初高中数学衔接之数学思想方法
初、高中数学教学衔接的探讨
学方法的指导 ，以后逐步放手让学生自拟 提纲自学，并 向学生提出预习及进行 章节
小 结 的要 求 。学 生 养 成 自学 的 习惯 后 ，就
４ 、重视培养学生 自我反思 自我总结 的 良好 习惯 ，提 高学 习的 自觉性 由于高 中数学概括性强 ，题 目灵活 多
这就 要求教 师应向学生展示新知识和新解 法的产生背景 、形成和探索过程 ，不仅使
学生掌握知识和方法的本质 ，提高应用的 灵活性 ，而且还使学生学会如何质疑和解
疑 的思 想方 法 ，促 进 创 造 性 思 维 能 力的 提 高。
纲一
基 本内容 的归纳、公式定理 的推导
证明、数学 中研究问题的思 维方法等。学
为此 ，我们在 教学 中 ，抓住 时机积极培 养。 在单元结束时 ，帮助 学生进行 自我 章节小
结 ，在 解题 后 ，积 极 引导 学 生反 思 ：思 解
题思路和步骤 ，思一题 多解 和一题 多变， 思解题方法和解题规 律的总 结。由此培 养
学 生 善 于 进 行 自我反 思的 习惯 ，扩 大知 识
的效果 。 ３ 、重 视 展 示 知 识 的 形 成过 程 和 方 法
探 索过 程，培养学生创造能 力
高中数学较初中抽象性强 ，应用灵活 ， 这就要 求学生对知识理解要透 ，应用要活 。 不能只停 留在对知识结论的死记硬套上 ，
培 养学生能力 ，是初高中数学衔接非 常重要 的环节 ，主要有 ：
１ 、培养 学生独立学 习的能力 在 高一年级开始 ，可选择适当内容在 课内自学。教 师根据教材内容拟定 自学提
结合实例 ，给学生分析初高 中教学在学 习
对“初高中数学的衔接问题”的思考
这些能力要 求的突变使很 多高一新生感到不适应 ，因而有许 多初
中数 学学科 成 绩 的 佼 佼 者 ，进 入 高 中阶段 ，往 往 在 学 习上 出现 后
退， 就其主要原因就是 学生没有改变思维方法。
２学 习 习惯 问题 。在初 中阶段 ， 本 中 习题基 本 上 与例 题 的类 ． 课
回 答老 师 的 提 问 ， 以提 高 听课 效 率 。在 高 中 经常 遇 到 这种 情 况 ： 即 使 老 师讲 过 学 生做 过 ， 了一 段 时 间 ， 过 再做 ， 学生 好像 未 曾 “ 识 ” 相 ， 效 果较 差 ， 说 明 学生 没有 勤 于反 思 、 习总 结 的 习惯 。 这 复
心 。笔 者 对 于做 好 初 高 中的数 学衔 接 工 作有 一 定 的 见解 。
一
教师教 学方式问题 。初 中数 学教 学内容少， 知识难度 不大， 教 学要求较低 ， 因而教学进度较慢 ， 对于某些重点、 难点 ， 教师 可以有 充裕的时间反复讲 解、 多次演练 ， 而各个击破 。在 高中的数学课 从 标 中随要 求关注学生的主体参与 ， 积极倡导“自主 、 合作 、 究” 探 的 互动式教 学模式。 而高中教师在授课 时强调数 学思想和方法， 注重
体会 。
一
的思维模 式 ， 因式分 解先 看能否提取公 因式 ， 如 再考虑公式法 ，
解 一元 一 次方 程 分五 个步 骤 ， 成 了 固定 的思 维 模 式 。 因此 ． 中 形 初
生在数 学学习中习惯 于这种机械 的， 于操作的思维定势 。 便 而高 中 数学在思维形式上产生 了很大的变化 ，数学语 言的抽 象化对思维
方 法上 的 巨大 差距 ， 间又 缺 乏过 渡 过 程 ， 使 高 中新 生普 遍 适 应 中 至
初高中衔接数学主要知识点的简单梳理
初高中衔接数学主要知识点的简单梳理初高中数学衔接主要包括以下几个方面的知识点梳理：1.数与代数：初中主要学习了整数、有理数、多项式等基本概念和运算法则，高中将进一步学习实数、复数、指数、对数、函数等数学概念，并研究其性质和运算规律。
初中数学中遇到的一元一次方程、一元二次方程等概念会在高中进一步学习，学习解方程的新方法和技巧。
2.几何：初中主要学习了平面几何中的角、线段、三角形、平行四边形、圆等基本概念和性质，高中将进一步学习立体几何（如面体的体积、表面积等）和解析几何（如坐标系、直线、曲线等）。
初中已经学习的几何知识将在高中进一步扩展和应用。
3.概率与统计：初中主要学习了简单概率问题的计算以及统计分布（如频数分布表、直方图等），高中将进一步学习概率、期望、方差等概念，并研究相关的问题。
高中数学中的统计内容也会更加深入，涉及到抽样调查和统计推断等内容。
4.算术与数列：初中主要学习了四则运算、分数、小数、百分数、比例与比例般以及简单的图像处理等内容，高中将继续学习复杂的算术运算（如幂运算、根式运算等）以及更复杂的数列（如等差数列、等比数列等），并研究它们的性质和应用。
5.数学思想方法：高中数学对于学生的思维能力和综合运用能力要求更高，需要培养学生的证明能力和问题解决能力。
初中时的计算和应用题目会逐渐转向推理和证明题目，学生需要熟悉不同证明方法的运用，掌握一定的证明技巧。
在初中到高中的衔接过程中，学生需要温故而知新，对初中已学内容进行复习、总结与巩固，同时积极学习新的高中数学知识。
高中数学相较于初中，不仅内容更加深入和复杂，学习方法、思维方式以及解题思路等方面也有所不同。
学生要增强数学学习的兴趣和主动性，通过多做习题、解决实际问题，培养对数学的兴趣和理解，以便更好地适应高中数学的学习。
数学初高衔接内容
数学初高中的衔接内容是非常重要的，它涉及到学生在数学学科中的连贯性和深入理解。
下面列举了一些常见的数学初高中衔接内容：
1. 数学基础知识的复习和巩固：
-复习初中数学的基本概念、公式和运算规则，如整数、分数、代数等；
-温故而知新，通过练习和应用，巩固和熟练掌握初中数学的基础知识。
2. 函数与方程的深入学习：
-学习更高级的函数类型，如指数函数、对数函数、三角函数等，并掌握它们的性质和图像；
-学习更复杂的方程类型，如二次方程、立方方程、指数方程等，进一步提升解方程的能力。
3. 几何的推广与拓展：
-进一步学习平面几何和立体几何的相关知识，如平行线、相似三角形、立体几何的体积与表面积等；
-学习使用向量方法解决几何问题，如向量的加法、减法、数量积、向量夹角等。
4. 数据与统计的扩展应用：
-学习更复杂的数据统计方法，如概率、抽样调查和统计推断等；
-开展实际问题的统计与分析，培养学生的数据处理和解决问题的能力。
5. 探究型学习与证明思维的培养：
-引导学生进行探究性学习，鼓励他们提出问题、验证猜想和发现规律；
-培养学生的数学思想和证明能力，引导他们理解数学定理和定律的证明过程。
通过初高中数学的衔接，旨在帮助学生建立起对数学的整体性理解和扎实的基础，为进一步深入学习和应用数学打下坚实的基础。
重要的是，教师需要根据学生的具体情况和学科特点，适当调整教学内容和方式，使学生能够顺利过渡到高中数学，并进一步拓展数学思维和应用能力。
数学思想方法
数学思想方法一．数学思想方法的内涵首先，什么是“思想”？在现代汉语中，“思想”解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。
《辞海》中称“思想”为理性认识。
《中国大百科全书》认为“思想”是相对于感性认识的理性认识成果。
《苏联大百科全书》中指出：“思想是解释客观现象的原则。
”毛泽东在《人的正确思想从哪里来》一文中说：“感性认识的材料积累多了，就会产生一个飞跃，变成了理性认识，这就是思想。
”综合起来看，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、高级抽象的概括的认识。
那么什么是“数学思想”？“数学思想”是对数学事实、概念和理论的本质认识，是数学知识的高度概括。
是数学中的理性认识，是数学知识的本质，它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。
“数学方法”是数学思想在数学认识活动中的具体反映和体现，是处理探索解决数学问题、实现数学思想的手段和工具。
广义来说，数学思想和方法是数学知识的一部分。
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。
通常混称为“数学思想方法”。
中学数学所涉及的数学思想有：转化与化归、数形结合、函数与方程、统计、分类讨论思想。
详见高中数学归纳总结精析。
二．掌握和运用数学学思想方法的重要性数学思想方法是数学的本质之所在，是数学的精髓。
数学知识和思想方法都是形成能力的必要因素。
从哲学观点看，知识和思想方法之间相互依存，彼此联系，是形式和内容的关系。
教材中的知识点是数学的外在形式，而思想方法则是数学的内在体现，是数学的本质。
数学知识是基础，没有数学知识，思想方法就无法立足，无所依托；而没有思想方法，知识就缺少了灵魂，就会显得零散、僵化，缺乏活力，无法灵活运用。
布鲁纳指出：掌握数学思想方法可以使数学更容易理解和记忆，更重要的是领会数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”，如果把数学思想和方法学好了，在数学思想方法的指导下解决数学问题，数学学起来就较容易。
新高一数学初升高数学衔接——学法指导
〔一〕高中数学教材分析
高中数学课程分为必修和选修。必修课程由5个模 块〔5本书〕构成；选修课程有4个系列，其中系 列1、系列2由假设干模块构成〔系列1两本书、系 列2三本书〕，系列3、系列4由假设干专题组成。 内容涉及初等函数、数列、概率与统计、算法、 平面解析几何、立体几何等等。进入高中，我们 首先学习的是?必修1?模块，我们应先对这一模块 有一个大体的了解。
〔3〕记忆数学规律和数学小结论。
〔4〕与同学建立好关系，争做“小老师〞，形成数学学习“互助 组〞.〔5〕反复稳固，消灭前学后忘。
〔6〕学会总结归类。可：①从数学思想分类②从解题方法归类③ 从知识应用上分类。
19
Thank You !
20
谢谢大家！
4
〔二〕初高中数学特点的变化
1、数学语言在抽象程度上的突变。 初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行 表达。而高中数学一开始即在初中学习的“函数 〞的根底上触及抽象的“集合语言〞。 比方，函数的定义
y=1是函数吗？
5
〔二〕初高中数学特点的变化
2、思维方法向理性层次跃迁。
高一的同学产生数学学习障碍的一个原因是高中 数学的思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段， 很多老师将各种题建立了统一的思维模式，如解 分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么， 即使是解答思维非常灵活的平面几何问题，也对 线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套 路。因此，同学们在初中学习中习惯于这种机械 的、便于操作的定势方式，而高中数学在思维形6
〔三〕学好高中数学的应对策略和学习方法
6、建立良好的数学学习习惯
建立良好的数学学习习惯，会使自己学习感到有序而 轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好 动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中， 要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永 久记忆在自己的脑海中。
搞好初高中数学衔接我们要做些什么
搞好初高中衔接我们要做些什么兰炳根高中数学中要突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。
要渗透四大数学思想方法，即数形结合，函数与方程，等价与变换，划分与讨论。
这些虽然在初中数学中有所体现，但在高中数学中才能充分反映出来。
这些能力、思想方法也正是高考命题的要求。
（１）找准衔接点。
数学知识间的联系非常紧密，运用联系的观点提示新知，同学们不仅能顺利接受新知,而且能够认识到新、旧知识间的联系与区别，使知识条理化、系统化。
高一数学知识大多是在初中基础上发展而来的，因而从初中知识（衔接点）出发，提出新问题，可以研究得到新知识，比如函数的定义的学习，可从初中函数定义（衔接点）出发，结合初中所学具体函数加以回顾，再运用映射的观念给这些函数以新的解释，在些基础上对函数重新定义，使新定义的出现水到渠成，易于理解，同时比较新、旧定义，发现原有定义的局限性，又使认识得以深化，新知得以掌握和巩固。
（２）做好“衔接点”教材的处理工作。
如，在学习一元二次不等式解法时，应先详细复习二次函数的有关内容，然后把二次函数、二次不等式、二次方程联系起来进行解决，而一元二次不等式又是一种重要的工具，在代数、三角、解析几何中几乎处处可见，另外，二次函数不但是初中的重要内容，也是高考的“龙头”函数，弄清二次函数的有关内容，对以后的学习指、对函数及三角函数图象的研究到“半两拨千斤”的功效。
另一方面，对于在初中数学中已经学习过的概念、图形，要作一些整理的工作，使之系统化、条理化。
在学习过程中，要充分利用头脑中已有的概念和形象（衔接点），无须作为新知识。
重点处理，以便对自己造成不必要的负担，而对于在提法上予以突出。
例如函数的概念，在初中给出了用“变量”描述的经验型的定义，而在高中则从“映射”的高度给出一个理论型的定义。
但后者并不摈弃前者，而是把前者作为何供对比，有待深入认识的对象。
1.高中起始阶段教学需要进一步掌握的知识和方法2、高中起始阶段的教学需要进一步强化的数学知识和方法总之，初高中数学的衔接，既是知识的衔接，又是学习方法、学习习惯的衔接，只有综合考虑自身实情、课标和大纲、教材、教法等各方面的因素，才能制定出较完善的措施。
初、高中数学教学的衔接
浅谈初、高中数学教学的衔接学生从初中升入高中将会有好多不适应，如果不能及时使学生由不适应迅速过渡到适应，势必使学生成绩下降，信心丧失。
为此，教师在做好初高中数学衔接的教学过程中，除了正确归因外，要及时把握学生的心理发展趋势，积极采取有力措施。
一、学习心理方面衔接随着九年义务教育的全面实施，初中数学教学内容作了相应调整，一些原本在初中学习的内容放到高中，如一指数概念的扩充，有理数指数式的运算性质，对数、对数的运算性质，正余弦定理等。
高中数学教材同初中数学教材相比，无论是内容的深度、广度、难度还是能力要求都是一次飞跃，如果没有良好的心理准备，没有更加努力的信心，昔日的得意很快就会变为失意，昔日的“高峰”很快变成“低谷”。
进高一后一些学生反映数学课“听不懂”，考试成绩大幅度下降，甚至“惨不忍睹”，不少学生产生对高中数学的畏惧心理。
一些家长不理解其中原因，甚至责怪学校和教师。
因此，授课教师在教学过程中，特别是高一前期的教学中要做好学生的心理过渡工作，使学生尽快适应高中的学习，为以后的学习打下一个良好的心理基础。
要求学生克服“浮躁心理”“畏惧心理”，度过高一上学期艰难的教学“磨合”期。
二、学习方法方面衔接大多数学生在初中尚未形成系统的学习方法，升入高中以后急于想学好数学，想得到一些好的学习方法，为此教师在学期开始要抓住时机介绍一些行之有效的衔接办法。
一个高中生，如不努力钻研学习方法，不遵从老师的指导，势必在学习上会走弯路，虽付出不少精力，但收效甚微，学习成绩上不去，情绪和信心自然会受到影响。
引导学生学会学习，变“要我学”为“我要学”，提倡探究式学习、自主学习、合作交流等。
进入高中后，要注重在课堂教学中渗透研究性学习。
求知欲是人们思考、研究问题的内在动力，学生的求知欲越高，他的主动探索精神越强，就能主动积极进行思维，去寻找问题的答案。
教师在教学中可采用引趣、激疑、悬念、讨论等多种途径，活跃课堂气氛，调动学生的学习热情和求知欲望，以帮助学生走出思维低谷。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初高中数学衔接——数学思想方法目录一、方程与函数思想1.1方程思想1.2函数思想二、数形结合思想2.1数形结合思想三、分类讨论思想1.1 方程思想方程知识是初中数学的核心容。
理解、掌握方程思想并应用与解题当中十分重要。
所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法。
对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数或几何问题。
（1）高中体现函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决举例：例1已知函数f (x )=log m33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由解 （1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在 例2.对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +1212+a 对称，求b 的最小值解 （1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点， ∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立于是Δ′=(4a )2–16a ＜0解得0＜a ＜1故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1（3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +1212+a 对称∴k =–1 设AB 的中点为M (x ′,y ′)∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根∴x ′=y ′=abx x 2221-=+， 又点M 在直线1212++-=a x y 上有121222++=-a a b a b ， 即a a a a b 121122+-=+-= ∵a ＞0，∴2a +a 1≥22当且仅当2a =a1即a =22∈(0,1)时取等号，故b ≥–221，得b(2)初中体现所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决。
方程思想是中学数学中非常重要的数学建模思想之一，在初中数学中的应用十分广泛。
方程型综合题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值围、与方程有关的代数式的证明。
举例例3、如图，抛物线ｙ＝－x 2＋px ＋q 与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交于Ｃ点，若∠ACB ＝90O ，且tan ∠CAO －tan ∠ABO=2。
(1)求Q 的值，(2)求此抛物线的解析式。
(3)设平行于x 轴的直线交抛物线于Ｍ、Ｎ两点。
若以ＭＮ为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径。
例4、如图，D 、E 分别是三角形ABC 的AC 、AB边上的点，BD 、CE 相交于点O ，若三角形OCD 的面积是2，三角形OBE 的面积是3，三角形OBC 的面积是4，求四边形ADOE 的面积。
解：连接AO 并延长交BC 于F 。
设S △AOE 为x ，S △AOD 为y 。
因为△ABF 与△ACF 同高，所以S △ABF:S △ACF=底之比=BF:CF=2BF:2CF 。
① 同理S △OBF:S △OCF=底之比=BF:CF 。
②由①和②得S △ABF:S △ACF=S △OBF:S △OCF=（S △ABF-S △OBF ）:（S △ACF-S △OCF ）=S △AOB:S △AOC 。
所以S △AOB:S △AOC=S △OBF:S △OCF同理，S △BOA:S △BOC=S △OAD:S △OCD 。
即（3+x ）:4=y:2 同理，S △COA:S △COB=S △OAE:S △OBE 。
即（y+2）:4=x:3解这个方程组即可。
解得x=4.2，y=3.6。
所以所求四边形面积=x+y=8。
例5、正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形画半圆，则所围成的图形阴影部分的面积是____． （设每一个叶片的面积为x ，“高脚杯 ”面积为y ）例6、在直角坐标系中，抛物线y=x 2+mx-243m (m ＞0)与x 轴交于A 、B 两点。
若点A 、B 到原点的距离分别为OA 、OB,且满足3211=-OA OB ,则m 的值为 思路点拨：设A （x 1,0）,B(x 2,0),把OA 、OB 用x 1 ，x 2的式子表示，建立m 的方程。
1. 2 函数思想函数的思想方法就是用联系和变化的观点看待或揭示数学对象之间的数量关系。
能充分利用函数的概念、图象和性质去观察分析并建立相应的函数模型解决问题。
方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题。
在确定函数解析式中的待定系数、函数图像与坐标的交点等问题时，常将问题转化为解方程和解方程组。
(1)高中体现举例：例1、实数k 为何值时，方程kx 2+2|x|+k=0有实数解？ 解：运用函数的思想解题，变形得 由方程可得k ＝212xx +-方程有解时k 的了值围就是函数f （x ）＝212x x +-的值域，显然－1≤f(x)≤0故－1≤k ≤0即为所求。
例2、有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11（1）求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式;（2）若n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且n x 取到最大值的一组数据解（1） 依条件得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++-)3()1(11)2()1(9)1(103212121n x x x n x x x nx x x n n n 由)2()1(-得：9+=n x n ，又由)3()1(-得：n x -=111（2）由于1x 是正整数，故 1111≥-=n x ，101≤≤⇒n ，故199≤+=n x n 当n =10时, 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x , 此时，62=x ,73=x ,84=x ,95=x ,116=x ,127=x ,138=x ,149=x例3、已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件：f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ,n （m <n ），使f (x )的定义域和值域分别为[m ,n ]和[4m ,4n ]，如果存在，求出m ,n 的值；如果不存在，说明理由解：(1)∵方程ax 2+bx －2x=0有等根，∴△=(b －2)2=0，得b=2。
由f(x －1)=f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x=－ab2=1，得a=－1， 故f(x)=－x 2+2x(2)∵f(x)=－(x －1)2+1≤1，∴4n ≤1，即n 41 而抛物线y=－x 2+2x 的对称轴为x=1，∴当n ≤41时，f(x)在[m,n]上为增函数。
若满足题设条件的m,n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-nn n m m m 424222⇒⎩⎨⎧-==-==2020n n m m 或或又m<n 41 ∴m=－2,n=0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0]由以上知满足条件的m,n 存在,m=－2,n=0（2）初中体现函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题，转化为函数来解决问题。
函数型主要是几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题．主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力．例4．某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为(30－x)台；派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台．∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000． x的取值围是：10≤x≤30(x是正整数)．（2）由题意得200x＋74000≥79600，解不等式得x≥28.由于10≤x≤30，∴x取28，29，30这三个值，∴有3种不同分配方案．①当x＝28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台．②当x＝29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台．③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区．（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x＝30时，y取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x ＝30，此时，y ＝6000＋74000＝80000．建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A 地区；20台甲型收割要全部派往B 地区，可使公司获得的租金最高．2.1数形结合思想数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都要蕴涵着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。