广义不变凸单调准则
凸优化理论
凸优化理论第一章凸集1、仿射集1.1、定义：任意以及都有；直观上，如果两点在仿射集内，那么通过任意两点的直线位于其内；1.2、仿射集的关联子空间：如果是仿射集，且，则集合是一个子空间（关于加法和数乘封闭）,因此仿射集可以表示为一个子空间加上一个偏移，，可以是C中任意一点；定义C的维数为子空间V的维数（向量基的个数）;1.3、线性方程组的解集:等价于仿射集且其关联的子空间是就是的的零空间即;1.4、仿射组合：如果，称为的仿射组合；如果是仿射集，，且，那么；集合C是仿射集集合包含其中任意点的仿射组合；1.5、仿射包：集合C中的点的所有仿射组合组成的集合记为C的仿射包，；仿射包是包含的最小的仿射集合；1.6、仿射维数：集合仿射维数为其仿射包维数, 即仿射包相关联子空间的维数，即是其子空间最大线性无关基；如果集合的仿射维数小于n ，那么这个集合在仿射集合中;1.7、集合相对内部：定义为的内部，记为，即;集合内部：由其内点构成，内点为;1.8、集合的相对边界：集合C的相对边界定义为，为C的闭包；集合C的边界定义为;------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2.凸集：如果，，，都有；直观上，如果两点在凸集内，则两点间的线段也在凸集内；仿射集是凸集；2.1、凸组合：如果，，，称为的凸组合；点的凸组合可以看做他们的混合或加权平均，代表混合时所占的份数。
如果点在凸集内，则它们的凸组合仍在凸集内；C是凸集集合包含其中所有点的凸组合；2.2、集合的凸包：集合C中所有点的凸组合，;C的凸包是包含C的最小凸集；2.3、无穷级数的凸组合：假设，，，并且，，、、，为凸集，那么若下面的级数收敛，那么2.4、积分的凸组合：假设对所有满足，并且,其中为凸集，那么如果下面积分存在，则： ;2.5、概率的凸组合：假设x是随机变量，为凸集，并且的概率为，那么；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3锥：如果对于任意和，都有，称集合C为锥；直观上如果点在锥中，那么以原点为端点过该点的射线在锥中；3.1、凸锥：集合C是锥，并且是凸的，则称C为凸锥，即对于任意，和，，都有直观上，如果两点在凸锥中，那么以原点为端点，以过两点的两条射线为边界的扇形面在凸锥中；3.2、锥组合：具有，形式的点称为的锥组合（或非负线性组合）；如果均属于凸锥C，那么的每一个锥组合也在C中；集合C是凸锥它包含其元素的所有锥组合；3.3、锥包：集合C的锥包是C中所有元素的锥组合的集合；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 凸集的例子：空集、单点集、全集都是的仿射子集；线段是凸的，但不是仿射的；射线是凸的，不是仿射的，不是锥（除非端点是零点）；直线是仿射的，自然是凸的；如果通过零点，则是锥，并且是凸锥；子空间是仿射的、凸锥(满足对加法、数乘封闭、含零元)；超平面：，其中，且；，，在超平面上；闭的半空间：非平凡线性不等式的解空间，，半空间是凸的，但不是仿射的，也不是锥；半空间边界、内部：、；Euclid球：欧几里得球是凸集：；椭球：椭球是凸集：，对称正定矩阵，决定椭球从各个方向扩展的幅度；半轴长度有给出；正半定矩阵；若为奇异矩阵，椭球退化，即一些维度上半轴长为零，这时其仿射维数等于A的秩，退化的椭球也是凸的；范数球、范数锥：它们是凸集，范数锥：，；如二阶锥（二次锥）；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.多面体：有限个线性等式和不等式的解集：，，;因此多面体是有限个半空间和超平面的交集；仿射集合（如子空间、超平面、直线）、射线、线段、半空间都是多面体；多面体是凸集；有界多面体也称为多胞形<=>有限集合的凸包；多面体可以表示为，，b、d为向量；4.1、单纯形（一种多面体）：点描述法设k+1个点，，仿射独立，即，，，线性独立，那么这些点决定了一个单纯形：，，，，这个集合的仿射维数（它的仿射闭包的维数），即是，空间的维数，显然它的一个基就是，，，即集合的仿射维数为k；单纯形是凸集、并且是多面体，一般称k维单纯形（k+1个仿射独立点生成的凸包）；4.2、常见的单纯形:1维单纯形是一条空间线段（1个基向量，2个空间点）；2维单纯形是一个空间三角形（含其内部）（2个基向量，3个空间点）；3维单纯形是一个四面体（3个基向量，4个空间点）；4.3、单位单纯形：由零向量0和单位向量，，决定的n维单纯形，它可以表示为满足下列条件的向量的集合：;4.4、概率单纯形：由单位向量，，决定的n-1维单纯形，它是满足下列条件的向量集合：;概率单纯形中的每个向量对应于随机变量n个取值对应的一个概率分布，可理解为第i个元素的概率；4.5、单纯形的多面体描述法C是单纯形，充要条件是，对于某些，，有;，其中，，，，，，显然，B的秩为k；因此存在非奇异矩阵，使得，，,则: ，，，，，，，显然：且且且；这里A的选择与，，有关；4.6、多面体：凸包描述法有限集合，，的凸包是：，，，是一个有界多面体，但是无法用线性不等式和不等式的集合将其表示；凸包表达式的一个扩展：，，,其意义是，，的凸包加上，，的锥包，定义了一个多面体，反之每个多面体也都可以表示为此类形式；仿射集是凸集；多面体是凸集；仿射集是多面体；单纯形（特殊多面体）是凸集，可以给出线性等式和不等式表示；多面体（使用线性等式和不等式组定义）等价于凸包，无法给出线性等式和不等式表示；有限集的凸包是有界多面体，无法给出线性等式和不等式表示；5.保凸运算：用以从凸集构造出其他凸集；5.1、求交集：无穷多个凸集的交是凸集；5.2、仿射映射：,且,若S是凸的，那么是凸的；反之成立；伸缩、平移、投影是仿射映射；凸集的和、直积是凸的，凸集的投影是凸的，凸集的部分和是凸的；注意：，也是仿射函数；线性矩阵不等式的解：，是凸集；双曲锥：,是凸集；5.3、透视映射：，，定义域为，如果C是凸集，那么是凸集；反之成立；5.4、线性分式映射：是仿射的，其中并且,那么：，是线性分式（投射）函数, 定义域，P是透视函数；同样象与原象的凸性可以互推；线性分式映射的应用：条件概率，设u和v是分别在，，和，，中取值的随机变量，并且表示概率。
_广义凸函数的定义与等价命题
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报 (自然科学版 )
Journal of Harb in U n iversity of Comm erce ( Natural Sciences Ed ition)
V o.l 26 N o. 4 A ug. 2010
K- 广义凸函数的定义与等价命题
若有 x [ K y 且 y [ K x 成立, 则称 x 与 y 相等, 记为 x = y; 若 x [ K y 成立且 xX y, 则记为 x < K y.
3 K- 广义凸函数的等价命题与性质
3. 1 K- 凸函数的定义
定义
3. 1
集合
S<
F
n L
称为凸的, 如果
kx +
( 1- k )y I S, x, y I S, kI I
定理 3. 1 函数 F BS y FL 为 K- 拟凸的充分 必要条件
LA = { x |F ( x ) [ K A} 为凸集.
证明: 必要性 Px, y I S, k I [ 0, 1 ] 有 F ( x ) [ K A, F ( y ) [ KA, 再由 F 为 K- 拟凸函数, 有 F ( kx + ( 1- k )y ) [ Km ax{F (x ), F (y ) } [ K A 所以 kx + ( 1- k ) y I S, 即 LA 为凸集.
收稿日期: 2009 - 12- 01. 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 10776006) . 作者简介: 马素艳 ( 1982- ) , 女, 硕士, 研究方向: 模糊最优化.
2 L - 模糊数及其上的序关系
定义 2. 1[ 5 ] 设 A 为实数 R 上的模糊集, 其 隶属函数为 LA ( x ). 称 A 为具有有界支撑、严格单 调的模糊数, 若满足如下的条件 i) ~ iv):
广义对数均值的单调性和凹凸性
２０ ０ ７年 ９月
渭南师 范学院 学报
Ｊ ｕ ａ ｆＷ ｅｎ ｎＴ ａ ｈ ｒ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ｌ ｉａ ｅ ｃ ｅｓＵ ｉｅｓｔ ｎ ｏ ｙ
Ｓ ｐｔ ００ ｅ ．２ ７
第２ ２卷 第 ５期
Ｖ １ ２ Ｎｏ ５ ０． ２ ．
，
明 显 地 ｔ０ ， ）关 于 ｔ 递 增 函 数 ． 其 两 边 取 对 数 并 求 导 数 ， 算 得 是 对 计
［ｎ （ １ ，
由 中值 定 理 ， 有 ・ ｎ ｃ 其 中 ０ ＜０ ＜
广义对数均值 的单调性和 凹凸性
赵 教 练
（ 渭南 师范学 院 数学系 ； 陕西 渭南 ７４ ０ ） １００ 摘
凸性．
要： 拓广平 均由 Ｋ Ｂ Ｓｏ ｒ ｙ给出定义并 列出其各种形式 ， ． ．ｔ ａｓ ｌ ｋ 而大部分含有两个变量的平均值都是拓广平均值的某
种特殊情形 ． 文章给出拓 广平均值 的一类情形 ， 并利用有关 中值定 理和导 数工具着重讨 论了此类 平均值 函数 的单 调性 、 凹 关键词 ： 拓广平 均 ； 广义对数平均 ； 单调性 ； 凹凸性
数 ｔ ）的算 术 均 值
：
ｔ 一 ≠・ ， ，０ ，
（ ６ ）
本 文 的 目 的就 是 讨 论 形 如 Ｆ（ ， ｒｒ＋１ ， ）的 均 值 函数 的 单 调 性 和 凹 凸 性 ． ； ， ，
引理 【 设 在 区间 Ｉ ｔ， １ 函数 ）的二 阶导数 存在． 函数 ） ｊ 是递增 （ － 若 在 上 或是 凸 函数 ） 那么 函 ，
墨： ！ ｉ 一 ：（ ： ： ２ ：
Ｏ ｘ
！ ： ！ 二曼 ！兰 ！２ ＝ ： ！ ！！
Ｘｒ － ￣Ｉ ｓ ｕ －ｄｕ ＇＇
凸性与广义凸性综述(1)
Ｖｏ ． Ｎｏ． ０ １ ２１ １ Ｏｃ ．． ０ ｔ ２ ０７
凸性 与广 义 凸性 综述 （ ） １
王见 勇
（ 常熟理工 学 院 数 学 系 ， 江苏 常 熟 ２５０ ） １５０
摘
要： 对庞 大的凸性 家族给 予轮 廓 性描 述 ， 以期 引起 同仁 对各 种 非 常规 凸性 研 究的 关 注．本 文 第一
论、 变分学 、 最优控制及经济数学等许多方 面都有非常广泛 的应用． 凸分析问世 以来 ， 由于应 用的广泛性 与表 现形式和所需 基 础的初 等性 ， 很快 得到人们 的广泛关注 ， 取得 了迅速发 展、 论的深 入与应用 的拓展促 使人们 考虑有别 于通常 凸性 的许多 其 理 它形式的 凸性 ， 统称为广义 凸性 ， 凸性构成 了一个庞大的 凸性家旗 本 文试图对这个 庞大家族给 予轮廓性描述 ， 使 以期引起 同 仁对各种非常规凸性研究的关 注． 作为铺 垫 ， 本文第一 节简述通 常凸性概 念及其 在不等式方 面的几个 简单 应用 ， 以展 示 凸性 理论 的无穷魅力 ； 第二节简介几何凸性 、 对数 凸性 、 凸性 及其 与通 常凸性之间 的相互关 系 ； 指数 第三 节介绍集 合与函数的理想 凸性 ； 第四节简介 由笔者首创的积分凸性 及其进展．
用 数 学 归 纳 法 不难 得 到 ： 定 理 １１ 詹 森 不 等 式 … ） ｆＡ 只是 凸 函数 等 价 于 ．（ ：一
ｎ ｎ ｎ
（． ） １ １ （．） １２
函数 的凸性不仅是一种代数（ 不等式 ） ｉ 性质 ＝
，
∑Ａ ≤∑Ａ ） Ａ ） ， Ｖ ， ， ＝ ， Ｎ ≥ ∑Ａ １ ｎ
称包含集合 Ａ的最 小仿射子 空间
（５ １） ・ （６ １） ・
中点预不变凸函数是 (0,1)∩q- 预不变凸的
λη( ｘꎬｙ) ∈ Ｓ ꎬ ∀ｘꎬｙ ∈ Ｓꎬ∀λ ∈ [０ꎬ１] ꎬ称 Ｓ 是不
定义 ２ [３ꎬ４] 设 Ｓ ⊆ Ｒ ｎ 是不变凸集ꎬ ｆ:Ｓ → Ｒ １ ꎬ如果
对 ∀ｘꎬｙ ∈ Ｓꎬ∀λ ∈ [０ꎬ１] ꎬ成立 ｆ( ｙ ＋ λη( ｘꎬｙ) )
除非特别说明ꎬ 以下总设 Ｓ 是 Ｒ ｎ 中的不变凸
获结果在极小化问题和多目标规划问题中的应用ꎮ
Ｔ ｃ ＝ { ｔ ∈ (０ꎬ１) ｆ ( ｙ ＋ ｔ( ｘ － ｙ) ) ≤ ｔｆ( ｘ) ＋ (１
本文主要目的就是证明以上结果对预不变凸
ｆ:Ｓ → Ｒ １ ꎬ且存在 α ∈ (０ꎬ１) 使:
ｙ ∈ Ｓꎮ
那么本文将证明 (０ꎬ１) ∩ Ｑ ⊆ Ｔ ꎬ其中:
凸的ꎮ 最后ꎬ讨论了所获结果在多目标规划中的一些应用ꎮ
关键词:预不变凸函数ꎻ 中间点预不变凸函数ꎻ 近似凸集ꎻ 多目标优化
中图分类号:Ｏ２２１ 文献标识码: Ａ
集合与函数或映射的凸性或广义凸性在数学
中有重要应用ꎬ例如:在最优化理论研究中ꎬ常常利
用目标函数等的凸性或广义凸性获得最优解所满
系数是有理数的凸组合
ｎ
ｍ －ｎ
ｘ＋
ｙ( ｍ > ｎꎬ互
ｍ
ｍ
ｙ) ꎬｙ) ) ≤ λ １ ｆ ( ｙ ＋ λ ２ η( ｘꎬｙ) ) ＋ ( １ － λ １ ) ｆ( ｙ)
≤ λ１ λ２ ｆ(ｘ) ＋ λ１(１ － λ２ )ｆ(ｙ) ＋ (１ － λ１ )ｆ(ｙ)
＝ λ １ λ ２ ｆ( ｘ) ＋ ( １ － λ １ λ ２ ) ｆ( ｙ) ꎮ
定理1表明当满足条件c时?只要存在一个t?不管是无理数还是有理数?那么必定成立0?1q?t?定理2表明?当是无理数时?不仅0?1q?t?而且t中还有某些特殊形式的无理数?因此?定理2既不是引理2?也不是定理1的重复叙述或推论?定理2设满足条件c?s1?s2??????snt?则t1?t2??????tnt?其中?tinjis1s2????sjnjk11skjnk11sknj1s1s2????sjnjk11skjt?i1?2?????n?即?t1s11s21s3????1sns1s21s3????1sn????????s1s2s3????sn1s11s21s3????1sns11s21s3????1sn????????s1s2s3????sn?t2s1s21s3????1sns1s2s31s4????1sn????????s1s2s3????sn1s11s21s3????1sns11s21s3????1sn????????s1s2s3????sn?????????tns1s2s3????sn1s11s21s3????1sns11s21s3????1sn????????s1s2s3????sn????????????证明
【国家自然科学基金】_不变凸函数_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
推荐指数 4 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
科研热词 不变凸函数 鞍点 测地线 正定 有效解 最优性条件 径向递减函数 广义代数运算 广义一致bρ -(p 对偶 多目标规划 多目标 半e-预不变凸 凸规划 凸函数 光滑流形 似变分不等式 仿射联络 不完全lagrange函数 不变凸集 s-预不变凸函数 s-凸函数 r)-不变凸函数 hadamard型不等式 (h,φ )-ρ 不变凸函数
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
2011年 科研热词 推荐指数 预不变凸函数 2 最优性 2 半无限规划 2 不变凸集 2 预不变凸函数:方向导数 1 集值优化 1 数学规划 1 拟不变凸函数 1 广义α η -单调性 1 广义α η -不变凸函数 1 多目标分式规划 1 半p-不变凸集 1 半(p,r)-不变凸函数 1 凸规划 1 仿射 1 严有效解 1 φ )-ρ 不变凸函数 1 η -近似次微分 1 η -gateaux可微 1 wolfe型对偶 1 r-预不变凸函数 1 r-凸函数 1 g-预不变凸函数 1 g-凸函数 1 (h,(ψ ))-ρ 不变凸函数 1 (h 1
2014年 科研热词 推荐指数 序号 非线性规划 3 1 半连通集 3 2 最优性条件 2 3 强g-半预不变凸函数 2 4 多目标半无限分式规划 2 5 预不变凸函数 1 6 非光滑多目标规划 1 7 极大极小规划 1 8 强预不变凸函数 1 9 广义代数运算 1 10 广义二阶组合切上图导数 1 11 广义一致(ρ 1,ρ 2,ρ 3)η -次可微ⅰ-型预不变凸 1 12 广义一致(ρ 1,ρ 2,ρ 3)η -次可微i-型预不变凸 1 广义(f,α ,ρ ,θ )-d-v-i型一致不变凸 1 对偶定理 1 多目标 1 可行集 1 半严格r-预不变凸函数 1 半严格-g-半预不变凸函数 1 分式规划 1 二阶对偶 1 严格r-预不变凸函数 1 严格r-凸函数 1 不变凸 1 r-预不变凸函数 1 henig有效元 1 g-半预不变凸函数 1 (h,φ )鞍点 1 (h,φ )-ρ 不变凸函数 1
强预不变凸函数的判别准则
６ 厂 ） 满足：３ ＂ （，， ， 若 ａ∈ Ｏ ） ∈Ｋ ｆ（ ＋Ｏｌ ）ｓ （） １ 有 ｙ ｔ ， ） ｒ
＋１ ， ． ／ 中间点 预不变 凸函数， 是 ， （ 一 ∽ 则称 是 称 的预 不
础 ， 过 研 究 了各 类 广 义 凸 函数 之 间 的 关 系， 出 了强 预 不 变 凸函 数 的 一 类 判 别 准 则 ： 一 定 条 件 下 ， 中 所给 出的 九 类 广 义 凸 通 给 在 文
函数 ． 当满 足 中 间点 强 预 不 变凸性 时 ， 以 成 为 强 预 不 变 凸 函数 。 可 关 键 词 ： 预 不 变 凸 函数 ； 不 变 凸函 数 ； 致 不 变 凸 函数 ： 件 ； 密性 定 理 强 预 一 条 稠
．
≤ 一Ｉ （． 一
ｌ ，＋ ｑｘｙ） ２／ ， ，（ ｙ ２／ ， ） （ ， ，） （ ＝ （ ｙ ， （ｙ 一 ７ ， （ ． 一 （一 （，） ， １ ） ｙｌ则称厂 关于 Ｂ ∈ 有 ｒｙｙ ２ （，） － ｒｘ ）７ ， 十 ｒｘ ）＝１ ） ．， ｌ 是 的强
中 图 分类 号 ： ｌ４１ Ｏ ７． ３
文 献标 识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ ５ ０ ３ （ ０２ ０ — １６ ０ ２９ — ４８ ２ １ ）２ ０ ８ — ４
一
、
定义及引理
５若 ｆ ） 满足： ０ ∈ｏ】 ｘｙ Ｋ有 ｆ（ 了 ＞ ， 【，， ， ￣ ｌＶ Ｙ＋２／ｘ ｙ ） ｒ ， ）≤ （
则称 满 足 条件 ｃ 删 ． 口
顶不变凸函数［Ｐ９ ” ａ２－ ： Ｒ２４ ２
ｆ 收稿 日期］０ ０ — ０ ２ １－ ９ ２ １
凸函数的延拓
判 别方法 ! 设)% " " 二阶可导 " 且E% 严格单调 " 则)% 为N上的广义凸函数的 *& *& E% *& *& *& 9% 充分必要条件是
2 % & & & & X% *& B2 *& _% *& X% *& B2 *& B2% *& X% *& B2% *& X% *&+ 3 /9 /9 ) 9 )% )% )% ) 1% 1% 其中 B1% " E&& E X% *& B2% E&& E _% *& "
广义凸函数的定义将一类特殊凸函数的定义作了相对的统一给出了一个一般的表达形式通过选择适当的gxhx就可以得到相当多的特殊函数的定义并且通过具体的判别方法和琴生型不等式可以建立许多重要的形式优美的不等式从而丰富了凸函数的理论对不等式的理论也是一个很好的补充
5 3
高等数Байду номын сангаас研究 W K U D /" ’ K D 0 " ! "#$ % & !% ’( ) * * & + & ,".&," % ( !!!!!!!!!!! X C U D 2 3 3 4
相似文献(10条) 1.期刊论文 吴利丰.周轩伟.WU Lifeng.ZHOU Xuanwei 一类非光滑广义凸函数的数值解法 -温州大学学报 （自然科学版）2009,30(5)
讨论一类非光滑广义凸函数(即:一个可微严格拟凸函数加上一个凸函数)的全局优化算法问题.通过引入广义梯度,给出下降方向和终止 条件,提出一种算法,并且证明了这种算法是全局收敛的.
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２ ０ １ ５年 １ 月
Ｊ ａ ｎ ． ２ ０ １ ５
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． １ ６ ０ ５ ５ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２ — ０ ５ ８ Ｘ． ２ ０ １ ５ ． ０ ０ ０ １ ． ０ ０ ４
广 义 不 变 凸 单 调 准 则
向 丽 娟
（ 重庆师范大学 数学学 院， 重庆 ４ ０ １ ３ ３ １ ）
１ ４
重庆工 商大 学学报 （ 自然科 学版 ）
第３ ２卷
（ ａ ）Ｖ０ ： Ｒ 一Ｒ 是关于函数 叼 ： 厂× 厂 一Ｒ 的严格伪不变凸单调 ； （ ｂ ）ｒ ／ 关于第一变量仿射且是 ｓ ｋ ｅ ｗ函
数； （ Ｃ ）对 ≠ｙ ， 都有 Ｏ （ ｘ ）≥０ （ ｙ ） 叼（ ， ） Ｖ０ （ ）≥０成立 ， 其 中 是 与 Ｙ线段 上一 点． 贝 ４ 称 ： ， Ｒ“ 一
１ 预 备 知 识
设 Ｘ和 ｙ 是 实 向量 空 间 ， 若 函数 ： ｙ的映射 ， 对Ｖ ， Ｙ∈ Ｘ， 且 ＶＡ， ／ ｘ ＥＲ， 有 咖（ Ａ ｘ＋／ ｚ ｙ ） ＝Ａ 咖（ ）＋ （ Ｙ ） 成立 ， 则称 西是 线性 函数 ． 定义 ２ 【 ６ 设 Ｆｃ ＿Ｒ 是 凸集 ， 若 函数 ： ＦＣ ＿Ｒ Ｒ 的映射 ， 对Ｖ ， ｙ ∈Ｘ， 且Ｖ Ａ∈（ ０ ， １ ） ， 有
Ｒ 在 厂关 于 卵是严 格伪 不变 凸的． 定理 １ 设集 合 ，是 集合 中 的开 凸子 集 ， 假设 ： （ ａ ） ０ ： Ｒ 一Ｒ 是关 于 函数 卵 ： 厂× 厂＿ 一Ｒ 伪 不变 凸单 调 的 ；（ ｂ ）７ ／ 关 于第 一变量 仿射 且 是 ｓ ｋ ｅ ｗ 函数 ；
摘 要 ： 在 卵关于第一变量仿射且是 ｓ ｋ ｅ ｗ函数条件下， 推 出伪不变凸单调 与严格伪不变凸单调之 间的
关 系．
关键 词 ： 伪 不 变凸 ； 广义 不 变凸 ； 仿 射
中图分 类号 ： ０ １ ７ ７
文 献标识 码 ： Ａ
文章编 号 ： １ ６ ７ ２ － ０ ５ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ５ ） ０ １ － ０ ０ １ ３ — ０ ２
卵 （ Ｙ ， ） 成立 ， 则 称 Ｆ是 严格 伪不 变 凸单调 函数 ． （ ）≥ ０ ＝ （ Ｙ ）一 （ ）＞ ０
２ 主 要 结 果
引理 １ ［ 设集合 厂是集合 中的开凸子集 ， 假设 ：
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４ — ０ ６ － １ １ ； 修回 日期 ： ２ ０ １ ４ — ０ ７ — ０ ９ ． 作者 简介 ： 向丽娟 （ １ ９ ８ ９ 一 ） ， 女， 重庆巫溪人 ， 硕 士研 究生 ， 从事 凸分析研究．
（ Ｃ ）对 ≠ ｙ ， 都有 ０ （ ）≥０ （ Ｙ ） 叼 （ ， ） ０ （ ）＞０ 成立 ， 其中 ＝ Ａ ＋ （ １ 一 Ａ ） Ｙ ， Ｖ ０ ＜ Ａ ＜ １ ． 则称 ０ ： 厂 Ｒ 一 Ｒ在 厂关 于 田是严格 伪不 变 凸的． ≤ 证明 设 Ｖ ， Ｙ∈Ｆｃ ＿Ｒ ， ≠ ， 有 叼（ ｙ ， ） ＶＯ （ ）≥ ０ ， 需要 证 明 ０ （ ） ＞Ｏ （ ｙ ） ． 反证法 ， 假 设 （ ）
（ Ａ ｘ＋（ １一Ａ ） Ｙ ）＝Ａ 咖 ）＋（ １一Ａ） （ Ｙ ）
定义 １
成立 ， 则称 是仿射函数． 定义 ３ 【 １ 设函数 ： ， × 厂 ＿ ＋ ， 若对 Ｖ ， Ｙ ∈ 厂 Ｒ 都有
卵 （ ， Ｙ ）＋ｒ ｌ （ ｙ ， ） ＝０
成立 ， 则 称 叼为 ｓ ｋ ｅ ｗ函数． 定义 ４ ¨ 设 厂 Ｒ 是开 集 ， 函数 ０ ： ｆ Ｒ 一Ｒ 映射 ， （ ａ ）若 ］卵： ，× 厂＿ 一Ｒ 对 Ｖ ， Ｙ∈ＦＣ ＿Ｒ ， 都 有 ｒ ／ （ Ｙ ， ） ｖｏ （ ）≥ ０ ＝ （ Ｙ ）一 （ ）≥ ０ 成立 ， 则 称 ０是伪 不变 凸单 调 函数． （ ｂ ）若 ］叼： 厂× 一Ｒ 对Ｖ ， Ｙ∈厂 Ｒ ， ≠） ， ， 都 有
广 义 凸在数 学 、 管理 科学 、 工 程学 、 经 济 学 和最 优 化 理 论 中都 担 当 了重 要 的角 色 ， 不 变 凸 函数 和 不 变 凸
单调又是研究广义凸性的重要组成部分 ， 文献 ［ 卜４ ］ 研究 了关于广义不变凸与不变凸单调 ； 文献 ［ ４ ］ 在 叼关 于第一变量仿射且是 ｓ ｋ ｅ ｗ函数条件代替条件 ｃ下 ， 建立 了伪不变凸单调与拟不变凸单调之间的关系． 而此 处是在 关于第一变量仿射且是 ｓ ｋ ｅ ｗ函数条件下 ， 推出伪不变凸单调与严格伪不变凸单调之间的关系．
０ （ Ｙ ）由定理 １中的条件 （ Ｃ ） 知 卵（ ， ） ＶＯ （ ｘ ）＞ ０ ， 其 中 ＝ Ａ ＋ （ 卜Ａ） Ｙ ， Ｖ０ ＜ Ａ ＜ １ ． 由定理 １ 中的条件（ ｂ ） 知叼 关于第一变量仿射且是 ｓ ｋ ｅ ｗ函数条件 ， 有
研（ ， ） Ｖｅ （ ） ＜０
（ １ ）
由式 （ １ ） 和定理 １中的条件 （ ａ ） 知
７ ７ （ ， ） ‘ ０ （ ） ＜０
由式 （ ２ ） 和定理 中 １的条件 （ ｂ ） 有
Ａ 叼 （ ， ） Ｖ０ （ ）＋（ １一Ａ） ｒ ／ （ ｙ ， ） Ｖ０ （ ） ＜ ０
第３ ２卷 第 １ 期
Ｖ０ １ ． ３ ２ Ｎ ０． １
重 庆工 商 大学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｅ ｈ ｎ ｏ ｌ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｃ ｉ Ｅ ｄ ）