流体力学雷诺方程的推导

主要参数R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm,
ε=0、3, c=2 mm 、 各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动,描写这种物理现象的基本方程为
雷诺方程,她的普遍形式就是 )2(6()(22t
h y h V x h U y p h y x p h x ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂ρρρηρηρ） 这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解,而对于复杂的几何形状或者工况条件下的问题,无法用解析方法求得精确解。

随着迅速发展的点算技术,数值算法成为求解润滑问题的有效途径。

数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。

它的一般原则就是:首先将求解域划分成有限个数的单元,并使每一个单元充分的微小。

以至于可以认为在各单元内的未知量(本人毕业设计中设油膜压力为P)相等或者依照线性变化,而不会造成很大的误差。

然后,通过物理分析或数学变换方法,将求解的偏微分方程写成离散形式,即使将它转化成一组线性代数方程。

该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。

最后根据消去法或者迭代法求解代数方程组,从而求得整个求解域上的未知量。

用来求解雷诺方程的数值方法很多,最常用的就是有限元差分方法、有限元法与边界元法,这些方法都就是将求解域划分成许多个单元,但就是处理方法各不相同。

在有限差分法与有限元法中,代替基本方程的函数在求解域内就是近似的,但完全满足边界条件。

而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程,但就是在边界上则近似的满足边界条件。

一、雷诺方程的数值解法
根据边界条件求解雷诺方程,这在数学上称为边值问题。

首先将所求解的偏微分方程无量纲化。

这样做的目的就是减少自变量与因变量的数目,同时用无量纲参数表示的解具有通用性。

然后,将求解域划分成等距的或者不等距的网格,如图1-1为等距网格。

图1-1
沿轴向将Y 划分为8个等距区间,沿周向从πθθ20==到划分为12个等距区间。

这样在Y 方向有13个节点,θ方向有9个节点,总计117913=⨯个节点。

则8
161=∆=∆Y ，πθ。

有限差分法
如果用P 代表所求的未知量例如油膜压力,则变量P 在整个域中的分布可以用各节点的P 值来表示。

根据差分原理,任意节点O(i, j)的一阶与二阶偏导数都可以由其周围的节点变量值来表示。

如图1-2所示,如果采用中差分公式,则变量P 在O(i, j)点的偏导数为
图、1-2
θ
θ∆-=∂∂-+2,1,1,j i j i j i p p p ）（ (1-1)
y
p p y p j i j i j i ∆-=∂∂-+21,1,,）（ 2
,,1,1,22)(2)θθ∆-+=∂∂-+j i j i j i j i p p p p （ (1-2)
2
,1,1,,22)(2)y p p p y p j i j i j i j i ∆-+=∂∂-+（ 以P 为润滑膜压力,雷诺方程的二维二阶偏微分方程的标准形式为:
E Y
P D P C Y P B P A =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θθ2222 (1-3) 其中A,B,C,D 与E 都为已知量。

然后将上述方程应用到各个节点,根据中差分公式(1-1)与(1-2)用差商代替偏导数,即可求得各个节点的变量j i p .于相邻各个节点变量的关系。

这种关系可以写成:
G p C p C p C p C p j i W j i E j i S j i N j i ++++=-+-+,1,11,1,, (1-4)
其中
）
y (2/)2(/)2(/)2(/)2(222222∆+∆=-=∆-∆=∆+∆=∆-∆=∆+∆=B A K K E G
K C A C K C A C K y D y B C K y D y B C W
E
S
N
θθθθθ (1-5) 式(1-4)中各系数值随节点位置而改变。

方程(1-4)就是有限差分法的计算方程,对于每个节点都可以写出一个方程,而在边界上的节点变量应满足边界条件,它们的数值就是已知量。

这样,就可以求得一组线性代数方程。

方程与未知量数目相一致,所以可以求解。

采用消去法或者迭代法求解代数方程组,并使计算结果满足一定的收敛精度,最终求得整个求解域上各节点的变量值。

求解代数方程使用迭代法求解。

1、雷诺方程的无量纲化
定常雷诺方程
x
h u y p h y x p h x ∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂6)()(33ηη (2-1) 将轴承表面沿平面展开,如图1-1所示,并代入.,θθRd dx R x ==
得
θ
ηθηθRd h u h y p Rd p h R ∂=∂∂+∂∂∂6)(3223 等式两边同时乘以2R η
则雷诺方程变为
θ
ηθθd dh R u h y p p h 6)(3223=∂∂+∂∂∂∂ (2-2) 若令
226,)cos 1(,)/2(,2/c
R u P
p Hc c h L R YL y ηθεα==+=== 代入后得 2222233233)2(6)6(L
Y P c R u R c H P c R u c H ∂∂+∂∂∂∂ηθηθ
θηd dH R u 6=
化简得
θ
θθd dH Y P L R H P H =∂∂+∂∂∂∂22233)2)(（ 将 2)/2L R （=
α代入得 θ
αθθd dH Y P H P H =∂∂+∂∂∂∂2233)( (2-3) 由
Hc c h =+=)cos 1(θε
得
θεcos 1+=H
代入(2-3)式,得
2232222
)sin (3-Y P H P H P H ∂∂+∂∂+∂∂αθθθε θθεd d )cos 1(+=
再次化简得无量纲雷诺方程 32222cos 1sin -cos 1)sin (3-）
（θεθεαθθθεθε+=∂∂+∂∂+∂∂+Y P P P (2-4) R 为轴承半径,L 为轴承长度,ε为偏心c e /=ε率,e 为偏心距,c 为半径间隙,采用有限元差分法进行迭代计算。

式(1-4)为标准形式,参考标准式(1-3)可求得标准式中A,B,C,D,E 的值。

3
)cos 1(sin ,0,cos 1sin 3,1θεθεθεθεα+-==+-
===E D C B A ， 将以上各值代入式(1-5)求得
2
22
2222
2322222
222
)
(2)
(2)cos 1(sin 3)
cos 1(2sin 3)cos 1(2)
cos 1(2sin 3)cos 1(2)
2)
2Y Y K Y Y G C C Y C Y C W E S N ∆∆∆+∆=∆+∆∆∆+=+∆∆++=+∆∆-+=∆+∆∆=∆+∆∆=θαθαθθθεθεθεθθθεθεθεθθθεθεαθθααθθα（（ 将已知值代入式(1-4)得
1
,222
1,222
,)2)2-+∆+∆∆+∆+∆∆=j i j i j i P Y P Y P αθθααθθα（（ j i P .12)cos 1(2sin 3)cos 1(2++∆∆-++θεθθ
θεθε
j i P ,12)cos 1(2sin 3)cos 1(2-+∆∆+++θεθθ
θεθε
)(2)cos 1(sin 3222
23Y Y ∆+∆∆∆++αθθθεθε
(2-5) 将
.30,1)40/202()/222==⨯==εαL R （
代入式(2-5)得迭代方程:
1,222
1,222
,)2)2-+∆+∆∆+∆+∆∆=j i j i j i P Y P Y P θθθθ（（
j i P .12)cos .301(2sin .90)cos .301(2++∆∆-++θθθ
θθ
j i P ,12)cos .301(2sin .90)cos .301(2-+∆∆+++θθθ
θθ
)(2)cos .301(sin .90222
23Y Y ∆+∆∆∆++θθθθ 将81
61=∆=∆Y ，πθ代入上式中,得
1,1,,.90.90-++=j i j i j i P P P
j i P .1)
cos .301(4.50sin 7.40)cos .301(2++-++θθθ j i P .1)
cos .301(4.50sin 7.40)cos .301(2+++++θθθ 3)cos .301(sin 12.00θθ
++ (2-6)
上式为最终迭代方程。

边界问题:
将轴承表面沿平面展开,如图2-1
图、2-1
对于径向轴承,方程(2-4)中两个自变量的变化范围就是:在轴承中间断面上Y=0:在边缘上 Y=1。

而θ在π2到0之间变化,这一问题的边界条件为:
（1）轴向方向
在边缘Y=1处,P=0;在中间断面Y=0上,
0=∂∂Y P 、 （2）周向方向
按雷诺边界条件:油膜起点在0=θ处,取P=0;油膜终点在发散区间内符合P=0及0=∂∂θP 的地方。