怀仁一中高二理科数学定时训练(二)

怀仁一中高二理科数学定时训练（二）命题：刘巨平一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，（1）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i - （2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114-（3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63 （4）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A（B ）4 （C（D ）5 （5）给出下列四个命题①②③④：其中正确命题的序号是①,sin cos 1R ααα∀∈+>- ②3,sin cos 2R ααα∃∈+=③1,sin cos 2R ααα∀∈≤④,sin cos R ααα∃∈=（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④ （7）椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x yC m n-=共焦点，椭圆1C 的离心率e 取值范围为 （A）(2 （B ）(0,)2（C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）用0,1,2,...9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）A.243B.252C.261D.279（9）设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 （B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△P AB 的面积是（A（B ）2 （C（D（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m =，1813n =，则输出m 的值为 （A ）1 （B ）37 （C ）148 （D ）333（12）已知函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.（14）已知数列{}n a 满足1221(*)n n a n n N -=+-∈，则数列{}n a 的前n 项和n S =_______． （15）由曲线sin()2y x π=与3y x =在区间[0,1]上所围成的图形面积为______．（16）200912320092009120123200922009(12)(),222a a ax a a x a x a x a xx R -=+++++∈++⋅⋅⋅+若则的值为______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）已知二项式n xx )2(2-，（n ∈N *）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 （18）（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）设b =6a c +=，求△ABC 的面积． （18）（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，2AB =，BC =P AB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱P A 的中点．（Ⅰ）求证：PD AC ⊥；（Ⅱ）在棱PA 上是否存在一点E ，使得二面角E BD A --的大小为45︒．若存在，试求AEAP的值，若不存在，请说明理由．（20）（12分）已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2)2(81+=n n a S若nb 3021-=n a ，求}{n b 的前n 项和的最小值（21）（12分）已知圆C 的方程为224x y +=，过点(2,4)M 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的右顶点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆T 的方程；（Ⅱ）已知直线l 与椭圆T 相交于P 、Q 两不同点，直线l方程为(0)y kx k =>，O 为坐标原点，求△OPQ 面积的最大值． （22）（12分）已知函数1()xf x e x a=+-． （Ⅰ）当12a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； （Ⅱ）函数()f x 是否存在零点．若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．怀仁一中高二理科数学定时训练（二）答案一、选择题：ABCDC ，CABBA ，BD二、填空题：13，8；14，221n n S n =+-；15，412-π；16，-1． 三、解答题：17解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn，解得n=8 令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1 (2) 展开式中第r 项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C--⋅218,r rC 28⋅,1182++⋅r r C ,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：r n r C--⋅218≤r r C 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r rC 28⋅，解得5≤r ≤6；所以系数最大的项为T 7=1792111x⋅；二项式系数最大的项为T 5=112061x ⋅ 18．（Ⅰ）由正弦定理得：(2)cos cos a c B b C -=⇒(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= ……………2分即：2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+= ………4分 在ABC ∆中，0sin 0A A π<<∴≠1cos ,023B B B ππ∴=<<∴=又，． …………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：222122cos60()3a c ac a c ac =+-=+- ……………..8分 则8ac = ……………..10分11sin 8222ABC S ac B ∆∴==⋅⋅=． ……………..12分19．取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PA B ∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H －xyz （如图）．则(1,0,0),(1,0,0),(1(1A B D C P -- ………..2分（I）证明：∵(1,2,3),(2,PD AC =-=-,………..4分∴(1(0PD AC ⋅=⋅-=，∴PD AC ⊥，即PD ⊥AC. ………..6分(II) 假设在棱PA 上存在一点E ，不妨设AE =λAP(01)λ<<， 则点E 的坐标为(1)λ-， ………..8分 ∴(2,0,3),(2,2,0)BE BD λλ=-=设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则n BE n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00n BE n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩(2)00200x y z x z λ⎧-+⋅=⎪⇒⎨+⋅=⎪⎩z x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩， 不妨取x=EBD 的一个法向量2(3,)n λλ-=--．………..10分又面ABD 的法向量可以是HP =(0,0, ，要使二面角E-BD-A 的大小等于45°，则0(cos 45|cos ,|(HP nHP n HP n ⋅=<>==⋅可解得12λ=，即AE =12AP 故在棱PA 上存在点E ，当12AE AP =时，使得二面角E-BD-A 的大小等于45°．……..12分 20．解：2111)2(81+==a S a ∴ 21=a2≥n 时，2121)2(81)2(81+-+=-=--n n n n n a a S S a整理得：0)4)((11=--+--n n n n a a a a∵ }{n a 是正整数数列 ∴ 01≠+-n n a a ∴ 41=--n n a a ∴ }{n a 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ 24-=n a n31230)24(21-=--=n n b n ∴ }{n b 为等差数列 ∴n n S n 302-= ∴ 当15=n 时，n S 的最小值为2251530152-=⨯-21（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=- ..2分2=，解得：34k =，此时切线方程为：3542y x =+切线方程与圆方程联立得：68,55x y =-=，则直线AB 的方程为22=+y x ……….4分 令0=x ，解得1=y ，∴1=b ；令0y =,得2x =,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+y x ……….6分（Ⅱ）联立221.4y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kx x k ，令),(11y x P ，),(22y x Q ，则2214138kkx x +-=+，221418k x x +=， 0)41(32)38(22>+-=∆k k ，即：0122>-k ………..8分原点到直线l的距离为=d ………..10分12|||PQ x x =-，∴121||2OPQS PQ d x x ∆=⋅=-===1当且仅当k =时取等号，则OPQ ∆面积的最大值为1. ………..12分 22．（Ⅰ）1()xf x e x a =+-，21'()()xf x e x a =--，21'(0)1f a =-．当12a =时，'(0)3f =-．又(0)1f =-． ………..2分 则()f x 在0x =处的切线方程为31y x =--． ………..4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(,)(,)a a -∞+∞．当(,)x a ∈+∞时，10,0xe x a >>-，所以1()0x f x e x a=+>-． 即()f x 在区间(,)a +∞上没有零点． ………..6分当(,)x a ∈-∞时，1()1()x xe x af x e x a x a-+=+=--， 令()()1xg x e x a =-+． ………7分 只要讨论()g x 的零点即可．'()(1)x g x e x a =-+，'(1)0g a -=．当(,1)x a ∈-∞-时，'()0g x <，()g x 是减函数；当(1,)x a a ∈-时，'()0g x >，()g x 是增函数． 所以()g x 在区间(,)a -∞最小值为1(1)1a g a e--=-． ………..9分显然，当1a =时，(1)0g a -=，所以1x a =-是()f x 的唯一的零点；当1a <时，1(1)10a g a e--=->，所以()f x 没有零点；当1a >时，1(1)10a g a e --=-<，所以()f x 有两个零点． ………..12分。