江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期中模拟检测数学试题
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷
因此
．
故选.
二、多选题
9.
【答案】
A,C
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
利用数列的函数特性逐一分析四个选项即可得到答案．
【解答】
解：，若一个常数列是等比数列，则这个数列的各项都为一个相等的常数且不为，则公比一定为，故该选项正确；
，同一个数在数列中能重复出现，例如常数列，故该选项错误；
，数列的第项为，第项为，第项大于第项恒成立，故该选项正确；
求的值；
若（其中），设，求的最小值．
22.已知数列的前项和满足：为常数，且，．
求的通项公式；
设，若数列为等比数列，求的值；
在满足条件的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
14.已知等差数列满足：，．若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则的值为________．
15.已知数列满足，前项和，则________.
16.已知数列通项公式为.
若，则数列最小项的值为________；
若数列为单调递增数列，则的取值范围是________.
四、解答题
17.等差数列中，，.
A.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为
B.同一个数在数列中不能重复出现
C.数列是递增数列
D.数列通项的表达式是唯一的
10.设数列为等差数列，下列数列为等差数列的有( )
A.B.C.D.
11.关于等差数列和等比数列，下面四个选项中正确的是( )
A.若数列的前项和，则数列为等差数列
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二(上)10月阶段性测试(三)数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1. 若无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A.S n 单调递减 B.S n 单调递增 C.S n 有最大值 D.S n 有最小值2. 设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 若数列{a n }的通项公式是a n =(−1)n (3n −2)，则a 1+a 2+⋯+a 10=( ) A.15 B.12 C.−12 D.−154. 椭圆x 2+2y 2=4的以(1, 1)为中点的弦所在直线的方程是（ ） A.x −4y +3=0 B.x +4y −5=0 C.x −2y +1=0 D.x +2y −3=05. 若不等式x 2+ax +4<0的解集为⌀，则a 的取值范围是( ) A.[−4, 4]B.(−4, 4)C.(−∞, −4]∪[4, +∞）D.(−∞, −4)∪(4, +∞)6. 已知x >2，则函数y =4x−2+4x 的最小值是( ) A.6 B.8 C.12 D.167. 已知a =30.3,b =(12)π,c =log 5√6，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c8. 数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，称为斐波那契数列，它是由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即：a n+2=a n+1+a n ，即该数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是( ) A.S 2019=a 2020+2 B.S 2019=a 2021+2 C.S 2019=a 2020−1D.S 2019=a 2021−1二、多选题已知P 是椭圆C:x 26+y 2=1上的动点，Q 是圆D ：(x +1)2+y 2=15上的动点，则( )A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55设有下面四个命题，其中假命题的选项是( ） A.“若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”为真命题 B.若p:∀x ∈R,2x >0,则p 的否定为：∃x ∈R,2x <0 C.“ab ≤1”是‘a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件 D.△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B下列有关命题的说法正确的是( ) A.∃x ∈(0,π)，使得2sin x +sin x =2√2成立B.命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1，则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1C.函数f (x )=√x +1⋅√x −1与函数g (x )=√x 2−1是同一个函数D.若x ，y ，z 均为正实数，且3x =4y =12z ，x+y z∈(n,n +1)(n ∈N )，则n =4定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则f(x)称为“保等比数列函数”．现有定义在 (−∞, 0)∪(0, +∞)上的下列函数中，是“保等比数列函数”的是( ) A.f (x )=x 3 B.f (x )=e xC.f (x )=√|x|D.f (x )=log 2|x|三、填空题方程kx 2+4y 2=4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．已知−1，a ，x ，b ，−4成等比数列，则实数x 的值是________.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有Sn T n=2n−34n−3，则a 3+a 152(b 3+b 9)+a 3b 2+b 10=________.命题“∃x ∈[−1,4]，x 2−(a +2)x +5+a <0”为假命题，则实数a 的范围为________. 四、解答题已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1,a 3,a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .设集合A ={x|x 2−2x +1−m 2≤0,m >0}，集合B ={x|12x+2≥1}.(1)求出集合A 和集合B ；(2)设p:x ∈A,q:x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为w =x+32（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3(w +3w )万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为(4+30w)元/件．(1)试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额−成本−推广促销费）(2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？已知椭圆L:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． (1)求椭圆L 的标准方程；(2)过点Q (0,2)的直线l 与椭圆L 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及|AB|的大小．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列， a 1=1，其前n 项和为S n ，S 4=S 22. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证： a n a n +1<a n +1a n +2;(3)若b n =a n a n+1，数列{b n }的前n 项积为H n ，求证H n <√2n+1.设函数y =ax 2+x −b (a ∈R,b ∈R ).(1)若b =a −54，且集合{x|y =0}中有且只有一个元素，求实数a 的取值集合；(2)求不等式y <(2a +2)x −b −2的解集；(3)当a >0,b >1时，记不等式y >0的解集为P ，集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠⌀，求1a−1b 的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】数列的函数特性【解析】化简可得{a n}是递减数列，且先正值，后负值；从而判断出S n有最大值．【解答】解：∵无穷等差数列{a n}的首项a1>0，公差d<0，∴{a n}是递减数列，且先正值，后负值；∴{a n}的前n项和为S n先增加，后减小；∴S n有最大值.故选C.2.【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件等比数列的性质【解析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：例如等比数列−1，−2，−4，…，满足公比q=2>1，但{a n}不是递增数列，所以充分性不成立．)n−1为递增数列，若a n=−1⋅(12<1不成立，所以必要性不成立，但q=12故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.3.【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：∵a n=(−1)n(3n−2)，∴a1+a2+⋯+a10=−1+4−7+10−⋯−25+28=(−1+4)+(−7+10)+⋯+(−25+28)=3×5=15．故选A.4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题直线的一般式方程中点坐标公式【解析】设直线l的方程为y−1=k(x−1)，代入椭圆的方程化简，由x1+x2=4k2−4k1+2k2=2解得k值，即得直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y−1=k(x−1)，即kx−y+ 1−k=0，代入椭圆的方程化简得(1+2k2)x2+(4k−4k2)x+2k2−4k−2=0，∴x1+x2=4k2−4k1+2k2=2，解得k=−12，故直线l的方程为x+2y−3=0.故选D．5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4<0的解集为⌀，∴Δ=a2−16≤0⇒−4≤a≤4．故选A.6.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】y=4x−2+4x=4x−2+4(x−2)+8，利用基本不等式zhij求解即可.【解答】解：∵ x >2， ∴ x −2>0，∴ y =4x−2+4x =4x−2+4(x −2)+8 ≥2√4x−2⋅4(x −2)+8=16，当且仅当4x−2=4(x −2)，即x =3时等号成立，∴ 函数y =4x−2+4x 的最小值是16. 故选D . 7.【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 对数值大小的比较 对数的运算性质 【解析】【解答】解：∵ a =30.3>30=1， b =(12)π<(12)1=12，c =log 5√6>log 5√5=12，且c =log 5√6<log 55=1,∴ a >c >b . 故选C . 8.【答案】 D【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n =(a 3−a 2)+(a 4−a 3)+(a 5−a 4)+ (a 6−a 5)+⋯(a n+2−a n+1) =a n+2−a 2=a n+2−1， 所以S 2019=a 2021−1， 故选D .【答案】 B,C【考点】 椭圆的离心率 点与圆的位置关系 点到直线的距离公式【解析】由椭圆的方程可得a ，b ，c 的值，可得A ，D 不正确，可得圆D 的圆心离左顶点最近，进而可得C 正确，B 正确 【解答】解：由椭圆方程可得，a 2=6，b 2=1，则c 2=a 2−b 2=5，则焦距2c =2√5，A 不正确； 离心率e =ca =√5√6=√306，B 正确； 设P(x, y)(−√6≤x ≤√6)，D(−1, 0)，r 2=15， 则|PD|2=(x +1)2+y 2 =(x +1)2+1−x 26=56(x +65)2+45≥45>15，所以圆D 在C 的内部，且|PQ|的最小值为√45−√15=√55，故C 正确，D 不正确. 故选BC . 【答案】 A,B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 命题的否定【解析】A ，利用向量的数量积判断其真假；B ，根据全称命题的否定形式判断；C ，根据充分条件与必要条件的概念判断；D ，利用正弦定理判断． 【解答】解：A ，若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”，当a →与b →的夹角为0时，也满足题意，所以该命题为假命题，故A 错误；B ，若p:∀x ∈R ，2x >0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故B 错误；C ，若ab ≤1成立，则a ≤1或b ≤1成立；反之，若a ≤1或b ≤1成立，则ab ≤1成立不正确，故“ab ≤1”是“a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件，故C 正确；D ，命题△ABC 中，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得sin A >sin B ，故D 正确. 故选AB ．B,D【考点】全称命题与特称命题 命题的真假判断与应用 基本不等式在最值问题中的应用 对数的运算性质判断两个函数是否为同一函数【解析】利用三角函数的定义，全称命题的否定，函数的定义，以及对数的运算性质判断即可. 【解答】 解：A ，由于2sin x+sin x =2√2，解得：sin x =√2∉(0,1]，所以不存在x ∈(0,π)，使得sin x =√2. 故选项A 错误；B ，由全称命题的否定为特称命题可知： 命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1， 则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1. 故选项B 正确；C ，由于函数f(x)的定义域为：{x +1≥0，x −1≥0，解得：x ≥1，函数g(x)的定义域为：x 2−1≥0， 解得：x ≥1或x ≤−1，则函数f(x)与函数g(x)的定义域不同. 故选项C 错误；D ，令3x =4y =12z =k(k >1)， 则x =lg klg 3，y =lg klg 4，z =lg klg 12， 所以x+y z =lg k lg 3+lg klg 4lg k lg 12=1lg 3+1lg 41lg 12=lg 12lg 3+lg 12lg 4 =lg 3+lg 4lg 3+lg 3+lg 4lg 4=lg 4lg 3+lg 3lg 4+2∈(n,n +1)，n ∈N . 因为1<lg 4lg 3<2，0<lg 3lg 4<1， 所以3<x+y z <5.又lg 4lg 3+lg 3lg 4>2， 所以4<x+y z<5，所以n =4. 故选项D 正确. 故选BD . 【答案】 A,C【考点】等比数列的性质 【解析】根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a n ⋅a n+2=a n+12，逐一判断四个函数，即可得到结论． 【解答】解：由等比数列性质知a n ⋅a n+2=a n+12， ①当f(x)=x 3时，f(a n )f(a n+2)=a n 3a n+23=(a n+12)3=(a n+13)2=f 2(a n+1)， 故A 正确；②当f(x)=e x 时，f(a n )f(a n+2)=e a n ⋅e a n+2=e a n +a n+2≠e 2a n+1=f 2(a n+1)， 故B 不正确；③当f(x)=√|x|时，f(a n )f(a n+2)=√|a n |⋅|a n+2|=√a n+12=f 2(a n+1)， 故C 正确；④当f(x)=log 2|x|时，f(a n )f(a n+2)=log 2|a n |log 2|a n+2| ≠log 2|a n+1|2=f 2(a n+1)， 故D 不正确； 故选AC . 三、填空题【答案】 (0, 4) 【考点】椭圆的标准方程 【解析】将方程化为标准方程，由焦点在x 轴上可得k 的取值范围． 【解答】解：方程化简为：x 24+y 2k=1，由于椭圆的焦点在x 轴上， 所以k ∈(0, 4). 故答案为：(0, 4). 【答案】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵−1，a，x，b，−9成等比数列，∴实数x=−√(−1)×(−4)=−2.故答案为：−2.【答案】1941【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】利用等差数列的通项公式性质可得：a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)，可得a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9 b1+b11+a3b1+b11，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；等差数列的前n项和为：S n=(a1+a n)n2．∴a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)=a9b3+b9,∴a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9b3+b9+a3b2+b10=a9b1+b11+a3b1+b11=a3+a9b1+b11=a1+a11b1+b11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=S11T11=2×11−34×11−3=1941.故答案为：1941.【答案】[−4,4]【考点】不等式恒成立问题命题的真假判断与应用基本不等式解：∵对任意的x∈[−1,4]，x2−(a+2)x+5+a≥0恒成立，即a(x−1)≤x2−2x+5恒成立．当x=1时，不等式为0≤4恒成立；当x∈(1,4]时，a≤x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1.∵1<x≤4，∴0<x−1≤3，∴x−1+4x−1≥4，当且仅当x−1=4x−1时，即x=3时取$`` = "$,∴a≤4，当x∈[−1,1)时，a≥x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1=−(1−x+41−x)，∴0<1−x≤2令t=1−x，则t∈(0,2]，∵函数y=−(t+4t)在t∈(0,2]上单调递增，∴当t=2，即x=−1时，函数y=−(t+41)取到最大值−4，∴a≥−4.综上所述，a的取值范围是[−4,4]．故答案为：[−4,4].四、解答题【答案】解：(1)由题设知公差d≠0，由a1=1,a1，a3，a9成等比数列，得1+2d1=1+8d1+2d，解得d=1或d=0（舍去），故{a n}的通项a n=1+(n−1)×1=n．(2)b n=1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，T n=b1+b2+b3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1 n+1=nn+1．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解答】解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1=1,a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1+2d 1=1+8d1+2d ，解得d =1或d =0（舍去），故{a n }的通项a n =1+(n −1)×1=n ． (2)b n =1an a n+1=1n (n+1)=1n −1n+1，T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n +1=1−1n +1=nn+1．【答案】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0， 则{(10−x )(x +2)≥0,x +2≠0.所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【考点】集合的包含关系判断及应用 元素与集合关系的判断 【解析】【解答】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0，所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【答案】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x2−18x+3=632−12(x +36x +3) =33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 函数最值的应用【解析】（1）根据利润公式得出y 关于x 的函数； （2）利用基本不等式得出最大利润 【解答】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x 2−18x+3=33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【答案】解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，∴ x 1+x 2=−16k4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的离心率向量的数量积判断向量的共线与垂直待定系数法求直线方程 直线的一般式方程 【解析】 【解答】 解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∴ x 1+x 2=−16k 4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【答案】(1)解：设公差为d ,∵ S 4=S 22，∴ 1+1+d +1+2d +1+3d =(1+1+d)2, 解得，d =2或d =0(舍去)， ∴ a n =2n −1.22∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<12×34×⋯×2n−12n×23×45×⋅⋅⋅×2n2n+1=12n+1，∴12×34×…×2n−12n<√2n+1n∈N∗)，∴H n<√2n+1．【考点】数列的求和等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】【解答】(1)解：设公差为d,∵S4=S22，∴1+1+d+1+2d+1+3d=(1+1+d)2, 解得，d=2或d=0(舍去)，∴a n=2n−1.(2)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2，∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<1×3×⋯×2n−1×2×4×⋅⋅⋅×2n=1，∴ 12×34×…×2n−12n<√2n+1n ∈N ∗)，∴ H n <√2n+1．【答案】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0， 1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀；3∘当a >12时，1a<2，此时不等式的解集为(1a,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t >1，此时b =t+23，所以1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a−1b有最大值为12．【考点】集合关系中的参数取值问题 基本不等式在最值问题中的应用 一元二次不等式的解法 【解析】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时△=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，对于任意正数t ，−2∈Q . 又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t ＞1，此时b =t+23， 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b 有最大值为12．解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0，1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀； 3∘当a >12时，1a <2，此时不等式的解集为(1a ,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }， 对于任意正数t ，−2∈Q .又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)，试卷第21页，总21页 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2) =9tt+16t +10≤12， 当且仅当t =16t ，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b有最大值为12．。
江苏省泰州中学2020-2021学年高二10月月度质量检测数学试题【含答案】
}
通项公式为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
设半径为，圆心为，圆方程为：代入双曲线方程，得，要使清洁球到达底部，.
二、多项选择题：本题共4
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为。
江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学
江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2=2y 的焦点为F ，准线为ι，则点F 到直线ι的距离为 A. 12B. 1C. 2D. 42. 已知向量a ⃗ =（-2，3，-1），b ⃗ =（4，m ，n ），且a ⃗ //b⃗ ，其中m ，n ∈R ，则m+n= A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 3. 若sin θ=2cos （π-θ），则tan （θ+π4）的值为A. 3B. 13C. -3D. −134. 在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29+y 2m =1与双曲线T ：x 2−y 2m =1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A. y=±14xB. y=±12x C. y=±4x D. y=±2x5. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为A. x 2+y 2+6y-16=0B. x 2+y 2-6y-16=0C. x 2+y 2+8y-9=0D. x 2+y 2-8y-9=06. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60º角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√3 7. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB=∠A 1AC=60º，∠BAC=90º，A 1A=3，AB=AC=2，则线段AO 的长度为A.√292B. √29C.√232D. √238. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上. 若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为A. √3−1B. √5−1C. √3+1D. √5+1二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是 A. 若α⊥β，m ⊥α，则m//β B. 若α//β，m ⊥α，则m ⊥β C. 若m//α，m ⊥β，则α⊥β D. 若m//α，m//β，则α//β10. 在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 24+y 22=1的左、右焦点，点A 在椭圆上. 若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，直线ι1，ι2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到ι1，ι2的距离，则称（x ，y ）为点P 的“距离坐标”. 下列说法正确的是A. 距离坐标为（0，0）的点有1个B. 距离坐标为（0，1）的点有2个C. 距离坐标为（1，2）的点有4个D. 距离坐标为（x ，x ）的点在一条直线上12. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态.其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则A. 它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C. 它的体积为5√23D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线ι1：x+ay=0和直线ι2：2x-（a-3）y-4=0，a ∈R. 若ι1与ι2平行，则ι1与ι2之间的距离为________.14. 在空间直角坐标系中，若三点A （1，-1，a ），B （2，a ，0），C （1，a ，-2）满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数a 的值为________.15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，BC=√2，则四面体PABC 的外接球的表面积为________.16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标为________.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在①sin （A-B ）=sinB+sinC ；②2acosC=2b+c ；③△ABC 的面积S=√34（a 2-b 2-c 2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，D 是边BC 上的一点，∠BAD=π2，且b=4，c=2，求线段AD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：（x-2）2+y 2=1，动圆M 与直线ι：x=-1相切且与圆F 外切. （1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A （-2，0），曲线C 上一点P 满足PA=√2PF ，求∠PAF 的大小. 19. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 中点. （1）求证：B 1A//平面C 1BD ；（2）若AA 1=AB=3，BC=4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B-B 1C 1D 的体积.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，点A ，B 是直线x-y+m=0（m ∈R ）与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上.（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x-y-√3=0上存在点P 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求实数m 的取值范围. 21. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥AB ，PA=AD=4，BC//AD ，AB ⊥AD ，AB=BC=2，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤λ＜1）.（1）若λ=12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）设二面角B-AE-C 的大小为θ，若|cos θ|=2√3417，求λ的值.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点与上顶点的距离为2√3，且经过点（2，√2）.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线ι与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点. 若椭圆上存在点N 满足ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：△PQN 的面积S 为定值.2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案 2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分 在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理 b sin B ＝csin C 得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ． 由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分 在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理 b sin B ＝csin C 得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ． 由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理 b sin B ＝csin C 得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ． 由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28， 所以a ＝27．……………… 6分由正弦定理得a sin A ＝bsin B，则sin B ＝b sin Aa＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由PA ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k PA ＝±1，从而∠PAF ＝π4． …………………12分 方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以PA ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ PA ＝22， ……………………10分 从而∠QAP ＝π4，故∠PAF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分） （1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，B 1（第19题）A 1C 1BDACOE所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ． 因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ，所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高． ………10分 因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3． ………12分 20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6，所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m 2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m2)2＋(y －m2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12． ………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0，解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分因为PA ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2， 所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2．设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2，所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分 （2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1， 所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)． 设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，y zP A B C D E x则⎩⎪⎨⎪⎧ l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1，所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分（或证明CD ⊥平面PAC ，从而CD →为平面PAC 的一个法向量）因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417， 得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0， 解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分 22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ①因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b2＝1，② …………2分 由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分 （2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823， 此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分 当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0， 由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m 1＋2k2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)， 将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1， 化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分记点O到直线l的距离为d，则S＝4S△OPQ＝2PQ×d＝21＋k2|x1－x2|×d＝21＋k2×22×8k2＋4－m21＋2k2×|m|1＋k2＝42|m|×8k2＋4－m21＋2k2，将2k2＋1＝94m2代入，得S＝42|m|×9m2－m294m2＝649．综上，△PQN的面积S为定值649．…………12分。
江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学试卷及答案
江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2=2y 的焦点为F ，准线为ι，则点F 到直线ι的距离为 A. 12B. 1C. 2D. 42. 已知向量a ⃗=（-2，3，-1），b ⃗⃗=（4，m ，n ），且a ⃗//b⃗⃗，其中m ，n ∈R ，则m+n= A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 3. 若sin θ=2cos （π-θ），则tan （θ+π4）的值为A. 3B. 13C. -3D. −134. 在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29+y 2m =1与双曲线T ：x 2−y 2m =1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A. y=±14xB. y=±12x C. y=±4x D. y=±2x5. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为 A. x 2+y 2+6y-16=0 B. x 2+y 2-6y-16=0 C. x 2+y 2+8y-9=0 D. x 2+y 2-8y-9=06. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60º角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√37. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB=∠A 1AC=60º，∠BAC=90º，A 1A=3，AB=AC=2，则线段AO 的长度为A. √292B. √29 C. √232D. √238. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上. 若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为A. √3−1B. √5−1C. √3+1D. √5+1二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是A. 若α⊥β，m⊥α，则m//βB. 若α//β，m⊥α，则m⊥βC. 若m//α，m⊥β，则α⊥βD. 若m//α，m//β，则α//β10. 在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，点A在椭圆上. 若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，直线ι1，ι2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到ι1，ι2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”. 下列说法正确的是A. 距离坐标为（0，0）的点有1个B. 距离坐标为（0，1）的点有2个C. 距离坐标为（1，2）的点有4个D. 距离坐标为（x，x）的点在一条直线上12. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态.其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则A. 它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C. 它的体积为5√23D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线ι1：x+ay=0和直线ι2：2x-（a-3）y-4=0，a ∈R. 若ι1与ι2平行，则ι1与ι2之间的距离为________.14. 在空间直角坐标系中，若三点A （1，-1，a ），B （2，a ，0），C （1，a ，-2）满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数a 的值为________.15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，BC=√2，则四面体PABC 的外接球的表面积为________.16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标为________.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在①sin （A-B ）=sinB+sinC ；②2acosC=2b+c ；③△ABC 的面积S=√34（a 2-b 2-c 2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，D 是边BC 上的一点，∠BAD=π2，且b=4，c=2，求线段AD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：（x-2）2+y 2=1，动圆M 与直线ι：x=-1相切且与圆F 外切. （1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A （-2，0），曲线C 上一点P 满足PA=√2PF ，求∠PAF 的大小. 19. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 中点. （1）求证：B 1A//平面C 1BD ；（2）若AA 1=AB=3，BC=4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B-B 1C 1D 的体积.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，点A ，B 是直线x-y+m=0（m ∈R ）与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上.（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x-y-√3=0上存在点P 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求实数m 的取值范围. 21. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥AB ，PA=AD=4，BC//AD ，AB ⊥AD ，AB=BC=2，PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗（0≤λ＜1）. （1）若λ=12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B-AE-C 的大小为θ，若|cos θ|=2√3417，求λ的值.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点与上顶点的距离为2√3，且经过点（2，√2）.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线ι与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点. 若椭圆上存在点N 满足ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求证：△PQN 的面积S 为定值.2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝csin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22， ……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ．B 1（第19A 1C 1BDAC OE因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6， 所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m 2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直． 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2， 所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2．设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分 （2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1， 所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)． 设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧ l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1， 所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分（或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量）因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417， 得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0， 解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分 y z P A B C D E x22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ①因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，② …………2分 由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分 （2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823， 此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分 当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0， 由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)， 将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1， 化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分 记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649． …………12分。
江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学
江苏省姜堰第二中学 2020-2021 学年度第一学期期中考试 高二数学试卷
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C： −
（a＞0，b＞0）的左焦点为 F，点 M，N 在双曲线 C 上. 若四
一、单项选择题：本大题共 8 小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡 边形 OFMN 为菱形，则双曲线 C 的离心率为
A. 3
B.
C. -3
D. −
10. 在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别为椭圆 +
的左、右焦点，点 A 在椭圆上. 若△AF1F2 为直角三角形，
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，若椭圆 C： + 为
A. y=± x
B. y=± x
C. y=±4x
与双曲线 T： − D. y=±2x
1 有相同的焦点，则双曲线 T 的渐近线方程
则 AF1 的长度可以为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 如图，直线ι1，ι2 相交于点 O，点 P 是平面内的任意一点，若 x，y 分别表示点 P 到ι1，ι2 的距离，则称（x，y）
为点 P 的“距离坐标”. 下列说法正确的是
5. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x+2y-4=0 与两坐标轴分别交于点 A，B，圆 C 经过 A，B，且圆心在 y 轴上，则圆
16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所 示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标 系 xOy，根据图上尺寸，溢流孔 ABC 所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点 A 的横坐标为________.
江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学试题及答案
旗开得胜 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，________，D 是边 BC 上的一点，∠BAD=π2，且 b=4， c=2，求线段 AD 的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 F：（x-2）2+y2=1，动圆 M 与直线ι：x=-1 相切且与圆 F 外切. （1）记圆心 M 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； （2）已知 A（-2，0），曲线 C 上一点 P 满足 PA=√2PF，求∠PAF 的大小. 19. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为 AC 中点. （1）求证：B1A 平面 C1BD； （2）若 AA1=AB=3，BC=4，且 AB⊥BC，求三棱锥 B-B1C1D 的体积.
旗开得胜
江苏省姜堰第二中学 2020-2021 学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填
涂在答题卡相应位置上.
1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 x2=2y 的焦点为 F，准线为ι，则点 F 到直线ι的距离为
3 读万卷书 行万里路
旗开得胜 14. 在空间直角坐标系中，若三点 A（1，-1，a），B（2，a，0），C（1，a，-2）满足( ⃗ − 2 ⃗) ⊥ ⃗， 则实数 a 的值为________. 15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体 的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑” 四面体 PABC，其中 PA⊥平面 ABC，PA=AC=1，BC=√2，则四面体 PABC 的外接球的表面积为________.
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二(上)10月月考考试数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S2021>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 已知函数f(x)=x2−2x对任意的x∈R，不等式f(x)>−mx−1恒成立，则m的取值范围是（）A.[−2,1]B.(−1,0)C.(0,4)D.[1,5)3. 《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺4. 已知a>0,b>0，且3a+4b=7，则9a+3b +42a+b的最小值为（）A.43 12B.4112C.257D.2375. 已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(√22, 1) B.(12, 1) C.(0, √22) D.(0, 12)6. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则2S n+16a n+3的最小值为()A.3B.4C.2√3−2D.92二、多选题若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的离心率相同，且a1>a2，则下列结论正确的是（）A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点B.a1 a2=b1b2C.a12−a22<b12−b22D.a1−a2<b1−b2对于数列{a n}，若存在正整数k(k≥2)，使得a k<a k−1，a k<a k+1，则称a k是数列{a n}的“谷值”，k是数列{a n}的“谷值点”，在数列{a n}中，若a n=|n+9n−8|，则数列{a n}的“谷值点”为( )A.2B.3C.5D.7三、填空题已知“x2−x−2>0”是“2x+p>0”的必要条件，则实数p的取值范围是________．已知关于x的不等式x2−3ax+2a2<0的解集为{x|1<x<2}，则实数a的值为________.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=12(a n+1a n)，则S10=________.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)恒过定点A(1, 2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．四、解答题已知两个等差数列{a n}，{b n}，其中a1=1，b1=6，b3=0，记{a n}前n项和为T n，T n=n22+n2．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)记c n=a n+b n，设S n=|c1|+|c2|+|c3|+⋯+|c n|，求S n．如图，已知椭圆的两个焦点为F1(−1,0)，F2(1,0),P为椭圆上一点，且2F1F2=PF1+ PF2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P=120∘，△PF1F2的面积．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断等比数列的前n项和【解析】【解答】解：由于数列{a n}是等比数列，所以S n=a1⋅1−q n1−q.由于1−q n1−q >0，所以S2021=a1⋅1−q20211−q>0⇔a1>0,所以“a1>0”是S2021>0的充要条件．故选C.2.【答案】C【考点】一元二次不等式与一元二次方程不等式恒成立问题【解析】将问题转化为一元二次不等式恒成立的问题，根据台的大小进行求解．【解答】解：因为f(x)=x2−2x，故不等式f(x)>−mx−1恒成立，等价于x2+(m−2)x+1>0恒成立，故只需Δ=(m−2)2−4<0，解得m∈(0,4)．故选C．3.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{a n}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴ {a 1+(a 1+3d)+(a 1+6d)=31.5,S 9=9a 1+9×82d =85.5,解得a 1=13.5，d =−1，∴ 小满日影长为a 11=13.5+10×(−1)=3.5（尺）． 故选C . 4. 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为a >0,b >0，且3a +4b =7， 所以9a+3b +42a+b=17[(a +3b)+(2a +b)](9a +3b +42a +b ) =17[13+9(2a+b )a+3b +4(a+3b )2a+b ]≥257，当且仅当9(2a+b )a+3b=4(a+3b )2a+b，即a =2125，b =2825时，等号成立．故选C. 5.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率平面向量数量积的运算 【解析】由∠F 1PF 2为钝角，得到PF 1→⋅PF 2→<0有解，转化为c 2>x 02+y 02有解，求出x 02+y 02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围． 【解答】解：设P(x 0, y 0)，则|x 0|<a ， 又F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，又∠F 1PF 2为钝角，当且仅当PF 1→⋅PF 2→<0有解，即(−c −x 0, −y 0)⋅(c −x 0, −y 0)=(−c −x 0)(c −x 0)+y 02<0，即有c 2>x 02+y 02有解，即c 2>(x 02+y 02)min ． 又y 02=b 2−b 2a 2x 02，∴ x 02+y 02=b 2+c 2a 2x 02∈[b 2, a 2)， 即(x 02+y 02)min =b 2．故c 2>b 2，c 2>a 2−c 2，∴c 2a2>12，即e >√22. 又0<e <1， ∴√22<e <1.故选A ． 6. 【答案】 B【考点】 等比中项等差数列的前n 项和【解析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，可得：a 32=a 1a 13，即(1+2d)2=1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2S n +16a n +3利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【解答】解：∵ a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，∴ a 32=a 1a 13，∴ (1+2d)2=1+12d ，d ≠0， 解得d =2，∴ a n =1+2(n −1)=2n −1， S n =n +n(n−1)2×2=n 2， ∴2S n +16a n +3=2n 2+162n+2=(n +1)2−2(n +1)+9n +1=n +1+9n +1−2≥2√(n +1)×9n+1−2=4，当且仅当n +1=9n+1时取等号，此时n =2，且2S n +16a n +3取到最小值4.故选B ． 二、多选题【答案】 A,B【考点】不等式性质的应用 椭圆的离心率椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：依题意，e =c 1a 1=c 2a 2，即√1−(b 1a 1)2=√1−(b2a2)2，所以b1a 1=b2a 2，所以a1a 2=b1b 2，因此B 正确；又a 1>a 2，所以椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点，因此A 正确； 设b 1a 1=b 2a 2=m ，其中0<m <1，则有(a 12−b 12)−(a 22−b 22)=(1−m 2)(a 12−a 22)>0，即有a 12−b 12>a 22−b 22，则a 12−a 22>b 12−b 22，因此C 错误； (a 1−b 1)−(a 2−b 2)=(1−m)⋅(a 1−a 2)>0，即有a 1−b 1>a 2−b 2，则a 1−a 2>b 1−b 2，因此D 错误． 故选AB ． 【答案】 A,D【考点】 数列的应用 【解析】根据数列的通项公式，求得a 1到a 8，利用定义即可判断． 【解答】解：由a n =|n +9n −8|，得a 1=2，a 2=32，a 3=2，a 4=74，a 5=65，a 6=12，a 7=27，a 8=98， ∴ 2，7是数列{a n }的“谷值点”， 3，5不是数列{a n }的“谷值点”. 故选AD . 三、填空题【答案】 (−∞, −4] 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 【解析】利用不等式的性质，结合必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：由2x +p >0，得x >−p2，令A ={x|x >−p2}.由x 2−x −2>0，解得x >2或x <−1，令B ={x|x >2或x <−1}， 由题意知A ⊆B ， 即−p2≥2，解得p ≤−4，∴ 实数p 的取值范围是(−∞, −4]． 故答案为：(−∞, −4]． 【答案】 1【考点】一元二次不等式的解法 【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用． 【解答】解：因为关于x 的不等式x 2−3ax +2a 2<0的解集为{x|1<x <2}， 所以方程x 2−3ax +2a 2=0的两根是1，2， 所以{1−3a +2a 2=0,4−6a +2a 2=0,解得a =1． 故答案为：1． 【答案】 √10【考点】 数列的求和 等差关系的确定 等差数列的通项公式 【解析】本题考查等差数列的判断． 【解答】解：当n =1时，S 1=12(a 1+1a1)=a 1，解得a 1=1，S 1=1，当n ≥2时S n =12(S n −S n−1+1Sn −S n−1)，整理可得S n 2−S n−12=1，∴ S n 2是首项为1，公差为1的等差数列，∴ S n 2=1+(n −1)×1=n . ∵ {a n }是正项数列，∴ S n =√n ，∴ S 10=√10． 故答案为：√10． 【答案】√5+2 【考点】椭圆的准线方程 椭圆的标准方程 【解析】根据椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)，可得1a 2+4b 2=1，利用椭圆几何量之间的关系，设a 2c =1t ，等式可转化为t 2a 4−(t 2+1)a 2+5＝0，利用判别式，即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值．解：设椭圆的焦距为2c ，同时可设a 2c=1t，∴ c =ta 2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴1a2+4b 2=1，∴ b 2+4a 2=a 2b 2，∴ 5a 2−c 2=a 2(a 2−c 2)，∴ 5a 2−(ta 2)2=a 2[a 2−(ta 2)2]， ∴ t 2a 4−(t 2+1)a 2+5=0，∴ Δ=(t 2+1)2−20t 2≥0时，方程有解， ∴ t 2−2√5t +1≥0，∴ t ≥√5+2，或0<t ≤√5−2， ∴ 0<1t ≤√5−2，或1t ≥√5+2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴ 椭圆的中心到准线x =a 2c>1，∴ 椭圆的中心到准线的距离的最小值√5+2. 故答案为：√5+2. 四、解答题 【答案】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【考点】 数列的求和等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式（1）由T n =n 22+n2，结合a n ＝T n −T n−1求得n ≥2时的通项公式，验证a 1＝1适合，即可求解a n ；由b 1＝6，b 3＝0，得公差d ，再由等差数列的通项公式可得{b n }的通项公式； （2）由（1）知，c n ＝a n +b n ＝9−2n ，分类写出|c n |，然后分类利用等差数列的前n 项和求S n ． 【解答】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ， 由题意知c =1，F 1F 2=2，所以4=PF 1+PF 2=2a ，所以a =2， 所以b 2=a 2−c 2=4−1=3， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)在△PF 1F 2中，PF 2=2a −PF 1=4−PF 1．由余弦定理，得PF 22=PF 12+F 1F 22−2PF 1⋅F 1F 2cos 120∘，即(4−PF 1)2=PF 12+4+2PF 1，所以PF 1=65,所以S △PF 1F 2=12F 1F 2⋅PF 1⋅sin 120∘=12×2×65×√32=3√35．【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 余弦定理 正弦定理 【解析】【解答】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，由题意知c=1，F1F2=2，所以4=PF1+PF2=2a，所以a=2，所以b2=a2−c2=4−1=3，所以椭圆的标准方程为x 24+y23=1.(2)在△PF1F2中，PF2=2a−PF1=4−PF1．由余弦定理，得PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2cos120∘，即(4−PF1)2=PF12+4+2PF1，所以PF1=65,所以S△PF1F2=12F1F2⋅PF1⋅sin120∘=12×2×65×√32=3√35．试卷第11页，总11页。
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二(上)10月阶段性测试数学试卷答案及解析
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题1. 数列{a n }，若a 1=3，a n+1−a n =2，则a 5= ( ) A.9 B.13 C.10 D.112. 数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式是( ) A.−12nB.(−1)n 2nC.(−1)n+12nD.(−1)n 2n−13. 若a <b <0，那么下列不等式中正确的是( ) A.√−a <√−b B.a 2>ab C.1a<1bD.a 2<b 24. 数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a n =( ) A.n 2−n +1 B.n 2+1C.(n −1)2+1D.2n5. “x =1是x 2−4x +3=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若{a n }是单调递增数列，则b 的取值范围为（ ） A.(−1,+∞) B.[−2,+∞) C.(−3,+∞)D.(−92,+∞)7. 若正实数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +9b 的最小值为( ) A.9 B.12 C.25 D.368. 在数列{a n }及{b n }中，a n+1=a n +b n +√a n 2+b n 2，b n+1=a n +b n −√a n 2+b n 2，a 1=1，b 1=1．设c n =2n (1an+1b n)，数列{c n }的前n 项和为S n ，则S 2020=（ ）A.22020−4B.22021−4C.22022−4D.22023−4二、多选题设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合；q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是( )A.B.C. D.下列各选项中，最大值是12的是（ ） A.y =x 2+116x 2B.y =x√1−x 2，x ∈[0,1]C.y =x 2x 4+1D.y =x +4x+2，(x >−2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1=2S n (n ∈N ∗)，则下面正确的有（ ） A.S n =3n−1 B.{S n }为等比数列 C.a n =3n−1 D.{a n }为等比数列已知x +y =1，y >0，x ≠0，则12|x|+|x|y+1的值可能是（ ） A.12B.14C.34D.54三、填空题如果关于x 的不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是________.命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是________．已知数列{a n }中， a 1=1，a n+1=2a n +3n +1，则a n =____________.设x，y是正实数，且x+y=1，则x2x+2+y2+1y+1的最小值是________.四、解答题已知数列{a n}为等差数列，a1+a2=0，a4+a5+a6=21.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n+1a n+2，求数列{b n}的前n项和T n.设p:x|x−1|≤2，q:x2−(3m−1)x−3m<0.(1)解不等式：x|x−1|≤2；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求m的取值范围．已知函数f(x)=x2+2(1+k)x+3+k(k∈R).(1)若对∀x∈R，f(x)>0，求k的取值范围；(2)若∃k∈[−1,0],f(x)≤3，求x的取值范围．在①a5=b4+2b6，②a3+a5=4(b1+b4)，③b2S4=5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{a n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，{b n}是等差数列．已知a1=1，S3−S2=a2+2a1，a4=b3+b5，________．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n b n，求T n．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为a n万元，已知{a n}为等差数列，相关信息如图所示．(1)求a n；(2)该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？已知数列{a n}中，a2=p（P是不等于0的常数），S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=n(a n−a1)2.(1)证明：求a n；(2)记b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2，求数列{b n}的前n项和T n；(3)记c n=T n−2n，是否存在正整数m，使得当n>m时，恒有c n∈(52,3)？若存在，证明你的结论，并给出一个具体的m值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】等差关系的确定 等差数列的通项公式【解析】由题意得到数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2，利用等差数列通项请假记录. 【解答】解：由a 1=3，a n+1−a n =2可得：数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2， ∴ a n =3+2(n −1)=2n +1， ∴ a 5=11. 故选D . 2. 【答案】 B【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用(−1)n−1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式． 【解答】解：由已知中数列−12，14，−18，116，⋯可得数列各项的绝对值是一个以−12为首项，以−12公比的等比数列， 又∵ 数列所有的奇数项为负，偶数项为正， 故可用(−1)n−1来控制各项的符号， 故数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式为(−1)n 2.故选B . 3.【答案】 B【考点】不等式的基本性质 【解析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：对于A ，∵ a <b <0，∴ −a >−b >0，∴ √−a >√−b >0，因此A 不正确； 对于B ，∵ a <b <0，∴ a 2>ab ，因此B 正确； 对于C ，∵ a <b <0，∴ 1a >1b ，因此C 不正确； 对于D ，∵ a <b <0，∴ a 2>b 2，因此D 不正确． 故选B . 4.【答案】 A【考点】 数列递推式 【解析】数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，移项可得，a n+1−a n =2n ，进行叠加，从而求出a n ； 【解答】解：数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ， ∴ a n+1−a n =2n ， a 2−a 1=2， a 3−a 2=4， ⋯a n+1−a n =2n ， 进行叠加可得，a n+1−a 1=2+4+6+⋯+2n =n(2+2n)2=n(n +1)，∴ a n+1=1+n(n +1)，∴ a n =n(n −1)+1=n 2−n +1. 故选A . 5.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得到答案． 【解答】解：若x =1，则x 2−4x +3=0，是充分条件， 若x 2−4x +3=0，则x =1或x =3，不是必要条件. 故选A ． 6.【答案】 C【考点】数列的函数特性 【解析】此题暂无解析【解答】解析：∵{a n}递增，∴a n+1−a n>0，∴(n+1)2+b(n+1)−(n2+bn)>0，∴2n+1+b>0，∴b>−2n−1(n∈N∗)，∴b>(−2n−1)max=−3，即b>−3．故选C.7.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意得到4a +1b=1，则a+b=(a+b)(4a+1b)，利用基本不等式求解即可.【解答】解：∵a>0，b>0，a+4b=ab，∴4a +1b=1，∴a+b=(a+b)(4a +1b)=5+4ba +ab≥5+2√4ba⋅ab=9，当且仅当4ba =ab，即a=6，b=3时等号成立.故a+b的最小值为9.故选A.8.【答案】C【考点】数列递推式等比数列的前n项和【解析】首先利用关系式的组合求出数列{a n+b n}是以a1+b1＝2，以2为公比的等比数列，数列{a n b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，进一步求出数列{c n}的通项公式，最后求出数列的和．【解答】解：∵a n+1=a n+b n+√a n2+b n2，b n+1=a n+b n−√a n2+b n2，a1=1，b1=1，∴a n+1+b n+1=2(a n+b n)，a1+b1=2.∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=(a n+b n)2−(a n2+b n2)=2a n b n，∴a n b n=2n−1．∴c n=2n(1a n+1b n)=2n⋅a n+b na nb n=2n⋅2n2n−1=2n+1，则数列{c n}的前n项和=4(2n−1)2−1=2n+2−4.所以S2020=22022−4，故选C.二、多选题【答案】B,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知，A，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；C，电路图中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D，电路图中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选BD.【答案】B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A，y=x2+116x2≥2√116=12，当且仅当x=±12时取等号，y的最小值是12，无最大值；B，y2=x2(1−x2)≤(x2+1−x22)2=14，y≥0，∴y≤12，当且仅当x=√22时取等号，∴y的最大值为12；C，x=0时，y=0．x≠0时，y=1x2+1x2≤12，当且仅当x=±1时取等号，y的最大值为12；D，y=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，(x>−2)，当且仅当x=0时取等号，y的最小值为2，无最大值.故选BC.【答案】A,B【考点】数列递推式等比关系的确定【解析】首先求出S n，再求a n，即可判断.【解答】解：∵a n+1=2S n(n∈N∗)，∴S n+1−S n=2S n，即S n+1=3S n，又：S1=a1=1≠0，∴{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，故B正确；∴S n=3n−1，故A正确；当n≥2时，a n=S n−S n−1=3n−1−3n−2=2×3n−2，又当n=1时，不符合上式，∴a n={1，n=1，2×3n−2， n≥2.故CD错误.故选AB.【答案】C,D【考点】基本不等式及其应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据条件利用消元法，转化为关于x的式子，利用基本不等式的性质即可求出式子的最值．【解答】解：由x+y=1，y>0得y=1−x>0，解得x<1且x≠0，①当0<x<1时，12|x|+|x|y+1=12x+xy+1，=12x +x2−x=x+2−x4x+x2−x，=14+(2−x4x+x2−x)≥14+2×12=54，当且仅当2−x4x =x2−x即x=23时取等号；②当x<0时，12|x|+|x|y+1=−(12x+xy+1)，=−(12x+x2−x)=2−x+x−4x+−x2−x=−14+(2−x−4x+−x2−x)≥−14+1=34，当且仅当2−x−4x=−x2−x即x=−2时取等号．综上可得，原式最小值34，可能值为34，54.故选CD.三、填空题【答案】(−2,2]【考点】函数恒成立问题一元二次不等式与二次函数一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=(a−2)x2+2(a−2)x−4，当a−2>0即a>2时，函数为开口向上的抛物线，显然不合题意；当a−2=0即a=2时，不等式变为−4<0，恒成立；当a−2<0即a<2时，函数为开口向下的抛物线，要使(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，即要Δ<0，即4(a−2)2+16(a−2)<0，化简得：4(a+2)(a−2)<0，解得：−2<a<2．综上，使不等式恒成立的a的取值范围是(−2, 2]．故答案为：(−2, 2].【答案】∃x0≥2，x02<4【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x0≥2，x02<4．故答案为：∃x0≥2，x02<4．【答案】3n−2n−1−1【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】利用递推关系，构造等比数列，即可求出通项公式.【解答】解：由递推关系得，a n+1+1=2(a n+1)+3n，所以a n+1+1−3n+1=2(a n+1−3n)，而a1+1−31=−1≠0，则数列{a n+1−3n}是以−1为首项，2为公比的等比数列，所以a n+1−3n=−2n−1，故a n=3n−2n−1−1.故答案为：3n−2n−1−1.【答案】√2−1 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：令x+2=m，y+1=n，则x=m−2，y=n−1，∵x，y均为正实数，且x+y=1，∴m>2且n>1,(m−2)+(n−1)=1，即m+n=4，∴x2x+2+y2+1y+1=(m−2)2m+(n−1)2+1n=m2−4m+4m+n2−2n+2n=m+4m−4+n+2n−2=(m+n)+4m+2n−6=4m+2n−2=m+nm+m+n2n−2=(1+nm)+(m2n+12)−2=nm+m2n−12≥2√nm⋅m2n−12=√2−12，当且仅当nm =m2n时取等号，∴x2x+2+y2+1y+1取得最小值是√2−12.故答案为：√2−12.四、解答题【答案】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【答案】解：(1)当x≤0，不等式显然成立；当x≥1时，不等式可化为x2−x−2≤0⇒−1≤x≤2，即1≤x≤2；当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0，由于x2−x+2=(x−12)2+74>0，则当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0恒成立.综上，不等式的解集为{x|x≤2}．(2)令p的解集为A，q的解集为B，由(1)知A={x|x≤2}，由题意知B⊆A.方程x2−(3m−1)x−3m=0的两根为−1和3m.当−1=3m，即m=−13时，B=⌀，B⊆A显然成立；当−1>3m，即m<−13时，B={x|3m<x<−1}，B⊆A显然成立；当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立，则3m ≤2，即m ≤23. 综上m ≤23．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 绝对值不等式的解法与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当x ≤0，不等式显然成立；当x ≥1时，不等式可化为x 2−x −2≤0⇒−1≤x ≤2，即1≤x ≤2； 当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0， 由于x 2−x +2=(x −12)2+74>0，则当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0恒成立. 综上，不等式的解集为{x|x ≤2}． (2)令p 的解集为A ，q 的解集为B ，由(1)知A ={x|x ≤2}，由题意知B ⊆A .方程x 2−(3m −1)x −3m =0的两根为−1和3m . 当−1=3m ，即m =−13时，B =⌀，B ⊆A 显然成立；当−1>3m ，即m <−13时，B ={x|3m <x <−1}，B ⊆A 显然成立； 当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立， 则3m ≤2，即m ≤23.综上m ≤23．【答案】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【考点】全称量词与存在量词 函数恒成立问题 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【答案】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ，∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n 1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【考点】 数列的求和等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ， ∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ， ∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【答案】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【考点】 数列的应用基本不等式在最值问题中的应用 等差数列的通项公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【答案】解：(1)由S 1=a 1=a 1−a 12=0得a 1=0，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=na n 2−n−12a n−1，故(n −2)a n =(n −1)a n−1， 故当n >2时，a n =n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a 2=(n −1)p ，由于n =2时a 2=p ，n =1时a 1=0，也适合该式，故对一切正整数n ， a n =(n −1)p . (2)S n =n(a n −a 1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n −1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1 n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．【考点】数列与不等式的综合数列与函数的综合数列的求和等差关系的确定等差数列的通项公式数列的函数特性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由S1=a1=a1−a12=0得a1=0，当n≥2时，a n=S n−S n−1=na n2−n−12a n−1，故(n−2)a n=(n−1)a n−1，故当n>2时，a n=n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a2=(n−1)p，由于n=2时a2=p，n=1时a1=0，也适合该式，故对一切正整数n，a n=(n−1)p.(2)S n=n(a n−a1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n−1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．。
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷(1)
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷一、选择题1. 数列{a n }，若a 1=3，a n+1−a n =2，则a 5= ( ) A.10 B.9 C.11 D.132. 数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式是( ) A.(−1)n+12nB.−12nC.(−1)n 2n−1D.(−1)n 2n3. 若a <b <0，那么下列不等式中正确的是( ) A.a 2>ab B.√−a <√−b C.a 2<b 2 D.1a<1b4. 数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a n =( ) A.n 2+1 B.n 2−n +1C.2nD.(n −1)2+15. “x =1是x 2−4x +3=0”的( ) A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件6. 设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若{a n }是单调递增数列，则b 的取值范围为（ ） A.(−3,+∞) B.(−1,+∞)C.(−92,+∞)D.[−2,+∞)7. 若正实数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +9b 的最小值为( ) A.25 B.9 C.36 D.128. 在数列{a n }及{b n }中，a n+1=a n +b n +√a n 2+b n 2，b n+1=a n +b n −√a n 2+b n 2，a 1=1，b 1=1．设c n =2n (1an+1b n)，数列{c n }的前n 项和为S n ，则S 2020=（ ）A.22021−4B.22020−4C.22023−4D.22022−4二、多选题设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合；q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是( )A.B.C. D.下列各选项中，最大值是12的是（ ） A.y =x√1−x 2，x ∈[0,1] B.y =x 2+116x 2C.y =x +4x+2，(x >−2)D.y =x 2x 4+1数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1=2S n (n ∈N ∗)，则下面正确的有（ ） A.a n =3n−1B.S n =3n−1C.{a n }为等比数列D.{S n }为等比数列已知x +y =1，y >0，x ≠0，则12|x|+|x|y+1的值可能是（ ） A.34B.12C.54D.14三、填空题如果关于x 的不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是________.命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是________．已知数列{a n }中， a 1=1，a n+1=2a n +3n +1，则a n =____________.设x，y是正实数，且x+y=1，则x2x+2+y2+1y+1的最小值是________.四、解答题已知数列{a n}为等差数列，a1+a2=0，a4+a5+a6=21.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n+1a n+2，求数列{b n}的前n项和T n.设p:x|x−1|≤2，q:x2−(3m−1)x−3m<0.(1)解不等式：x|x−1|≤2；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求m的取值范围．已知函数f(x)=x2+2(1+k)x+3+k(k∈R).(1)若对∀x∈R，f(x)>0，求k的取值范围；(2)若∃k∈[−1,0],f(x)≤3，求x的取值范围．在①a5=b4+2b6，②a3+a5=4(b1+b4)，③b2S4=5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{a n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，{b n}是等差数列．已知a1=1，S3−S2=a2+2a1，a4=b3+b5，________．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n b n，求T n．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为a n万元，已知{a n}为等差数列，相关信息如图所示．(1)求a n；(2)该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？已知数列{a n}中，a2=p（P是不等于0的常数），S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=n(a n−a1)2.(1)证明：求a n；(2)记b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2，求数列{b n}的前n项和T n；(3)记c n=T n−2n，是否存在正整数m，使得当n>m时，恒有c n∈(52,3)？若存在，证明你的结论，并给出一个具体的m值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】等差都升的确定等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】数正且概夏粒简单表示法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】数列体函硫特性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式等比射子的确定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题一元三次腔等式巴二次钢数一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据较盛必食例件求参数取值问题绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】全称量根与存在盖词函数于成立姆题一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和等比数使的前n种和等比数表的弹项公式等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数三的最用基本常等式簧最母问赤中的应用等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数列与验流式的综合数列与表数声综合数使的种和等差都升的确定等差数来的通锰公式数列体函硫特性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷一、选择题1. 命题“∀x ∈(0, 1)，x 2−x <0”的否定是( ) A.∀x 0∈(0, 1)，x 02−x 0≥0 B.∀x 0∉(0, 1)，x 02−x 0<0 C.∃x 0∉(0, 1)，x 02−x 0≥0 D.∃x 0∈(0, 1)，x 02−x 0≥02. 已知关于x 的不等式(a 2−4)x 2+(a −2)x −1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围是( ) A.[−2, 65)B.[−2, 65]C.(−∞, 2)∪(2, +∞)D.(−65, 2]3. 在区间(1,2)上，不等式x 2+mx +4<0有解，则m 的取值范围为( ) A.m >−5 B.m >−4 C.m <−5 D.m <−44. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +16a n +3的最小值为( )A.2√3−2B.3C.92D.45. 下列式子中最小值为4的是（ ） A.ln x3+12ln x B.6x +23xC.5x +45D.sin 2x +4sin 2x6. 已知“整数对”按如下规律排列：(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)，(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1),…，则第68个“整数对”为（ ） A.(2, 11) B.(1, 12) C.(3, 9) D.(3, 10)二、多选题已知正数a ，b 满足a +b =4，ab 的最大值为t ，不等式x 2+3x −t <0的解集为M ，则( ) A.t =4 B.t =2 C.M ={x|−1<x <4} D.M ={x|−4<x <1}下列说法中正确的有( ) A.若a ，b ∈(0,+∞)，则ba +ab ≥2B.不等式a +b ≥2√ab 恒成立C.若正实数x ，y 满足x +2y =1，则2x+1y ≥8D.存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 三、填空题命题“∃x ∈R ，x 2+ax −4a <0”为假命题，是“−16≤a ≤0”的________条件．已知函数f (x )=x 2−kx +4对任意的x ∈[1,3]，不等式f (x )≥0恒成立，则实数k 的最大值为________.已知m >0，n >0，且1m+2+1n+2=13，则m +2n 的最小值为________.某林场年初有森林木材存量Sm 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量xm 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是________. 四、解答题过点P (3,4)的直线l .(1)求l 在两个坐标轴上截距相等的方程；(2)求l 与x ，y 正半轴相交，交点分别是A ，B ，当△AOB 面积最小时的直线方程．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a nan +3(n ∈N ∗)．(1)求证：{1a n+12}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；(2)数列{b n }满足b n =(3n −1)⋅n2n ⋅a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(−1)n λ<T n +n2n−1对一切n ∈N ∗恒成立，求λ的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】一元二次较等绕的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】不等式都特立问题函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】等射中经等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数三的最用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和等比数表的弹项公式等体数决【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷(3)
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷一、选择题1. 已知空间向量a →=(1,−1,0)，b →=(m,1,−1)，若a →⊥b →，则实数m =( ) A.−1 B.−2 C.1 D.22. 盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 不等式x(4−x)<3的解集为（ ） A.{x|x <0或x >4} B.{x|x <1或x >3}C.{x|0<x <4}D.{x|1<x <3}4. 已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM =3MC ，点N 是棱AD 的中点，若MN →=xAB →+yAC →+zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则x +y +z 的值是（ ）A.−12 B.12C.2D.−25. 中国古诗词中，有一道“八子分棉”的数学名题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤棉分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分棉，年龄小的比年龄大的多17斤棉，那么第8个儿子分到的棉是( ) A.184斤 B.174斤C.191斤D.201斤6. 已知关于x 的不等式(a 2−4)x 2+(a −2)x −1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围是( )A.[−2, 65)B.[−2, 65]C.(−∞, 2)∪(2, +∞)D.(−65, 2]7. 若正数a ，b 满足ab =2(a +b)+5，设y =(a +b −4)(12−a −b)，则y 的最大值是（ ） A.−12 B.12 C.−16 D.168. 已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →⋅OB →=2（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.5 B.4 C.2 D.3二、多选题下面命题正确的是( )A.设a,b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件B.设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的必要而不充分条件C.“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件D.命题“任意x ∈R ，则x 2+x +1<0"的否定是“存在x ∈R ，则x 2+x +1≥0”．已知向量a →⋅b →=b →⋅c →=a →⋅c →，b →=(3,0,−1)，c →=(−1,5,−3)，下列等式中正确的是( ) A.|a →+b →+c →|=|a →−b →−c →| B.(a →+b →+c →)2=a →2+b →2+c →2 C.(a →⋅b →)c →=b →⋅c →D.(a →+b →)⋅c →=a →⋅(b →+c →)设P 是椭圆C:x 22+y 2=1上任意一点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，则（ ）A.−2<PF 1−PF 2<2B.PF 1+PF 2=2√2C.1≤PF 1⋅PF 2≤2D.0≤PF 1→⋅PF 2→≤1已知数列{a n }满足：a 1=m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时，3a n +1，当a n 为奇数时，若a 4=7，则m 所有可能的取值为( ) A.56 B.28 C.9 D.18三、填空题已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2−2n ，则a 3+a 17=________.已知四棱柱ABCD −A 1BC 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB =5，AD =3，AA 1=4，∠BAA 1=∠DAA 1=60∘，则AC 1=________.双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，l 1，l 2为其渐近线，F 为右焦点．过F 作l // l 2且l 交双曲线C 于R ，交l 1于M ．若FR →=λFM →，且λ∈(12, 34)则双曲线的离心率的取值范围为________．如果对于一切的正实数x ，y ，不等式y4−cos 2x ≥a sin x −9y 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 四、解答题已知双曲线C 1的渐近线是√3x ±2y =0，焦点坐标是F 1(−√7, 0)，F 2(√7, 0)． (1)求双曲线C 1的方程；(2)若椭圆C 2与双曲线C 1有公共的焦点，且它们的离心率之和为5√76，点P 在椭圆C 2上，且|PF 1|=4，求∠F 1PF 2的大小．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 2=3，2S n =n +na n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列c n ={a n+1,n 为奇数,3×2a n−1+1,n 为偶数,的前2n 项和T 2n .因疫情影响，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．(1)据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入−月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x ≥9)元，并投入265(x −9)万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2(x−8)2万只.则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0，已知b 1=1，b 2+2b 3=1，(a 2+a 6)b 4=1，a 4b 2=a 5−a 3.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式；(2)设c n =1+1n (n+2)，S n =c 1⋅c 2⋅c 3⋯c n (n ∈N ∗). ①求S n ； ②求∑b k −b k+1kS kn k=1(n ∈N ∗).如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD // BC ，AB ⊥AD ，BC=2√33．AB =1，BD =PA =2．(1)求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；(2)在边BC 是否存在一点Q 使二面角A −PD −Q 的余弦值为√3010，若存在请确定点Q 的位置，不存在，请说明理由．平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√32，抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】向量的常量育故星向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】一元二次较等绕的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】向量在于何中侧应用向量因滤性线算性吨及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】一元二次较等绕的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】二次明数织性质基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质圆锥曲三的综合度题平面常量么量积基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】空间向量射数量象运算空间向射的数乘放算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程椭于凸定义平面常量么量积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】向量常长至计算空间表量的擦本走银及其意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】同角体角序数基璃室系的运用函数于成立姆题基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅椭圆较标准划程椭圆水明心率余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式数使的种和等比数使的前n种和等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型一元二次正等式的解且基来雨等式基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式等差数来的通锰公式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程抛物使之性质直体的氯率圆锥来线中雨配点缺定值问题圆锥根迹中的尺围静最值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
【数学】江苏省泰州中学2020学年高二上学期开学摸底考试数学试题版含答案
【关键字】数学江苏省泰州中学高二年级数学期初检测第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．）1．函数的定义域为．2．已知全集，集合，，那么集合．3．用“”将，，从小到大排列是．4．设变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围是．5．若，，则．6．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则．7．若，，是互不重合的直线，，，是互不重合的平面，给出下列命题：①若,，，则或；②若，，，则；③若不笔直于，则不可能笔直于内的无数条直线；④若，，，，则且；⑤若，，且，，，则，，.其中正确的命题是．（填序号）8．已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差．9．已知直线与圆心为的圆相交于，两点，且，则实数的值为．10．设的内角，，所对的边分别为，，，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为．11．设，，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为．12．设，为实数，若，则的最大值．13．已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为．14．在锐角中，，为边上的点，与的面积分别为2和4，过做于，于，则．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知直线：.（1）求过点且与直线笔直的直线的方程；（2）若直线与两坐标所围成的三角形的面积大于4，求实数的取值范围.16．一副直角三角板（如图1）拼接，将折起，得到三棱锥（如图2）.（1）若，分别为，的中点，求证：平面；（2）若平面平面，求证：平面平面.17．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足（为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）.（1）求常数，并将该厂家2016年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？18．在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以为圆心的圆：（）与圆交于，两点.（1）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，，当直线长最小时，求直线的方程；（2）设是圆上异于，的任意一点，直线、分别与轴交于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19．已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 20．已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，.（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.江苏省泰州中学高二年级数学期初检测答案一、填空题1．2．3．4．5．6．7．②④⑤8．9．10．0或6 11．4 12．13．8 14．二、解答题，15．解：（1）与直线l垂直的直线的斜率为2因为点()2,3在该直线上，所以所求直线方程为()322y x -=--， 故所求的直线方程为270x y +-=.（2）直线l 与两坐标轴的交点分别为()22,0m -+，()0,1m -， 则所围成的三角形的面积为12212m m ⨯-+⨯-. 由题意可知122142m m ⨯-+⨯->，化简得()214m ->， 解得3m >或1m <-，所以实数m 的取值范围是()(),13,-∞-+∞.16．证明：（1）因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥. 又EF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以EF ∥平面ACD . （2）因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC平面BCD BC =，CD ⊂平面BCD ，CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC .因为AB ⊂平面ABC ，所以CD AB ⊥. 又因为AB AC ⊥，AC CD C =，AC ⊂平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD .又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD . 17．解：（1）由题意，当0t =时，1x =，代入421k x t =-+中，得141k=-，得3k = 故3421x t =-+，∴()6121.5612xy x x t x+=⨯⨯-+- 33636421x t t ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭182721t t t -=--+（0t ≥）. （2）由（1）知：182721y t t =--=+9127.5122t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⎣⎦. 由基本不等式91122t t ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭+6=， 当且仅当91122t t =++，即 2.5t =时等号成立，故18912727.512122y t t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=--=-++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥+⎣⎦27.5621.5≤-=. 答：该厂家2016年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大. 18．解：（1）设直线l 的方程为1x ya b+=（0a >，0b >），即0bx ay ab +-=， 由直线l 与圆O2=，即221114a b +=. 2224DE a b =+=()22221116a b ab ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b ==l的方程为0x y +-=.（2）设()00,B x y ，()11,P x y （10y y ≠），则()00,C x y -，22004x y +=，22114x y +=直线PB 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--直线PC 的方程为：()011101y y y y x x x x ---=--分别令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，100101N x y x y x y y +=+，所以222210012201M N x y x y OM ON x x y y -⋅===-()()222210012201444y y y y y y ---=-为定值. 19．解：（1）由21log 50x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭.（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意. 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意. 当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠.1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >. 于是满足题意的(]1,2a ∈. 综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4.（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减.函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立. 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥. 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20．解：（1）因为22n n S a =-，所以当2n ≥时，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又1122S a =-，则12a =，所以数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，故2n n a =.由12n n n n T b T b ++=得1123T b T b =，2234T bT b =，3345T b T b =，…，111n n n n T b T b --+=，12n n n n T b T b ++=， 以上n 个式子相乘得11212n n n T b bT b b ++=，即12n n n T b b +=①，当2n ≥时，112n n n T b b --=②， 两式相减得()112n n n n b b b b +-=-，即112n n b b +--=（2n ≥），所以数列{}n b 的奇数项、偶数项分别成等差数列， 又1123T b T b =，所以32123b T b b ==+=，则1322b b b +=， 所以数列{}n b 是以11b =为首项，1为公差的等差数列，因此数列{}n b 的通项公式为n b n = （2）当1n =时，11n n n n a b a b +++-无意义，设()112121n n n n nn n a b n c a b n +++++==--+（2n ≥，*n ∈N ），显然1n c >. 则()()11122212221n n n n n nn n c c n n +++++++-=--+-+()()11202221n n nn n n ++-⋅=<⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦，即11n n c c +>>.显然()2121n nn n ++>-+，所以234731c c c =>=>>>，所以存在2n =，使得72b c =，33b c =，下面证明不存在2n c =，否则()21221n n n n c n ++==-+，即()231n n =+，此式右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该式不成立. 综上，满足要求的n b 为3b ，7b .此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期第二次月度检测数学试题
江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期第二次月度检测数学试题一､选择题(本大题共8小题，共40分) 1. 在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限D分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122i - 对应点为11(,)22-，在第四象限，故选D. 点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.2. 已知a ，b ，c 是正实数，则“lg a ，lg b ，lg c 成等差数列”是“a ，b ，c 成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件C由对数的运算结合等差、等比数列的定义运算即可得解. 解：若lg a ，lg b ，lg c 成等差数列， 则2lg lg lg lg()b a c ac =+=，所以2b ac =， 即正实数a ，b ，c 成等比数列.若正实数a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =，所以2lg lg()b ac =， 即2lg lg lg b a c =+.所以“lg a ，lg b ，lg c 成等差数列”是“正实数a ，b ，c 成等比数列”的充要条件.故选：C. 本题考查了对数的运算及等差、等比数列的定义，重点考查了充分必要条件，属基础题.3. 设函数()sin 3xg x e x =++，则()()00g g '+=（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8C【分析】求得()g x '，进而可求得()()00g g '+的值.()sin 3x g x e x =++，()cos x g x e x '∴=+，则()04g =，()02g '=， 因此，()()006g g '+=.故选：C.4. 空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =的平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0n μυωμυω=≠的直线l 的方程为x x y y z z μυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为321x y z==-，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.B 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l与平面a 所成角的正弦值.因为平面α的方程为3570x y z -+-=，故其法向量为()3,5,1n =-，因为直线l 的方程为321x y z==-，故其方向向量为()3,2,1m =-， 故直线l 与平面a ==，故选：B .关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键. 5. 已知等差数列{}n a 满足1510a a +=，833a a =，则数列{}n a 的前10项的和等于（ ）A. 10B. 11C. 100D. 110C直接利用等差数列的通项公式和求和公式计算得到答案.1512410a a a d +=+=，833a a =，则()11732a d a d +=+，解得112a d =⎧⎨=⎩，故101109101002S a d ⨯=+=.故选：C. 本题考查了等差数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.6. 在R 上定义运算:a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，若不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ 对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 12-B. 32-C.12D.32D根据定义,不等式转化为221x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，转化为求21y x x =-+的最小值，再解不等式.由定义知，不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭等价于()2221x x a a ----≥，所以221x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立.因为221331244x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以234a a -≤，解得1322a -≤≤ ，则实数a 的最大值为32. 故选：D. 本题考查函数新定义，一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题型.7. 已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为n S ，且3n S +、n S 、6n S +成等差数列，则4a 等于（ ）A. 1或12-B. 1或2-C. 12-D. 2-D【分析】根据已知条件得出36n n n n S S S S ++-=-，可得出()()312+320n n n a a a q +++++=，分析出1230n n n a a a +++++≠，可求得3q 的值，进一步可求得4a 的值.因为3n S +、n S 、6n S +成等差数列，则36n n n n S S S S ++-=-， 可得123123456n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++---=+++++，所以，()12+345620n n n n n n a a a a a a ++++++++++=，即()()312+312+320n n n n n n a a a q a a a +++++++++=，即()()312+320n n n a a a q +++++=，()2212311131024n n n n n a a a a q q a q +++++⎡⎤⎛⎫++=++=++≠⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，320q ∴+=，即32q =-，因此，3412a a q ==-.故选：D.方法点睛：在求解等比数列问题时，利用等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．8. 已知1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且()110PF OF OP ⋅+=，O 为坐标原点，若122PF PF =，则椭圆的离心率为（ ）- B.2D.2A由向量加法的平行四边形法则及()110PF OF OP ⋅+=可证得12PF F P ⊥，从而在12PF F ∆中易得到,a c 的关系．得离心率．如图，取1PF 中点A ，连接OA ，则1212,2OA OF OP OA F P =+=， ∴12OF OP F P +=，∵()110PF OF OP ⋅+=，∴120PF F P ⋅=，∴12PF F P ⊥， ∵122PF PF =，不妨设2PF m =，则12PF m =，∴122PF PF a m +==，1)m a ==， 又122F F c =，∴222222242331)12(3c m m m a a =+==⨯=-，∴2221)c a=，∴1)e ==．故选：A本题考查求椭圆的离心率，解题关键是由()110PF OF OP ⋅+=得出12PF F P ⊥，从而可快速得到,a c 的关系．二､不定项选择题(本大题共4小题，共20.0分) 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 复数()31i +的虚部是2iB.112i i =+ C. 复数3z i =-的共轭复数是3z i =+D. 满足3310z z +-=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是椭圆 CD【分析】对()31i +化简可判断A ；由1i i =+可判断B ；求出3z i =-的共轭复数可判断C ；设(),,z x yi x y R =+∈10=，根据椭圆的定义可判断D .对于A ， 复数()()()31121221i i i i ++-+==-+，虚部是2，故错误；对于B ，()111222i i i i i -+====+，故错误； 对于C ，复数3z i =-的共轭复数是3z i =+，正确； 对于D ，设(),,z x yi x y R =+∈，由3310z z +-=+得10=，可看作动点(),P x y 到两个定点()()12,,,0330F F -的距离的和为10的点的轨迹，由于12610F F =<，根据椭圆的定义可得(),P x y 点的轨迹是椭圆，所以复数z 在复平面上对应点的轨迹是椭圆，故正确. 故选：CD .本题考查了复数的有关概念，解题关键点是熟悉复数的有关概念和几何意义，考查了学生的计算能力.10. 已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式220x x a --+≥的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ）A .B. 1C. 2D. 3ABC【分析】设2(2)x x f x a =--+，其图像是开口向下，对称轴是1x =-，如图所示，若关于x 的一元二次不等式220x x a --+≥的解集中有且仅有3个整数，利用数形结合的方法得出(3)0(2)0f f -<⎧⎨-≥⎩，从而解出所有符合条件的a 的值． 设2(2)x x f x a =--+，其图像开口向下，对称轴是1x =-，如图所示.若关于x 的一元二次不等式220x x a --+≥的解集中有且仅有3个整数，则(3)0(2)0f f -<⎧⎨-≥⎩，即22960(3)2(3)0440(2)2(2)0a a a a -++<⎧---⨯-+<⎧⇒⎨⎨-++≥---⨯-+≥⎩⎩，解得：03a ≤<， 又a Z ∈，故a 可以为0，1，2故选：ABC关键点点睛：本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，根据二次函数的对称性结合图像得出(3)0(2)0f f -<⎧⎨-≥⎩是关键的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．11. 下表为森德拉姆(Sundaram ，1934)素数筛法矩阵，其特点是每行每列的数均成等差数列，下面结论正确的是（ ） 4 7 10 13 16 19 ...... 7 12 17 22 27 32 ...... 10 17 24 31 38 45 (13)2231404958……A. 第3行第10列的数为73B. 第2行第19列的数与第6行第7列的数相等C. 第13行中前13列的数之和为2626D. 200会出现在此矩阵中ABC【分析】先观察第一列的通项，再得到第n 行的第m 个数是(21)m n m ++，从而可判断ABD ，再由第13行的首项及公差可判断C.第一列是以4为首项，3为公差的等差数列， 所以第n 行的第一个数是43(1)31n n +-=+，第一行的公差为3，第二行的公差为5，第三行的公差为7，……第n 行的公差为21n ， 所以第n 行的第m 个数是31(1)(21)(21)n m n m n m ++-+=++， 所以第3行第10列的数为(2101)31073⨯+⨯+=，A 正确；第2行第19列的数为(2191)21997⨯+⨯+=，第6行第7列的数为(271)6797⨯+⨯+=，B 正确；第13行的第一个数是313140⨯+=，公差为213127⨯+=，所以前13个数的和为1312134********⨯⨯+⨯=.，C 正确； 令(21)200m n m ++=，得2001401(1)21221m n m m -==-++，显然无解.，D 不正确.故选：ABC. 关键点点睛：本题的解题关键是得到第n 行的第一个数是31n +，第n 行的公差为21n ，第n 行的第m 个数是(21)m n m ++，考查了学生的观察能力及等差数列的应用能力.12. 已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，AB ,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ） A. 234OC OD p ⋅=-B. 四边形ACBD 面积最小值216pC. 1112AB CD p+= D. 若24AF BF p ⋅=，则直线CD 的斜率为3-ACD利用抛物线的极坐标方程求出,,,AF BF AB CD ，然后即可计算求解，判断出各选项的真假．设AB 的倾斜角为θ，则有222222|AB |,|CD |sin cos sin 2pp pπθθθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以1112AB CD p+=，C正确；||,||1cos 1cos p p AF BF θθ==-+，若24AF BF p ⋅=，则1sin 2θ=，3tan 3θ=，直线CD 的斜率为3-，D 正确；22222212882sin cos sin 2ABCDp B D p S p A C θθθ===，所以B 不正确； 设()()1122,,,C x y D x y ，由抛物线过焦点弦的性质可知，221212,4p x x y y p ==-，2121234OC OD x x y y p ⋅=+=-，所以A 正确．故选：ACD ．本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能力，属于较难题． 三､填空题(本大题共4小题，共20分)13. 命题“230x ,x x ∀∈-+>R ”的否定是___________2000,30x R x x ∃∈-+≤全称命题的否定是特称命题.2x R,x x 30∀∈-+>否定是：2000x R,x x 30∃∈-+≤全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.14. 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站___________km 处 5设仓库到车站距离为x ，每月土地费用为1y ，每月货物的运输费用为2y ，据题意用待定系数法设出两个函数11k y x=，22y k x =，将两点（10，2）与（10，8）代入求出两个参数．再建立费用的函数解析式．用基本不等式求出等号成立的条件即可．设仓库到车站距离为x ，每月土地费用为1y ，每月货物的运输费用为2y ， 由题意可设11k y x=，22y k x =， 把110,2x y ==与210,8x y ==分别代入上式得1220,0.8k k ==，1220,0.8y y x x∴==， 费用之和12200.8248y y y x x=+=+≥⨯=， 当且仅当200.8x x=，即x =5时等号成立． 当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小． 故答案为：5.本题是函数应用中费用最少的问题，考查学生建立数学模型的能力及选定系数求解析式，基本不等式求最值的相关知识与技能，属于中档题．15. 2222:1(0)x y r a b a b +=>>过点()0,1M ，过点M 引两条互相垂直的直线1l ，2l ，若P 为椭圆上任意一点，记P 到两直线的距离分别为1d ，2d ，则2212d d +的最大值为__________.163【分析】由题可求出,a b ，得出椭圆方程，设()00,P x y ，由题可得2202212116333P y d M d ⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭+，即可求得最值.椭圆过点()0,1M ，1b ∴=，离心率为2c e a ==，结合222a b c =+可解得2,a c ==， ∴椭圆方程为2214x y +=， 设()00,P x y ，则220014x y +=，12l l ⊥，()()2222220000221201161441333PM x d d y y y y ⎛⎫∴==+-=-+-=-++ ⎪⎝⎭+，011y -≤≤，∴当031y =-时，2212d d +取得最大值为163.故答案为：163. 本题考查根据椭圆的有界性求范围，解题的关键是根据题意得出22122d d PM +=. 16. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．116-；10011(1)32-. （1）令1n =，114a =-；443311,,168S a S a =-=--两式对减得到3116=-a ； （2）由1(1),,2n n n n S a n N *=--∈可得1(1(1),,)22n n n n n S n N n S S -*=--∈≥-当n 为偶数时，可得222121,2k k k k S S S -=--整理得2121,2k k S --=当n 为奇数时，可得21212211(,2)k k k k S S S +++-=--整理得221212221111202222k k k k k S S ++++=-+⨯+==，所以501210013991001114411(1)13214S S SS S S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==--.四､解答题(本大题共6小题，共70分)17. 已知函数1()x f x x bα-=-（1）若不等式()0f x <的解集为()3,1-，求a ，b 的值； （2）当1a =时，求不等式()0f x >的解集.（1）13a b =⎧⎨=-⎩；（2）答案见解析.【分析】（1）根据不等式解集得对应方程的根，再根据韦达定理求a ，b 的值； （2）根据b 与1的大小分类讨论，即得对应不等式解集. 解：（1）若不等式1()0ax f x x b-=<-解集为()3,1-， 即不等式()()10ax x b --<的解集为()3,1-，所以0113a ab >⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩﹐所以13a b =⎧⎨=-⎩；（2）当1a =时，不等式()0f x >即10(1)()0x x x b x b->⇒-->-， ①当1b >时，不等式()0f x >的解集为(,1)(,)b -∞⋃+∞， ②当1b =时，不等式()0f x >的解集为{|1}x x ≠， ③当1b <时，不等式()0f x >的解集为()()–,1,b ∞+∞. 综上所述：当1b >时，不等式()0f x >的解集为(,1)(,)b -∞⋃+∞， 当1b =时，不等式()0f x >的解集为{|1}x x ≠， 当1b <时，不等式()0f x >的解集为()()–,1,b ∞+∞.本题第二问关键在于分类讨论b 与1的大小，即得对应不等式解集. 18. 已知函数32()2f x x x x =-++（1）求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程; （2）求经过点(1,3)A 的曲线()f x 的切线方程. （1）210x y -+=；（2）20x y -+=或210x y -+=试题分析：（1）求出()2321f x x x '=-+,求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设切点坐标为()32,2m m m m -++ ，求出()'f m 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()32,2m mm m -++的切线方程，将()1,3代入切线方程可求得m 的值，从而可得结果.试题解析：（1）函数32()2f x x x x =-++的导数为()2321f x x x '=-+，可得曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)3212f '=-+=， 切点为(1,3)，所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程32(1)y x -=-， 即为210x y -+=；（2）设切点为(,)m n ，可得322n m m m =-++，由()f x 的导数()2321f x x x '=-+，可得切线的斜率为()2321f m m m =-+'，切线的方程为223)(2)(321)(y m m m x m m m -+--=-++， 由切线经过点(1,3)，可得223)3321)((1(2)m m m m m m --++=--+，化为2(1)0m m -=，解得0m =或1． 则切线的方程为2y x -=或32(1)y x -=-， 即为2y x =+或21y x =+．【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；（2）己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；（3）巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.19. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d ，1d ，2d ，3d ，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(]0,33.3v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]1,2k ∈）．阶段 0.准备1.人的反应2.系统反应3.制动时间0t10.8t =秒20.2t =秒3t距离010d =米 1d 2d2320v d k=米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求当1k =，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？（1）()21020v d v v k=++；2.4秒；（2）72（千米/小时）．（1）由图，分别计算出报警时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离0d ，1d ，2d ，3d ，代入()0123d v d d d d =+++中即可，()10120v t v v =++，利用基本不等式求最值；（2）将问题转化为对于任意[]1,2k ∈，()50d v <恒成立，利用分离参数求范围即可. （1）由题意得()0123d v d d d d =+++，所以()22100.80.2102020v v d v v v v k k =+++=++． 当1k =时，()21020v d v v =++，()1010211212 2.420202v v t v v v =++≥+⨯=+⨯≈（秒）． 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒． （2）根据题意要求对于任意[]1,2k ∈，()50d v <恒成立，即对于任意[]1,2k ∈，2105020v v k++<，即2140120k v v <-恒成立， 由[]1,2k ∈，得111,204020k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 所以2140120v v<-，即2208000v v +-<，解得4020v -<<． 所以020v <<，360020721000⨯=（千米/小时）． 20. 在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2224AB CD BC AD ====，60DAB ∠=︒，AE BE =，PAD ∆为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求二面角P EC D --的余弦值；（2）线段PC 上是否存在一点M ，使异面直线DM 和PE 所成角的余弦值为68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由. （1）22（2）存在点M 为线段PC 的三等分点满足题意，详见解析 （1）利用向量法求二面角P EC D --的余弦值；（2）设(01)PM PC λλ=，利用向量法得到cos,8DM PE<>==，解方程即得解.设O是AD中点，PAD∆为正三角形，则PO AD⊥，平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥面ABCD，又∵2AD AE==，60DAB∠=︒，所以ADE为正三角形，OE AD⊥，建立如图所示空间直角坐标系O xyz-，则((),P E()(),1,0,0C D--，于是(2,3,3),(0,3,PC PE=--=，DP=，(1)设平面PEC的法向量为1(,,)n x y z=，由120,0PC n PE n⋅=⋅=得一个法向量为1(0,1,1)n=，平面EDC的一个法向量为2(0,0,1)n=，设二面角P ECD--的平面角为θ，则12|cos|cos,n nθ=<>==由图知为θ锐角，所以，二面角P EC D--.(2)设(01)PM PCλλ=，则(2,)PMλ=-，(12,3,33),(0,3,DM DP PM PEλλλ=+=--=，所以cos,8||6DM PEDM PEDM PE⋅<>===‖解得13λ=或23，所以存在点M为线段PC的三等分点.本题主要考查空间二面角的求法，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21. 已知数列{}n a中113a=，1(*)34nnnaa n Na+=∈+（1）求证：11na⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，求数列{}n a的通项公式；（2）已知：数列{}n b ，满足(41)2n n n nn b a -=；①求数列{}n b 的前n 项和n T ；②记集合*(1)(2)|(2),22n n n n M n T n N λ++⎧⎫=-≥∈⎨⎬⎩⎭若M 中含有5个元素，求实数λ的取值范围.（1）证明见解析，141n n a =-；（2）①222n n n T +=-；②2115,3216 ⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据等比数列的定义直接即可证明，进而求出11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，得出{}n a 的通项公式； （2）①可得2n nnb =，利用错位相减法可求出n T ； ②化简可得*(1)|,2n n n M n n N λ+⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭，令()12n nn n x +=，根据{}n x 的单调性得出其中的元素即可求出.（1）证明：34111144411111n n n n n n n a a a a a a a +++++===+++，且1114a +=， ∴11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为4的等比数列. ∴114nn a +=，141n n a =-； （2）解：①由题意结合（1）有2n nnb =， 则23111111123,(1)22222n n nT n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，2341111111123(1)222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯， 两式相减有231111111222222n n n T n +=++++-⨯11111221212nn n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⨯-，∴222n nn T +=-②化简*(1)|,2n n n M n n N λ+⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭，设()12n nn n x +=，11(2)(1)2n n n n n x x ++-+-=-， 所以{}n x 当2n ≤时单调递增，在3n ≥时单调递减， 所以123456x x x x x x <=>>>>…， 又11x =51516x =，62132x =，因为M 中只有5个元素，根据上述单调性的分析可知{}1,2,3,4,5M =， 所以λ的取值范围为2115,3216 ⎛⎤⎥⎝⎦. 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.22. 已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴与点N ，交C 于点,A P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .（ⅰ）设直线,PM QM 的斜率分别为12,k k ，证明21k k 为定值；（ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值.（Ⅰ） 22142x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）见解析，（ⅱ）直线AB 6试题分析：（Ⅰ）分别计算a,b 即得.（Ⅱ）（ⅰ）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由M(0,m)，可得,P Q 的坐标，进而得到直线PM 的斜率k ，直线QM 的斜率'k ，可得'k k为定值. （ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .直线PA 的方程为y=kx+m ，直线QB 的方程为y=–3kx+m.联立22,{1,42y kx m x y =++=应用一元二次方程根与系数的关系得到21x x -，21y y -，进而可得.AB k 应用基本不等式即得.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c. 由题意知24,222a c == 所以222,2a b a c =-=所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）设0000(,)(0,0)P x y x y >>， 由M(0,m)，可得00(,2),(,2).P x m Q x m - 所以直线PM 的斜率002m m mk x x -==， 直线QM 的斜率0023m m mk x x '--==-. 此时3k k '=-.所以k k'为定值–3.（ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y . 直线PA 的方程为y=kx+m ， 直线QB 的方程为y=–3kx+m.联立 22,{1,42y kx m x y =++= 整理得222(21)4240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+， 所以.同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++. 所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++， 所以221216111(6).44ABy y k k k x x k k-+===+- 由00,0m x >>，可知k>0， 所以1626k k +≥6k =. 2648m =-，即14m =. 所以直线AB 6椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，基本不等式。
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江苏省泰州中学高二第一学期期中模拟检测2020.11.6一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.命题21,0:<+>∃aa a p ，则p 的否定为（ ） A ．21,0<+<∀a a a B ．21,0≥+<∃a a a C ．21,0<+>∀aa aD ．21,0≥+>∀aa a2. 若双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知关于x 不等式0ax b ->的解集为(),1-∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-解集为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),21,-∞-⋃+∞4. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A. 32 B. 22 C. 13 D. 125.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x （1﹣y ）．若不等式（x ﹣a ）⊗（x +1）＜1对任意实数x 成立，则（ ） A ．﹣1＜a ＜1B ．﹣2＜a ＜0C ．0＜a ＜2D ．﹣2＜a ＜26.在公比为q 的正项等比数列{a n }中，4a ＝1，则当262a a +取得最小值时，2log q 等于（ ） A ．B ．﹣C ．D ．﹣7.在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前三项的和为7，若存在m ，n ∈N *使得，则14m n+的最小值为（ ） A ．B ．C ．32D ．548.已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n∈N *)，则满足1 0011 000＜S 2n S n ＜1110的n的最大值为( )．A.7B.8C.9D.10二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为C．存在点P，使PF1⊥PF2D．PF1的取值范围是[1，3]10. 数列{a n}是首项为1的正项数列，a n+1＝2a n+3,S n是数列{a n}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．3a＝13B．数列{3na+}是等比数列C．n a＝4n﹣3D．11.设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1＞1，910a a＞1，9101 1a a --＜0，则下列结论正确的是（）A．0＜q＜1B．1011a a＞1C．S n的最大值为S10D．T n的最大值为T9 12. 下列结论不正确的是（）A．当x＞0时，B．当x＞0时，的最小值是2C．当时，的最小值是D．设x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为________．14. 设椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||22F F =，P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且212PF F F ⊥，则椭圆C 的方程为________．15.已知x ，y 为非负实数，且满足x +2y ＝1，则的最小值是 ．16.为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a 元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．(式子要整理成最简形式） 四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设p ：实数x 满足x 2﹣4ax ﹣5a 2＜0，a ＞0，q ：实数x 满足x 2﹣5x +6＜0． （1）若a ＝1，A={}|x x p ∈，B={}|x x q ∈，求AB ;（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18. 已知关于x 的不等式ax 2﹣3x +2＞0（a ∈R ）．（1）若不等式ax 2﹣3x +2＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，求a ，b 的值； （2）求不等式ax 2﹣3x +2＞5﹣ax （a ∈R ）的解集．19. 已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）以椭圆的右焦点为焦点F ．（1）求抛物线方程．（2）过F 作直线L 与抛物线交于C ，D 两点，已知线段CD 的中点M 横坐标3，求弦|CD |的长度．20.已知数列{a n }中，1a ＝21，5a ＝9，满足2120n n n a a a ++-+=（n ∈N *） （1）求数列{a n }的通项公式 （2）若1(27)n n b n a =-，数列{b n }的前n 项和为T n ，是否存在最大的整数p ，使得对任意（n ∈N *）均有成立？若存在，求出p ，若不存在，请说明理由．21.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且12a a +＝6，123a a a =. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }通项公式为b n ＝2n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .22. 已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，椭圆的短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线1l ，2l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设1l ，2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D.①求AB CD +的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求OMN面积的最大值.江苏省泰州中学高二第一学期期中模拟检测2020.11.6一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.命题21,0:<+>∃aa a p ，则p 的否定为（ ） A ．21,0<+<∀a a a B ．21,0≥+<∃a a a C ．21,0<+>∀aa aD ．21,0≥+>∀aa a【答案】D2. 若双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用双曲线的离心率求出a ，b 关系，即可区间双曲线的渐近线方程． 【解答】解：双曲线的离心率为，可得，即，解得，双曲线C 的渐近线方程为：y ＝．故选：C ．3. 已知关于x 不等式0ax b ->的解集为(),1-∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-解集为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),21,-∞-⋃+∞【答案】A4. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A. 32 B. 22 C. 13 D. 12 答案 B解析 由题意知B ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，设P (0，t )，又A (a,0)， ∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t ， ∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x （1﹣y ）．若不等式（x ﹣a ）⊗（x +1）＜1对任意实数x 成立，则（ ） A ．﹣1＜a ＜1B ．﹣2＜a ＜0C ．0＜a ＜2D ．﹣2＜a ＜2【分析】不等式即 （x ﹣a ）（﹣x ）＜1，即 x 2﹣ax +1＞0恒成立，故有△＝a 2﹣4＜0，由此解得不等式的解集．【解答】解：不等式（x ﹣a ）⊗（x +1）＜1，即 （x ﹣a ）（﹣x ）＜1，即 x 2﹣ax +1＞0恒成立， 故有△＝a 2﹣4＜0，解得﹣2＜a ＜2， 故选：D ．【点评】本题主要考查新定义，一元二次不等式的解法，属于中档题．6.在公比为q 的正项等比数列{a n }中，4a ＝1，则当262a a +取得最小值时，2log q 等于（ ） A ．B ．﹣C ．D ．﹣【分析】利用基本不等式求解最小值，从而求解q 的值，即可求解log 2q ． 【解答】解：由a 4＝1，那么a 2＝，a 6＝q 2，则2a 2+a 6＝，当且仅当q ＝时，取等号；∴log 2q ＝log 2＝；故选：A ．7.在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前三项的和为7，若存在m ，n ∈N *使得，则14m n+的最小值为（ ）A ．B ．C ．32D ．54【分析】根据题意，设正项等比数列{a n }的公比为q ，则有a 1+a 2+a 3＝1+q +q 2＝7，变形可得q 2+q ﹣6＝0，解可得q 的值，又由，分析可得m +n ＝6，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设正项等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0， 若等比数列{a n }的前三项的和为7，即a 1+a 2+a 3＝1+q +q 2＝7， 变形可得q 2+q ﹣6＝0，解可得q ＝2或﹣3（舍）， 又由，即a m a n ＝16（a 1）2，则有a 1q m ﹣1×a 1q n ﹣1＝16（a 1）2，变形可得m +n ＝6，故选：C ．【点评】本题考查等比数列的性质的应用，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．8.已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n∈N *)，则满足1 0011 000＜S 2n S n ＜1110的n 的最大值为( )．A.7B.8C.9D.10 【答案】C【解析】2a n ＋1＋S n ＝2，2a n ＋S n －1＝2(n≥2)，相减得2a n ＋1＝a n (n≥2)，a 1＝1，a 2＝12，则{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，1 0011 000＜1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜1110，11 000＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜110，则n 的最大值为9.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．当点P 不在x 轴上时，△PF 1F 2的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，△PF 1F 2面积的最大值为C ．存在点P ，使PF 1⊥PF 2D ．PF 1的取值范围是[1，3]【分析】利用椭圆的定义与性质，逐步验证选项的正误即可．【解答】解：由椭圆方程可知，，从而．据椭圆定义，PF1+PF2＝2a＝4，又F1F2＝2c＝2，所以△PF1F2的周长是6，A项正确．设点P（x0，y0）（y0≠0），因为F1F2＝2，则．因为，则△PF1F2面积的最大值为，B项正确．由图可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，PF1＝PF2＝a＝2，又F1F2＝2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，C项错误．由图可知，当点P为椭圆C的右顶点时，PF1取最大值，此时PF1＝a+c＝3；当点P为椭圆C的左顶点时，PF1取最小值，此时PF1＝a﹣c＝1，所以PF1∈[1，3]，D项正确，故选：ABD．10. 数列{a n}是首项为1的正项数列，a n+1＝2a n+3,S n是数列{a n}的前n项和，则下列结论正确的是（）a }是等比数列A．3a＝13B．数列{3nC．n a＝4n﹣3D．【分析】此题在向量基础上把数列综合进来，其本质还是向量线性表示问题．首先利用平面向量找到数列递推公式，再求解．【解答】解a n+1＝2a n+3，∴a n+1+3＝2（a n+3），∴数列{a n+3}是等比数列．又∵a1＝1，∴，∴，∴a3＝13，∴．故选：AB．11.设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1＞1，910a a＞1，9101 1a a --＜0，则下列结论正确的是（）A．0＜q＜1B．1011a a＞1C．S n的最大值为S10D．T n的最大值为T9【分析】先由题设推出q的取值范围，再逐个选项判断正误即可．【解答】解：∵a1＞1，a9a10＞1，∴a12q17＞1，∴q＞0，由＜0，得a9＞1，a10＜1，若不然，a10＞a9，则q＞1，又a1＞1，a n＝a1q n﹣1＞1，＜0不成立，又q＝1时，有a10＝a9，显然与已知矛盾，综上，有0＜q＜1，故选项A正确；∵a1＞1，0＜q＜1，∴数列{a n}是正项的递减数列，∴S n没最大值，故选项C错误；又a9＞1，a10＜1，∴a10a11＜1，T9最大，故选项B错误；选项D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查等比数列的性质及反证法的应用，属于中档题．12. 下列结论不正确的是（）A．当x＞0时，B．当x＞0时，的最小值是2C．当时，的最小值是D ．设x ＞0，y ＞0，且x +y ＝2，则的最小值是【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质，逐项判断即可得出． 【解答】解：对于A ：x ＞0时，，当且仅当x ＝1时，取等号，∴A 正确；对于B ：x ＞0时，设（t ≥2），则x 2+5＝t 2+1，原式转化为，当且仅当t ＝1时，取等号，由于t ≥2，取不到最小值，∴B 不对； 对于C ：时，＝＝，当且仅当x ＝时，取等号，即最大值是，∴C 不对； 对于D ：x +y ＝2，可得，则＝（）（）＝+，当且仅当x ＝，y ＝时，取等号，即最小值是，∴D 正确； 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为________． -514. 设椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||22F F =P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且212PF F F ⊥，则椭圆C 的方程为________．【解析】由1212,2PF PF a PF PF a -=+=，解得1231,22PF a PF a ==， 在△PF 1F 2中，由正弦定理:121221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，解得21sin 1PF F ∠＝，则2190PF F ∠︒＝， 又121sin 3PF F ∠=，可知12tan 22PF F ∠ 222c =，得212aPF ==解得2a ＝， 2c ＝， 2b =，所以椭C 方程22142x y +=15.已知x ，y 为非负实数，且满足x +2y ＝1，则的最小值是 3 ．【分析】先由x +2y ＝1⇒x +2（y +1）＝3，然后对，再由基本不等式可求得其最小值．【解答】解：∵x ，y 非负，满足x +2y ＝1， ∴x +2（y +1）＝3， ∴＝（）[x +2（y +1）]＝（5++）≥（5+2）＝3，当且仅当y ＝0且x ＝1时取“＝“， 故答案为：3．【点评】本题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于中档题．16.为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a 元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．(式子要整理成最简形式） 【答案】依题意，2019年1月1日存款a 元后，账户中一共有a (1＋p )＋a ＝(ap ＋2a )(元)．2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]1－(1＋p ) ＝ap [(1＋p )5－(1＋p )] ＝ap [(1＋p )5－1－p ]．ap ＋2a ap [(1＋p )5－1－p ]四、解答题：本题共6小题，共70分。