《3.3三角函数的图象与性质》 学案

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课程小结 1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内． 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同： π (1)y＝sinωx－4； π (2)y＝sin4－ωx. 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个 x 值都满足 f(x＋T)＝f(x)，其中 T 是不为零的常 数．如果只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x＋T)＝f(x)，都不能说 T 是函数 f(x)的周 期．
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x π A．y＝sin2＋6 π C．y＝sin2x＋6
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【巩固】 4．函数 y＝ 1 的定义域为________． tan x－ 3
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π π 5．已知函数 f(x)＝cosωx＋6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为2，则函数在[0,2π]上的 零点个数为________．
k∈Z}
R
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考点 2
正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性及最值 函数 y＝sin x 递增区间： π π 2kπ－2，2kπ＋2(k∈Z) 单调性 递减区间： π 3 2kπ＋2，2kπ＋2π(k∈ Z) π x＝2kπ＋2(k∈Z)时，ymax 最 值 π ＝1 x＝2kπ－2(k∈Z)时， ymin＝－1 y＝cos x y＝tan x
π π π π 【解析】(1)由 y＝sin x 的对称轴为 x＝kπ＋2(k∈Z)，即 3×12＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，得 φ＝kπ＋4(k∈Z)． π π 又|φ|＜2，所以 k＝0，故 φ＝4. π (2)由题意，得 y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故 φ＝kπ＋2，(k∈Z)．
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四、课堂运用 【基础】 a＋b 1．函数 f(x)＝sin x 在区间[a，b]上是增函数，且 f(a)＝－1，f(b)＝1，则 cos 2 ＝( A．0 C．－1 2 B. 2 D．1 )
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π 2．(2013· 郑州模拟)设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)－ 3sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜2，且其图象相邻的两条对称轴为 x＝0，x π ＝2，则( )
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【例题 3】 π π 【题干】(1)函数 y＝2sin(3x＋φ)|φ|＜2的一条对称轴为 x＝12，则 φ＝________. (2)函数 y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则 φ＝________.
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π 【答案】(1)4
π (2)kπ＋2，k∈Z
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学习过程 一、课堂导入 当我们检查心脏做心电图时，医生会用仪器打印出一条曲线图，根据曲线图形就可以判断心脏是否有问题．在一摇 摆的沙漏下面放一张均匀行进的纸，沙子落在纸上形成一条曲线，这些都给我们以正弦曲线和余弦曲线的形象．这样我 们就有必要研究正弦函数和余弦函数的图象，从图象上能直观形象地得出正弦函数、余弦函数的一些重要性质，如最大 值、最小值、单调区间、对称性等，同时研究函数图象的过程也为培养学生化归的数学思想有促进作用．
三角函数的图象与性质
适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 正弦、余弦及正切函数的定义域、值域 正弦、余弦及正切函数的周期性；正弦、余弦及正切函数的单调性 正弦、余弦及正切函数的奇偶性；正弦、余弦及正切函数的对称性 1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 学习目标 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理 π π 解正切函数在区间－2，2内的单调性. 学习重点 学习难点 1．三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是重点． 2．三角函数图像的对称性也是一个重点． 灵活应用 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
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0， π x≠kπ＋2k∈Z，
2＋log 1 x≥0，
2
0＜x≤4， 即 π kπ≤x＜kπ＋2k∈Z.
利用数轴可得：
π 所以函数的定义域是x|0＜x＜2或π≤x≤4.
π (2)f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos22－x a ＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝2sin 2x－cos 2x. π 由于 f－3＝f(0)，
π A．y＝f(x)的最小正周期为 π，且在0，2上为增函数 π B．y＝f(x)的最小正周期为 π，且在0，2上为减函数 C．y＝f(x)的最小正周期为 π，且在(0，π)上为增函数 D．y＝f(x)的最小正周期为 π，且在(0，π)上为减函数
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π 3．(2013· 衡阳联考)给定性质：①最小正周期为 π；②图象关于直线 x＝3对称，则下列四个函数中，同时具有性质① ②的是( ) π B．y＝sin2x－6 D．y＝sin|x|
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【拔高】 6．写出下列函数的单调区间及周期： π (1)y＝sin－2x＋3；(2)y＝|tan x|.
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7．求下列函数的值域： cos x＋5 (1)y＝ ； 2－cos x (2)y＝sin2x－4sin x＋5.
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8．(2012· 湖北高考)已知向量 a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2 3cos ωx)，设函数 f(x)＝a· b＋λ(x 1 ∈R)的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ 为常数，且 ω∈2，1. (1)求函数 f(x)的最小正周期； 3π π (2)若 y＝f(x)的图象经过点4，0，求函数 f(x)在区间0， 5 上的取值范围．
π π 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递增区间： kπ－2，kπ＋2 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) (k∈Z)
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1 x＝2kπ ＋π(k∈Z) 时，ymin＝－1
无最值
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考点 3
正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性及周期性 函数 奇偶性 y＝sin x 奇函数 对称中心(kπ，0)，k∈Z 对称性 π 对称轴 l x＝kπ＋2，k∈Z 2π y＝cos x 偶函数 π 对称中心kπ＋2，0，k∈Z 对称轴 l x＝kπ，k∈Z 2π y＝tan x 奇函数 kπ 对称中心 2 ，0(k∈Z) 无对称轴 π
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a 2π 2π 所以2· sin－ 3 －cos－ 3 ＝－1， 3 1 即－ 4 a＋2＝－1，得 a＝2 3. π 于是 f(x)＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin2x－6. π π 3π π 11π 由于 x∈4， 24 ，所以 2x－6∈3， 4 ， π π π π 因此当 2x－6＝2即 x＝3时 f(x)取得最大值 f3＝2， π 3π 11π 11π 当 2x－6＝ 4 即 x＝ 24 时 f(x)取得最小值 f 24 ＝ 2.
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【例题 2】 π π π 【题干】若函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间0，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则 ω 等于( A．3 3 C.2 B．2 2 D.3 )
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【解析】选 C ∵y＝sin ωx(ω＞0)过原点， π π ∴当 0≤ωx≤2，即 0≤x≤2ω时． y＝sin ωx 是增函数； π 3π π 3π 当2≤ωx≤ 2 ，即2ω≤x≤2ω时， y＝sin ωx 是减函数． π 由 y＝sin ωx(ω＞0)在0，3上单调递增， π π 3 π π 在3，2上单调递减知，2ω＝3，故 ω＝2.
周期
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四、例题精析 【例题 1】 【题干】(1)求函数 y＝ 2＋log 1 x＋ tan x的定义域；
2
π π π 11π (2)设 a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos22－x满足 f－3＝f(0)，求函数 f(x)在4， 24 上的最大值和最小值．
【例题 4】 π 2π nπ 【题干】(2012· 上海高考)若 Sn＝sin7＋sin 7 ＋…＋sin 7 (n∈N*)，则在 S1，S2，…，S100 中，正数的个数是( A．16 C．86 B．72 D．100 )
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【答案】C πx 【解析】∵函数 f(x)＝sin 7 的最小正周期为 T＝14， π 2 6 7 8 13 14 又 sin7＞0，sin7π＞0，…，sin7π＞0，sin7π＝0，sin7π＜0，…，sin 7 π＜0，sin 7 π＝0， ∴在 S1，S2，S3，…，S13，S14 中，只有 S13＝S14＝0，其余均大于 0. 由周期性可知，在 S1，S2，…，S100 中共有 14 个 0，其余都大于 0，即共有 86 个正数．
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二、复习预习 1. 同角三角函数的基本关系 2. 诱导公式的口诀及具体含义
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三、知识讲解 考点 1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象、定义域及值域 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 值域
R [－1,1]
R [－1,1]
π xx≠ ＋kπ， 2