建在4号工厂门口，由4号改往3号需要增加215人的路程，减少10012080300++=人的路程．所以可以由4号改往3号．同理可知，不可以改往2号，所以应该设在5号工厂门口．作业3如图，每段路上的数字代表这段路的长度（单位：千米），那么从A 到D 最短路线是_______________千米．【答案】10【解析】要想总和最短，每步最短即可，51410++=千米．作业4如图所示方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“★”，最少要爬多远？请画出路线．【答案】8厘米【解析】将这三个“★”分别记作“左”，“下”和“右”，则因为吃“右”的路上可以顺路吃掉一个“左”或“下”，因此必然不应该第一个吃“右”．如果先吃“左”，①第二个吃“下”，最少需要8厘米；②第二个吃“右”，最少需要10厘米．如果先吃“下”，①第二个吃“左”，最少需要10厘米；②第二个吃“右”，最少需要11厘米．综上，最1 2 3 4 100人120人80人215人6A B CD 5 37216 4 5★★ ★少要爬8厘米，先吃“左”，再吃“下”，最后吃“右”．。

第05讲 一次方程(组)(教师版)

05.秋季-八年级-第5讲-一元二次方程-韦达定理(教师版)

第5课讲(初三复习)一次方程(组)

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第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (精练)(教师版)

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