高三文科数学试卷

高三文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数1−2ii=()A. 2−iB. 2+iC. −2+iD. −2−i2.设Z为整数集，集合A={x∈Z|2x>3}，B={x|x−4≤0}，则A∩B的所有元素之和为()A. 10B. 9C. 8D. 73.设变量x，y满足约束条件{x−y≥1x+y≥−13x−y≤3，则目标函数z=x+3y的最小值等于()A. 1B. −1C. −4D. −74.为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A，B两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩(每包10只)，15家药店中抽检的A、B型号口罩不合格数(Ⅰ、Ⅱ)的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是()A. 估计A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9=12，S9=72，则S10=()A. 73B. 81C. 83D. 856.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗−b⃗ |=4，|a⃗+b⃗ |=2，且|a⃗|=√2，则a⃗与a⃗+b⃗的夹角余弦值为()A. −√24B. −14C. √24D. 5√247.已知函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调减区间为()A. [2kπ−π8,2kπ+3π8](k∈Z)B. [kπ−π8,kπ+3π8](k∈Z)C. [2kπ+3π8,2kπ+7π8](k∈Z)D. [kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)8.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C上一点，且PF1与x轴垂直，直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q.若直线PQ的斜率为−34，则椭圆C的离心率为()A. √24B. 12C. √22D. √329.函数f(x)=xcosxe x+e−x在[−π,π]上的图象大致是()A. B.C. D.10.表面积为324π的球，其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于()A. 567B. 576C. 240D. 49π11.已知函数f(x)=13x3+bx2+(b−4)x，若存在x∈[−3,−1]使得f′(x)> 0成立，则实数b的最值情况是()A. 有最大值1B. 有最大值−3C. 有最小值1D. 有最小值−312.设A(2,0)，B(0,4).若对于直线l：x−y+m=0上的任意一点P，都有|PA|2+|PB|2>18，则实数m的取值范围为()A. (1+2√2,+∞)B. (1−2√2,1+2√2)C. (−∞,1−2√2)D. (−∞,1−2√2)∪(1+2√2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题p：若M是双曲线x2−y2=1上一点，则M到此双曲线的两焦点距离差的绝对值为2；则命题￢p是______命题．(填“真”或“假”)14.周六晚上，小红随着爸爸、妈妈和弟弟去看电影，订购的4张电影票恰好在一排且连在一起，若他们随机地坐到座位上，则这两个孩子坐在父母中间的概率为______．15.已知函数f(x)=x−cosx(x∈R)，α，β是钝角三角形的两个锐角，则f(cosα)______f(sinβ)(填写：“大于”或“小于”或“等于”)．16.如图，已知：在△ABC中，CA=CB=√3，AB=3，点F是BC边上异于点B，C的一个动点，EF⊥AB于点E，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，则四棱锥P−ACFE的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）17.已知：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+−A)=c．bcos(2π3(1)求角A；(2)设a=3，求△ABC周长的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：1−2ii =(1−2i)(−i)−i2=−2−i．故选：D．直接利用复数的代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵A={x∈Z|x>32,}B={x|x≤4}，∴A∩B={x∈Z|32<x≤4}={2,3,4}，∴A∩B的所有元素之和为2+3+4=9．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B的所有元素的和．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)．由z=x+3y得y=−13x+z3，平移直线y=−13x+z3，由图象可知当直线y=−13x+z3经过点A时，直线y=−13x+z3的截距最小，此时z最小．由{x+y=−13x−y=3，解得A(12,−32)，代入目标函数得z=12−3×32=−4．即z=x+3y的最小值为−4．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 4.【答案】D【解析】解：选项A ，A 型号口罩的不合格数为8×2+5+6+12×4+13+10+14+16+20+21+30=199，B 型号口罩的不合格数为8×2+5+6+2+4+11×3+10+14+16+21+25+28=180，∵199>180，∴A 型口罩的合格率更小，即选项A 正确；选项B ，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数为11，即B 正确； 选项C ，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的中位数为11，即C 正确； 选项D ，Ⅰ组数据更集中，方差更小，即D 错误． 故选：D ．选项A ，计算两种型号口罩的不合格数即可判断； 选项B ，找出两组数据中出现次数最高的那个数即可；选项C ，将得分按照从小到大的顺序排列，比较最中间数的大小即可； 选项D ，根据方差的含义即可判断．本题考查茎叶图的概念与数字特征，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题． 5.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题设得：{a 1+8d =129a 1+9×8d2=72，解得：{a 1=4d =1，∴S 10=10a 1+10×9d 2=40+45=85，故选：D ．设等差数列{a n }的公差为d ，由题设列出d 与a 1的方程组，解出d 与a 1，再利用等差数列的前n 项和公式求得结果．本题主要考查等差数列基本量的计算，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵|a⃗−b⃗ |=4,|a⃗+b⃗ |=2,|a⃗|=√2，∴2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =16①，2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =4②，∴②−①得，4a⃗⋅b⃗ =−12，a⃗⋅b⃗ =−3，∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =2−3=−1，∴cos<a⃗,a⃗+b⃗ >=a⃗ ⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ ||a⃗ +b⃗|=√2×2=−√24．故选：A．根据条件可得出2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =16,2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =4，两式相减即可求出a⃗⋅b⃗ =−3，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角的余弦值．本题考查了向量的数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据函数f(x)=√2sin(ωx+φ)的部分图象，可得f(π8)=√2sin(π8ω+φ)=0，所以π8ω+φ=0；由f(π2)=√2sin(π2ω+φ)=1，所以π2ω+φ=3π4；解得ω=2，φ=−π4；所以f(x)=√2sin(2x−π4)；令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2，k∈Z；解得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，k∈Z；所以函数的单调减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8]，k∈Z．故选：D．根据函数f(x)的部分图象求出ω和φ的值，写出f(x)的解析式，再求函数的单调减区间．本题考查了函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，基础题． 8.【答案】B【解析】解：设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，则P(−c,b 2a )， ∴直线PQ 的斜率k =b 2a−c−c=−34，化简可得：a 2−c 2ac=32，∴1−e 2e =32，解得e =12或e =−2(舍)．故选：B ．计算P 点坐标，代入直线的斜率公式即可求出a ，c 的关系，从而求出离心率的大小．本题考查了椭圆的简单性质，考查直线斜率公式，属于基础题． 9.【答案】A【解析】解：f(−x)=−xcos(−x)e −x +e x=−xcosxe x +e −x =−f(x)，故f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B ，D ；当x ∈(π2,π)时，cosx <0,xcosxe x +e −x <0，故排除选项C ． 故选：A ．利用函数的奇偶性可排除选项B ，D ；利用余弦函数的性质可排除选项C ，进而得出正确答案．本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题． 10.【答案】B【解析】解：设球的半径为r ，则4πr 2=324π，解得r =9，设正四棱柱的底面边长为a ，则正四棱柱的体对角线为√a 2+a 2+142=2r =18， 解得a =8，∴正四棱柱的表面积为S =2×82+4×8×14=576， 故选：B ．计算球的半径，根据正四棱柱的体对角线等于球的直径求出棱柱的底面边长，再计算表面积．本题考查了球与棱柱的位置关系，几何体的体积与表面积计算，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：f(x)=13x3+bx2+(b−4)x，则f′(x)=x2+2bx+b−4= (x+b)2−b2+b−4f′(x)为二次函数，其开口向上且对称轴为x=−b，而区间[−3,−1]的中点为−2，当{−b≥−2f′(−3)≥0，即{b≤29−6b+b−4≥0时，解得b≤1，当{−b<−2f′(−1)≥0，即{b>21−2b+b−4≥0时，无解，若存在x∈[−3,−1]使得f′(x)>0成立，必有b≤1，即b有最大值1，故选：A．根据题意，求出f(x)的导函数，可得f′(x)=x2+2bx+b−4，由二次函数的性质，分类讨论求出b的取值范围，即可得答案．本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等12.【答案】D【解析】解：根据题意，点P在直线l：x−y+m=0上，设P的坐标为(x,x+ m)，则有|PA|2+|PB|2=(x−2)2+(x+m)2+(x−0)2+(x+m−4)2=4x2+(4m−12)x+(2m2−8m+20)，若对于直线l：x−y+m=0上的任意一点P，都有|PA|2+|PB|2>18，则4x2+(4m−12)x+(2m2−8m+20)>18恒成立，即4x2+(4m−12)x+(2m2−8m+2)>0对于R恒成立，则有△=(4m−12)2−16(2m2−8m+2)<0，即m2−2m−7>0，解可得m>1+2√2或m<1−2√2，即m的取值范围为(−∞,1−2√2)∪(1+2√2,+∞)，故选：D．根据题意，设P的坐标为(x,x+m)，由此表示|PA|2+|PB|2>18，则有4x2+ (4m−12)x+(2m2−8m+2)>0对于R恒成立，结合二次函数的性质分析可得△=(4m−12)2−16(2m2−8m+2)<0，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查两点间距离公式的计算，涉及一元二次不等式的解法，属于综合题．13.【答案】假【解析】解：命题p：若M是双曲线x2−y2=1上一点，所以a=1，b=1，则M到此双曲线的两焦点距离差的绝对值为2；设焦点为F1和F2即||MF1|−|MF2||=2a=2，故命题P为真命题．￢P为假命题．故答案为：假直接利用双曲线的方程求出a和b，进一步确定命题P为真命题．本题考查的知识要点：双曲线的定义和方程的应用，命题的否定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14.【答案】16【解析】解：周六晚上，小红随着爸爸、妈妈和弟弟去看电影，订购的4张电影票恰好在一排且连在一起，他们随机地坐到座位上，基本事件总数n=A44=24，这两个孩子坐在父母中间包含的基本事件个数m=A22A22=4，则这两个孩子坐在父母中间的概率为p=mn =424=16．故答案为：16．基本事件总数n=A44=24，这两个孩子坐在父母中间包含的基本事件个数m=A22A22=4，由此能求出这两个孩子坐在父母中间的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】>【解析】解：f(x)=x −cosx(x ∈R)，则f′(x)=1+sinx ≥0， ∴f(x)为单调递增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角， ∴0<α+β<π2，∴0<α<π2−β<π2∴1>cosα>cos(π2−β)=sinβ>0，∴f(cosα)<f(sinβ)故答案为：>．利用导数求出函数的单调性，即可求得结论．本题主要考查利用导数研究函数单调性，结合三角函数比较函数值的大小，属于中档题． 16.【答案】√24【解析】解：设AB 的中点为D ，则CD ⊥AB ，EF//CD ，且CD =√32，∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥PE ，∴PE ⊥CD ，又PE ⊥AC ，AC ∩CD =C ， ∴PE ⊥平面ABC ，设BE =x(0<x <32)，则PE =x ，EF =√3， ∴S 四边形ACFE =S △ABC −S △BEF =3√34−22√3， ∴V P−ACFE =13×(3√34−22√3)×x =√34x −36√3，V′(x)=√34−√36x 2，∴当0<x <√62时，V′(x)>0，当√62<x <32时，V′(x)<0，∴当x =√62时，V(x)取得极大值也是最大值V(√62)=√24．故答案为：√24．设BE =x ，用x 表示出四棱锥的体积V(x)，利用导数求出最大值即可． 本题考查棱锥的体积计算，函数最值的计算，属于中档题．17.【答案】解：(1)由正弦定理得sinAcosB +sinBcos(2π3−A)=sinC ， 即sinAcosB +sinBcos(2π3−A)=sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，∴cos(2π3−A)=cosA，∴tanA=√3．∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)∵a=3，A=π3，asinA=bsinB=csinC，∴b=2√3sinB，c=2√3sinC，∵B+C=π−A=2π3，∴a+b+c=3+2√3(sinB+sinC)=3+3osB+3√3sinB=3+6sin(B+π6)．又∵B∈(0,2π3)，∴B+π6∈(π6,5π6)，∴sin(B+π)∈(1,1],∴a+b+c∈(6,9]．【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=√3，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(2)由题意利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求a+b+c=3+6sin(B+π6)，结合范围B+π6∈(π6,5π6)，利用正弦函数的图象和性质即可求解其取值范围．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．第7页，共11页。