中考第一轮专题复习8

中考第一轮专题复习八
第三单元（圆与正多边形）
普陀区课题组
一、知识梳理
2、圆与正多边形的主要概念及性质
⑴圆的定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．
⑵圆的确定：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
⑶切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
⑷两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．
BC ⑸相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点．
⑹正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形． ⑺正多边形的对称性：
（A ）轴对称：
正n
边形都是轴对称图像
有n 条对称轴
（B ）中心对称性：
当n 奇数时，正n 边形不是中心对称图形.
当n 偶数时，正n 边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点. ⑻正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径． 内切圆的半径叫做正多边形的边心距．
正多边形每一边所对的外接圆圆心角叫做正多边形的中心角． ⑼圆的面积：2
r s π=； 圆的周长：d r c ππ==2 ⑽扇形的面积：2360r n s π=
；弧长：r n l π180
= 3、几点说明
（1）垂径定理及推论是指：
在圆中某一条直线①“经过圆心”
②“垂直于弦”
③“平分弦（非直径）” ④“平分弦所对的弧”
这四组关系，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立.
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系是指：在同圆或等圆中，由四组量中任一组量相等，便可得到其他三组量也相等.
（3）圆与圆的位置关系中，特殊地：如果两个圆是等圆，那么它们的位置关系只有3种，即：外离、外切和相交． 二、例题探讨
例1 （学科教学基本要求P118 例1） 小杰和小丽要测量一个圆形的人工湖的半径，他们在湖的边沿选取了A 、B 、C 三点并用木柱标记，而且A 、B 两点的路程与A 、C 两点的路程相等．经过测量，得到BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，画出的示意图如图．他们能求出湖的半径吗？你来试一试．
分析：问1、本例测量方法的依据是什么？
预设生答：不在同一直线上的三点确定一个圆．
问2、由题意你能得到哪些信息？
生答：点A 是 的中点，BC =240米，A 到BC 的距离为5米．
问3、在这些信息中，哪一个已知条件是解题的突破口？
生答：点A 是 的中点，联结OA ，根据垂径定理的推论，能推得OA
⊥BC ，且BC BD 2
1=．
问4、如何求出湖的半径呢？有哪些基本图形？
生答：联结OB ，基本图形是直角三角形．根据勾股定理可求得OB 的长，即湖的半径．
解：由题意得：点A 是 的中点，BC =240米．
BC BC
n 为奇数：对称轴是各边的垂直平分线.
n 为偶数: 对称轴是过相对两内角的顶点的直线，或一边的垂直平分线.
设圆形湖的圆心为点O ．联结OA 、OB ，记OA 与弦BC 的交点为D ．
∵O 是圆心，点A 是 的中点，BC =240米，
∴OA ⊥BC
，且BC BD 2
1
==120米．
设圆的半径长为x 米．
在Rt △BOD
中，OB =x ，OD =x -5，由勾股定理，
得2
22BD OD OB +=．即2
2
2
120)5(+-=x x ．
解得x =1442.5．
答：圆形湖的半径长是1442.5米．
【适时小结】1、垂径定理及其推论进行计算，常涉及的数
量是弦长（l ）、半径长（r ）、弦心距（d ）以及弓形的高（r-d ）．
2、关系式是：2
22
)2
1
(d l r +=．
3、上述四个数量中已知其中的两个量，即可求
出另外的两个量．
例2 （学科教学基本要求P120 例3） 在Rt △ABC 中，∠ACB =90，AC =6，AB =10，以点C 为圆心作圆，设圆的半径长r ．
（1） 要使点A 在圆C 的内部，点B 在圆C 的外部，求r 的取值范围； （2） 要使AB 与圆C 相切，求r 的值；
（3） 以点A 为圆心，作圆A 与题（2）所作出的圆C 相切，求圆A 的半径长． 分析：问1、你能根据题意正确画出图形吗？
问2、点与圆有几种位置关系？这几种位置关系中，点与圆心之间的距离与半径长之间的数量关系是怎样的？
问3、直线与圆相切时，点到直线的距离与半径长之间有怎样的数量关系？ 问4、两圆相切有几种情况？圆心距与两圆的半径长之间又有怎样的数量关系？ 预设： 生答2：点与圆有三种位置关系，即点在圆内、点在圆上和点在
圆外．点与圆心之间的距离半径长之间的数量关系是：
（1）点在圆外 ⇔ d>R ； （2）点在圆上 ⇔ d=R ； （3）点在圆内 ⇔ d<R ．
生答3：直线与圆相切d=R ．
生答4：两圆相切有外切和内切两种情况，两圆外切 ⇔d ＝R +r ；
两圆内切 ⇔ d ＝∣R -r ∣． 解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90，AC =6，AB =10，∴BC=8． 要使点A 在圆C 的内部，应使,AC r 得6 r ． 要使点B 在圆C 的外部，应使BC r ，得8 r ． 所以，r 的取值范围是86 r ．
（2）如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ．
点C 到AB 的距离5
24
=⋅=
AB BC AC d ， 要使AB 与圆C 相切，应使r =d ，得5
24
=r ．
BC B
（3）把圆A 、圆C 的半径长分别记作c A r r 和，由题（2）知5
24
=C r ；圆A 与圆C 的圆心距AC =6．
要使圆A 与圆C 外切，应使AC r r C A =+，得56=-=C A r AC r ； 要使圆A 与圆C 内切，应使AC r r C A =-，得5
54
=-=C A r AC r ．
所以，当时或5
54
56==C A r r ，圆A 与圆C 相切．
【适时小结】1、两圆相切 ；两圆相离 2、圆心与相关量的位置关系分类： （1）
（2）
（3）
（4）
师：对上述如列出的这些情况，解题时要注意分类讨论．
例3 （学科教学基本要求P121 例4）如图，已知⊙A 与⊙B 外切，⊙O 分别与⊙A 、⊙B
内切，且OA =7，AB =6，OB =5，求这三个圆的半径长．
分析：本题中的三个圆的位置关系分别是外切和内切，因此，可以从两圆外切和内切时圆心距与半径长的数量关系进行解答．
解：设⊙
A 、⊙
B 、⊙O 的半径长分别是x 、y 、z ．
∵⊙A 与⊙B 外切，∴6=+=y x AB 又∵⊙O 分别与⊙A 、⊙B 内切，
内切 内含
'l 2
l 1
D
D
C
C O 2外切 外离
∴5,7=-==-=y z OB x z OA ．．
得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+,5,7,6y z x z y x 解得⎪⎩
⎪
⎨⎧===.9,4,2z y x 所以，⊙A 、⊙B 、⊙O 的半径长分别是2、4、9．
【适时小结】通过概念，将几何问题转化为代数问题来解决，渗透了方程的数学思想．
例4 （学科教学基本要求P121 例5）如图，已知AB 、AC 是⊙O 的弦，AB 、AC 分别等
于⊙O 的内接正六边形和正五边形的边长．
（1） 试判断BC 的长等于⊙O 的内接正几边形的边长；
（2） 如果⊙O 的半径OA =6，求⊙O 的内接正六边形的面积．
分析：问1、圆内接正n 边形的中心角的计算公式是什么？
预设生答：圆内接正n 边形的中心角=
n
︒
360． 问2、由题意如何求得弦AB 、AC 所对的圆心角的度数 ？
生答：∠AOB=
︒=︒606360；∠AOC=︒=︒
725
360 问3、如何求正n 边形的边数n ？ 生答：n =
为中心角）
αα
(360︒
问4、如何求正六边形的面积？
生答：先求出正六边形中一个等边三角形的面积，再乘以6就是正六边形的面积． 解：（1）∵AB 、AC 分别等于⊙O 的内接正六边形和正五边形的边长， ∴可把AB 、AC 的长分别看作⊙O 的内接正六边形和正五边形的一边． ∵∠AOB =
︒=︒606360；∠AOC =︒=︒
725
360． ∴∠BOC =∠AOC -∠AOB =12°． ∵
3012360=︒
︒
∴BC 的长等于⊙O 的内接正三十边形的边长． （2）过点O 作OD ⊥AB ，D 为垂足．
把AB 作⊙O 的内接正六边形的一边， 则AB =OA =6，∠OAB =60°． ∵∠AOD =90°， ∴332
3
6sin =⨯=∠⋅=OAB OA OD ． ∴3543362
1
621666=⨯⨯⨯=⋅⨯
==OD AB S S AOB △． 【适时小结】求圆内接正n 边形的面积常用方法：
1、 先计算由圆的两条半径与一边所构成的三角形的面积；
2、 再乘以n ，就得圆内接正n 边形的面积．
三、作业布置：数学学科教学基本要求P122，练习3—5 A组、B组．。