第1章 函数与极限PPT
合集下载
大学高数第一章函数和极限ppt课件
16
幂函数图像（a 0时）
17
幂函数图像（a 0时）
18
指数函数基本性质
解析式: y ax (a>0，且a 1) 基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数 图像必经过点(0,1)
19
对数函数基本性质
解析式: y loga x(a 0,且a 1)
基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像
例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减， 在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
32
例 证明 lim | x | 0 x 0
证：因为 lim | x | lim (x) 0 ，
x0
x0
{x
|
x
2
k
,
k
Z } ,余
切函数定义域为 {x | x k , k Z} ，二者周期T均为
，值域均为(- ∞,+ ∞) ,互为倒数。
22
正切、余切函数基本图像
正切函数图像片段
23
余切函数有限次四则运算和有限 次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数， 称为初等函数。 例如： y lg x 、y x tan x sin(1 ex )
幂函数图像（a 0时）
17
幂函数图像（a 0时）
18
指数函数基本性质
解析式: y ax (a>0，且a 1) 基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数 图像必经过点(0,1)
19
对数函数基本性质
解析式: y loga x(a 0,且a 1)
基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像
例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减， 在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
32
例 证明 lim | x | 0 x 0
证：因为 lim | x | lim (x) 0 ，
x0
x0
{x
|
x
2
k
,
k
Z } ,余
切函数定义域为 {x | x k , k Z} ，二者周期T均为
，值域均为(- ∞,+ ∞) ,互为倒数。
22
正切、余切函数基本图像
正切函数图像片段
23
余切函数有限次四则运算和有限 次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数， 称为初等函数。 例如： y lg x 、y x tan x sin(1 ex )
第1章函数极限与连续课件
.
.
o
.
1
.
2
.
x
“ x ” 数
实数集是连续的或完备的。
在高等数学中，数与点 说成 “ x ” 点 ，反之亦然 .
不加区别，常将
3.常用不等式:
x , 绝对值 : x R , x x ,
x0, x0.
1 . x R, x 0 .
o
2 . x R, x x x .
事实上，若 l 为 f ( x ) 的一个周期 , 则
f ( x ) f ( x l ) f [( x l ) l ] f ( x 2l ) f ( x nl ) . nl ( n N ) 也是 f ( x ) 的周期 .
若 在周期函数 f (x ) 的所有周期中存在 最小的正 周期T ， 则称这个最小正周期 T 为 f ( x ) 的 基本周期 . 通常我们所说的函数的 周期都是指基本周期 .
{ x 0 x x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) .
x0
x0
x0
x
1.1.2 函数的概念
一. 函数的定义 定义 设给定两个非空实数集 D 和 M . 若 x D, 按照某种对应法则 , 对应 唯一确定 f 的一个实数 y M , 则称 f 是定义在 D 上的函数， 表示为： f : D M ( x y f ( x) )
o
3 . x h ( h 0) h x h .
o
4 o . x h ( h 0) x h 或 x h .
5 . x , y R , x y x y x y .
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
同济七版NUAA高数课件 第一章 函数与极限 无穷大与无穷小
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f ( x) (或 lim f ( x) )
x x0 ( x)
x x0 ( x)
lim 1 , 函数 1 是当x 0时的无穷大.
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数u在U 0 ( x0 , )内有界， 则M 0, 1 0,使得当0 x x0 1时 恒有u M.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
又设是当x x0时的无穷小,
0, 2
0,使得当0
x
x0
时
2
恒有 . M
取 min{1 ,2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M ,
M 当x x0时, u 为无穷小.
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
恒有 f (x)
1,
即
1 f (x)
.
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , M
由于 f ( x) 0, 从而 1 M . f (x)
当x
x0时,
M.
无界
(2)
取
xn
高等数学课件第1章 函数与极限
W {y y f (x), x D}
为函数的值域。
说明：函数值
f (x0 )
f (x) xx0
y xx0
y(x0 )
1.1.2 函数概念(续二)
【说明】
(1) 对应法则是函数概念的一个重要因素。变量用什 么字母无关紧要。
(2) 定义域是函数概念的另一个重要因素。自然定义 域 实际定义域
A r 2
y x2
(3) 表示函数的方法有多种。解析法（也称公式法）、 图像法、表格法
1.1.2 函数概念(续三)
一元函数 多元函数
A 1 absin
2
实例4：说明由方程 x2 y2 r 2确定的两个变量x和y之 间的相依关系。
多值函数 单值函数
例1-1 某汽车公司规定从甲地运货至乙地的收费标 准是：如果货物重量不超过30千克，则每千克 收费1.5元；如果货物重量超过30千克，则超出 部分每千克收费增至2.5元；试写出货物运费F与 货物重量m之间的函数关系。
1.2 初等函数
1.2.1 常值函数 1.2.2 幂函数 1.2.3 指数函数与对数函数 1.2.4 三角函数 1.2.5 反三角函数 1.2.6 复合函数 初等函数
1.2 初等函数(续)
➢ 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数和反三角函数6类是最常见最基本的，这些函数 称为基本初等函数。
➢ 表示集合最常用的方法是描述法：
A {x | p(x)}
➢ 其中x表示A的元素，p(x)代表x满足的条件。
1.1.1 常量与变量 数集(续二)
例如 A {x x t 2 1,t R}
通常省略说明属于实数集R的部分，即
A {x x t 2 1}
➢ 区间是R的一个连续子集。 ➢ 区间分为有限区间和无穷区间两大类，这两类区间
第1章 函数、极限与连续
2019/9/21
20
如f(x)1/x在开区间(0,1)上是无界的,但 在闭区间[1,2]上却是有界函数,因为在此区间 上能找到M1,使当x[1,2]时|1/x|M成立。
2019/9/21
21
四、周期 性
设函数的定义域为D,如果存在一个非零常数 T,使得对于任意一点xD, f(xT)f(x)恒成立,则称 f(x)在D上为周期函数,T称为周期。通常所说的周 期是指最小正周期。
单调增加函数和单调减少函数统称为单 调函数。
2019/9/21
13
单调函数图像的特点是：
单调增加函数对应的曲线随自变量x的逐 渐增大而上升；单调减少函数对应的曲线随 自变量x逐渐增大而下降。
y y f(x)
f (x2)
f (x1)
o x1 x2
2019/9/21
y
xo
y f(x)
f (x1)
f (x2)
1
2019/9/21
30
余弦函数 y cos x , x(,)
y
1
5/2 2 3/2 /2 o /2 3/2 x
1
2019/9/21
31
正切函数 y ta x ,x n k/2 ,x R
y
3 1 o 1 3 x
C (x ,y )y f(x )x , D (D [a,b])
2019/9/21
4
理解：
函数的定义有两个要素： 一、自变量x必须有明确的定义域D； 二、在定义域范围内,变量x与y有确定的对应关系, 这两个要素决定值域R。 如果两个函数相等,则这两个要素必须完全相同。
思考：两个函数y2(x1)与y2(x21)/(x1)是否 相等？
高等数学同济第七版第一章ppt课件
[
( x1
f
)
2f ((xf 1)()x2 )时ff(,(xx11))fff(((xxx)22)f)]2[0(f, 2)(xF2f()x(1x)1F)f f((xx(1x2)2)
)f(0x0,2
)]
故由零点定理知 , 存在 (x1 , x2 ), 使 F ( ) 0, 即
f ( ) f (x1) f (x2 ) .
5. 求极限的基本方法
6. 判断极限不存在的方法
例7. 求下列极限：
(1) lim (sin
x
(2)
lim
x1
1 x2 sinπ x
x 1 sin
x)
(3)
lim
x0
1 1
x x
cot x
提示: (1) sin x 1 sin x
2sin x 1 x cos x 1 x
2
2
2sin
1
cos x 1 x
lim [ f (x) A] 0
xx0
(即 f (x) A 为无穷小)
f (x0 ) f (x0 ) A
xn (xn x0) , xn n x0 ,
有
lim
n
f
(xn )
A
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
0, 0, 当 x x0 时, 有
微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)第一章第一节 函数
例7 设函数f(x)是周期为T的周期函数，试求函数f(ax+b) 的周期，其中a,b常数，且a>0。
解：
T f (ax b ) f (ax b T ) f a (x ) b a
所以函数f(ax+b)的周期为T/a
五、数学建模——函数关系的建立
1.依题意建立函数关系
例5 证明函数y
x
1x
在( 1, )上是单调增加函数。
3. 奇偶性
设函数 y = f (x) 的定义域 Df 关于坐标原点对称, 若x
Df , 有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为偶函数; x Df ,
有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为奇函数; 奇函数的图形关于坐标原点对称, 偶函数的图形关于 y 轴对称. 在关于坐标原点对称的区间 I 内: 两个偶 (奇) 函数之和仍是一偶 (奇) 函数. 两个偶 (奇) 函数之积均为一个偶函数.
实数的连续性：实数点能铺满整个数轴，而不会留下任何空隙，即实数与 数轴上的点成一一对应关系。
常用数集： N 表示全体正整数的集合；Z 表示全体整数的集合； Q 表示全体有理数的集合；R 表示全体实数的集合； C 表示全体复数的集合．．
（1）有限区间
（2）无限区间
[a , ) x a x ;[ , b ) x x b .
y O M y
x
m O
x
有上界 在区间 I 上:
有下界
f (x)有界 f (：
2
x x 1
2
在( , )上是有界的。
x 1 2 x ,
1 f (x ) 2 x 1 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
首页 上页 返回 下页 结束 铃
2. 反函数
定义1. 14 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Z。如 果对于每个 yZ，存在唯一xD，使 f(x)=y，则 x是一个 定义在Z上的函数，称为y=f(x) 的反函数，记为x=f -1(y)。
函数y=f(x)与函数x=f -1(y)是互为反函数。
首页 上页 返回 下页
O
2 -2 x
y
1 y= x
O
x
结束
铃
例3．判断y=x31的奇偶性。
解：因为 f(-x)=(-x)3+1=-x31， 既不等于f(x)=x31， 也不等于-f(x)=-x3-1，
4 2
y
y=x3 +1
所以y=x31是非奇非偶函数。
-2
O
-2 -4
2
x
首页
上页
返回
下页
结束
习惯上，我们将x=f -1(y)改写为以x为自变量、以y因 变量的函数y=f -1(x)。
解：由y=f(x)=3x-1可以求出 x= f -1(y)=y 1 ， 3 将上式中的x与y互换，就得出y=3x-1的反函数 x 1 y= 。 3
首页 上页 返回 下页 结束 铃
例1．求y=3x-1的反函数。
U(a, d) O a-d a 。 U(a, d) a
结束
ad
去心邻域：
U ( a , d ) = { x |0< | x - a |< d } 。
首页 上页 返回
x
O a-d
下页
ad
铃
x
左 d 邻域 :
右 d 邻域 :
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1.1.2 函数的概念： 定义1-2 设D是一个给定的数集，如果对于每一个 数xD，变量y按一定的对应规则总有一个确定的数值与 之相对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作 y=f(x) ， x 称 作自变量，y称作因变量，D称作函数y=f(x)的定义域。
常见的幂函数及其图形：
y
y =x2
2 1 -2
3
1
y=x3
y=x
2
1
-1 -1 -2
O 1
2
x
y=x
y=x-1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
3 .指数函数y=ax 指数函数的定义域为(-, )，值域为(0, )，都 通过(0, 1)点。当a>1时，函数单调增加；当0<a<1时， 函数单调减少。 y 1 y=( - )x 4 y=10x 10
值 域 f ( D ) = [0 , )
首页 上页 返回 下页
t 0时
函数无定义
结束
铃
2. 反函数
设某商品销售收益为 y，销售量为x，已知该商品的 单价为a，则销售收益y为x的函数： y=ax 。 反之，对每一个给定的销售收益y，则可以由 y=ax 确定出销售量 x： y x= ， a 销售量 x是销售收益 y的函数。 我们称上述两个函数为反函数。
的，在[1，)上是有界的。
6
5 4 3 2 1 O
首页 上页 返回 下页
在整个定义域上都有界的函数 称为有界函数
1
2
结束
3 x
铃
2. 函数的单调性
定义1-4 设函数f(x)在区间I上有定义，x1和x2为I中 任意两点。 如果当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区 间I上单调增加。 如果当x1<x2时，总有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区 间I上单调减少。 y 单调增加函数的图形是 沿x轴正向逐渐上升的。
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、反函数
定义1. 14 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Z。如 果对于每个 yZ，存在唯一xD，使 f(x)=y，则 x是一个 定义在Z上的函数，称为y=f(x) 的反函数，记为x=f -1(y)。
函数y=f(x)与函数x=f -1(y)是互为反函数。
讨论： 设 y=f(x)的定义域为D，值域为Z。那么x=f -1(y)的定 义域和值域是什么？ x=f -1(y)与y=f -1(x)是否是同一函数？ 答案： x=f -1(y)的定义域为Z，值域为D。 x=f -1(y)与y=f -1(x)是同一函数。
P(x, y) y P(-x, y) y Q(x, y)
O
x Q(-x, y)
O
x
首页
上页
返回
下页
结束
铃
3. 函数的奇偶性
定义1-5 设函数f(x)的定义域D关于原点对称。 如果对任意xD，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。 如果对任意xD，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。 偶函数的图形关于y轴对称。 奇函数的图形关于原点对称。 奇偶函数举例： y=x3与y=sin x都是奇函数。 y=x2与y=cos x都是偶函数。
例如，因为存在 M=1，使 对任意x(-,)，有|sin x|1， 所以 y=sinx是(-,)内的有界 a 函数。
y M
y=f(x)
O
b x
-M
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1. 函数的有界性
定义1-3 设函数f(x)在I上有定义。如果存在M>0， 使对任意 xI ，都有 |f(x)|M ，则称函数 f(x) 是 I 上的有界 y 函数，否则称函数f(x)在I上无界。 9 1 8 函数 y = 在(0，2)上是无界 x 7
铃
1.1.5 基本初等函数
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1. 基本初等函数
下列函数称为基本初等函数： 常数：y=c； 幂函数：y=x a (a为任何实数)；
指数函数：y=a x(a>0，a 1)；
对数函数：y=loga x(a>0，a 1)；
三角函数： y=sin x，y=cos x， y=tg x， y=ctg x， y=sec x，y=csc x；
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例1．判断y=x4-2x2的奇偶性。
解：因为f(-x)=(-x)4-2(-x)2 =x 4-2x2=f(x)， 所以y=x 4-2x2为偶函数。
6
4 2
y
1 例 2．判断y = 的奇偶性。 x 解：因为 1 1 = - =-f(x)， f(-x)= -x x 1 所以 y = 为奇函数。 x
铃
4. 函数的周期性
定义1-6 对于函数y=f(x)，如果存在正的常数a，使 得f(x)=f(xa)恒成立，则称此函数为周期函数。满足这 个等式的最小正数a，称为函数的周期。
例如 y=sin x 就是周期函数，周期为2p。
y -4 -3 -2 -1 O 1 2
y=sin x
3
x
首页
上页
返回
下页
结束
函数y=f(x)中的“f ”表示的是一个对应规则，即对每 一个xD按规则f有一个确定的y值与之对应。 对应规则也常用y，j ，h，g，F等表示，此时函数 就记作y(x)，j(x)，h(x)，g(x)，F(x)等。
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1.1.2 函数的概念： 定义1-2 设D是一个给定的数集，如果对于每一个 数xD，变量y按一定的对应规则总有一个确定的数值与 之相对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作 y=f(x) ， x 称 作自变量，y称作因变量，D称作函数y=f(x)的定义域。 当x取遍D的每一个数值，对应的函数值的全体{y|y=f(x), xD}称为函数y=f(x)的值域，记作Z或Z(f)。
y= x；
-x
y
y O
y=x 2
x x
y
y= x；
在(-,
0)内，y=x2有反函数
-1 O
y=- x 。
x
y=- x 。
-1
首页 上页 返回 下页 结束 铃
1.1. 4 函数的特性
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
3. 函数的奇偶性 4.函数的周期性
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1. 函数的有界性
定义1-3 设函数f(x)在I上有定义。如果存在M>0， 使对任意 xI ，都有 |f(x)|M ，则称函数 f(x) 是 I 上的有界 函数，否则称函数f(x)在I上无界。
2. 反函数
在同一直角坐标系中，y=f(x)与x=f -1(y)的图形是相 同的，而y=f(x)与y=f -1(x)的图形是关于直线 y=x对称的。
y (x, y) 1 y=f(x) y=x y=f-1(x) (y, x) O
x
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一个函数若有反函数，它必 定是一一对应的函数关系。 例如，在 (-, ) 内， y=x2 不是一一对应的函数关系，所以 它没有反函数。 在(0, )内y=x2有反函数
首页
上页
返回
下页
结束
铃
函数的图形： 在平面直角坐标系中，取自变量在横轴上变化，因变 量在纵轴上变化，则平面点集{(x, y)|y=f(x), xD}称为函 数y=f(x)的图形。 函数y=x2+1的图形：
10 8
6
4 2 0
4
2
0
2
4
首页
上页
返回
下页
结束
铃
定义域和对应规则是确定函数关系的两个要素。 讨论： 1．y=arcsin(2x2)是否是函数关系？ 2．x>y是否是函数关系？
2. 反函数
定义1. 14 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Z。如 果对于每个 yZ，存在唯一xD，使 f(x)=y，则 x是一个 定义在Z上的函数，称为y=f(x) 的反函数，记为x=f -1(y)。
函数y=f(x)与函数x=f -1(y)是互为反函数。
首页 上页 返回 下页
O
2 -2 x
y
1 y= x
O
x
结束
铃
例3．判断y=x31的奇偶性。
解：因为 f(-x)=(-x)3+1=-x31， 既不等于f(x)=x31， 也不等于-f(x)=-x3-1，
4 2
y
y=x3 +1
所以y=x31是非奇非偶函数。
-2
O
-2 -4
2
x
首页
上页
返回
下页
结束
习惯上，我们将x=f -1(y)改写为以x为自变量、以y因 变量的函数y=f -1(x)。
解：由y=f(x)=3x-1可以求出 x= f -1(y)=y 1 ， 3 将上式中的x与y互换，就得出y=3x-1的反函数 x 1 y= 。 3
首页 上页 返回 下页 结束 铃
例1．求y=3x-1的反函数。
U(a, d) O a-d a 。 U(a, d) a
结束
ad
去心邻域：
U ( a , d ) = { x |0< | x - a |< d } 。
首页 上页 返回
x
O a-d
下页
ad
铃
x
左 d 邻域 :
右 d 邻域 :
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1.1.2 函数的概念： 定义1-2 设D是一个给定的数集，如果对于每一个 数xD，变量y按一定的对应规则总有一个确定的数值与 之相对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作 y=f(x) ， x 称 作自变量，y称作因变量，D称作函数y=f(x)的定义域。
常见的幂函数及其图形：
y
y =x2
2 1 -2
3
1
y=x3
y=x
2
1
-1 -1 -2
O 1
2
x
y=x
y=x-1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
3 .指数函数y=ax 指数函数的定义域为(-, )，值域为(0, )，都 通过(0, 1)点。当a>1时，函数单调增加；当0<a<1时， 函数单调减少。 y 1 y=( - )x 4 y=10x 10
值 域 f ( D ) = [0 , )
首页 上页 返回 下页
t 0时
函数无定义
结束
铃
2. 反函数
设某商品销售收益为 y，销售量为x，已知该商品的 单价为a，则销售收益y为x的函数： y=ax 。 反之，对每一个给定的销售收益y，则可以由 y=ax 确定出销售量 x： y x= ， a 销售量 x是销售收益 y的函数。 我们称上述两个函数为反函数。
的，在[1，)上是有界的。
6
5 4 3 2 1 O
首页 上页 返回 下页
在整个定义域上都有界的函数 称为有界函数
1
2
结束
3 x
铃
2. 函数的单调性
定义1-4 设函数f(x)在区间I上有定义，x1和x2为I中 任意两点。 如果当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区 间I上单调增加。 如果当x1<x2时，总有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区 间I上单调减少。 y 单调增加函数的图形是 沿x轴正向逐渐上升的。
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、反函数
定义1. 14 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Z。如 果对于每个 yZ，存在唯一xD，使 f(x)=y，则 x是一个 定义在Z上的函数，称为y=f(x) 的反函数，记为x=f -1(y)。
函数y=f(x)与函数x=f -1(y)是互为反函数。
讨论： 设 y=f(x)的定义域为D，值域为Z。那么x=f -1(y)的定 义域和值域是什么？ x=f -1(y)与y=f -1(x)是否是同一函数？ 答案： x=f -1(y)的定义域为Z，值域为D。 x=f -1(y)与y=f -1(x)是同一函数。
P(x, y) y P(-x, y) y Q(x, y)
O
x Q(-x, y)
O
x
首页
上页
返回
下页
结束
铃
3. 函数的奇偶性
定义1-5 设函数f(x)的定义域D关于原点对称。 如果对任意xD，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。 如果对任意xD，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。 偶函数的图形关于y轴对称。 奇函数的图形关于原点对称。 奇偶函数举例： y=x3与y=sin x都是奇函数。 y=x2与y=cos x都是偶函数。
例如，因为存在 M=1，使 对任意x(-,)，有|sin x|1， 所以 y=sinx是(-,)内的有界 a 函数。
y M
y=f(x)
O
b x
-M
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1. 函数的有界性
定义1-3 设函数f(x)在I上有定义。如果存在M>0， 使对任意 xI ，都有 |f(x)|M ，则称函数 f(x) 是 I 上的有界 y 函数，否则称函数f(x)在I上无界。 9 1 8 函数 y = 在(0，2)上是无界 x 7
铃
1.1.5 基本初等函数
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1. 基本初等函数
下列函数称为基本初等函数： 常数：y=c； 幂函数：y=x a (a为任何实数)；
指数函数：y=a x(a>0，a 1)；
对数函数：y=loga x(a>0，a 1)；
三角函数： y=sin x，y=cos x， y=tg x， y=ctg x， y=sec x，y=csc x；
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例1．判断y=x4-2x2的奇偶性。
解：因为f(-x)=(-x)4-2(-x)2 =x 4-2x2=f(x)， 所以y=x 4-2x2为偶函数。
6
4 2
y
1 例 2．判断y = 的奇偶性。 x 解：因为 1 1 = - =-f(x)， f(-x)= -x x 1 所以 y = 为奇函数。 x
铃
4. 函数的周期性
定义1-6 对于函数y=f(x)，如果存在正的常数a，使 得f(x)=f(xa)恒成立，则称此函数为周期函数。满足这 个等式的最小正数a，称为函数的周期。
例如 y=sin x 就是周期函数，周期为2p。
y -4 -3 -2 -1 O 1 2
y=sin x
3
x
首页
上页
返回
下页
结束
函数y=f(x)中的“f ”表示的是一个对应规则，即对每 一个xD按规则f有一个确定的y值与之对应。 对应规则也常用y，j ，h，g，F等表示，此时函数 就记作y(x)，j(x)，h(x)，g(x)，F(x)等。
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1.1.2 函数的概念： 定义1-2 设D是一个给定的数集，如果对于每一个 数xD，变量y按一定的对应规则总有一个确定的数值与 之相对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作 y=f(x) ， x 称 作自变量，y称作因变量，D称作函数y=f(x)的定义域。 当x取遍D的每一个数值，对应的函数值的全体{y|y=f(x), xD}称为函数y=f(x)的值域，记作Z或Z(f)。
y= x；
-x
y
y O
y=x 2
x x
y
y= x；
在(-,
0)内，y=x2有反函数
-1 O
y=- x 。
x
y=- x 。
-1
首页 上页 返回 下页 结束 铃
1.1. 4 函数的特性
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
3. 函数的奇偶性 4.函数的周期性
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1. 函数的有界性
定义1-3 设函数f(x)在I上有定义。如果存在M>0， 使对任意 xI ，都有 |f(x)|M ，则称函数 f(x) 是 I 上的有界 函数，否则称函数f(x)在I上无界。
2. 反函数
在同一直角坐标系中，y=f(x)与x=f -1(y)的图形是相 同的，而y=f(x)与y=f -1(x)的图形是关于直线 y=x对称的。
y (x, y) 1 y=f(x) y=x y=f-1(x) (y, x) O
x
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一个函数若有反函数，它必 定是一一对应的函数关系。 例如，在 (-, ) 内， y=x2 不是一一对应的函数关系，所以 它没有反函数。 在(0, )内y=x2有反函数
首页
上页
返回
下页
结束
铃
函数的图形： 在平面直角坐标系中，取自变量在横轴上变化，因变 量在纵轴上变化，则平面点集{(x, y)|y=f(x), xD}称为函 数y=f(x)的图形。 函数y=x2+1的图形：
10 8
6
4 2 0
4
2
0
2
4
首页
上页
返回
下页
结束
铃
定义域和对应规则是确定函数关系的两个要素。 讨论： 1．y=arcsin(2x2)是否是函数关系？ 2．x>y是否是函数关系？