7.2正弦、余弦(2)
7.2 正弦、余弦
课题：§7.2正弦、余弦（一）主备：杨守德审核：周飞班级：姓名：使用时间：［学习目标］1、理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
［学习重难点］在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［学习过程］一、出示目标二、自主学习1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？20m13m2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
（根据是______________________________________。
）1、正弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________.2、余弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________________________________________________.3、思考与探索怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？（1）如书P42图7—8，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
（2）观察与思考：从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？____________________________________________________________。
高中数学-必修二7.2余弦函数的图像与性质-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学-必修二7.2余弦函数的图像与性质-知识点1、余弦函数：y=cosx ，x ∈ R ，y ∈ [-1,1] ，需掌握余弦函数的五点法画图。
（0，1） （π/2，0） （π，-1） （3π/2，0） （2π，1）★因为cosx=sin( x +π/2)，所以，余弦曲线可以由正弦曲线向左平移π/2后得到。
2、余弦函数的最小正周期是2π。
①对于y=Acos （ωx+φ），ω≠0，T= ωπ；②形如y=x Acos ω的周期，常结合图像 来解决，通常，周期是减半的，即T= ω 。
3、余弦函数f(x)=cosx 是定义在R 上的 偶 函数，关于y 轴 对称。
余弦曲线是轴对称图形且对称轴不唯一，对称轴：直线x=k π，k ∈Z ；还是中心对称图形且对称中心不唯一，对称中心为：（k π+π/2，0），k ∈Z 。
4、余弦函数f(x)=cosx 的严格增区间是[2k π-π，2k π]，k ∈Z ；严格减区间是[2k π，2k π+π]，k ∈Z 。
在x=2k π，k ∈Z 时，有f(x)max = 1 ；在x=2k π+π，k ∈Z 时，有f(x)min = -1 ；值域为 [-1,1] ，称为有界性 。
5、求值域典例1：求y=sinxcosx+sinx+cosx 的值域。
思路：①换元，设t=sinx+cosx ，由辅助角公式可知t ∈[-2,2]，②改写式子，y=0.5(t 2-1)+t ，并通过配方求出值域。
y=0.5(t+1)2-1，y ∈[-1，0.5+2]。
6、求值域典例2：求y=2cosx 1sinx 5++的值域。
思路：①化为整式，利用辅助角公式将sinx 和cosx 合并。
去分母得：5sinx+1=ycosx+2y ⇒5sinx+1=ycosx+2y ⇒5sinx-ycosx =2y-1 ⇒5y 2+sin(x+φ)=2y-1。
②利用正弦函数的有界性构造不等式，从而求出值域。
苏科版九年级数学(下)教案7.2正弦和余弦
7.2 正弦、余弦教学目标1.使学生了解正、余弦定义的理论基础是相似三角形；掌握正弦、余弦的定义，并能初步应用解答一些简单的三角函数值问题；2.使学生理解正、余弦的特殊角的三角函数值和取值范围的推导过程，并会用它们去解 答一些基本问题；3.使学生理解从特殊到一般是认识客观事物的基本方法。
教学重点和难点正、余弦定义及其应用是重点；而它的抽象概括过程是难点。
教学过程设计一、从生产实际中提出学习本章的重要性例如，修建某扬水站……(板书本章和本节课题)二、正弦和余弦定义的教学过程1.从特殊到一般抽象、概括出正、余弦定义。
(教师打出投影片，每打一个，边讲边问)从图6-1到图6-4我们发现以下两点：(一边讲解，一边启发学生说出结论) 在Rt △ABC 中，(1)当锐角∠A 不变时，它所对的边BC 与斜边AB 的比值不变；(2)当锐角∠A 发生变化时，它所对的边BC 与斜边AB 的比值也随着发生变化。
由此我们给出定义在△ABC 中，∠C ＝90°，如图6-5，那么BCAB(锐角A的对边与斜边的比)叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A类似地，ABAC (锐角A 的邻边与斜边的比)叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝斜边的邻边A 2.对符号的理解.sin 的全文为Sine,国际音标为［sain ］,cos 的全文为cosine,国际音标为［kausain ］.sinA 是一个完整的记号，不是Sin ·A,记号里省略了角的符号“∠”，第一个字母“S ”要小写.3.运用标准图形，变式图形和复合图形进一步熟悉正、余弦的定义.(图6-6)sinA ＝ sin Ｄ＝ sin Ｅ＝ ＝cos Ａ＝ cos Ｄ＝ cos Ｅ＝ ＝sin Ｂ＝ sin Ｅ＝ sin ∠ＧＦＥ＝cos Ｂ＝ cos Ｅ＝ cos ∠ＧＦＥ＝4.标准图形简单应用，变式练习.例1 △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10.(图6-7)求：(1)∠B 的正弦；(2)∠B 的余弦；(3)∠A 的正弦；(4)∠A 的余弦；练习1(标准图形)(课本P.7.1)例2 △ABC 中，∠C ＝90°，sin Ａ＝32.求：(1)cosA ； (2)sinB ； (3)cosC.例3 (复合图形)如图6-8，△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D.BC ＝12，AC ＝5.求：sinA,sin ∠BCD,cos ∠ACD.如图6-9，∠A 为钝角，AB ＝10，AC ＝17，sinB ＝4 5.求BC.(提示：过点A 作AD ⊥BC 于D ，BC ＝21)三、特殊角的正弦和余弦三角函数值的教学过程1.求30°，45°，60°的正弦和余弦值.例4 根据定义求30°和60°的正弦和余弦值.(引导学生画出图6-10)，得到解答)sin30°＝ cos30°＝sin60°＝ cos30°＝例 5 根据定义求出45°的正弦和余弦值.(引导学生画出图6-11，得到解答)sin45°＝cos45°＝2.记忆方法.(1)根据图形记忆；(图6-10和图6-11)(2)列表记忆.3.应用举例，变式练习.例6 求值：(1)sin30°＋sin60°；(2)︒-︒-︒30cos 160sin 45sin 2 答：(1)231+； (2)231--. 四、引导学生根据定义发现正弦和余弦的取值范围1.取值范围：如图6-12，sinA ＝ cosA ＝sinB ＝ cosB ＝你能发现sinA ，cosA 的取值范围吗?在学生回答的基础上，教师总结出，当∠A 为锐角时：0＜sinA ＜1， 0＜cosA ＜1.(因为sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，而直角三角形斜边大于直角边.)2.应用举例，变式练习.例7 ∠A 为锐角，下列正确的是（）A.2)1(sin -A ＝sinA －1B.cosA ＝1.02C.sinA ＝－0.34D.｜cosA ＋1｜＝cosA ＋1例8 化简：(1)｜1－cosA ｜－｜sinA －1｜；(A 为锐角)(2)｜cos α｜＋2)cos 1(α-.( α不锐角)解(1)：因为A 为锐角，所以0〈cosA 〈1,0〈sinA 〈1,则1－cosA 〉0，sinA －1〈0.故原式＝(1－cosA)－(1－sinA)＝sinA －cosA.(2)因为α为锐角，所以0＜cos α＜1，故原式＝cos α＋｜1－cos α｜＝cosA ＋1－cos α＝1.五、小结1.教师先提出以下问题：这两节课学习了哪些内容?哪些重要的思维方法?应注意哪些问题?2.在学生回答的基础上，教师总结出：在学习了三个主要内容(2)学习了从特殊到一般认识客观规律的基本方法.(3)应注意sinA 是一个整体符号，是比值，它随着∠A 的变化而变化.六、作业1.已知△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5.求sinA,cosA 的值.2.已知△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝34.求sinA,sinB,cosB.3.计算：(1)sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°；(2)1－sin260°＋cos260°.选作：已 知∠A ，∠B 均为锐角，并且sinA 是6x 2－11X ＋3＝0的根，cosB 是方程6X2－X －2＝0的根.求sin 2A ＋COS 2B 的值.(答案：95) 板书设计(略)课堂教学设计说明这份教案为两课时，讲了三个内容：正弦和余弦的定义及其两条性质.对于定义的教学，采取从特殊到一般的认识方法，让学生理解概念的形成过程，提高学 生的抽象、概括问题的能力.对于两条性质的教学，也是尽可能让学生去猜想和发现，教师再归纳总结，其目的也是培养学生发现问题的能力.为了让学生理解和掌握上述三个内容，每一个内容之后，尽可能采取标准图形、变式图形(或变式练习)、复合图形和构造基本图形相结合的方式进行讲解和练习，以达到巩固知识的目的.这份教案是根据大纲和教材要求设计的，如果学生的学习成绩较好，还可以适当增加一些难度较大的题.由于这份教案是两课时，所以板书设计由老师们自定.。
《7.2正弦、余弦》作业设计方案-初中数学苏科版12九年级下册
《正弦、余弦》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是巩固学生对正弦、余弦概念的理解，掌握其基本计算方法，并能通过实际问题加深对正弦、余弦应用的认识，提高其解决实际问题的能力。
二、作业内容1. 基础概念练习：- 让学生根据所给角度画出对应的正弦、余弦函数图像，并标注出相应的数值。
- 准备一些关于正弦、余弦定义及性质的填空题，如“正弦值在什么范围内？”等。
2. 计算题：- 给出一定数量的直角三角形，要求学生利用正弦或余弦求出未知的边长或角度。
- 设计一些涉及正弦、余弦混合运算的题目，如“已知一个角的正弦值和另一个角的余弦值，求其他未知量”。
3. 应用题：- 结合实际生活场景，设计一些与正弦、余弦相关的应用问题，如“计算旗杆的高度”等。
- 通过图像变化等问题，引导学生运用正弦、余弦的变化规律解决实际问题。
三、作业要求1. 完成所有题目并标注解题步骤。
特别是计算题和应用题，应要求学生明确每一步的计算依据。
2. 学生应正确理解正弦、余弦在直角三角形中的意义，并能够熟练运用其进行计算。
3. 鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高应用能力。
对于应用题，学生应详细描述解题思路和过程。
4. 作业应在规定时间内独立完成，严禁抄袭。
对于抄袭现象，教师应给予相应的处罚。
四、作业评价1. 评价标准：以准确性、完整性和创新性为评价标准，对学生的作业进行综合评价。
2. 批改方式：教师批改后给出分数和评语，评语应具体指出学生的优点和不足。
3. 反馈方式：将作业中出现的共性问题进行汇总，并在课堂上进行讲解；对个别学生的问题，通过个别辅导或面批的方式进行反馈。
五、作业反馈1. 对学生作业中出现的错误进行及时纠正，并指导学生改正。
2. 对学生的优秀作业进行展示和表扬，激励学生积极完成作业。
3. 根据学生作业情况，调整后续教学计划，确保教学效果。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是使学生能够理解正弦、余弦的基本概念，掌握正弦、余弦的函数图像及性质，能够运用正弦、余弦解决简单的实际问题，提高学生的数学应用能力和思维水平。
高中数学第7章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4第1课时诱导公式①②③④课件新人教B版必修第三
南京眼的桥身的完美对称 辽宁生命之环的完美对称
问题 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角 α 的终 边与 π±α，－α 有什么样的对称关系？
提示 π＋α 的终边与 α 的终边关于原点对称；π－α 的终边与 α 的终边关于 y 轴对称；－α 的终边与 α 的终边关于 x 轴对称．
1．诱导公式① sin(α＋k·2π)＝ sin α (k∈Z)， cos(α＋k·2π)＝ cos α (k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝ tan α (k∈Z)．
[解] (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos
30°＝－
3 2.
(2)sin 114π＝sin2π＋34π
＝sin 34π＝sinπ－π4
＝sin
π4＝
2 2.
(3)sin－436π＝－sin6π＋76π ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60° ＝－12.
3 .
解决给值求值问题的策略 1解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的 角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. 2可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形 向已知式转化.
[跟进训练]
2．已知 sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则 sin(α＋2β)的值为( )
＝cosπ＋π6＝－cos π6＝－ 23.
法二：cos－316π＝cos－6π＋56π ＝cosπ－π6＝－cos π6＝－ 23. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
江苏省灌云县伊芦中学九年级数学下册 7.2.2 正弦 余弦(2)教学案(无答案) 苏科版
年级
九年级
学科
数学
执笔
审核
使用周次
课题
7.2 正弦、余弦（2）
课型
新授
章节
7.2.2
四
上课时间
班级
姓名
学习小组
学习
目标
求三角形中角的正弦、余弦
利用三角函数解决实际问题
重点
难点
三角函数的应用及规律探索
教 学 过 程
二次备课
一、自学：
1、知识回顾：在△ABC中,∠C=90º，
tan∠A=
二、探索活动：
1、根据正弦、余弦概念，求解：
2、通过对例2的运算，你发现在同一个三角形中，两个锐角的函数值有什么特征吗？
三、例题：
解析：
拓展：课本45页第4题。
课堂练习：
教后笔记
人教B版高中数学必修第三册7.2.2 单位圆与三角函数线
(2)作直线 x＝－35交单位圆于 M，N 两点，则 OM 与 ON 为角 α 的终边， 如图②.
(3)在直线 x＝1 上截取 AT＝2，其中 A 的坐标为(1,0)．设直线 OT 与单 位圆交于 C，D 两点，则 OC 与 OD 为角 α 的终边，如图③.
解
1．作三角函数线的四个步骤 (1)确定角的始边，单位圆与 x 轴交点 A(1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点 P. (3)过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过 A 作 x 轴的垂线，与角的终边(或 其反向延长线)交于 T(T′)． (4)得正弦线M→P，余弦线O→M，正切线A→T(或A→T′)． 2．单位圆中求作角的终边的方法 应用三角函数线可以求作满足形如 f(α)＝m 的三角函数的角的终边，具 体作法是先作出直线 y＝m 或 x＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接 所得射线即为所求角的终边．
[跟踪训练 3] 已知 α∈0，π2，求证：sinα<α<tanα.
证明 在单位圆中设∠AOP＝α，则 的长度为 α， 角 α 的正弦线为M→P，正切线为A→T，
∵△OPA 面积<扇形 OPA 面积<△OAT 面积，∴12|O→A |·|M→P|<12|O→A|·α<12|O→A|·|A→T|，即|M→P|<α<|A→T|，
解
题型二 利用三角函数线比较大小
例 2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin23π与 sin45π；
(2)cos23π与 cos45π；
(3)tan23π与
4π tan 5 .
[解] 如图，在单位圆中，23π的终边为 OP1，45π的终边为 OP2，过 P1， P2 分别作 x 轴的垂线，垂足为 M1，M2，延长 P1O，P2O 交经过 A(1,0)的单 位圆的切线于 T1，T2.
7.2正弦余弦(2)
练一练2
已知α为锐角:
1 （1） sin α= ，则cosα=______,tanα=______, 2 1 （2） cosα= 2 ，则sinα=______,tanα=______,
（3）tanα=
1 ，则sinα=______,cosα=______, 2
练一练3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB, 垂足为D,CD=8，AC=10 (1)求锐角A、B的正弦、余弦: (2)求AB、BD的长
cos
=_________________
作业
• P45 T5
C
10 A 8 B
D
例3: 小明正在放风筝,风筝线与水平线成35º 角时,小 明的手离地面1m. 若把放出的风筝线看成一条 线段,长95m,求此时风筝的高度(精确到1m) 友情提醒 sin 35º =0.57
B
cos35º =0.82
A
tan35º =0.70
D
C ELeabharlann 练习: 1.某滑梯的长8m,倾斜角40º ,求该滑梯的高度 (精确到0.1m)
友情提醒
sin 40º =0.64 cos40º =0.77 tan40º =0.84
2.一梯子靠在墙上,若梯子与地面的夹角是68º , 而梯子底部离墙角1.5m,求梯子的长度(精确到0.1) 友情提醒 sin 68º =0.93 cos68º =0.37 tan68º =2.48
检测
7．比较大小:(用>,<或=表示) ①sin40゜ cos40゜ ②sin80゜ cos30゜ ③ sin45゜ cos45゜ 8.菱形的两条对角线长分别是 8 和 6,较短的一条对角线与菱形的一 边的夹角为 ,则 sin =______________,cos =_______________,tan =___________ ______ 9．已知 为锐角， （1） sin = 2 ，则 cos =_________ tan =_________________ 3 （2） cos = 2 ，则 sin =_________ tan =_________________ 3 （3） tan = 2 ，则 sin =_________ 3
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课题 7.2正弦、余弦（2）
学校：镇江市宜城中学 主备人：朱余进 主备时间：2016.02 审核人：初三备课组
班级 ______________ 姓名_________________ 评价 ________________
【学习目标】
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
【重点难点】
1、 理解并掌握正弦、余弦的含义
2、 正确的理解含义并能正确的运用，尤其是对度、分、秒的转化计算。
教学过程：
一、知识回顾
1、在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC=12,BC=5.则sinA ＝_____，cosA=_____，tanA ＝_____；sinB ＝_____，cosB=_____，tanB ＝_____.
2、比较上述中，sinA 与cosB ，cosA 与sinB ，tanA 与tanB 的表达式，你有什么发现？________________________________________________________________。
3、练习：
①如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10,sinA=
53，则BC=_____。
②在Rt△ABC 中，∠C=90°,AB=10,sinB=5
4,则AC=_____。
③如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=15,sinC=5
3，则AB=_____。
④在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA=3
2，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、已知α是锐角，且sin α=cos54°26，则α=____________。
例2、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ：b ：c ＝3：4：5，则sinA+sinB=_________。
例3、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风
筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。
（精确到1m）
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例4、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
【课堂检测】
1、已知α是锐角，且sin （90°-α）=sin α，则α=____________。
2、已知在Rt ABC △中，390sin 5
C A ∠==°
，，则tan B 的值为（ ）
A ．43
B ．45
C ．54
D ．34
3、如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，
连结OC ，若5OC =，8CD =，则tan COE ∠=（ ）
A ．35
B ．45
C ．34
D ．43 4、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD⊥AB，垂足为D ，CD ＝8cm ，AC ＝10cm ，求AB ，BD 的长。
5、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，已知cosA ＝13
12，请你求出sinA 、cosB 、tanA 、tanB 的值。
6、在△ABC 中，∠C＝90°，D 是BC 的中点，且∠ADC＝50°，AD ＝2，求tanB 的值。
（精确到0.01m ）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
(2)(1)
C
B A 3431
A
【课后巩固】
1、已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图）所示），则sinθ的值为 （ ）
（A ）
125 （B ）135 （C ）1310 （D ）13
12
2、已知在Rt ABC △中，390sin 5
C A ∠==°
，，则tan B 的值为 （ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ．34
3、 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为 （ ）
①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2
A BCD 15S cm =菱形． A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
4、如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠的值是 ．
5、如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=
．如果⊙O
，且经过点B ．C ，那么线段AO = cm ．
6、根据下列条件，求锐角A 、B 的正弦、余弦、正切值。
7、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=BC 。
求：（1）cosA ；（2）当AB=4时，求BC 的长。
8、在△ABC 中，∠C＝90°，cosB=
13
12，AC ＝10，求△ABC 的周长和斜边AB 边上的高。