高考数学二次函数动点问题之胡不归阿氏圆
动态几何之胡不归阿氏圆,旋转相似问题
“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。
（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。
但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。
用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。
高中数学 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
11。
二次函数胡不归问题
二次函数最值之——“胡不归”问题1、如图，已知抛物线y=a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣√33x+b与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB，求△PBD面积的最大值；（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？2、如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒√2个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？3、如图，抛物线y=12x 2+mx +n 与直线y=﹣12x +3交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒√2个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？4、如图，已知抛物线y=﹣14x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q 从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒√5个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少？5、如图1，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B （4，0）、C （0，3），点A 为x 轴负半轴上一点，AM ⊥BC 于点M 交y 轴于点N ，满足4CN=5ON ．已知抛物线y=ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC ，点D 在线段BC 上方的抛物线上，连接DC 、DB ，若△BCD 和△ABC 面积满足S △BCD =35S △ABC ，求点D 的坐标；（3）如图2，E 为OB 中点，设F 为线段BC 上一点（不含端点），连接EF ．一动点P 从E 出发，沿线段EF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿着线段FC 以每秒53个单位的速度运动到C 后停止．若点P 在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F 的坐标．6、已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣√3x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒2√33个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？7、如图，抛物线y=12x2+mx+4与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C．（1）填空：m=﹣3；（2）点P（a，b）在抛物线上，且0＜a≤6，求△PBC面积的最大值；（3）设H为线段BC上一点（不含端点），连接AH，一动点M从点A出发，沿线段AH以每秒一个单位速度运动到H点，再沿线段HC以每秒√2个单位的速度运动到C后停止，当点H的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？8、如图①，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣12x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式、顶点D的坐标以及四边形ABDC的面积；（2）如图②现将正方形OABC截去一角成五边形OAEFC，且BE=1，BF=2，试在线段EF上求一点P，使矩形PMON有最大面积；（3）如图③G为OA中点，设K为线段AC上一点（不含端点），连接GK．一动点Q从G出发，沿线段GK以每秒1个单位的速度运动到K，再沿线段KC以每秒√2个单位的速度运动到C后停止．当点K 的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中用时最少？最少时间是几秒？。
动态几何之胡不归阿氏圆 旋转相似问题
“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。
（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。
但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。
用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。
胡不归和阿氏圆问题(14页)
胡不归+阿氏圆(PA k PB +∙) 当你遇到“PA+kPB ”型最值时，当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k ≠1的话，此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题：点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
利用“胡不归，阿氏圆”解决初中"PA k PB +∙"型的最值问题(加权线段和最值)
胡不归图
阿氏圆图
胡不归
①
'C
'
H ②
1
(2019长沙中考)如图，△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_____ (2019南通中考)如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6，BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+的最小值等于．
阿氏圆
你会发现：原来我暗藏着“母子型”相似三角形！(形状完全一样，多像母子啊！)
, OPA OBP
，则∽所以
转化为简单的将军饮马型问题。
的距离与半径之比等于半径与圆心到定点r OB
这类题目虽然所求两条线段系数不为1，但并不是胡不归和阿氏圆问题，这和动点的运动轨迹有关系，需要大家细致辨别。
这是一道“隐藏的”隐形圆问题。
它的解法也非常巧妙，但仍然属于常规思路，只要对隐形圆基本模型掌握的熟练，应该是比较容易想到的。
这个题如果放在高中，也可以用正余弦定理去解决。
2022年中考数学二次函数压轴突破 专题11 胡不归模型(教师版含解析)
知识导航在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．2M【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值． 【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．M将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．M【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【2019长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +的最小值是_______． ABCDE【分析】本题关键在于处理”，考虑tan A =2，△ABE三边之比为1:2sin ∠DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH =． HEDCB AABCDEH问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：EDCB则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α=55HEDC BAEDCB专项训练1．直线43y x =与抛物线2(3)43y x m =--+交于A ，B 两点(其中点A 在点B 的左侧)，与抛物线的对称轴交于点C ，抛物线的顶点为D (点D 在点C 的下方)，设点B 的横坐标为t (1)求点C 的坐标及线段CD 的长(用含m 的式子表示)；(2)直接用含t 的式子表示m 与t 之间的关系式(不需写出t 的取值范围)； (3)若CD CB =． ①求点B 的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F ，使35BF CF +的值最小，则满足条件的点F 的坐标是 23(3,)4 ．【分析】(1)由抛物线的解析式可得出抛物线对称轴为3x =，将3x =代入直线AB 的解析式中即可求出点C 的坐标；由抛物线的解析式表示出顶点坐标，结合两点间的距离公式即可得出CD 的长度；(2)将直线解析式代入抛物线解析式中，得出关于x 的二元一次方程，由求根公式找出x 值中较大的数，令其为t ，变换等式即可得出结论；(3)①借用(2)的结论，利用CD CB =得出关于m 的一元二次方程，解方程得出m 的值代入原方程进行验证即可确定m 的结果，在将m 代入t 关于m 的解析式中即可得出B 点的横坐标，由点B 在直线43y x =上即可得出B 点坐标；②作B 点关于对称轴的对称点B '，过点F 作FM BC ⊥于点M ，连接B M '、BB 交抛物线对称轴于点N ，通过三角形内两边之和大于第三边找出点F 的位置，再通过解直角三角形求出NF 的长，进而即可找出点F 的坐标．【解答】解：(1)抛物线2(3)43y x m =--+的对称轴为3x =， 令3x =，则有4343y =⨯=，即点C 的坐标为(3,4)．抛物线2(3)43y x m =--+的顶点D 的坐标为(3,43)m -+， 点D 在点C 的下方， 4(43)41CD m m ∴=--+=+．(2)点B 在直线43y x =上，且其横坐标为t ， 则点B 的坐标为4(,)3t t ，将点B 的坐标代入抛物线2(3)43y x m =--+中， 得：24(3)433t t m =--+，整理，得：2111346m t t =-+．(3)①依照题意画出图形，如图1所示．过点C 作//CE x 轴，过点B 作//BE y 轴交CE 于点E ． 直线BC 的解析式为43y x =， 43BE CE ∴=，由勾股定理得：53BC CE ．CD CB =，∴有551141(3)(3)333m t +=-=，化简，得：24310m m --=， 解得：14m =-，或1m =．当14m =-时，13144()3949+⨯-=<，不合适，1m ∴=，此时11134639t =++=， 4683y =⨯=．故此时点B 的坐标为(6,8)．②作B 点关于对称轴的对称点B '，过点F 作FM BC ⊥于点M ，连接B M '、BB 交抛物线对称轴于点N ，如图2所示．直线BC 的解析式为43y x =，FM BC ⊥， 13tan 443FCM ∴∠==， 3sin 5FM FCM FC ∴∠==． B 、B '关于对称轴对称， BF B F ∴='，35BF CF B F FM ∴+='+．当点B '、F 、M 三点共线时B F FM '+最小．B 点坐标为(6,8)，抛物线对称轴为3x =， B ∴'点的坐标为(0,8)．又B M BC '⊥， 3tan 4NB F ∴∠'=， 9tan 4NF B N NB F ∴='∠'=， ∴点F 的坐标为23(3,)4． 故答案为：23(3,)4．【点评】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的求根公式、解直角三角形以及解无理方程，解题的关键是：(1)根据二次函数的解析式找出其对称轴及顶点坐标；(2)由求根公式得出t ；(3)①得出关于m 的无理方程；②寻到点F 的位置．本题属于中档题，(1)(2)难度不大，(3)难度不小，①中涉及到了解无理方程，产生了增根需要去验证；②寻找F 点的位置是关键，此处在直角三角形中利用了角的三角函数值寻找到点F 的位置．2．如图，抛物线212y x mx n =++与直线132y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知(0,3)A ，(3,0)C ．(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan BAC ∠的值； (Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)设E 为线段AC 上一点(不含端点)，连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？【分析】(Ⅰ)只需把A 、C 两点的坐标代入212y x mx n =++，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B 的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形ABC 是直角三角形，从而得到90ACB ∠=︒，然后根据三角函数的定义就可求出tan BAC ∠的值；(Ⅱ)(1)过点P 作PG y ⊥轴于G ，则90PGA ∠=︒．设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得0x >，则PG x =，易得90APQ ACB ∠=∠=︒．若点G 在点A 的下方，①当PAQ CAB ∠=∠时，PAQ CAB ∆∆∽．此时可证得PGA BCA ∆∆∽，根据相似三角形的性质可得33AG PG x ==．则有(,33)P x x -，然后把(,33)P x x -代入抛物线的解析式，就可求出点P 的坐标②当PAQ CBA ∠=∠时，PAQ CBA ∆∆∽，同理，可求出点P 的坐标；若点G 在点A 的上方，同理，可求出点P 的坐标；(2)过点E 作EN y ⊥轴于N ，如图3．易得AE =，则点M在整个运动中所用的时间可表示为1DE DE EN =+．作点D 关于AC 的对称点D '，连接D E '，则有D E DE '=，D C DC '=，45D CA DCA ∠'=∠=︒，从而可得90D CD ∠'=︒，DE EN D E EN +='+．根据两点之间线段最短可得：当D '、E 、N 三点共线时，DE EN D E EN +='+最小．此时可证到四边形OCD N '是矩形，从而有3ND OC '==，ON D C DC ='=．然后求出点D 的坐标，从而得到OD 、ON 、NE 的值，即可得到点E 的坐标．【解答】解：(Ⅰ)把(0,3)A ，(3,0)C 代入212y x mx n =++，得 31902n mx n =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩， 解得：523m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的解析式为215322y x x =-+ 联立213215322y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩，∴点B 的坐标为(4,1)．如图1．(3,0)C ，(4,1)B ，(0,3)A ，220AB ∴=，22BC =，218AC =， 222BC AC AB ∴+=， ABC ∴∆是直角三角形， 90ACB ∴∠=︒，1tan 3BC BAC AC ∴∠===；(Ⅱ)方法一：(1)存在点P ，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似． 过点P 作PG y ⊥轴于G ，则90PGA ∠=︒．设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得0x >，则PG x =． PQ PA ⊥，90ACB ∠=︒， 90APQ ACB ∴∠=∠=︒．若点G 在点A 的下方，①如图2①，当PAQ CAB ∠=∠时，则PAQ CAB ∆∆∽． 90PGA ACB ∠=∠=︒，PAQ CAB ∠=∠， PGA BCA ∴∆∆∽，∴13PG BC AG AC ==． 33AG PG x ∴==．则(,33)P x x -． 把(,33)P x x -代入215322y x x =-+，得 21533322x x x -+=-， 整理得：20x x +=解得：10x =(舍去)，21x =-(舍去)．②如图2②，当PAQ CBA ∠=∠时，则PAQ CBA ∆∆∽．同理可得：1133AG PG x ==，则1(,3)3P x x -，把1(,3)3P x x -代入215322y x x =-+，得215133223x x x -+=-， 整理得：21303x x -= 解得：10x =(舍去)，2133x =， 13(3P ∴，14)9；若点G 在点A 的上方，①当PAQ CAB ∠=∠时，则PAQ CAB ∆∆∽， 同理可得：点P 的坐标为(11,36)． ②当PAQ CBA ∠=∠时，则PAQ CBA ∆∆∽． 同理可得：点P 的坐标为17(3P ，44)9．综上所述：满足条件的点P 的坐标为(11,36)、13(3，14)9、17(3，44)9；方法二：作APQ ∆的“外接矩形” AQGH ，易证AHP QGP ∆∆∽，∴AP HPPQ QG=， 以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似，∴13AP HP BC PQ QG AC ===或3AP HP ACPQ QG BC===， 设2(2,253)P t t t -+，(0,3)A ，(2,3)H t ，①13HP QG =，232531||23t t t --+∴=， 11323t ∴=，21723t =， ②3HPQG =，23253||32t t t--+∴=1211t ∴=，221t =-，(舍)，∴满足题意的点P 的坐标为(11,36)、13(3，14)9、17(3，44)9；(2)方法一：过点E 作EN y ⊥轴于N ，如图3．在Rt ANE ∆中，sin 45EN AE =︒=，即AE ， ∴点M 在整个运动中所用的时间为1DE DE EN =+．作点D 关于AC 的对称点D '，连接D E '，则有D E DE '=，D C DC '=，45D CA DCA ∠'=∠=︒， 90D CD ∴∠'=︒，DE EN D E EN +='+．根据两点之间线段最短可得：当D '、E 、N 三点共线时，DE EN D E EN +='+最小． 此时，90D CD D NO NOC ∠'=∠'=∠=︒，∴四边形OCD N '是矩形，3ND OC ∴'==，ON D C DC ='=．对于215322y x x =-+， 当0y =时，有2153022x x -+=，解得：12x =，23x =． (2,0)D ∴，2OD =，321ON DC OC OD ∴==-=-=， 312NE AN AO ON ∴==-=-=，∴点E 的坐标为(2,1)．方法二：作点D 关于AC 的对称点D '，DD '交AC 于点M ，显然DE D E ='， 作D N y '⊥轴，垂足为N ，交直线AC 于点E ，如图4，在Rt ANE ∆中，sin 45EN AE =︒=，即AE ， ∴当D '、E 、N 三点共线时，DE EN D E EN +='+最小，(0,3)A ，(3,0)C ， :3AC l y x ∴=-+，(,3)M m m ∴-+，(2,0)D ， DM AC ⊥，1DM AC K K ∴⨯=-， 3112m m -+∴-⨯=--， 52m ∴=，5(2M ∴，1)2， M 为DD '的中点，(3,1)D ∴'， 1Y Y E D ='=，(2,1)E ∴．方法三：如图，5，过A 作射线//AF x 轴，过D 作射线//DF y 轴，DF 与AC 交于点E ． (0,3)A ，(3,0)C ， :3AC l y x ∴=-+．OA OC =，90AOC ∠=︒， 45ACO ∴∠=︒， //AF OC ， 45FAE ∴∠=︒．sin 45AE EF AE ∴=︒=．∴当且仅当AF DF ⊥时，DE EF +取得最小值，点M 在整个运动中用时最少为：1DE t DE EF ==+， 抛物线的解析式为215322y x x =-+，且(3,0)C ， ∴可求得D 点坐标为(2,0)则E 点横坐标为2，将2x =代入:3AC l y x =-+，得1y =． 所以(2,1)E ．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第(Ⅱ)(1)小题的关键，把点M 运动的总时间12DE DE EN +是解决第(Ⅱ)(2)小题的关键． 3．在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标； (3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值．【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，经过点(1,0)A -，可求得a 的值，由ABD ∆的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A 、D 的坐标可求出一次函数解析式；(2)作//EM y 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由ACE AME CME S S S ∆∆∆=-构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；(3)作E 关于x 轴的对称点F ，过点F 作FH AE ⊥于点H ，交x 轴于点P ，则BAE HAP HFE ∠=∠=∠，利用锐角三角函数的定义可得出35EP AP FP HP +=+，此时FH 最小，求出最小值即可．【解答】解：(1)将二次函数2(0)y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为2(1)2y a x =--， 1OA =，∴点A 的坐标为(1,0)-，代入抛物线的解析式得，420a -=，12a ∴=， ∴抛物线的解析式为21(1)22y x =--，即21322y x x =--． 令0y =，解得11x =-，23x =， (3,0)B ∴，4AB OA OB ∴=+=，ABD ∆的面积为5，152ABD D S AB y ∆∴==， 52D y ∴=，代入抛物线解析式得，2513222x x =--， 解得12x =-，24x =，5(4,)2D ∴，设直线AD 的解析式为y kx b =+， ∴5420k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为1122y x =+． (2)过点E 作//EM y 轴交AD 于M ，如图，设213(,)22E m m m --，则11(,)22M m m +，221113132222222EM m m m m m ∴=+-++=-++，22111311(2)1(34)22224ACE AME CME S S S EM m m m m ∆∆∆∴=-=⨯=-++⨯=---，21325()4216m =--+．∴当32m =时，ACE ∆的面积有最大值，最大值是2516，此时E 点坐标为315(,)28-． (3)作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH AE ⊥于点H ，交x 轴于点P ，315(,)28E -，1OA =，35122AG ∴=+=，158EG =， ∴5421538AG EG ==， 90AGE AHP ∠=∠=︒3sin 5PH EG EAG AP AE ∴∠===， 35PH AP ∴=， E 、F 关于x 轴对称， PE PF ∴=，35PE AP FP HP FH ∴+=+=，此时FH 最小，1515284EF =⨯=，AEG HEF ∠=∠， 4sin sin 5AG FH AEG HEF AE EF ∴∠=∠===， 415354FH ∴=⨯=．35PE PA ∴+的最小值是3．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 4．抛物线2y x =+x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．(1)如图1，连接CD ，求线段CD 的长；(2)如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；(3)如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．【分析】(1)分别表示C 和D 的坐标，利用勾股定理可得CD 的长；(2)令0y =，可求得(32A -，0)，(2B 0)，利用待定系数法可计算直线AC 的解析式为：36y =+设3(6)E x x ，2623(,6)P x ，表示PE 的长，利用勾股定理计算AC 的长，发现30CAO ∠=︒，得23226AE EF x ==+12PE EC +，利用配方法可得当12PE EC +的值最大时，22x =-(22P -6)，确定要使四边形11PO B C 周长的最小，即11PO B C +的值最小，将点P 向2个单位长度得点1(2P -6)，连接11P B ，则111PO PB =，再作点1P 关于x 轴的对称点2(2P -6)，可得结论；(3)先确定对折后2O C 落在AC 上，AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形存在四种情况： ①如图4，AN MN =，证明△1C EC ≅△22B O M ，可计算2O M 的长； ②如图5，AM MN =，此时M 与C 重合，226O M O C == ③如图6，AM MN =，N 和H 、1C 重合，可得结论；④如图7，AN MN =，过1C 作1C E AC ⊥于E 证明四边形122C EO B 是矩形，根据22O M EO EM =+可得结论． 【解答】解：(1)如图1，过点D 作DK y ⊥轴于K ， 当0x =时，6y = 6)C ∴，2262364662)y x x ==，(D ∴，DK ∴=CK ==，CD ∴===(4分)(2)在2y x =0y =，则20-+，解得：1x =-，2x =(A ∴-0)，B 0)， (0,6)C ，易得直线AC 的解析式为：y =设(E x ，2(,P x x ，2PF x x ∴=EF =Rt ACO ∆中，AO =OC =AC ∴=30CAO ∴∠=︒，2AE EF ∴=+211(()22PE EC AC AE ∴+=+-++-，212=++，2x =，2x =++，(5分)∴当12PE EC +的值最大时，x =-(P -，(6分)PC ∴=，11O B OB =，∴要使四边形11PO B C 周长的最小，即11PO B C +的值最小，如图2，将点P1(P ，连接11P B ，则111PO PB =，再作点1P 关于x 轴的对称点2(P ，则1121PB P B =， 11211PO B C P B B C ∴+=+，∴连接2P C 与x 轴的交点即为使11PO B C +的值最小时的点1B ，1(B ∴，0)， 将1B 1O ，此时112PO B C PC +=，对应的点1O 的坐标为(，0)，(7分)∴四边形11PO B C (8分)(3)2O M 或-(12分) 理由是：如图3，H 是AB 的中点，OH ∴= 6OC =CH BC ∴==30HCO BCO ∴∠=∠=︒， 60ACO ∠=︒，∴将CO 沿CH 对折后落在直线AC 上，即2O 在AC 上，230B CA CAB ∴∠=∠=︒， 2//B C AB ∴，2(B ∴-，①如图4，AN MN =，22330MAN AMN O B O ∴∠=∠=︒=∠，由旋转得：2122330CB C O B O ∠=∠=︒，221B C B C =，212175B CC B C C ∴∠=∠=︒，过1C 作12C E B C ⊥于E ，221B C B C ==∴122C E B O =，2B E =22232175O MB B MO B CC ∠=∠=︒=∠，22190B O M C EC ∠=∠=︒，∴△1C EC ≅△22B O M ，222O M CE B C B E ∴==-=②如图5，AM MN =，此时M 与C 重合，22O M O C ==③如图6，AM MN =，2212B C B C B H ==，即N 和H 、1C 重合，230CAO AHM MHO ∴∠=∠=∠=︒，2213O M AO ∴== ④如图7，AN MN =，过1C 作1C E AC ⊥于E ，30NMA NAM ∴∠=∠=︒，312330O C B O MA ∠=︒=∠，12//C B AC ∴，1222290C B O AO B ∴∠=∠=︒，190C EC ∠=︒，∴四边形122C EO B 是矩形，212EO C B ∴==122C E B O ==EM ∴22O M EO EM ∴=+=，综上所述，2O M 的长是63或6或226+或226-．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题．5．如图，已知抛物线(2)(4)(8k y x x k =+-为常数，且0)k >与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ． (1)若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；(3)在(1)的条件下，设F 为线段BD 上一点(不含端点)，连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【分析】(1)首先求出点A 、B 坐标，然后求出直线BD 的解析式，求得点D 坐标，代入抛物线解析式，求得k 的值；(2)因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是ABC APB ∆∆∽或ABC PAB ∆∆∽．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；(3)由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：12t AF DF =+．如答图3，作辅助线，将12AF DF +转化为AF FG +；再由垂线段最短，得到垂线段AH 与直线BD 的交点，即为所求的F 点． 【解答】解：(1)抛物线(2)(4)8k y x x =+-， 令0y =，解得2x =-或4x =，(2,0)A ∴-，(4,0)B ．直线y x b =+经过点(4,0)B ，40b +=，解得b∴直线BD 解析式为：y x =当5x =-时，y =(5D ∴-，．点(5D -，在抛物线(2)(4)8k y x x =+-上，∴(52)(54)8k -+--=k ∴=∴抛物线的函数表达式为：2)(4)y x x =+-．即2y (2)由抛物线解析式，令0x =，得y k =-，(0,)C k ∴-，OC k =．因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是ABC APB ∆∆∽或ABC PAB ∆∆∽．①若ABC APB ∆∆∽，则有BAC PAB ∠=∠，如答图21-所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则ON x =，PN y =．tan tan BAC PAB ∠=∠，即：22k y x =+， 2k y x k ∴=+．(,)2k P x x k ∴+，代入抛物线解析式(2)(4)8ky x x =+-，得(2)(4)82kkx x x k +-=+，整理得：26160x x --=，解得：8x =或2x =-(与点A 重合，舍去)，(8,5)P k ∴．ABC APB ∆∆∽，∴AC AB AB AP =，即2246625100k k +=+，解得：455k =．②若ABC PAB ∆∆∽，则有ABC PAB ∠=∠，如答图22-所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则ON x =，PN y =．tan tan ABC PAB ∠=∠，即：42k y x =+，42kky x ∴=+．(,)42kkP x x ∴+，代入抛物线解析式(2)(4)8ky x x =+-，得(2)(4)842kkkx x x +-=+，整理得：24120x x --=，解得：6x =或2x =-(与点A 重合，舍去)，(6,2)P k ∴．ABC PAB ∆∆∽， AB CB AP AB =， ∴226166644k k +=+， 解得2k =±，0k >，2k ∴=，综上所述，455k =或2k =．(3)方法一： 如答图3，由(1)知：(5D -，33)，如答图22-，过点D 作DN x ⊥轴于点N ，则33DN =，5ON =，459BN =+=，333tan DN DBA BN ∴∠=== 30DBA ∴∠=︒．过点D 作//DK x 轴，则30KDF DBA ∠=∠=︒．过点F 作FG DK ⊥于点G ，则12FG DF =． 由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：12t AF DF =+， t AF FG ∴=+，即运动的时间值等于折线AF FG +的长度值．由垂线段最短可知，折线AF FG +的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH DK ⊥于点H ，则t AH =最小，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．A 点横坐标为2-，直线BD 解析式为：y =+，(2)y ∴=-=(2F ∴-，．综上所述，当点F 坐标为(2-，时，点M 在整个运动过程中用时最少．方法二：作//DK AB ，AH DK ⊥，AH 交直线BD 于点F ，30DBA ∠=︒，30BDH ∴∠=︒，sin302FD FH DF ∴=⨯︒=， ∴当且仅当AH DK ⊥时，AF FH +最小，点M 在整个运动中用时为：12AF FD t AF FH =+=+，:BD l y = 2X X F A ∴==-，(F ∴-．【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第(2)问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k ，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第(3)问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．。
胡不归与阿氏圆问题
圆中最值问题之“阿氏圆与胡不归”问题1. 如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段AE 上．设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD，当12CD+OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．2.在△A B C中，∠A B C=90°，B C=8,A C=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接A D、BD、CD，则12BD+AD 最小值解析：根据阿氏圆定义12CDBC=为定值，不妨设BC 与圆C交于点E，取EC中点F，已知12FC CDCD BC==且∠FCD=∠DCB,所以△FCD∽△DCB ,FD=12BD,所以12BD+AD=FD+AD≥AF，由勾股定理可得103. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4 ，⊙C的半径为2，点D是⊙C上的动点，点E在BC上，CE=1，连接AD、DE，则1AD+2DE的最小值为 .24.在△A B C中，A B=9，B C=8，∠A B C=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点，连接 PB、PC，则3PC+2PB的最小值为 .5.如图，在R t△A B C中，∠A C B=90°，C B=4，C A=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP 的最小值为 .6. 如图 ，已知点 P 是边长为 6 的正方形 A BCD 内部一动点，PA=3，求12PC PD +的最小值； 7.如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=18，BC=25，点 M 是矩形内部一动点，MA=15，当35MC MD +最小时，画出点M 的位置，并求出35MC MD +的最小值.8. 如图，BE 、A C 为四边形 A B C E 的 对 角 线，C E =2，∠C A E =60°，∠C A B =90°， ∠C B A =30°，连接 BE ，求 BE 的最大值.9.如图，已知AC=4，BC=3，AB=5，⊙C 的半径为4，⑴点D 为⊙C 上的动点，连接AD ，BD,则23AD BD +的最小值为 . ⑵点P 为⊙C 上的动点，连接AP ，BP, 则12AP BP +的最小值为 .10.如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则12PD PC +的最小值为 ；4PC +的最小值为 .11.如图，⊙O ，MO=2，∠POM=90°，Q 为⊙O 上一动点，则PQ 的最小值为 .12.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上一动点，则12PD PC +的最小值为 .13.如图，点C 的坐标为（2,5），点A 的坐标为（7,0），⊙C B 为⊙C 上一动点，5OB AB +的最小值 .14.如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （6，-1）,M （4,4），以M 为圆心，径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为 .第14题图第15题图15.在平面直角坐标系中，A（2，0），B(0，2),C(4，0),D(3，2),P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC的最小值是 .16.如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3，点P是⊙O上的一动点，则PD+PC的最小值为 .217.在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB、PC,则3PC+2PB的最小值为 .18.如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O,P是⊙O上的一动点，PA+PB的最小值为 .19.如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上的一动点，则2PB+PC的最小值为 .第19题图第20题图20.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 .21.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，⊙A与BC相切与点E，点P是⊙A上一动点，的最小值为 .22.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上一点，且APBP=m，点F在以点P为圆心，AP为半径的⊙P上，则CF+mBF的最小值为，此时AP= 。
“PA+k·PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)
“PA+k·PB”型的最值问题 当k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
当k 取任意不为1的正数时，通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
其中 点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L ，先取A （或B ）关于直线L 的对称点A′（或B′），连接A′B （或B′A ），并与直线交于一点P ，则点P 就是将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。
例1. 如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。
例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △PAB ＝31S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA+PB 的最小值为 ．例3. 如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，△PMN 的周长最小值为 ；当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 。
变式：“造桥选址”模型例4. 如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=302．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB 的值为 。
例5. 如图，CD 是直线y=x 上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC 、AD ，设C 点横坐标为m ，求m 为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值。
二、“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
胡不归和阿氏圆(1)
2．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；5．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．6．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B 两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？以下三个是阿氏圆1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．1 （0，），2 ．3 6．4．解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∴PH=PB，∴PB+PD=PH+PD=DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，∴sin60°=，∴DH=，∴PB+PD的最小值为．5．解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h．在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin60°=OC，∴OC==h，∴AB=2OC=h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，则OF=4，AB=2OF=8．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．6．解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直线BD解析式为：y=﹣x+．当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，∴C（0，﹣k），OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k=．②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠ABC=tan∠PAB，即：=，∴y=x+．∴P（x，x+），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+，整理得：x2﹣4x﹣12=0，解得：x=6或x=﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，=，∴=，解得k=±，∵k＞0，∴k=，综上所述，k=或k=．（3）作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA=30°，∴∠BDH=30°，∴FH=DF×sin30°=，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t=，∵l BD：y=﹣x+，∴F X=A X=﹣2，∴F（﹣2，）．。
“PA+k·PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)
“PA+k·PB”型的最值问题 当k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
当k 取任意不为1的正数时，通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
其中 点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L ，先取A （或B ）关于直线L 的对称点A′（或B′），连接A′B （或B′A ），并与直线交于一点P ，则点P 就是将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。
例1. 如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。
例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △PAB ＝31S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA+PB 的最小值为 ．例3. 如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，△PMN 的周长最小值为 ；当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 。
变式：“造桥选址”模型例4. 如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=302．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB 的值为 。
例5. 如图，CD 是直线y=x 上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC 、AD ，设C 点横坐标为m ，求m 为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值。
二、“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。