高中数学分章节训练试题：6基本初等函数经典练习题
高中数学基本初等函数习题
课题：基本初等函数习题课一、典型例题：例1：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值解法1：由54b ＝3得54log 3＝b∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a+++==+−−解法2：由54log 275427a ==得设108log 81,10881x x ==则所以21(5427)327x −×=×即：2(5454)5454a x b a−×=×所以25454,2x ax a b x ax a b−+=−=+即因此得：2a bx a+=−例2、函数y =的定义域为.例3、函数2321()2x x y −+=的单调区间为.例4、已知函数)10(11log )(≠>−+=a a x x x f a 且.判断)(x f 的奇偶性并予以证明.例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息.）二、巩固练习：1.函数3log (45)y x =−−的定义域为.，值域为.2.函数2322+−−=x x y 的单调区间为.1.若点)41,2(既在函数b ax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =______，b =_______4.函数12+=−x a y (0>a ，且1≠a )的图象必经过点.5.计算()[]=++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−−2175.034303101.016254064.0.6.求下列函数的值域：x y −=215;xy −⎟⎠⎞⎜⎝⎛=131;121−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=x y ;xy 21−=。
高中数学基本初等函数练习题
（一）指数运算例1 计算：526743642++--- 例2 求值：238、12100-、31()4-、3416()81- 例3 用分数指数幂表示下列各式（其中各字母均为正数）（1）34a a ⋅；（2）a a a ；（2）3324()a b +；（二）指数函数的性质例1 下列函数是指数函数的是（ ）A ．2y x =B ．2x y =C ．12x y += D ．132x y +=⨯ 例2 函数22(0,1)x y a a a -=->≠ 且的图象恒过定点________________例3 比较下列各组数的大小（1）0.245()6-与145()6- （2）1()ππ-与1 （3）2(0.8)-与125()4- 例4 设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+ （1）证明：不论a 为何实数，()f x 均为增函数；（2）试确定a 的值，使得()f x 为奇函数 例5 已知0a >，且1a ≠，11()12x f x a =--，则()f x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．函数的奇偶性与a 有关 例6 若函数221x x y aa =+-(01)a a >≠且在[1,1]x ∈-上的最大值为14，求a 的值．三、实战演练 1、化简：3322111143342(0,0)()a b ab a b a b a b ->>=_______________2、已知12102a -=，31032b =，则32410=a b +_______________ 3、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为4、函数()x b f x a -=的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5、比较大小：①0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =；②01， 2.50.4-，0.22-， 1.62.5； 7、已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数 （1）求a 、b 的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值范围0,1<>b a 0,1>>b a 0,10><<b a 0,10<<<b a R t ∈0)2()2(22<-+-k t f t t f四、强化训练1、设a =b =c =,,a b c 的大小关系是_______________ 2、设137x =，则（ ） A ．21x -<<- B ．32x -<<- C ．10x -<< D ．01x <<3、求函数的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性4、已知定义在R 上的函数()22x xa f x =+，a 为常数 （1）如果()()f x f x =-，求a 的值；（2）当()f x 满足（1）时，用单调性定义讨论()f x 的单调性二、题型解析（一）对数计算例1 已知732log [log (log )]0x =，那么12x -=______________例2 计算：（1）；（2）；（3）；（4）（二）对数运算例1 计算下列各式的值（1）1324lg 2493-（2（3） ； 例2 已知 ， ，用，表示例3 若3484log 4log 8log log 16m ⋅⋅=，则m =______________例4 设3436x y ==，求21x y +的值四、强化训练1、已知2(3)4log 3233x f x =+，则的值等于例1 在(2)log (6)a x a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．6a >或2a <B ．26a <<C ．23a <<或36a <<D ．34a << 例2函数y = ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]3例3 若4log 15a<(01)a a >≠且，求实数a 的取值范围 2121x x y -=+9log27((2log20.4log 10.21log 35-2log 3a =3log 7b =a b 42log 568(2)(4)(8)(2)f f f f ++++例4 比较下列各组数中两个值的大小：（1），；（2），；（3），例5 求函数22log (56)y x x =-+的定义域、值域、单调区间例6 函数在上的最大值比最小值大，求的值；三、实战演练1、求下列函数的定义域（1）2(1)log (23)x y x x -=-++；（2）y =(01)a a >≠且2、已知log (31)a a -恒为正数，求a 的取值范围3、比较下列各题中两个数值的大小： ； ； ；4、设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = 5、若log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(2,)+∞四、强化训练1、已知函数()f x 满足：4x ≥，则1()()2x f x =；当4x <时()(1)f x f x =+，则2(2log 3)f += A ．124 B ．112 C ．18 D ．382、设01a a >≠且，函数2lg(23)()x x f x a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为 .3、已知01a a >≠且，21(log )()1a a f x x a x=-- （1）求()f x ；（2）判断()f x 的奇偶性与单调性；（3）对于()f x ，当(1,1)x ∈-时，有2(1)(1)0f m f m -+-<，求m 的集合M4、若x 满足21422(log )14log 30x x -+≤，求2()log 2x f x =最大值和最小值2log 3.42log 8.50.3log 1.80.3log 2.7log 5.1a log 5.2a (0,1)a a >≠log a y x =[2,4]1a 22log 3log 3.5和0.30.2log 4log 0.7和0.70.7log 1.6log 1.8和23log 3log 2和。
高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习
高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习1.已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138， ∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138， 即a <b <c .故选A.2.若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A.ln(y －x ＋1)>0 B.ln(y －x ＋1)<0 C.ln|x －y |>0 D.ln|x －y |<0 答案 A解析 设函数f (x )＝2x －3－x .因为函数y ＝2x 与y ＝－3－x 在R 上均单调递增， 所以f (x )在R 上单调递增.原已知条件等价于2x －3－x <2y －3－y ，即f (x )<f (y )，所以x <y ，即y －x >0，y －x ＋1>1，所以A 正确，B 不正确. 因为|x －y |与1的大小不能确定，所以C ，D 不正确.3.设a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧cos （2πx －2πa ），x ＜a ，x 2－2（a ＋1）x ＋a 2＋5，x ≥a ，若f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 答案 A解析 因为x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5＝0最多有2个根， 所以c os (2πx －2πa )＝0至少有4个根.由2πx －2πa ＝π2＋k π，k ∈Z 可得x ＝k 2＋14＋a ，k ∈Z .由0＜k 2＋14＋a ＜a 可得－2a －12＜k ＜－12.①当x ＜a 时，当－5≤－2a －12＜－4时，f (x )有4个零点，即74＜a ≤94；当－6≤－2a －12＜－5时，f (x )有5个零点， 即94＜a ≤114；当－7≤－2a －12＜－6时，f (x )有6个零点， 即114＜a ≤134；②当x ≥a 时，f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5， Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2＋5)＝8(a －2)， 当a ＜2时，Δ＜0，f (x )无零点；当a ＝2时，Δ＝0，f (x )有1个零点x ＝3；当a ＞2时，令f (a )＝a 2－2a (a ＋1)＋a 2＋5＝－2a ＋5≥0，则2＜a ≤52，此时f (x )有2个零点；所以当a ＞52时，f (x )有1个零点.综上，要使f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧74＜a ≤94，2＜a ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧94＜a ≤114，a ＝2或a ＞52或⎩⎨⎧114＜a ≤134，a ＜2.则可解得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114.4.已知f (x )＝|lg x |－kx －2，给出下列四个结论： (1)若k ＝0，则f (x )有两个零点； (2)∃k <0，使得f (x )有一个零点； (3)∃k <0，使得f (x )有三个零点； (4)∃k >0，使得f (x )有三个零点. 以上正确结论的序号是________. 答案 (1)(2)(4)解析 令f (x )＝|lg x |－kx －2＝0，可转化成两个函数y 1＝|lg x |，y 2＝kx ＋2的图象的交点个数问题. 对于(1)，当k ＝0时，y 2＝2与y 1＝|lg x |的图象有两个交点，(1)正确； 对于(2)，存在k <0，使y 2＝kx ＋2与y 1＝|lg x |的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k <0，则y 1＝|lg x |与y 2＝kx ＋2的图象最多有2个交点，(3)错误； 对于(4)，当k >0时，过点(0，2)存在函数g (x )＝lg x (x >1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN ＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog ba (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质 【例1】 (1)(多选)下列命题中正确的是( ) A.∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB.∀x ∈(0，1)，log 12x >log 13xC.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12D.∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 13x(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ＞0，|x ＋2|，－3≤x ≤0(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，3)C.(0，1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(1，3)答案 (1)ABC (2)D解析 (1)对于A ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，如图(1)，由图可知，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故A 正确；对于B ，分别作出y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图象，如图(2)，由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，故B 正确；对于C ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝x 12的图象，如图(3)，由图可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12，故C 正确；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，log 13x >log 1313＝1，所以D 错误.故选ABC.(2)y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝log a (－x )，函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，等价于y ＝log a (－x )与y ＝|x ＋2|，－3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0＜a ＜1时，显然符合题意(图略).当a ＞1时，只需log a 3＞1，∴1＜a ＜3. 综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，3).探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围. 2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 【训练1】 (1)函数f (x )＝x 2－1e x 的图象大致为( )(2)(多选)已知函数f (x )＝log 2(1＋4x )－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )是偶函数 B.函数f (x )是奇函数C.函数f (x )在(－∞，0]上单调递增D.函数f (x )的值域为[1，＋∞) 答案 (1)A (2)AD解析 (1)易知f (x )在定义域R 上为非奇非偶函数，B 不合题意. 当x <0且x →－∞时，f (x )>0，且f (x )→＋∞，C 不合题意. 当x >0且x →＋∞时，f (x )→0，知D 不合题意，只有A 满足.(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x －(－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋14x ＋x ＝log 2(4x ＋1)－log 24x ＋x ＝log 2(1＋4x )－2x ＋x ＝log 2(1＋4x )－x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数，故A 正确，B 不正确；f ′(x )＝4x ln 4（1＋4x）ln 2－1＝2×4x 4x ＋1－1＝4x －14x ＋1， 则当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，故C 不正确；由以上分析知，f (x )min ＝f (0)＝1，所以函数f (x )的值域为[1，＋∞)，故D 正确.综上所述，选AD. 热点二 函数的零点与方程 考向1 确定函数零点个数【例2】 (1)设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.3答案 (1)C (2)A解析 (1)易知f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2－3，所以x ≥0时，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，所以x ＝1是函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上的唯一零点.根据奇偶性，知x ＝－1是y ＝f (x )在(－∞，0)内的零点， 因此y ＝f (x )有两个零点.(2)当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当0＜x ＜1时，f (x )单调递减，x ＞1时，f (x )单调递增，可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1， 作出函数f (x )的图象，如图. g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )，可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或13.当t ＝13时，可得f (x )＝13有三个实根，即g (x )有三个零点； 当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，即g (x )有一个零点. 综上，g (x )共有四个零点.探究提高 判断函数零点个数的主要方法(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数，求其图象交点问题.【训练2】 (1)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4D.5(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程为f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)C解析 (1)令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个. (2)对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝f (－2)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根. 考向2 根据函数的零点求参数的值或范围 【例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13C.12D.1(2)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b恰有3个零点，则( ) A.a <－1，b <0 B.a <－1，b >0 C.a >－1，b <0 D.a >－1，b >0答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1， 令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，且t ∈R ， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.(2)由题意，令y ＝f (x )－ax －b ＝0，得b ＝f (x )－ax ＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0. 设y ＝b ，g (x )＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0，则以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.①当a <－1时，1－a >0，可知在x ∈(－∞，0)上，g (x )单调递增，且g (x )<0； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可知在x ∈[0，＋∞)上，g (x )单调递增，且g (x )≥0.此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B. ②当a >－1，即a ＋1>0时.因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，由g ′(x )>0可得x >a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增.如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点.当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去. 综上，－1<a <1，b <0.故选C.探究提高 1.求解第(1)题关键是利用函数f (x )有唯一零点找到解题思路.借助换元法，构造函数g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1，利用函数的性质求解. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a (a <1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43e －0.5 C.(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43e －0.5 答案 A解析 依题设，f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a 有两个零点，∴函数y ＝e x (2x －1)的图象与直线y ＝a (x －1)有两个交点. 令y ′＝[e x (2x －1)]′＝e x (2x ＋1)＝0，得x ＝－12.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，y ′<0，故y ＝e x(2x －1)为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，y ′>0，故y ＝e x (2x －1)为增函数，如图.设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x (2x －1)相切于点P (x 0，y 0)， ∴y 0＝e x 0(2x 0－1). 则过点P (x 0，y 0)的切线为 y －e x 0(2x 0－1)＝e x 0(2x 0＋1)(x －x 0).将点(1，0)代入上式，得x 0＝0或x 0＝32(舍去). 此时，直线y ＝a (x －1)的斜率为1.故若直线y ＝a (x －1)与函数y ＝e x (2x －1)的图象有两个交点，应有0<a <1. 热点三 函数的实际应用【例4】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线(O ′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b .已知点B 到OO ′的距离为40米.(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？解(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足.由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1＝160.由140O′A2＝160，得O′A＝80.所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米).(2)以O为原点，OO′所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x，y2)，x∈(0，40)，则y2＝－1800x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋1800x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.设D(x－80，y1)，则y1＝140(80－x)2，所以CD ＝160－y 1＝160－140(80－x )2＝－140x 2＋4x . 记桥墩CD 和EF 的总造价为f (x )万元， 则f (x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫160＋1800x 3－6x ＋32k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－140x 2＋4x＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1800x 3－380x 2＋160(0＜x ＜40). f ′(x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3800x 2－340x ＝3k 800x (x －20)，令f ′(x )＝0，得x ＝20或x ＝0(舍去). 列表如下：所以当x ＝20时，f (x )取得最小值. 答：(1)桥AB 的长度为120米；(2)当O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.探究提高 1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e ax ＋b (a ，b 为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( ) A.9 ℃ B.12 ℃ C.18 ℃ D.20 ℃答案 B解析 当x ＝6时，e 6a ＋b ＝216；当x ＝24时，e 24a ＋b ＝8， ∴e 6a ＋be 24a ＋b ＝2168＝27，则e 6a ＝13. 若果蔬保鲜3天，则72＝13×216＝e 6a ·e 6a ＋b ＝e 12a ＋b ， 故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12 ℃.一、选择题1.设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0.∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝cos π2x ，则函数y ＝f (x )－|x |的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，知周期T ＝2. 令f (x )－|x |＝0，得f (x )＝|x |.作出函数y ＝f (x )与g (x )＝|x |的图象如图所示.由图象知，函数y ＝f (x )－|x |有两个零点.3.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69答案 C 解析 ∵I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53）， ∴当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，则11＋e －0.23（t *－53）＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e0.23(t *－53)＝19. ∴0.23(t *－53)＝ln 19，∴t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.4.已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －1e x －2的零点为x 0，则g [f (x 0)]等于( ) A.1e －e －2B.－2C.e －1e －2 D.e 2－1e 2－2答案 B解析 因为g (x )＝e x －1e x －2， 所以g ′(x )＝e x ＋1e x >0在R 上恒成立， 即函数g (x )＝e x －1e x －2在R 上单调递增.又g(0)＝e0－1e0－2＝－2<0，g(1)＝e1－1e1－2>0，所以g(x)在(0，1)上必然存在零点，即x0∈(0，1)，因此f(x0)＝[x0]＝0，所以g[f(x0)]＝g(0)＝－2.5.(多选)若0<c<1，a>b>1，则()A.log a c>log b cB.ab c>ba cC.a log b c>b log a cD.a(b－c)>b(a－c) 答案AB解析对于A，因为0<c<1，a>b>1，所以log c a<log c b<0，所以log a alog a c<log b blog b c<0，即1 log a c<1log b c<0，所以0>log a c>log b c，故A正确；对于B，因为0<c<1，所以－1<c－1<0，所以当x>1时，函数y＝x c－1单调递减，所以b c－1>a c－1，又ab>0，所以由不等式的基本性质得ab c>ba c，故B正确；对于C，由A知log b c<log a c<0，又a>b>1，所以a log b c<b log b c，b log b c<b log a c，所以a log b c<b log a c，故C不正确；对于D，因为0<c<1，a>b>1，所以ac>bc，所以－ac<－bc，所以ab－ac<ab－bc，即a(b－c)<b(a－c)，故D不正确.综上所述，选AB.6.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则关于函数g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)，下列说法正确的是()A.g(x)为偶函数B.g (x )在(1，2)上单调递增C.g (x )在[2 016，2 020]上恰有三个零点D.g (x )的最大值为2 答案 AD解析 易知函数g (x )的定义域为R ，且g (－x )＝|f (－x )|＋f (|－x |)＝|－f (x )|＋f (|x |)＝|f (x )|＋f (|x |)＝g (x )， 所以g (x )为偶函数，故A 正确；因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，所以f (x )是周期为4的函数，其部分图象如图所示，所以当x ≥0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ），x ∈[4k ，2＋4k ]，0，x ∈（2＋4k ，4＋4k ]，k ∈N ，当x ∈(1，2)时，g (x )＝2f (x )，g (x )单调递减，故B 错误；g (x )在[2 016，2 020]上零点的个数等价于g (x )在[0，4]上零点的个数，而g (x )在[0，4]上有无数个零点，故C 错误；当x ≥0时，易知g (x )的最大值为2，由偶函数图象的对称性可知，当x <0时，g (x )的最大值也为2，所以g (x )在整个定义域上的最大值为2，故D 正确. 综上可知，选AD. 二、填空题7.已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)解析 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合图1与图2知，1<λ≤3或λ>4.8.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25 mg/m 3时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y (单位：mg/m 3)与经过的时间t (单位：min)之间的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－a，t ≥10(a 为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是________.答案 9：30解析 由题图可得函数图象过点(10，1)， 代入函数的解析式，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝1，解得a ＝1，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10－1，t ≥10. 设从喷洒药物开始经过t min 顾客方可进入商场，易知t >10， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－1≤0.25，解得t ≥30，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：30.9.已知a ，b ，c 为正实数，且ln a ＝a －1，b ln b ＝1，c e c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是________. 答案 c ＜a ＜b解析 ln a ＝a －1，ln b ＝1b ，e c ＝1c .依次作出y ＝e x ，y ＝ln x ，y ＝x －1，y ＝1x 这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0＜c ＜1，a ＝1，b ＞1，∴c ＜a ＜b . 三、解答题10.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求实数m 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的图象如图所示.(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 故实数m 的取值范围为(0，1).11.随着中国经济的快速发展，节能减耗刻不容缓.某市环保部门为了提高对所辖水域生态环境的巡查效率，引进了一种新型生态环保探测器，该探测器消耗能量由公式E n ＝M v n T 给出，其中M 是质量(常数)，v 是设定速度(单位：km/h)，T 是行进时间(单位：h)，n 为参数.某次巡查为逆水行进，水流速度为4 km/h ，行进路程为100 km.(逆水行进中，实际速度＝设定速度－水流速度，顺水行进中，实际速度＝设定速度＋水流速度)(1)求T 关于v 的函数关系式，并指出v 的取值范围；(2)①当参数n ＝2时，求探测器最低消耗能量；②当参数n ＝3时，试确定使该探测器消耗的能量最低的设定速度.解 (1)由题意得，探测器实际速度为100T ＝v －4，则T ＝100v －4(v >4). (2)①当参数n ＝2时，E 2＝100·M ·v 2v －4＝100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤v －4＋16v －4＋8 ≥100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（v －4）·16v －4＋8 ＝1 600M ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当v －4＝16v －4，即v ＝8时取等号. 因此，当参数n ＝2时，该探测器最低消耗能量为1 600M .②当参数n ＝3时，E 3＝100·M ·v 3v －4(v >4). 令f (v )＝v 3v －4(v >4)，则f ′(v )＝2v 2（v －6）（v －4）2， 当4<v <6时，f ′(v )<0，f (v )单调递减，当v >6时，f ′(v )>0，f (v )单调递增.故当设定速度为6 km/h 时，该探测器消耗的能量最低.12.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B解析 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I (t 2)＝2I (t 1)，即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38(t 2－t 1)＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8. 13.(多选)方程e x ＋x －2＝0的根为x 1，ln x ＋x －2＝0的根为x 2，则( ) A.x 1x 2>12 B.x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0 C.e x 1＋e x 2<2eD.x 1x 2<e 2 答案 BD解析 令f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2，作出函数y ＝－x ＋2，y ＝e x ，y ＝ln x 的图象，其中y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，如图，则A (x 1，e x 1)，B (x 2，ln x 2).设直线y ＝x 与y ＝－x ＋2的交点为C ，则C (1，1)，且A ，B 关于点C 对称，∴e x 1＝x 2，x 1＋x 2＝2.∵f (0)＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －32>0，g (1)＝－1<0，g (2)＝ln 2>0， ∴0<x 1<12<1<x 2<2，∴x 1x 2<12，故A 错误； ∵x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0等价于ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，易知h (x )＝ln x x 在(0，e)上单调递增， ∴h (x 1)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 2，h (x 2)<h (2)＝12ln 2， ∴h (x 1)＋h (x 2)<－32ln 2<0，即ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，故B 正确； ∵x 1＋x 2＝2且x 1≠x 2，∴e x 1＋e x 2>2e x 1＋x 2＝2e ，故C 错误；∵e x 1＝x 2，∴x 1x 2＝x 1e x 1.易知φ(x )＝x e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增， ∴φ(x 1)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即x 1e x 1<e 2，即x 1x 2<e 2，故D 正确. 故选BD.14.记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；(2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值.(1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎨⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解， 因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解 函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x .设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”， 由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎨⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此，a 的值为e 2.。
高中数学专项训练(基本初等函数真题版本)
高中数学专项训练（基本初等函数真题版本）（含答案）1. 下列函数中，在区间(−1,1)上为减函数的是A. y =11−xB. y =cosxC. y =ln(x +1)D. y =2−x2. 已知a =2−13，b =log 213，c =log 1213，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >b >aD. c >a >b 3. 设a =log 54，b =(log 53)2，c =log 45，则( )A. a <c <bB. b <c <aC. a <b <cD. b <a <c4. 在同一直角坐标系中，函数y =1a x ，y =1og a (x +12)(a >0且a ≠1)的图象可能是( )A.B.C.D.5. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b 6. 已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <b <aB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b 7. 已知b >0，log 5b =a ，lgb =c ，5d =10，则下列等式一定成立的是( )A. d =acB. a =cdC. c =adD. d =a +c 8. 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A. x 3>y 3B. sinx >sinyC. ln(x 2+1)>ln(y 2+1)D. 1x 2+1>1y 2+19. 设y 1=40.9，y 2=80.48，y 3=(12)−1.5，则( )A. y 3>y 1>y 2B. y 2>y 1>y 3C. y 1>y 2>y 3D. y 1>y 3>y 210. 若函数e x f(x)(e =2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A. f(x)=2−xB. f(x)=x 2C. f(x)=3−xD. f(x)=cosx11. 函数的定义域为( )A. (0,2)B. (0,2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)12. 对二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A. −1是f(x)的零点 B. 1是f(x)的极值点 C. 3是f(x)的极值 D. 点(2,8)在曲线y =f(x)上 13. 已知α∈{−2,−1,−12,12,1，2，3}，若幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α=______．14. 设常数a ∈R ，函数f(x)=log 2(x +a)，若f(x)的反函数的图象经过点(3,1)，则a =______．15. 已知函数f(x)=|2x −2|−b 有两个零点，则实数b 的取值范围是______． 16. 已知函数f(x)=a x +b(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[−1,0]，则a +b =______．17. 方程log 2(9x−1−5)=log 2(3x−1−2)+2的解为______． 18.设函数f(x)=2x ，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有下列命题 ①f(x 1+x 2)=f(x 1)⋅f(x 2)； ②f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)；； ④f(x 1+x 22)= f(x 1)+f(x 2)2．其中正确的命题序号是 ______．19. 函数f(x)=log 2√x ·log √2(2x)的最小值为______．20. 已知函数f(x)={2x −a,x ≤0,x 2−3ax +a,x >0有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．21. 若a =log 43，则2a +2−a =______．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算，属于基础题．根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(−1,1)上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A选项．在(−1,1)上，x增大时，−x减小，1−x减小，∴11−x 增大；∴函数y=11−x在(−1,1)上为增函数，即该选项错误；B选项．y=cosx在(−1,1)上没有单调性，∴该选项错误；C选项．在(−1,1)上，x增大时，x+1增大，ln(x+1)增大，∴y=ln(x+1)在(−1,1)上为增函数，即该选项错误；D选项．y=2−x=(12)x；∴根据指数函数单调性知，该函数在(−1,1)上为减函数，∴该选项正确．故选D．2.【答案】D【解析】解：∵0<a=2−13<20=1，b=log213<log21=0，c=log1213=log23>log22=1，∴c>a>b．故选：D．利用指数式的运算性质得到0<a<1，由对数的运算性质得到b<0，c>1，则答案可求．本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查对数函数的单调性的应用，属于基础题．利用对数函数单调性比较大小，因为0=log51<log53<log54<log55=1，c=log45>log44=1，所以b<a<c．【解答】解：∵0=log51<log53<log54<log55=1，∴(log53)2<log53，∴b<a，又c=log45>log44=1，∴b<a<c，故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题． 对a 进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断； 【解答】解：由函数y =1a x ，y =1og a (x +12)，当a >1时，可得y =1a x 是递减函数，图象恒过(0,1)点， 函数y =1og a (x +12)，是递增函数，图象恒过(12,0)； 当1>a >0时，可得y =1a x 是递增函数，图象恒过(0,1)点， 函数y =1og a (x +12)，是递减函数，图象恒过(12,0)；∴满足要求的图象为：D 故选D ． 5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属中档题．本题先将a 、b 、c 的大小与1作个比较，发现b >1，a 、c 都小于1.再对a 、c 的表达式进行变形，判断a 、c 之间的大小。
高中数学-《基本初等函数》单元测试题
《基本初等函数》单元测试题 (时间：90分钟 满分：120分)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若a<12，则化简4(2a －1)2的结果是A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a2．已知f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)的值为 A ．1 B ．2 C ．－1 D.123．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,34．定义运算a b ，ab ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a>b.例如1 2＝1，则函数y ＝1 2x的值域为A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0,1]5．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．986．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是A ．2x >x 12>lgxB ．2x >lgx>x 12C ．x 12>2x >lgxD ．lgx>x 12>2x7．已知f(x －1)＝log a x(a>1)，则函数f －1(x)的图象是8．右图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是A ．m<0，n>1B ．m>0，n>1C ．m>0,0<n<1D ．m<0,0<n<19．(安徽高考，理11)若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e x ，则有A ．f(2)＜f(3)＜g(0)B ．g(0)＜f(3)＜f(2)C ．f(2)＜g(0)＜f(3)D ．g(0)＜f(2)＜f(3)10．设偶函数f(x)＝log a |x ＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则f(b －2)与f(a ＋1)的大小关系为A ．f(b －2)＝f(a ＋1)B ．f(b －2)>f(a ＋1)C ．f(b －2)<f(a ＋1)D ．不能确定第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11．a 23＝49(a>0)，则log 23a ＝________.12．函数f(x)＝log a 3－x 3＋x(a>0且a ≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为__________． 13．设函数f 1(x)＝x 12，f 2(x)＝x －1，f 3(x)＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2 009)))＝__________.14．设0≤x ≤2，则函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值是__________，最小值是__________．三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)设方程x2－10x＋2＝0的两个根分别为α，β，求log4α2－αβ＋β2(α－β)2的值．16．(本小题满分10分)设f(x)＝4x4x＋2，若0<a<1，试求：(1)f(a)＋f(1－a)的值；(2)f(11 001)＋f(21 001)＋f(31 001)＋…＋f(1 0001 001)的值．17.(本小题满分10分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度将减弱到原来的13以下．(lg3≈0.477 1)18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．(1)求函数h(x)的定义域；(2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x 的集合．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，0<x<c ，2－xc 2＋1，c ≤x<1满足f(c 2)＝98.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f(x)>28＋1.答案与解析基本初等函数(Ⅰ)测评(A卷)1．C∵a<12，∴2a－1<0.于是，原式＝4(1－2a)2＝1－2a.2．D由f(3x)＝log29x＋12，得f(x)＝log23x＋12，f(1)＝log22＝12.3．A4．D当x≥0时，2x≥1，y＝1]5．B由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝12log7A，则1x＋1y＝1log2A＋2log7A＝log A2＋2log A7＝log A98＝2，A2＝98.又A>0，故A＝98＝7 2.6．A当x∈(0,1)时，2x>1,0<x 12＝x<1，lgx<0，故2x>x12>lgx，或结合图象分析知正确答案为A.7．C令x－1＝t，∴x＝t＋1.f(t)＝log a(t＋1)，∴f(x)＝log a(x＋1)，即y＝log a(x＋1)．∴x＋1＝a y，即x＝a y－1.∴f－1(x)＝a x－1.观察图象选C.8．D 当x ＝1时，y ＝m ，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以0<n<1.9．D 用－x 代换x 得f(－x)－g(－x)＝e －x ，即f(x)＋g(x)＝－e －x ，解得f(x)＝e x －e －x 2，g(x)＝－e x ＋e －x 2，显然f(x)单调递增且f(2)>0.又∵g(0)＝－1，∴g(0)<f(2)<f(3)．10．C ∵函数f(x)是偶函数，∴b ＝0，此时f(x)＝log a |x|.当a>1时，函数f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上是增函数，∴f(a ＋1)>f(2)＝f(b －2)； 当0<a<1时，函数f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a ＋1)>f(2)＝f(b －2)． 综上，可知f(b －2)<f(a ＋1)．11．3 由a 23＝49(a>0)，得a ＝(49)32＝(23)3，log 23a ＝3.12．－3 ∵f(－x)＝log a 3＋x 3－x ＝－log a 3－x 3＋x＝－f(x)，∴函数为奇函数． ∴f(－2)＝－f(2)＝－3.13.12 009 f 1(f 2(f 3(2 009)))＝f 1(f 2(2 0092))＝f 1(2 009－2)＝(2 009－2)12＝2 009－1＝12 009. 14.52 12 y ＝4x －12－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，则1≤t ≤4，于是y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，1≤t ≤4.当t ＝3时，y min＝12；当t ＝1时，y max ＝12(1－3)2＋12＝52.15．解：由题意可知，α＋β＝10，αβ＝2.于是α2－αβ＋β2＝(α＋β)2－3αβ＝10－6＝4，(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝10－8＝2.所以，原式＝log 442＝12.16．解：(1)f(a)＋f(1－a)＝4a4a ＋2＋41－a 41－a ＋2＝4a4a＋2＋44a44a＋2＝4a4a＋2＋44＋2·4a＝4a4a＋2＋22＋4a＝4a＋24a＋2＝1.(2)f(11 001)＋f(21 001)＋f(31 001)＋…＋f(1 0001 001)＝[f(11 001)＋f(1 0001 001)]＋[f(21 001)＋f(9991 001)]＋…＋[f(5001 001)＋f(5011 001)]＝500×1＝500.17．解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)·k＝0.9k；光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k＝0.92k；光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k＝0.93k；光线经过x块玻璃后强度为0.9x k.∴y＝0.9x k(x∈N*)．(2)由题意0.9x k＜k3，∴0.9x＜13.两边取对数，xlg0.9＜lg13.∵lg0.9＜0，∴x＞lg13lg0.9.∵lg13lg0.9≈10.4，∴x min＝11，即通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．18．解：(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．(2)∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，h(－x)＝f(－x)－g(－x)＝log a(1－x)－log a(1＋x)＝g(x)－f(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数．(3)由f(3)＝2，得a＝2.此时h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，由h(x)>0即log 2(1＋x)－log 2(1－x)>0， ∴log 2(1＋x)>log 2(1－x)．由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.故使h(x)>0成立的x 的集合是{x|0<x<1}．19．解：(1)因为0<c<1，所以c 2<c.由f(c 2)＝98，得c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，0<x<12，2－4x ＋1，12≤x<1，由f(x)>28＋1可知，当0<x<12时，12x ＋1＞28＋1， 解得24<x<12； 当12≤x<1时，2－4x ＋1＞28＋1，解得12≤x<58，所以f(x)>28＋1的解集为{x|24<x<58}．。
高中数学《基本初等函数》单元测试题(基础题含答案)
高中数学《基本初等函数》单元测试题（基础题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是( )A ．[2，＋∞)B ．(1,2]C ．(－∞，2] D.32，＋∞2．已知函数f(x)＝log 2(x ＋1)，若f(α)＝1，则α＝( )A ．0B ．1C ．1D ．33．已知集合A ＝{y|y ＝log 2x ，x>1}，B ＝{y |y ＝(12)x，x>1}，则A ∩B ＝( )A ．{y|0<y<12} B ．{y|0<y<1}C ．{y|12<y<1} D ．?4．函数f(x)＝4x＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10C ．20D ．1006．已知f(x)＝f(x ＋2) x ≤0log 12x x>0，则f(－8)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．27．若定义域为区间(－2，－1)的函数f(x)＝log (2a －3)(x ＋2)，满足f(x)<0，则实数a 的取值范围是( )A.32，2B ．(2，＋∞)C.32，＋∞D.1，328．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lgx)>f(1)，则x 的取值范围是() A ．(110，1) B ．(0，110)∪(1，＋∞)C ．(110，10) D ．(0,1)∪(10，＋∞)9．幂函数y ＝x m2－3m －4(m ∈Z)的图象如下图所示，则m 的值为( )A ．－1<m<4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或310．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图像，只需把函数y ＝lgx 的图像上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度11．已知log 12b<log 12a<log 12c ，则( )A ．2b >2a >2cB ．2a >2b >2cC ．2c >2b >2aD ．2c >2a >2b12．若0<a<1，则下列各式中正确的是( )A ．log a (1－a)>0B ．a 1－a >1C ．log a (1－a)<0D ．(1－a)2>a 2第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数y ＝a x (a>0，且a ≠1)在[1,3]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值是________．14．若函数f(2x )的定义域是[－1,1]，则f(log 2x)的定义域是________．15．函数y ＝lg(4＋3x －x 2)的单调增区间为________．16．已知：a ＝x m ，b ＝x m 2，c ＝x 1m ，0<x<1,0<m<1，则a ，b ，c 的大小顺序(从小到大)依次是__________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在同一坐标系中，画出函数f(x)＝log 2(－x)和g(x)＝x ＋1的图象．当f(x)<g(x)时，求x 的取值范围．18．(本题满分12分)把下列各数按从小到大顺序排列起来．340，2334，－323，32－45，－433，log 2332，log 143，log 34，log 35，log 142.19．(本题满分12分)已知f(x) 是偶函数，当x≥0时，f(x)＝a x(a>1)，若不等式f(x)≤4的解集为[－2,2]，求a的值．20．(本题满分12分)在已给出的坐标系中，绘出同时符合下列条件的一个函数f(x)的图象．(1)f(x)的定义域为[－2,2]；(2)f(x)是奇函数；(3)f(x)在(0,2]上递减；(4)f(x)是既有最大值，也有最小值；(5)f(1)＝0.21．(本题满分12分)设a>0，f(x)＝e xa＋ae x是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．22．(本题满分14分)某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)高中数学《基本初等函数》单元测试题（基础题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
高中数学试卷 代数——基本初等函数列练习题
高中数学试卷代数——基本初等函数列练习题一、单选题1．已知函数f(x)＝a x，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f(x1)·f(x2)等于()A．1B．a C．2D．a22．已知函数f(x)={log a x,x>0a x,x≤0（a>0，且a≠1），则f(f(−1))=（）A．1B．0C．-1D．a3．已知函数f（x）=(3m2−2m)x m是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．-1C．1D．−13或14．函数f(x)=(13)x−√x的零点所在的区间为（）A．(0，13)B．(13，12)C．(12，1)D．(1，2)5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与M N最接近的是（）．（参考数据：lg3≈0.48）A．B．C．D．6．若y=x2，y=(12)x，y=4x2，y=x5+1，y=(x−1)2，y=x，y=a x(a>1)上述函数是幂函数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．已知函数f(x)=|log3(x−1)|−(13)x有两个零点x1，x2，则（）A．x1x2<1B．x1x2>x1+x2C．x1x2<x1+x2D．x1x2=x1+x2 8．化简(1+2 −132)(1+2 −116)(1+2 −18)(1+2 −14)(1+2 −12)的结果是（）A．(1−2−132)−1B．12(1−2−1 32)−1C．1−2 −132D．12(1－2 −132)9．a=log20.7，b=（15）23，c=（12）﹣3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c 10．函数f(x)=x2−2|x|−m的零点有两个，求实数m的取值范围（）A ．−1<m <0B ．m >0 或 m =−1C ．m >0 或 −1≤m <0D ．0<m <111．函数f （x ）=2x +x 3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数 f(x)={x ，x ≤0x 2−x ，x >0 ，若函数g （x ）=f （x ）﹣m 有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A ．[−12，1]B ．[−12，1)C ．(−14，0)D ．(−14，0]13．设函数f(x)={21−x ，x ≤11−log 2x ，x >1则满足f(x)≤2的x 取值范围是（ ）A ．[-1，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）14．若直线y=a 与函数y=|lnx+1x3|的图象恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{e 23}B ．（0，e 23）C ．（e 23，e ）D ．（1e ，1）∪{e 23}15．已知曲线f(x)=−1x在点(−1，f(−1))处的切线l 与曲线g(x)=alnx 相切，则实数a 所在的区间为（ln2≈0.69，ln5≈1.61）（ ） A ．(2，3)B ．(3，4)C ．(4，5)D ．(5，6)16．方程2x •x 2=1的实数解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．317．已知函数 f(x)=lnxx −a ， g(x)=3(lnx−ax)lnx，若方程 f(x)=g(x) 有2不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,e)B ．(0,1e )C ．(−∞,0)∪(e,+∞)D ．(e,+∞)二、填空题18．计算：lg2+lg 10012−lg √2 = ．19．函数 f(x)=(13)x 在 (−1，+∞) 上的值域为 ．20．设 2a =5b =m ，若 1a +1b=2 ，则 m = ．21．设函数f （x ）的图象关于原点对称，且存在反函数f ﹣1（x ）．若已知f （4）=2，则f ﹣1（﹣2）= ．22．已知函f(x)={lnx ，x >0x 2+1，x ≤0，f(a)=2，则a = .23．已知幂函数 f(x)=(m 2−5m +7)x m 2−6在区间 (0，+∞) 上单调递增，则实数 m 的值为 ．24．测量地震级别的里氏震级M 的计算公式为: M =lgA −lgA 0 ，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的 倍.25．函数 f(x)={tx 2+x +1，x ≤t x +78，x >t ， f(x) 在定义域上是单调函数，则 t 的取值范围为 .26．若方程2x +x=4的解所在区间为[m ，m+1]（m∪Z ），则m= ．27．如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为 α=π4，传输带以0.9 m 3min ⁄ 的速度送煤，则r 关于时间t 的函数是 ，当半径为 3m 时，r 对时间t 的变化率为 .28．若 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，在 (−∞,0] 上是减函数，且 f(2)=0 ，则使得f(log 2x)<0 的 x 的取值范围是 .29．已知函数 f(x)={x 2+18x ,2≤x ≤12ax −12a +152,12<x ≤18，若对于任意的实数 x 1,x 2,x 3∈[2,18] ，均存在以 f(x 1),f(x 2),f(x 3) 为三边边长的三角形，则 a 的取值范围是 .30．函数f （x ）=log 3（x 2﹣2x+10）的值域为31．已知函数f （x ）= {x 2+1，x ≥0−1x ，x <0，若f （a ）=1，则实数a= ． 32．已知函数 f(x)=lnx −x 3 与 g(x)=x 3−ax ，若函数 f(x) 图象上存在点 P ，且点 P 关于x 轴对称点 Q 在函数 g(x) 图象上，则实数 a 的取值范围为 .33．已知函数 y =cosωx −a ， x ∈[−π，π] （其中 a ， ω 为常数，且 ω>0 ）有且仅有5个零点，则a 的值为 ， ω 的取值范围是 ． 34．已知函数 f(x)={2x 2−2，x ≥0−43x ，x <0, ，函数 g(x)=f(x)+√1−x 2+|f(x)−√1−x 2|−2ax +4a 有三个零点，则实数 a 的取值范围为 ．三、解答题35．计算下列各式的值：（1）823−(12)−2+(1681)34−(π)0 ；（2）(log 43+log 83)×log 32+2log 21 .36．计算求值：（1）(a 23⋅b −1)−12⋅a −12⋅b 13√a⋅b 56；（2）lg2−lg 14+3lg5−log 32⋅log 4937．已知指数函数 y =(1a)x ， x ∈(0，+∞) 时，有 y >1 .（1）求 a 的取值范围；（2）解关于 x 的不等式 log a (x −1)≤log a (x 2+x −6) .38．某工厂需要建一个面积为512m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？39．已知函数 f(x)=log a (2+x) ， g(x)=log a (2−x) ( a >0 且 a ≠1 )，设 ℎ(x)=f(x)−g(x) .（1）求函数 ℎ(x) 的定义域；（2）当 f(x)>g(x) 时，求 x 的取值范围.40．计算： |−7|+(−2)3+tan45°−√4 . 41．（1）化简： (3a 13b −12)2⋅√a 43÷(ab)−1(a >0，b >0) .（2）计算： log 53×(log 325+log 135)−lg4−lg250 .42．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为 y =12x 2−200x +45000 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？43．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣a ，g （x ）= 13 x 3﹣2x 2+3x+ 163．（1）讨论f （x ）零点的个数；（2）若∪x 1∪[﹣1，2]，∪x 2∪[﹣1，2]，使得f （x 1）≥g （x 2），求a 的取值范围． 44．已知函数 f(x)={x 2−2mx,x ≥0−x 2−2mx,x <0，其中 m ∈R .（1）当 m =1 时，画出函数 f(x) 的图像，并写出 f(x) 的单调区间； （2）若 f(f(1))=1 ，求满足条件所有的 m 的值.45．已知函数 f(x)=log 3(3a x)⋅log 3x9（常数 a ∈R ）.（∪）当 a =0 时，求不等式 f(x)≤0 的解集；（∪）当 x ∈[19，27] 时，求 f(x) 的最小值.46．已知函数 f(x)=2sinxsin(x +π6)+√32cos2x ．（1）求函数 f(x) 的最小值及此时 x 的取值集合；（2）若函数 g(x)=f(x +π12)−√32−a 在 x ∈[0，3π4] 时有2个零点，求实数 a 的取值范围．47．某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100kw ⋅ℎ ，按0.58元/ (kw ⋅ℎ) 计费；每月用电量超过 100kw ⋅ℎ ，其中 100kw ⋅ℎ 仍按原标准收费，超过部分按0.98元/ (kw ⋅ℎ) 计费．（1）设月用电xkw ⋅ℎ ，应交电费y 元，写出y 关于x 的函数关系式；（2）小王家第四季度用电325kw ⋅ℎ ，共交电费206.5元，其中10月份电费49.3元，若已知12月份用电超过 100kw ⋅ℎ ，问小王家10月，11月和12月各用电多少 kw ⋅ℎ ？48．计算（x ﹣4y 5）﹣2•（﹣2x ﹣3y ﹣2）3•（4x ﹣1y ﹣20）﹣1． 49．已知函数f(x)=(x 2−ax)lnx +x(a ∈R ，a >0)．（1）若0<a ≤1，试问f(x)是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．（2）若f(x)有两个零点，求满足题意的a的最小整数值．（参考数据：ln2≈0.693，√e≈1.649）50．已知函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x).（1）解方程：f(x)=0；（2）求证：当x1∈(−1，1)，x2∈(−1，1)时，f(x1)+f(x2)=f(x1+x21+x1x2).答案解析部分1．【答案】A【知识点】有理数指数幂的运算性质【解析】【解答】因为以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，所以 x 1+x 2=0 .因为f (x )＝a x ，所以f (x 1)·f (x 2)= a x 1⋅a x 2=a x 1+x 2=a 0=1 . 故答案为：A【分析】结合题目条件，运用中点坐标计算公式，得到一个等式，运用指数运算，即可得出答案。
(完整word版)高一数学《基本初等函数》测试题
高一数学《基本初等函数》测试题、选择题：本大题共15小题，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5、函数y= log 1(2x 1)的定义域为1 A. ( _ , +x ) 1 1 6、已知f(x)=|lgx|，则fq)、fg 、f (2)的大小关系是 ................... () A. f(2)f(3)B. f(4)f(2)C. f(2) f(4)fdD.f(1)f(2)7、方程：lgx lg(x 3) 1的解为x =( )A 、5 或-2B、5C、 -2D、无解1、下列函数是幕函数的是2A 、 y 2xB 、y3x xC 、y3xD 、 y x 2()C .1 D.320},B {x | log 2 x0|},则 A B 等于({x| x 0} C .{x|x 1}D . {x|x1或x4、若 100a 5, 10b 2，则 2a b =1C. (2，1]D.( —)1A. 3B. 2.3() 1}1 2、计算-log a 12 logs 2 23、设集合A {x|x 1A . {x | x 1}B .R}8、若集合P={y|y=2 x,x R} , M={y|y=x 2 ,x,则下列结论中正确的是…(C .奇函数，在R 上为减函数D •偶函数，在R 上为减函数1 112、 已知log a log b 0，则a,b 的关系是 .................................. ()3 3A 1<b<aB 1<a<bC 0<a<b<1D 0<b<a<1 13、世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个 ............................................... () A.新加坡(270万)B •香港(560万)C •瑞士( 700万)D.上海(1200万)A.M np={2 , 4}B. M HP ={4 , 16}C.M=PD.P M9、已知 f (x) lOg a x , g(x) lOg bh(x) log d x 的图象如图所示则A. c d aC. d c ab B.cd b a b D. d c b a10. 在 b log (a 2) (5a)中，实数a 的取值范围是C 、2 a 511、已知 f(x)x十，则下列正确的是A •奇函数，在R 上为增函数B •偶函数，在 R 上为增函数14若函数f (x) log a x(0 a 1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a的值为33C 、(a 1)x 2在同坐标系中的图象只能是图中的二、 填空题.(每小题3分)16•函数y (2 a)x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是 ___________________________________________________________ 。
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高三数学章节训练题6《基本初等函数》含答案
时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：
个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．
1. 若{|A x y ==，2{|1}B y y x ==+，则A B ⋂=（ ）
A.[1,)+∞
B.(1,)+∞
C.[0,)+∞
D.(0,)+∞ 2. 已知函数：①2sin y x =；②3y x x =+；③cos y x =-；④5y x =，其中偶函数的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 3. 一次函数()g x 满足[]()98g g x x =+, 则()g x 是( ). A.()98g x x =+ B.()32g x x =+
C.()34g x x =--
D.()32g x x =+或()34g x x =-- 4. 函数2
1
2x
x y -+-=的单调递增区间是( )
A.1(,)2+∞
B.1(,)2
-∞ C.(,1)-∞ D.(1,)+∞
5. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲.乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. （至少打开一个水口）
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是（ ）
A.①
B.①②
C.①③
D.①②③ 二.填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 6. 函数1
2
y x =
-，[3,4]x ∈的最大值为 . 7. 设函数2
12,1,()1,1,1x x f x x x ⎧--≤⎪
=⎨>⎪
+⎩ 则[](1)f f = .
8. 函数()
2
223
1m
m y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为 .
三.解答题：本大题共3小题，满分40分，第9小题12分，第10.11小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤．
9. 已知函数22()log (32)f x x x =+- . (1) 求函数()f x 的定义域；(2) 求证()f x 在
(1,3)x ∈上是减函数；(3) 求函数()f x 的值域.
10. 已知函数21
()21
x x f x -=+，（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）求证：()f x 在R 为增
函数；（3）求证：方程()ln 0f x x -=至少有一根在区间()1,3.
11. 如图2，在矩形ABCD 中，已知2AB =，1BC =，在AB .AD .CB .CD 上，分别截取()0AE AH CF CG x x ====>，设四边形EFGH 的面积为y . （1）写出四边形EFGH 的面积y 与x 之间的函数关系式； （2）求当x 为何值时y 取得最大值，最大值是多少？
高三数学章节训练题6《基本初等函数》参考答案：
1～5 ACDBA 6. 1 7.
1
5
8. 2 9. 解：(1) 由2320x x +->得13x -<<, 函数()f x 的定义域是{}13x x -<< (2) 设1213x x <<<, 则()()222211121232(32)2x x x x x x x x +--+-=-+-,
1213x x <<< , 1221120,2,20,x x x x x x ∴-<+>+->
22221132(32)0x x x x ∴+--+-<, 2222113232x x x x ∴+-<+-, 22222211log (32)log (32)x x x x ∴+-<+-.
()f x ∴在(1,3)x ∈上是减函数.
(3) 当13x -<<时, 有20324x x <+-≤.
2(1)log 42f ==, 所以函数()f x 的值域是(,2]-∞.
10. 证明：（1）函数()f x 的定义域为R ，且212
()12121
x x x f x -==-++， 所以2222
()()(1)(1)2()21212121
x x x x f x f x ---+=-
+-=-+++++ 2222(21)
2()2220212121
x x x
x x ⋅+=-+=-=-=+++. 即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数.
（2）12x x ∀-∞<<<+∞，有()()()12121212122222121
2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=
++++， 12x x < ，12220x x -<，1210x +>，2210x +>，()()12f x f x <.
所以，函数()f x 在R 上是增函数.
（3）令()()21
ln ln 21
x x
g x f x x x -=-=-+， 因为()11
2111ln10213g -=-=>+，()33217
3ln 3ln 30219
g -=-=-<+， 所以，方程()ln 0f x x -=至少有一根在区间（1，3）上. 11. 解：（1）因为AEH CFG ∆≅∆，EBF HDG ∆≅∆， 所以22AEH EFB y S S S ∆∆=--矩形ABCD 2112122(2)(1)22
x x x =⨯-⨯-⨯-- 223(01)x x x =-+<≤.
（2）2239232()48y x x x =-+=--+，所以当3
4
x =时，max 98y =.。