上师大附中2018学年第一学期期中考试和答案

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上海2018-2019学年高二数学上册期中试题2

上师大附中2018学年第一学期期中考试高二年级数学学科（考试时间：120分钟满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．2. 向量(3,4)a =r 在向量(1,0)b =r方向上的投影为____ __.3. 已知向量(1,2),(,2)a b x =-=r r，若a b ⊥r r ，则b r ＝________．4. 已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______． 5. 若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ． 6. 若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为__ ____．(用弧度制表示) 7. 若行列式212410139xx =-，则=x ．8. 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 9. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =u u u u ru u u r，AN nAD =u u u ru u u r(0m n ⋅≠), 若//MN BE u u u u ru u u r，则nm=______________. 10. 已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 11. 下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________． 13. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a ρ是定向量，对A x ∈ρ，定义a x a x x f ρρρρρ⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ρ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ρ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ρ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ρ．那么对于任意x ρ、A y ∈ρ，使y x y f x f ρρρρ⋅=⋅)()(恒成立的向量a ρ的序号是_______（写出满足条件的所有向量a ρ的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【】（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===r r r，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【】(A) 0a b c ++=r r r r (B) a b c r r r、、两两平行 (C) a b r r // (D) a b c r r r、、方向都相同 17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【】（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始（B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A Λ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{,Λ∈j i ）的值组成的集合为【】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、 )(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程；（2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上．（1）求OA OB u u u r u u u rg；（2）a 为何值时与夹角为3π． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分.已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r，试用a r 、b r 、c r 表示h r ； (2) 证明：AH BC ⊥u u u r u u u r；(3) 若ABC ∆的60A ∠=o，45B ∠=o，外接圆的半径为R ，用R 表示h r．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB ∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值；（2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值；（3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON1Δ=，x当P 变化时，求||OT 的取值范围．上师大附中2018学年第一学期期中考试高二年级数学学科参考答案（考试时间：120分钟满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 230x y +-=2. 33. . 2 5. 2 6. 4π7. 2或3- 8.－4 9. 2 10. 31-或3 11. 3 12. 50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦U ． 13. 52 14． ①③④ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. B 16. B 17. 18. D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D == ，则方程组有无穷多组解或无解，又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。

2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷

2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷一、填空题1. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为．【答案】4π2.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π3.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____．【答案】 2log 3x =4. 抛物线2y x =的焦点坐标是．【答案】（0，14） 5. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cos αβγ++= ．【答案】 16. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+= ．【答案】17-7. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．【答案】 12π8. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= ．【答案】2-9. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()n n a a a a +⋅⋅⋅++=∞→542lim ，则q = ．【答案】21-510. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x <1的所有实数解是．【答案】 1x =-或12x =11. 给出下列函数：①1y x x=+；①x x y +=2；①2x y =；①23y x =；①x y tan =；①()sin arccos y x =；①(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是．【答案】3712. 已知非零向量OP 、不共线，设m m OP m OM 111+++=，定义点集 }|||||{FQ FP F A ==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式||||21k F F ≤恒成立，则实数k 的最小值为▲________．【答案】 34二．选择题12. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，1s 、2s 、…、k s 都是M 的含有两个元素的子集，且满足对任意的{},i i i s a b =，{},j j j s a b =(i j ≠且{})1,2,3,,i j k ⋅∈…，都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭{}(min ,x y 表示x 、y 中较小)，则k 的最大值是（）【A 】.10 【B 】．11【C 】．12【D 】．13【答案】B14.设0ab >且c da b>，则下列各式中，恒成立的是（）【A 】ad bc <【B 】.ad bc > 【C 】.d b c a > 【D 】. d b c a <【答案】B15.定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（）【A 】.4；【B 】 5；【C 】 7；【D 】 8. 【答案】B16．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n na a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（）【A 】不存在．．．a 和n 使得2015n S = 【B 】不存在．．．a 和n 使得2016n S =【C 】不存在．．．a 和n 使得2017n S = 【D 】不存在．．．a 和n 使得2018n S = 【答案】A三．解答题18.已知向量11,sin 22a x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭和向量()1,()b f x =，而且a ①b 。

2018-2019学年上海市上师大附中高二上学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市上师大附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是2.9元/斤，食用油的价格是25元/斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是（） A ．202510 2.9B ．20 2.91025C ．()2.9201025⎛⎫⎪⎝⎭D ．() 2.9201025⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】先计算共花费，再根据行列式乘积的定义得解. 【详解】由题得总花费为20 2.9+1025⨯⨯，根据行列式乘积的定义得只有D 符合. 故答案为：D 【点睛】本题主要考查行列式乘积的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．当1m ≠-时，下列关于方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩的判断，正确的是（）A ．方程组有唯一解B ．方程有唯一解或无穷多解C ．方程无解或无穷多解D ．方程组有唯一解或无解【答案】D【解析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算计算出D ，x D ，y D ，下面对m 的值进行分类讨论：（1）当1m ≠-，1m ≠时，（2）当1m =时，分别求解方程组的解即可．【详解】 211(1)(1)1m D m m m m==-=+-， 211(1)2x m D m m m m m m+==-=-，2121(21)(1)12y m m D m m m m m+==--=+-，当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠，方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩．当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，此时方程组化为22x y x y +=⎧⎨+=⎩，令()x t t R =∈，原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩，∴方程组有唯一解或有无穷多解，故选：D ．【点睛】本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题． 3．下列有关平面向量分解定理的四个命题：（1）一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；（2）一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；（3）平面向量的基向量可能互相垂直；（4）一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.其中正确命题的个数是（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【详解】一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．4．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=aOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ④0OA OB OC ++=；则点O 分别为ABC ∆的（） A ．外心、内心、垂心、重心 B ．内心、外心、垂心、重心 C ．垂心、内心、重心、外心 D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1，则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=，可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；④0OA OB OC ++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=，即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =，由AC 的中点D 为()0,2，DB =，3OB =，即O 分中线DB 比为2:3，故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，即为)))(),2,10,0x y x y x y --+--+--=，0x =10y +=，解得1x =-，y =即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心．故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．二、填空题5．原点到直线250x y +-=的距离为______【解析】直接利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由题得原点到直线250x y +-==【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6．已知111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是_______【答案】21x y =⎧⎨=⎩【解析】根据增广矩阵的定义将关于,x y 的方程组还原，再解方程组得解. 【详解】根据增广矩阵的定义将关于,x y 的方程组还原为13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得21x y =⎧⎨=⎩. 故答案为：21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题主要考查增广矩阵的定义及线性方程组的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．直线2310x y -+=的方向向量d =________（写出一个即可）【答案】()3,2【解析】先求出直线的斜率，即得直线的一个方向向量.【详解】由题得直线2310x y -+=的斜率为23，所以直线的一个方向向量为()3,2. 故答案为：()3,2 【点睛】本题主要考查直线的方向向量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知()1,0a =，()2,1b =r，则3a b +=______【解析】先求出3a b +，再求3a b +r r得解.【详解】由题得3=(7,3)a b +，所以2373a b+=+=【点睛】本题主要考查平面向量的坐标计算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．若三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点，则行列式13112211a -的值为________ 【答案】0【解析】先求20x y ++=和210x y -+=的交点，代入直线30ax y ++=，即可得到a 的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【详解】解方程组20210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得交点坐标为(1,1)--，代入30ax y ++=，得2a =．行列式2131122436410211=+--+-=-．故答案为：0．【点睛】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．10．若点P 分有向线段AB 所成的比为13-，则点B 分有向线段P A 所成的比是_______ 【答案】32-【解析】由题得13AP PB =-，即得点B 分有向线段P A 所成的比. 【详解】因为点P 分有向线段AB 所成的比为13-，所以13AP PB =-，所以32PB BA =-. 故答案为：32-【点睛】本题主要考查定比分点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．直线()200x ay a -+=<的倾斜角是________ 【答案】1arctanaθπ=+ 【解析】先求出直线的斜率，再写出直线的倾斜角. 【详解】直线()200x ay a -+=<的斜率为10a<，所以直线()200x ay a -+=<的倾斜角1arctan aθπ=+. 故答案为：1arctan aθπ=+ 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的计算和反三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是 . 【答案】α∈∪【解析】k ＝tanα＝＝1－m 2≤1，所以α∈∪.13．已知向量(),12OA k =uu r ，()4,5OB =uu u r ，(),10OC k =-uu u r，且A 、B 、C 三点共线，则k =_______ 【答案】23-【解析】先求出,AB BC 的坐标，再根据A 、B 、C 三点共线求出k 的值. 【详解】由题得(4,7)AB OB OA k =-=--，(4,5)BC OC OB k =-=--，因为A 、B 、C 三点共线，所以=AB BC λ，所以(4)57(4)0k k -⋅+--=，所以23k =-. 故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．设a 、b 、c 是ABC ∆三个内角A 、B 、C 所对应的边，且2b ac =，那么直线2sin sin 0x A y A a +-=与直线2sin sin 0x B y C c +-=的位置关系是________【答案】重合【解析】由2b ac =得2sin sin sin B A C =,即由系数比可得到两直线的位置关系. 【详解】由2b ac =得2sin sin sin B A C =，所以222sin sin sin sin sin sin sin A A A a a B A C C c c-====-，所以直线2sin sin 0x A y A a +-=与直线2sin sin 0x B y C c +-=的位置关系是重合. 故答案为：重合【点睛】本题主要考查正弦定理，考查两直线的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a ，12a ，21a ，{}220,1a ∈且111221220a a a a =，则这样互不相等的矩阵共有________个【答案】10个【解析】根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论．【详解】由111221220a a a a =，可得112212210a a a a -=，由于11a ，12a ，21a ，22{0a ∈，1}，可得矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭可以是0000⎛⎫ ⎪⎝⎭，1111⎛⎫ ⎪⎝⎭，0001⎛⎫ ⎪⎝⎭，1000⎛⎫ ⎪⎝⎭， 0100⎛⎫ ⎪⎝⎭，0001⎛⎫ ⎪⎝⎭，0101⎛⎫ ⎪⎝⎭，1100⎛⎫ ⎪⎝⎭，1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，0011⎛⎫⎪⎝⎭．则这样的互不相等的矩阵共有10个．故答案为：10 【点睛】本题考查二阶矩阵，解题的关键是利用二阶矩阵的含义，属于基础题． 16．已知平面上三个不同的单位向量a 、b 、c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内任意单位向量，则()()23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为_______【解析】先求出12a c ⋅=-，再求出()()23|23|cos a e b e c e a b c θ⋅+⋅+⋅=++，再求出|23|=19a b c ++，即得最大值. 【详解】因为12a b b c ⋅=⋅=，所以12a c ⋅=-，由题得()()23(23)|23|||cos =|23|cos a e b e c e a b c e a b c e a b c θθ⋅+⋅+⋅=++⋅=++++，2|23|(23)=1+4+9+4612=14+5=a b c a b c a b a c b c ++=++⋅+⋅+⋅所以()()23(23)=|23|cos a e b e c e a b c e a b c θ⋅+⋅+⋅=++⋅++≤【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知()4,6A 、()3,1B --、()4,5C -三点.（1）求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程；（2）求经过点A 且与BC 垂直的直线m 的斜截式方程. 【答案】（1）4674x y --=-；（2）714y x =-. 【解析】（1）BC 的方向向量为(7,4)BC =-，即得经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程；（2）先求出所求直线的斜率为74，再写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）BC 的方向向量为(7,4)BC =-，所以经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程为4674x y --=-. （2）由题得直线BC 的斜率为47-，所以所求直线的斜率为74.所以直线的方程为76(4)4y x -=-，所以714y x =-. 【点睛】本题主要考查直线的点方向式方程和斜截式方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知4a =，2b =，且a 与b 的夹角为23π，求：（1）a 在b 上的投影；（2）()()2a ba b -+；（3） a 与a b +的夹角.【答案】（1）2-；（2）12；（3）6πθ=【解析】（1）直接利用向量的投影公式求解即可；（2）利用数量积的运算法则计算得解；（3）【详解】（1）由题得a 在b 上的投影为24cos23π⨯=-；（2）()()2212=216842()122a b a b a b a b -+--⋅=--⨯⨯-=；（3）由题得2||()16a b a b +=+=+=所以a 与a b +==故a 与a b +的夹角为6πθ=.【点睛】本题主要考查向量的投影和数量积的计算，考查向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．直线l 过点()2,3A 且被两平行线m 350y -+=和n 103x y --=截得的线段为2.（1）求两平行线之间的距离；（2）求直线l 与两平行线的夹角；（3）求直线l 的方程.【答案】（1（2）3πθ=；（3）3y =或3y =-.【解析】（1）先化简n ，再利用两平行线之间的距离求解；（2）利用三角函数求直线l 与两平行线的夹角；（3）利用点斜式写出直线的方程得解. 【详解】（1）由题得n 310y --=，==；（2）由题得直线l l 与两平行线的夹角为3π. （3）由题得直线存在斜率，设直线的斜率为,k所以|=0k =或k =所以直线的方程为3y =或)23y x =-+.即3y =或3y =-. 【点睛】本题主要考查平行线的距离的求法和直线的夹角的计算，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．在AO B ∆中，AOB ∠为直角，14OC OA =uuu r uu r ，12OD OB =uuu r uu u r，AD 与BC 相交于点M ，OA a =，OB b =.（1）试用a 、b 表示向量OM ；（2）在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使得直线EF 过M ，设OE OA λ=，OF OB μ=，求13λμ+的值；（3）若A B a =，过O 作线段PQ ，使得O 为PQ 的中点，且2PQ a =，求AP BQ ⋅u u u r u u u r的取值范围. 【答案】（1）1377OM a b =+；（2）137λμ+=；（3）22,0a ⎡⎤-⎣⎦.【解析】（1）设OM ma nb =+，根据C ，M ，B 三点共线，可得存在非零实数k 使得()4k CM kCB k OB OC kb a ==-=-，从而14k OM a kb -=+，，利用平面向量基本定理可得m ，n 的关系，同理D ，M ，A 三点共线，可得m ，n 的关系，由此即可求得m ，n 的值，即得解；（2）将FM 两次线性表示，利用平面向量基本定理，建立等式，消参，即可证得结论（3）如图，设,OB OQ 的夹角为α，则,OA OP 的夹角为2πα-，求出22sin()AP BQ a a αβ⋅=--+，再求取值范围.【详解】（1）解：设OM ma nb =+C ，M ，B 三点共线，∴存在非零实数k 使得()4k CM kCB k OB OC kb a ==-=-∴11444k kOM OC CM a kb a a kb -=+=+-=+， ∴1144k m n m n k-⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩① 又D Q ，M ，A 三点共线，∴存在非零实数t 使得()2tDM tDA t OA OD ta b ==-=-∴11222t tOM OD DA b ta b ta b -=+=+-=+，又OM ma nb =+∴1122m tm n tn =⎧-⎪⇒=⎨-=⎪⎩② 由①②解得：13,77m n ==，所以1377OM a b =+.（2）证明：由（1）知1377OM a b =+，F ，M ，E 三点共线，∴存在非零实数t 使得()FM tFE t OE OF t a t b λμ==-=-13()77FM OM OF a b μ=-=+-∴1737t t λμμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去t 得37μλλμ+=．所以137λμ+= .（3）如图，设,OB OQ 的夹角为α，则,OA OP 的夹角为2πα-，2()()AP BQ OP OA OQ OB a OP OB OA OQ ⋅=-⋅-=--⋅-⋅所以22||cos ||cos()=||cos ||sin 2AP BQ a a OB a OA a a OB a OA παααα⋅=-------所以22=(||sin ||cos ))AP BQ a a OA OB a αααβ⋅--+=--+ 所以222sin()[2,0]AP BQ a a a αβ⋅=--+∈-. 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和共线向量，考查平面向量的数量积，考查三角恒等变换和三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．如图，已知城市O 周边有两个小镇A 、B ，其中乡镇A 位于城市O 的正东方21km处，乡镇B 与城市O 相距，OB 与OA 夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市O 的公路l ，使乡镇A 和B 分别位于l 的两侧，过A 和B 建设两条垂直l 的公路AC 和BD ，分别与公路l 交汇于C 、D 两点，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .（1）当两个交汇点C 、D 重合，试确定此时BD 路段长度；（2）当AC BD =，计算此时两个交汇点C 、D 到城市O 的距离之比；（3）若要求两个交汇点C 、D 的距离不超过143km ，求AOC ∠正切值的取值范围.【答案】（1）2BD =；（2）32；（3）99,88⎡⎢⎣⎦.【解析】（1）先求出直线l 的斜率为1，点B 的坐标为(7,14)，再利用点到直线的距离为=（2）设直线AB 的斜率为k ，先求出1,2k =再求出3tan 4BOD ∠=，即得|OC |tan 3||tan 2BOD OD AOC ∠==∠；（3）先求出||,||OC OD ,再求出14|||,3OC OD -=≤解不等式即得解. 【详解】（1）当两个交汇点C 、D 重合时，则AC,BD 公路共线，过点B 作BE ⊥AO,垂足为E,则||14,||7BE OE ====, 所以AE=21714-=，所以|BE|=|AE|,所以直线AB 的倾斜角为34π，所以直线AB 的斜率为1-，所以直线l 的斜率为1，因为点B 的坐标为(7,14)，所以=（2）由题得A(21,0)，设直线AB 的斜率为k ，所以直线AB 的方程为0kx y -=，因为|AC|=|BD|,12k =∴=. 由题得1tan 2tan tan()211tan 2BODAOB AOC BOD BOD +∠∠=∠+∠==-⋅∠, 所以3tan 4BOD ∠=,所以3|OC |tan 341||tan 22BOD OD AOC ∠===∠. （3）由题得|BD |=tan tan tan()21tan k BODAOB AOC BOD k BOD+∠∠=∠+∠==-⋅∠，所以2tan 1+2kBOD k-∠=，所以||||tan OD BD BOD =∠=.因为||OC =所以14||||,3OC OD -=≤k ≤≤.故AOC ∠正切值的取值范围为9988k +≤≤. 【点睛】本题主要考查直线的方程和点到直线的距离，考查直线的夹角的计算，考查一元二次不等式的解法，考查和角的正切，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

上海师范大学附属中学2018-2019学年高一上期中考试数学试题(火箭班)

上师大附中2018-2019学年度第一学期高一期中考试数学试卷(火箭班)一、选择题1.设集合{}{}，，，，，63531==T S 则T S 等于（） A.∅ B.{}3 C.{}6531，，， D.R2.函数()x x f -=12的定义域是（）A.()1，∞-B.(]1，∞-C.RD.()()∞+∞-，，113.下列函数中在其定义域上是偶函数的是（）A.x y 2=B.3x y =C.21x y = D.2-=x y4.下列函数中,在区间()∞+，0上是增函数的是（）A.2x y -=B.22-=x yC.22⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y D.x y 1log 2= 5.已知函数()，，R x x x f ∈+=1则下列各式成立的是（） A.()()2=-+x f x f B.()()2=-x f x f C.()()x f x f -= D.()()x f x f -=-6.设函数()()，＞0a a x f x -=且()，42=f 则（） A.()()21--f f ＞ B.()()21f f ＞ C.()()22-f f ＜ D.()()23--f f ＞7.已知，，，2.03.023.023.0log ===c b a 则c b a 、、三者的大小关系是（）A.c b a ＞＞B.c a b ＞＞C.a c b ＞＞D.a b c ＞＞8.函数()()1032log ≠+-=a a x x f a ，＞，的图像过点，，⎪⎭⎫ ⎝⎛274则a 的值为（） A.22 B.2 C.4 D.21 9.当10＜＜a 时,下列不等式成立的是（）A.2.01.0a a ＜B.2.0log 1.0log a a ＞C.32a a ＜D.3log 2log a a ＜10. A semipro baseball league has teams with 21 players each. League rules state that a playermust be paid at least $15,000, and that the total of all players'salaries for each team cannotexceed $700,000. What is the maximum possible salary, in dollars for a single player? （）A.270,000B.385.000C.400,000D.430,000E.700,000二、填空题 11.=++5lg 24lg 2732_________.12.函数x y 3log 2-=的定义域是_______.13.已知幂函数()x f y =的图像过点，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2221则()=2f _______. 14.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过______分钟,该病毒占据64MB 内存.15.For real numbers a and b , define ()，2$b a b a -=What is ()()?$22x y y x --______. 16.已知()()a x a x x f +-+=12在区间[)∞+，2上是增函数,则a 的取值范围是_______.17.若，，＞10≠a a ()x F 为偶函数,则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++∙=1log 2x x x F x G a 是_______函数(填“奇”或“偶”),它的图像关于_____对称.18. A class collects $50 to buy flowers for a classmate who is in the hospital. Roses cost $3 each and carnations cost $2 each. No other flowers are to be used. How many different bouquets could be purchased for exactly $50?_______.三、解答题19.已知集合{}，＜430|≤-=x x A 集合{}，81log 2|3≥=x x B 求.B A20.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元。

上海市上海师范大学附属中学高三上学期期中数学试题

上师大附中高三期中数学试卷一.填空题1. 方程3log log 32x x +=的解是x =________.2. 已知等差数列{}n a ，若1594a a a π++=，则()28sin a a +=______.3. 若tan α=cos α，则1αsin +cos 4α=_____ 4. 若函数211x y x -=-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____.5. 若函数()|2cos |f x a x =+的最小正周期为π，则实数a 的值为____.6. 把函数43sin()13y x π=+-的图像向右平移θ（0θ>）个单位，使得点(,1)2π-成为图像的一个对称中心，则θ的最小值是________7. 已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为______．8. 设()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()22log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则不等式()6f x <的解集为______. 9. 函数tan()42y x ππ=-的部分图象如右图所示，则()OA OB AB +⋅= .10. 5G 技术数学原理之一便是著名的香农公式：21S C Wlog N⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W ，而将信噪比从1000提升至2000，则C 大约增加了____%.（参考数值lg 20.301≈）.11. 已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________ 12. 设平面向量a ，b 满足12a ≤≤，23b ≤≤，则a b a b++-取值范围是________.二、选择题13. 已知0a >，0b >，则“220log a log b +>”是“()20log a b +>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. ABC ∆，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断15. 已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（） A ()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. ()(),21,-∞-⋃+∞C. ()(),12,-∞-+∞D. ()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭16. 下列命题中，正确命题的个数是（） ①sin y arc x =的反函数是y sinx =；②y cosx =，[],0x π∈-的反函数是y arccosx =-，[]1,1x ∈-； ③y tanx =，,23x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的反函数是y arctanx =，(x ∈-∞； ④已知函数()()|1|f x arctan x =-，若存在1x ，[]2,x a b ∈，且12x x <，使()()12f x f x 成立，则1a <. A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三、解答题17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.18. 对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”的的.（1）已知函数()23f x cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”，并说明理由；（2）设()1423xx f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围19. 某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放(14,)m m m R ≤≤∈且个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中16048(){154102x xf x x x ≤≤-=-<≤，，，．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． (Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．20. 设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且2n n S na n -=. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若0n a >且数列也为等差数列，试求102lim n n nS a +→∞=的的值；（3）设1n n S b n+=，且1n n a a +>恒成立，求证：存在唯一的正整数n ，使得不等式12n n n a b a ++<成立. 21. 已知函数()2f x ax bx c =++.（1）当1a =，2b =时，若存在1x ，[]()2122,0x x x ∈-≠，使得()()||21,2i f x i ==，求实数c 的取值范围；（2）若二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有()2224245x x f x x x -+-+成立，且()527f =，求()11f )的值；（3）是否存在一个二次函数()f x ，使得对任意正整数k ，当5555x k =个时，都有25()555k f x =个成立，请给出结论，并加以证明.上师大附中高三期中数学试卷一.填空题1. 方程3log log 32x x +=的解是x =________. 【答案】3 【解析】【分析】根据换底公式，将方程化为lg lg 32lg 3lg +=x x，求出lg x ，即可得出结果. 【详解】因为3log log 32x x +=，所以lg lg 32lg 3lg +=x x，即()()22lg 2lg3lg lg30-⋅+=x x ，即()2lg lg30-=x ，所以lg lg3=x ，解得3x =. 故答案为3【点睛】本题主要考查含对数的方程，熟记对数的运算性质，以及换底公式即可，属于常考题型. 2. 已知等差数列{}n a ，若1594a a a π++=，则()28sin a a +=______.【答案】2【解析】【分析】根据已知条件，利用等差中项性质可得5a ，进而得到28a a +的值，然后利用诱导公式，即和特殊角的三角函数值计算. 【详解】1595=34a a a a π++=，∴543a π=，∴28582sin()sin 2si 3n sin 3a a a ππ+====，【点睛】本题考查等差数列的性质，诱导公式，三角函数的化简求值，考查逻辑推理能力、运算求解能力.属小综合题,难度较易. 3. 若tan α=cos α，则1αsin +cos 4α=_____. 【答案】2 【解析】【分析】由sin α=cos 2α，对41in s s co αα+进行化简即可得出结果. 【详解】因为tan α=cos α，sin cos cos ααα∴=，∴sin α=cos 2α， 1αsin ∴+cos 4α=22αααsin cos sin ++cos 4α=sin α+2ααcos sin +cos 4α =sin α+ααsin sin +sin 2α=sin 2α+sin α+1=sin 2α+cos 2α+1=1+1=2. 故答案为：2【点睛】本题考查了同角三角函数关系，考查了计算能力，属于基础题目. 4. 若函数211x y x -=-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____.【答案】(]1,11,22⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先计算当0y =和3y =时x 的值，然后分析原函数的图象性质，根据函数的图象性质判断定义域．【详解】令2101x y x -==-得12x =，令2131x y x -==-得2x =，函数2122112111x x y x x x --+===+---，则原函数在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上递减，画出函数211x y x -=-的图象如图所示：由函数211x y x -=-图象可知，当值域为()[),03,-∞+∞时，定义域应为(]1,11,22⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭．故答案为：(]1,11,22⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭．【点睛】解答本题时，要先根据函数值域的端点求出自变量的值，然后通过原函数的图象及性质分析自变量的取值情况，其中将原函数解析式化为121y x =+-，结合反比例函数的图象性质分析211x y x -=-的性质是关键．5. 若函数()|2cos |f x a x =+的最小正周期为π，则实数a 的值为____. 【答案】0 【解析】【分析】利用()()f x f x π=+来求解. 【详解】因为函数()f x 最小正周期为π，所以x R ∀∈，都有()()f x f x π=+成立，故()2cos 2cos 2cos a x a x a x π+=++=-，则0a =. 故答案为：0. 6. 把函数43sin()13y x π=+-的图像向右平移θ（0θ>）个单位，使得点(,1)2π-成为图像的一个对称中心，则θ的最小值是________ 【答案】56π【解析】【分析】的根据平移变换可得平移后的解析式为43sin()13y x πθ=-+-，将点(,1)2π-的坐标代入该解析式可得116k πθπ=-+，k Z ∈，从而可得θ的最小值为56π. 【详解】把函数43sin()13y x π=+-的图像向右平移θ（0θ>）个单位，可得43sin()13y x πθ=-+-，依题意可得点(,1)2π-在函数43sin()13y x πθ=-+-的图象上，所以413sin()123ππθ-=-+-，即4sin()023ππθ-+=，所以423k ππθπ-+=，k Z ∈，即116k πθπ=-+，k Z ∈，因为0θ>，所以1k =时，θ取得最小值56π. 故答案为：56π【点睛】本题考查了函数图象的平移变换，考查了函图象数的对称中心，属于基础题.7. 已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为______．【答案】1 【解析】【分析】利用代入消元法可将问题转化为求解239223y y y --+-的最小值问题，根据0x >且0y >求得302y <<，采用换元的方式将问题转化为求解9281227t t-+++，99,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭的最小值，利用基本不等式求得结果. 【详解】由23x y +=得：32x y =-，由0x >得：320y -> 302y ∴<<()()()222222223239323349939232323223y y y y y xy y y y xy y yy y y y y y ---+-++-+-====-+----∴ 令39y t -=，由302y <<得：99392y -<-<-，即99,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ 93t y +∴=2223992228122781992272333x y tt xyt t t t t t+=-+=-+=-+++++⎛⎫++⨯-⨯ ⎪⎝⎭∴ 当99,2t ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，818122t t t t ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭ 当且仅当812t t -=-，即t =8122727t t∴++≤-922181227t t∴-+≥-=++即231x yxy +≥2min31x y xy ⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭本题正确结果：1【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够将问题转化为分式型函数的最值求解问题，通过换元将问题转化为符合基本不等式的形式，从而利用基本不等式求解出函数的最值；易错点是在换元时没有准确求解新参数的取值范围，从而造成求解错误.8. 设()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()22log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则不等式()6f x <的解集为______. 【答案】{}04x x << 【解析】【详解】由题设，存在正常数c ，使得()4f c =，且对任意的()0,x ∈+∞，有()22log f x x c -=. 当x c =时，有()22log 4f c c c =+=，由单调性知此方程只有唯一解2c =.所以()22log 2f x x =+.不等式()6f x <，即22log 26x +<，解得04x <<.故不等式的解集为{}04x x <<. 9. 函数tan()42y x ππ=-的部分图象如右图所示，则()OA OB AB +⋅= .【答案】6 【解析】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴ ()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=. 考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan()42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.10. 5G 技术数学原理之一便是著名的香农公式：21S C Wlog N⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W ，而将信噪比从1000提升至2000，则C 大约增加了____%.（参考数值lg 20.301≈）【答案】10 【解析】【分析】将信噪比SN 从1000提升至2000时，C 大约增加了222(12000)(11000)(11000)Wlog Wlog Wlog +-++，利用对数的运算法则计算得答案．【详解】解：将信噪比SN从1000提升至2000时， C 大约增加了222(12000)(11000)(11000)Wlog Wlog Wlog +-++222200010002001100122100010012lg lg log log lg lg lg log lg --=≈的210%3lg =≈， C ∴大约增加了10%．故答案为：10．11. 已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________ 【答案】1078 【解析】【分析】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），分别令2,3,4,5n =，求得{}n a 的前5项，观察得到最小值12310m =++++，最大值291222M =++++，计算可得M m +的值.【详解】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），可得211a a a -=，解得2122a a ==，又3212{,}a a a a -∈，可得3213a a a =+=或3224a a ==，又43123{,,}a a a a a -∈，可得4314a a a =+=或5； 4325a a a =+=或6；4326a a ==或8；又541234{,,,}a a a a a a -∈，可得5415a a a =+=或6或7；5426a a a =+=或7或8；5437a a a =+=或8或9或10或12；5328a a ==或9或10或12或16，综上所示可得10S 的最大值为()10291121222102312M ⨯-=++++==-，最小值为()1101012310552m +⨯=++++==，所以1023551078M m +=+=. 故答案为：1078【点睛】本题是一道数列的新定义，考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公式，属于中档题.12. 设平面向量a ，b 满足12a ≤≤，23b ≤≤，则a b a b ++-的取值范围是________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】设t a b a b =++-，利用绝对值三角不等式得到24t b =≥，然后两边平分结合基本不等式求解. 【详解】设t a b a b =++-，()24t a b a b a b a b b =++-≥+--=≥()222222222?222t a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++⋅++-++-=+++- 当|a b a b +=-∣时，()22222||2a b a b a b a b a b +-≤++-=+∴()()222224423413max t a b=+=+=⨯，所以max t =，综上所述，a b a b ++-的取值范围是⎡⎣.故答案为：⎡⎣.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用以及绝对值三角不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、选择题13. 已知0a >，0b >，则“220log a log b +>”是“()20log a b +>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据基本不等式及充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：0a >，0b >，则222log log 0log ()01a b ab ab +>⇔>⇔>； 2log ()01a b a b +>⇔+>当1ab >时，221a b ab +>>．故1a b +>成立；反之不成立，例如取2a =，14b =，则1214a b +=>，但112ab =<．故当0a >，0b >时，11ab a b >⇒+>，1a b +>推不出1ab >；因此0a >，0b >，则“22log log 0a b +>”是“2log ()0a b +>”的的充分不必要条件．故选：A ．14. ABC ∆，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断【答案】A 【解析】，222x y z +=，()22x y z +>0>.则ABC ∆的形状为锐角三角形. 本题选择A 选项.点睛：判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 15. 已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（） A. ()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. ()(),21,-∞-⋃+∞C. ()(),12,-∞-+∞D. ()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】将条件变形为21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可求出答案. 【详解】由实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠. 两边同时除以2y ，有：21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以120x x y y ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2x y >或1x y <-. 故选：C【点睛】本题考查不等式的性质和解二次型不等式，变形是关键，属于中档题. 16. 下列命题中，正确命题的个数是（） ①sin y arc x =的反函数是y sinx =；②y cosx =，[],0x π∈-的反函数是y arccosx =-，[]1,1x ∈-；③y tanx =，,23x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的反函数是y arctanx =，(x ∈-∞； ④已知函数()()|1|f x arctan x =-，若存在1x ，[]2,x a b ∈，且12x x <，使()()12f x f x 成立，则1a <. A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D 【解析】【分析】直接利用函数的性质和反函数的应用判定①②③④的结论．【详解】解：①arcsin (11)y x x =-的反函数是sin ()22y x xππ=-，故①错误；②cos y x =，[x π∈-，0]的反函数是arccos y x =-，[1x ∈-，1]，故②正确；③tan y x =，(2x π∈-，)3π则函数y 的值域为(y ∈-∞，所以函数的反函数是arctan y x =，(x ∈-∞，故③正确；④已知函数()|arctan(1)|f x x =-的图象可由|arctan |y x =的图象向右平移1个单位得到的，所以函数在(-∞，1]上单调递减，函数在[1，)+∞上单调递增，若存在1x ，2[x a ∈，]b ，且12x x <，使12()()f x f x 成立，所以1b ，故④错误．故选：C ．三、解答题17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.【答案】（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC⋅=和1cos3B=，得ac=6由余弦定理，得2213a c+=.解，即可求出a，c；（2）在ABC∆中，利用同角基本关系得22sin.B=由正弦定理，得sin sin9cC Bb==，又因为a b c=>，所以C为锐角，因此7cos9C==，利用cos()cos cos sin sinB C B C B C-=+，即可求出结果.（1）由2BA BC⋅=得，，又1cos3B=，所以ac=6.由余弦定理，得2222cosa cb ac B+=+.又b=3，所以2292213a c+=+⨯=.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC∆中，sin3B===由正弦定理，得2sin sin3cC Bb===a b c=>，所以C为锐角，因此7cos9C===.于是cos()cos cos sin sinB C B C B C-=+=1723393927⋅+⋅=.考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.18. 对于函数()f x，若在定义域内存在实数x，满足()()00f x f x-=-，则称()f x为“M类函数”（1）已知函数()23f x cos xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，试判断()f x否为“M类函数”，并说明理由；（2）设()1423x xf x m+=-⋅-是定义域R上的“M类函数”，求实数m的取值范围【答案】（1）是；答案见解析；（2）1m-.【解析】.【分析】（1）特殊值验证使得()()f x f x -=-即可；（2）因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求函数值域问题，进而可以求解．【详解】解：（1）因为()2cos()2cos()2(22323f πππππ-=--=+=⨯=()2cos()2223f πππ=-==()()22f f ππ-=-，所以存在02=x π使得函数()f x 为“M 类函数”；（2）由已知函数1()423x x f x m +=--满足：()()f x f x -=-，则化简可得：442(22)60x x x x m --+-+-=⋯① 令222x x t -=+，则2442x x t -+=-，所以①可化为：2280t mt --=在区间[2，)+∞上有解可使得函数()f x 为“M 类函数”，即18()2m t t=-在[2，)+∞有解，而函数18()2t t -在[2，)+∞上单调递增，所以当2t =时，有最小值为18(2)122-=-，所以1m -，故实数m 的取值范围为：[1-，)+∞．【点睛】本题考查了新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．19. 某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放(14,)m m m R ≤≤∈且个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中16048(){154102x xf x x x ≤≤-=-<≤，，，．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． (Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．【答案】（Ⅰ）有效治污的时间可达8天；（Ⅱ）m 的最小值为1 【解析】试题分析：（Ⅰ）先由4m =可得在水中释放的浓度64(04){8202(410)x y x x x ≤≤=--<≤再分别分段求出水中药剂的浓度不低于4（克/升）时的天数，从而得出有效治污的时间可达8天；（Ⅱ）先得出模型当610x ≤≤时，11616162(5)[]1014428(6)1414m my x m x x x x x=⨯-+=-+=-+-----，然后由基本不等式知44y ≥=，再由44≥，解得1m ≥，即m 的最小值为1 .试题解析：（I ）∵4m = ∴64(04){8202(410)x y x x x ≤≤=--<≤． 2分当04x ≤≤时，由6448x≥-，解得8x ≥-，此时04x ≤≤；当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤． 4分综上，得08x ≤≤．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．6分（II ）当610x ≤≤时，11616162(5)[]1014428(6)1414m m y x m x x x x x=⨯-+=-+=-+-----，9分又14[4,8]x -∈ ， [1,4]m ∈，则44y ≥=．当且仅当161414mx x-=-，即14[4,8]x -=时取等号.令44≥，解得1m ≥ ，故所求m 的最小值为1 ． 14分考点：1.函数模型的应用；2.基本不等式的应用 20. 设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且2n n S na n -=. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若0n a >且数列也为等差数列，试求102lim n n nS a +→∞=的的值；（3）设1n n S b n+=，且1n n a a +>恒成立，求证：存在唯一的正整数n ，使得不等式12n n n a b a ++<成立. 【答案】（1）证明见解析；（2）14；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）令1n =求得首项1，当2n 时，将n 换为1n -，两式相减可得1(2)(1)1n n n a n a --+-=，再将n 换为1n +，两式相减，结合等差数列的中项性质，即可得证；（2）设数列{}n a 的公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的极限公式，计算可得所求值；（3）由12n n n a b a ++<，可得n 的不等式组，解不等式即可判断存在性．【详解】解：（1）证明：当1n =时，1121S a -=，即1121a a -=，即11a =，当2n 时，112(1)1n n S n a n ----=-，又2n n S na n -=，两式相减可得1(2)(1)1n n n a n a --+-=，①将上式中的n 换为1n +，可得1(1)1n n n a na +-+=，② ①-②可得112n n n a a a -+=+，(2)n ，所以数列{}n a 为首项为1的等差数列；（2）设数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，11(1)2n S na n n d =+-，由于数列也为等差数列，可得=即1=+2d =，则21n a n =-，2n S n =，则2210222(10)201001lim lim lim (21)4414n n n n nS n n n a n n n +→∞→∞→∞+++===--+；（3）证明：由1n n S b n+=，且1n n a a +>恒成立，又12n n n a b a ++<，可得2(1)2123n n n n+++，整理可得221010n n n n ⎧--⎨+->⎩51n+<，1-=0>，因此存在唯一的正整数n ，使得不等式12n n n a b a ++<成立．【点睛】本题考查数列的递推式的运用、等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，以及数列极限的求法和存在性问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力． 21. 已知函数()2f x ax bx c =++.（1）当1a =，2b =时，若存在1x ，[]()2122,0x x x ∈-≠，使得()()||21,2i f x i ==，求实数c 的取值范围；（2）若二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有()2224245x x f x x x -+-+成立，且()527f =，求()11f )的值；（3）是否存在一个二次函数()f x ，使得对任意正整数k ，当5555x k =个时，都有25()555k f x =个成立，请给出结论，并加以证明.【答案】（1）[)[)2,12,3c ∈--⋃；（2）()11153f =；（3）存在，()2925f x x x =+；证明见解析. 【解析】【分析】（1）当1a =，2b =时，2()(1)1f x x c =++-，由题意可得关于c 的不等式，解得即可，（2）利用二次函数求出两个函数值相等时，x 的值，利用函数的对称性设出函数的解析式，求出函数然后求解函数值；（3）先假设存在这样的二次函数，设出二次函数的解析式，根据所给的三对数值，写出关于a ，b ，c 的方程组，利用待定系数法得到结果，后面进行证明．【详解】解：（1）当1a =，2b =时，2()(1)1f x x c =++-由题意可知，()2f x =在[2-，0]上有两个不等实根，或()2f x =-在[2-，0]上有两个不等实根，则(1)2(0)2f f -<⎧⎨⎩或(1)2(0)2f f -<-⎧⎨-⎩，解得23c <或21c -<-即实数c 的取值范围是21c -<-或23c <．（2）二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有2224()245x x f x x x -+-+成立，可得2224245x x x x -+=-+，解得1x =，f （1）3=，函数的对称轴为1x =，设函数2()(2)f x a x x b =-+，由f （1）3=，f （5）27=，可得3-+=a b ，1527a b +=，解得32a =，92b =， 239()(2)22f x x x =-+，239(11)(11211)15322f =-⨯+=．（3）存在符合条件的二次函数．设2()f x ax bx c =++，则当1k =，2，3时有：f （5）25555a b c =++=①；(55)3025555555f a a c =++=②；(555)308025555555555f a b c =++=③．联立①、②、③，解得95a =，2b =，0c ．于是，29()25f x x x =+．下面证明二次函数29()25f x x x =+符合条件．因为()()1555555110100101019k kk -⋯=++++=-个，同理：()2555551019kk ⋯=-个； ()()()55955555101101221019599k k k f f k ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪⋯=-=-+⨯- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭个 ()()()()2255555(101)21011011011015559999k k k k k k =-+⨯-=-+=-=⋯个， ∴所求的二次函数29()25f x x x =+符合条件．【点睛】本题考查函数与方程的应用，二次函数的对称性，函数的解析式的求法，恒成立条件的应用，考查利用待定系数法求函数的解析式，注意在解题过程中所给的数据虽然大，但是规律性很强，注意应用．。

上海师大附中2018-2019学年上学期高一数学期中考试卷附答案解析

上海师大附中2018-2019学年上学期期中考高一数学试题一、单选题1．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是ABC △的三边长，则ABC △一定不是（）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．已知a ，b R ∈且0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a b <B ．b a a b <C ．22a b <D ．2ab b <3．函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，则()f x （）A ．必是奇函数B ．是奇函数或偶函数C ．必是偶函数D ．不一定是奇函数也不一定是偶函数 4．在整数Z 集中，规定被5除所得余数为k 的所有整数组成“一类”，记为[]k ，即[]{}|5,k x x n n Z k ==+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20183∈；②[]20183-∈；③[][][][][]01234Z =；④“整数a ，b属于同‘一类’”的充要条件是“[]0a b -∈”；其中正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题5．已知全集U=R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =_______ 6．不等式21x<的解集是________ 7．函数262x x y x +-=-的定义域是______ 8．命题“若3x >，则2560x x -+>”的否命题是_______9．若x ，y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的_______条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分又非必要”）10．已知某班有50个学生，每个学生的家中至少订阅a 、b 两种报纸中的一种，已知订阅a报的有34户，订阅b 报的有28户，则订阅a 报且不订阅b 报的有______户11．设函数()()()()2200x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，且函数()f x 为奇函数，则()2g -=________ 12．关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________13．函数41y x x =+-的值域是________ 14．已知()f x 为二次函数，且不等式()0f x <的解集是(2017,2019)-，若2(1)(1)f t f t ->+，则实数t 的取值范围是__________．15．设A 是集合{}123456S =,,,,,的非空子集，称A 中的元素之和为A 的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和是_______16．已知函数()f x 的图像在[],a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使得()()f x k x a ≤-对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的“k 函数”，若函数()3f x x m =+是[]1,2上的“2函数”，则实数m 的取值范围是______三、解答题17．已知集合{}|14A x x =+<，1|02x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭. （1）求A 和B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围.18．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围 [)200,400[)400,500 [)500,700 [)700,900 … 获得奖券的金额（元）30 60 100 130 …根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[]500,800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？19．设n 为正整数，规定：(){}n n f f f f f x =⎡⎤⎣⎦个，已知()()2101112x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩. （1）解不等式：()f x x ≤；（2）求201889f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.20．已知函数()232f x x ax b =--，其中a ，b R ∈.（1）若不等式()0f x ≤的解集是[]0,6，求b a 的值；（2）若3b a =，对任意x ∈R ，都有()0f x ≥成立，且存在x ∈R ，使得()223f x a ≤-成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()0f x =有一个根是1，且a ，0b >，求11212a b +++的最小值，并求此时a ，b 的值.21．已知有限集{}123,,,n A a a a a =()*2,n n N ≥∈，如果A 中元素()11,2,3,a i n =满足121n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”.（1）判断集合1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由；（2）若1a ，2a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，求12a a 的取值范围；（3）若*1a N ∈，求证：“复活集”A 有且只有一个，且3n =.解析上海师大附中2018-2019学年上学期期中考高一数学试题一、单选题1．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是ABC △的三边长，则ABC △一定不是（）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性，即可得到答案．【详解】因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即ABC △不可能是等腰三角形．故选D ．【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素的基本特征，其中解答中熟记集合中元素的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2．已知a ，b R ∈且0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a b <B ．b a a b <C ．22a b <D ．2ab b <【答案】B【解析】结合0a b <<,对,a b 赋值，逐个分析选项即可得解.【详解】由0a b <<，可令2,1a b =-=-对A: 11a b>不成立；对B:122b a a b =<=成立；对C: 22a b >不成立；对D: 222ab b =<=不成立.故选：B【点睛】本题考查了不等式比较大小，是基础题.3．函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，则()f x （）A ．必是奇函数B ．是奇函数或偶函数C ．必是偶函数D ．不一定是奇函数也不一定是偶函数【答案】D【解析】通过举满足题意的反例1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，可得解【详解】取函数1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，但是不具有奇偶性. 故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,通过举反例可说明函数不具有奇偶性.4．在整数Z 集中，规定被5除所得余数为k 的所有整数组成“一类”，记为[]k ，即[]{}|5,k x x n n Z k ==+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20183∈；②[]20183-∈；③[][][][][]01234Z =；④“整数a ，b属于同‘一类’”的充要条件是“[]0a b -∈”；其中正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】根据“一类”的定义分别进行判断即可．【详解】①201854033÷=⋯，2018[3]∴∈，故①正确；②20185(404)2-=⨯-+，2018[3]-∉，故②错误；③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃，故③正确； ④整数a ，b 属于同 “一类”， ∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而-a b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确．正确的结论为①③④3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“一类”的定义是解决本题的关键，是中档题．二、填空题5．已知全集U =R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =_______【答案】()1,+∞【解析】根据补集的概念直接求解即可.【详解】全集U =R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =(){|1}1,x x >=+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题考查补集的运算，是简单题.6．不等式21x<的解集是________ 【答案】(,0)(2,)-∞+∞ 【解析】由21x <可得20x x ->,结合分式不等式的求法即可求解．【详解】解：由21,x <可得20,x x-<，整理可得，20,x x ->，解可得，(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞．故答案为：(,0)(2,)-∞+∞【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题．7．函数262x x y x +-=-的定义域是______ 【答案】[)(]2,22,3-【解析】根据偶次根式下大于等于0，分母不为0，列不等式组，求解即可.【详解】函数262x x y x +-=-有意义，则 26020x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩解得23x -≤≤且2x ≠， ∴函数262x x y x +-=-的定义域为[)(]2,22,3-.故答案为：[)(]2,22,3-【点睛】本题考查函数的定义域，列出使函数有意义的不等式组求解即可.是基础题.8．命题“若3x >，则2560x x -+>”的否命题是_______【答案】若3x ≤，则2560x x -+≤【解析】根据否命题的定义写出其否命题即可.【详解】命题的条件是3x >，结论是：2560x x -+>，根据否命题的定义，否定的条件，得否定的结论，∴其否命题是：3x ≤，则2560x x -+≤；故答案为：若3x ≤，则2560x x -+≤【点睛】本题考查写出命题的否命题，对条件和结论同时否定是解题的关键.9．若x ，y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的_______条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分又非必要”）【答案】必要不充分【解析】根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题10．已知某班有50个学生，每个学生的家中至少订阅a 、b 两种报纸中的一种，已知订阅a报的有34户，订阅b 报的有28户，则订阅a 报且不订阅b 报的有______户【答案】22【解析】先求得既订阅a 报又订阅b 报的户数，进而可求得订阅a 报且不订阅b 报的户数.【详解】设A 为订a 报家的集合，B 为订b 报家的集合，由题意()34,()28,()50n A n B n A B ===,()()()()34285012n A B n A n B n A B ∴=+-=+-=,所以订阅a 报且不订阅b 报的户数是()()34-12=22n A n AB -=. 故答案为：22【点睛】本题考查了容斥原理公式：A 类B 类元素个数总和=属于A 类元素个数+属于B 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数11．设函数()()()()2200x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，且函数()f x 为奇函数，则()2g -=________ 【答案】6-【解析】由题可得()2(2)g f -=-，利用函数()f x 为奇函数求得()()22f f -=- ，进而得解. 【详解】由题可得()2(2)g f -=-，因为函数()f x 为奇函数，()()222=-(2+2)=-6f f ∴-=-故答案为：6-【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，利用奇偶性求函数值，难度不大，属于基础题．12．关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________ 【答案】8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】讨论0k =和0k≠两种情况，求出关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R 时，对应k 的取值范围即可．【详解】当0k=时，不等式化为20-≤恒成立，所以0k =，当0k ≠时，因为关于x 的不等式0k ≠的解集为R ，3)20(4(2)0k k k k <⎧∴⎨∆=--≤⎩得805k -≤< 综上：实数k 的取值范围是8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集应用问题，是基础题．13．函数41y x x =+-的值域是________【答案】(][),35,-∞-+∞【解析】利用分式的性质，结合基本不等式的应用进行求解．【详解】441111y x x x x =+=-++-- （1）当x ＞1时， x-1＞0，444112(1)15111y x x x x x x =+=-++≥-⋅+=--- 当且仅当411x x -=-，当x-1=2，即x=3时，取等号，故函数的值域为[5，+∞）．（2）当1x < 时， 10x -< ，444112(1)13111y x x x x x x =+=-++≤--⋅+=---- 当且仅当411x x -=-，当x-1=-2，即x=-1时，取等号，故函数的值域为(],3-∞-．故答案为：(][),35,-∞-+∞【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的值域，注意一正，二定，三相等条件的满足是解题的关键.14．已知()f x 为二次函数，且不等式()0f x <的解集是(2017,2019)-，若2(1)(1)f t f t ->+，则实数t 的取值范围是__________．【答案】(2,1)-【解析】分析：由题意首先确定二次函数的性质，据此分类讨论即可求得最终结果. 详解：由题意可得二次函数开口向上，且对称轴为：2017201912x -+==，则二次函数在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，结合对称性可得()()2211f t f t +=-，很明显211t +≥，据此分类讨论：当11,2t t -≥≥时，由单调性可得：211t t ->+，即220t t -+<，不等式无解；当11,2t t -<<时，不等式即：()()211f t f t ->-，由单调性可得：211t t -<-，即220t t +-<，解得：21t -<<，综上可得：实数t 的取值范围是()2,1-.点睛：本题考查二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．15．设A 是集合{}123456S=,,,,,的非空子集，称A 中的元素之和为A 的“容量”，则S 的所有非空子集的“容量”之和是_______【答案】672【解析】在S 所有的子集中，每个元素出现的次数都是52个，由此能求出结果．【详解】在S 所有的子集中，每个元素出现的次数都是52个， S ∴的所有非空子集的“容量”之和为5(123456)672+++++=2故答案为：672【点睛】本题主要考查学生的对新定义的分析和解决的能力，主要考查了转化与划归的思想.16．已知函数()f x 的图像在[],a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使得()()f x k x a ≤-对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的“k 函数”，若函数()3f x x m =+是[]1,2上的“2函数”，则实数m 的取值范围是______【答案】4m ≤-【解析】根据函数()32(1)f x x m x =+≤-在[]1,2上恒成立,分离得2m x ≤--在[]1,2上恒成立,求出2x --的最值,即可得解．【详解】由题可得函数()32(1)f x x m x =+≤-在[]1,2上恒成立即2m x ≤--在[]1,2上恒成立,min (2)4m x ∴≤--=-故答案为：4m ≤-【点睛】本题主要考查学生的对新定义的分析和解决的能力，主要考查了转化与划归的思想.三、解答题17．已知集合{}|14A x x =+<，1|02x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭. （1）求A 和B ；（2）若A B B =，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 见解析；（2）[ 2.5-，1.5]【解析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A ，对于集合B ，需要对a 的取值进行分类讨论：（2）A B B =，则B 是A 的子集，据此求实数a 的取值范围．【详解】（1）{|14}{|53}A x x x x =+<=-<<，当0.5a >时，{|12}B x x a =<<．当0.5a =时，B =∅．当0.5a <时，{|21}B x a x =<<．（2）由（1）知，{|53}A x x =-<<，A B B ⋂=，B A ∴⊆，①当0.5a >时，{|12}B x x a =<<．此时，1223a a <⎧⎨⎩…，则1 1.52a <…；②当0.5a =时，B =∅．满足题意； ③当0.5a <时，{|21}B x a x =<<．此时2125a a <⎧⎨-⎩…，则 2.50.5a -<…．综上所述，实数a 的取值范围是[ 2.5-，1.5]．【点睛】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A 和B ，是解题的关键．18．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[)200,400 [)400,500 [)500,700 [)700,900 …获得奖券的金额（元） 3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[]500,800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？【答案】（1）33%；（2）[]625,750.【解析】本题考查的是不等式的应用问题．在解答时：（1）直接根据购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，即可获得问题的解答；（2）由于标价在[500，800]（元)内的商品，其消费金额满足：4000.8640x 剟，所以要结合消费金额（元)的范围进行讨论，然后解不等式组即可获得问题的解答．【详解】（1）由题意可知：10000.213033%1000⨯+=．故购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是33%．（2）设商品的标价为x 元．则500800x剟，消费额：4000.8640x 剟．由已知得（Ⅰ）0.260134000.8500x x x +⎧⎪⎨⎪⎩…剟或（Ⅱ）0.2100135000.8640x x x +⎧⎪⎨⎪⎩…剟不等式组（Ⅰ）无解，不等式组（Ⅱ）的解为625750x剟．因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于13的优惠率．【点睛】本题考查的是不等式的应用问题．在解答的过程当中充分体现了应用题要仔细审题的特点，同时考查了分类讨论的思想． 19．设n 为正整数，规定：(){}n n f f f f f x =⎡⎤⎣⎦个，已知()()2101112x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩. （1）解不等式：()f x x ≤；（2）求201889f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）149. 【解析】（1）因为是分段函数，所以先根据定义域选择解析式来构造不等式，当01x 剟时，由2(1)x x -…求解；当12x <…时，由1x x -…求解，取后两个结果取并集．（2）看问题有2018重求值，一定用到周期性，所以先求出1882()2(1)999f =-=，288214()(())()9999f f f f ===,328814145()(())()199999f f f f ===-=，4388558()(())()2(1)99999f f f f ===-=，观察是以4为周期，由488()()(,)99k r r f f k r N +=∈求解即可．【详解】（1）①当01x剟时，由2(1)x x -…得，23x …．∴213x 剟． ②当12x <…时，因1x x -…恒成立．12∴<x …．由①，②得，()f x x …的解集为2{|2}3x x 剟．（2）1882()2(1)999f =-=， 288214()(())()9999f f f f ===， 328814145()(())()199999f f f f ===-=， 4388558()(())()2(1)99999f f f f ===-=，一般地，488()()(,)99k r r f f k r N +=∈．∴201828814999f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查求解分段函数构造的不等式，要注意分类讨论，还考查了分段函数多重求值，要注意从内到外，根据自变量取值选择好解析式． 20．已知函数()232f x x ax b =--，其中a ，b R ∈.（1）若不等式()0f x ≤的解集是[]0,6，求b a 的值；（2）若3b a =，对任意x ∈R ，都有()0f x ≥成立，且存在x ∈R ，使得()223f x a ≤-成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()0f x =有一个根是1，且a ，0b >，求11212a b +++的最小值，并求此时a ，b 的值.【答案】（1）1b a =；（2）[]{}9,60--；（3）最小值23，1a b ==.【解析】（1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可．（2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．（3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可．【详解】（1）依题意，2063a +=，063b⨯=-，解得9a =，0b =，1b a ∴= （2）若3b a =，则2()323f x x ax a =--．依题意，22436036422123a a a a a ⎧+⋯⎪⎨---⋯⎪⎩①②……，由①得，90a -剟，由②得，1a -…或6a -…，所以，96a --剟或10a -剟为所求．（3）方程有一个根是1，且a 、0b >，320a b ∴--=，即23a b +=，23a b +=可得(21)(2)6a b ++=，设21u a =+，2v b =+，可得u ，0v >，6u v +=，111112(2)21263v u a b u v u v +=+=++++…，当且仅当3u v ==，即1a b ==时取等号．【点睛】本题考查函数的零点个数，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 21．已知有限集{}123,,,n A a a a a =()*2,n n N ≥∈，如果A 中元素()11,2,3,a i n =满足121n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”.（1）判断集合1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由；（2）若1a ，2a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，求12a a 的取值范围；（3）若*1a N ∈，求证：“复活集”A 有且只有一个，且3n =. 【答案】（1）是；理由见解析；（2）()(),04,-∞+∞；（3）见解析；【解析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，进而可得答案．【详解】 (1)15151515·12222-+---+--=+=-，故集合1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是 “复活集”；(2)不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知1a ，2a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根，由△0>，可得0t <，或4t>，120a a ∴<或124a a >；(3)不妨设A 中123n a a a a <<<⋯<，由1212n n n a a a a a a na ⋯=++⋯+<，得121n a a a n -⋯<，当2n =时，即有12a <，11a ∴=，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集” A ，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集”A 只有一个，为{1，2，3}．当4n …时，由121123(1)n a a a n -⋯⨯⨯⨯⋯⨯-…，即有(1)!n n >-，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是(1)!n n >-，事实上，22(1)!(1)(2)32(2)22n n n n n n n ---=-+=--+>…，矛盾， ∴当4n …时不存在复活集A ，所以，“复活集”A 有且只有一个，且3n =. 【点睛】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大。

【解析】上海市师大附中2018届高三上学期期中考试物理试题

2017-2018学年上海师大附中高三（上）期中物理试卷一.单项选择题（每题4分）1. 下列说法中正确的是（）A. 伽利略猜想自由落体的运动速度与下落时间成正比，并直接用实验进行了验证B. 牛顿第一定律、牛顿第二定律都可以通实验来验证C. 单位m、kg、s是一组属于国际单位制的基本单位D. 用比值法定义的物理概念在物理学中占有相当的比例，例如加速度就是采用比值定义法【答案】C【解析】伽利略猜想自由落体的运动速度与下落时间成正比，但是并没有通过实验直接验证，选项A错误；牛顿第一定律不可以通过实验直接验证，选项B错误；在国际单位制中，m、kg、s是力学中的三个基本单位，选项C正确；用比值法定义的物理概念在物理学中占有相当比例，例如加速度就是采用了比值定义法，选项D错误；综上本题选C.2. 关于曲线运动，下列说法中正确的是（）A. 曲线运动不一定是变速运动B. 做曲线运动物体的速度方向保持不变C. 物体受到变力作用时就做曲线运动D. 做曲线运动的物体受到的合外力可能是恒力【答案】D............考点：曲线运动。

3. 如图所示，分解一个水平向右的力F，F=6N，已知一个分力F1=4N和另一个分力F2与F的夹角为30°，以下说法正确的是（）A. 只有唯一解B. 一定有两组解C. 可能有无数解D. 可能有两组解【答案】B【解析】试题分析：根据平行四边形定则或者三角形定则作图分析：若F1＜Fsin30°，无解；若F1=Fsin30°，唯一解；若F＞F1＞Fsin30°，两解；若F1＞F，唯一解．解：已知合力、一个分力的方向、另一个分力的大小，根据平行四边形定则作图，如图所示：由于F＞F1＞Fsin30°，即6N＞F1＞3N，故一定有两组解；故选：B．【点评】本题关键是根据平行四边形定则作图分析，知道合力与分力是等效替代关系；要注意题目中的数量关系：．4. “神舟十一号”发射升空后，飞行了43小时53分钟，绕地球运行27圈，与天宫二号完成自动交会对接，这标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶．假定正常运行的“神舟十一号”飞船和通信卫星（同步卫星）做的都是匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A. 飞船的线速度比通信卫星的线速度小B. 飞船的角速度比通信卫星的角速度小C. 飞船的运行周期比通信卫星的运行周期大D. 飞船的向心加速度比通信卫星向心加速度大【答案】D【解析】根据题意可知神州十一号的运行周期小于24小时，即小于通讯卫星的周期，所以飞船的角速度大于通讯卫星的角速度，选项BC错误；由开普勒第三定律可知，神州十一号的运行半径小于通信卫星，再根据可知，飞船的线速度大于通讯卫星的线速度，选项A错误；再根据可知，飞船的向心加速度大于通讯卫星的向心加速度，选项D正确，综上本题选D.5. 如图所示，AO、BO、CO是完全相同的绳子，并将钢梁水平吊起，若钢梁足够重时，绳子AO先断，则（）A. θ=120°B. θ＞120°C. θ＜120°D. 不论θ为何值，AO总是先断【答案】C【解析】试题分析：以结点O为研究对象，分析受力，作出力图，由平衡条件得出AO绳与BO 绳（C0绳）的拉力关系，由数学知识分析θ的范围．解：以结点O为研究对象，分析受力，作出力图如图．根据对称性可知，BO绳与CO绳拉力大小相等．由平衡条件得：F AO=2F BO cos当钢梁足够重时，AO绳先断，说明F AO＞F BO，则得到，2F BO cos＞F BO，解得，θ＜120°故选：C．【点评】本题是简单的力平衡问题．对于悬绳问题，一般以结点为研究对象，分析受力是解题的关键．6. 在“研究两个共点力的合成”的实验中，有同学各自画了以下的力图，图中 F1、F2是用两把弹簧秤同时拉橡皮筋时各自的拉力，F′是用一把弹簧秤拉橡皮筋时的拉力；画出了F1、F2、F′的图示，以表示F1、F2的有向线段为邻边画平行四边形，以F1、F2交点为起点的对角线用F表示，在以下四幅图中，只有一幅图是合理的，这幅图是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：力的合成遵循平行四边形定则，理论值是根据平行四边形定则作出的，实际值是用一根弹簧量出来的，故实际值一定与橡皮筋伸长方向共线．解：解：以表示F1、F2的有向线段为邻边画平行四边形，以F1、F2交点为起点的对角线用F表示，故F是理论值，存在误差，不一定与橡皮筋伸长方向共线．F′是用一把弹簧秤拉橡皮筋时的拉力，是实际值，一定与橡皮筋伸长方向共线．故ABD错误，C正确；故选：C．【点评】本题关键明确验证力的平行四边形定则中理论值可能有偏差，而实际值偏差小，一定与F3共线．7. 如图光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切，穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N．在运动过程中（）A. F增大，N减小B. F减小，N减小C. F增大，N增大D. F减小，N增大【答案】A【解析】对球受力分析，受重力、支持力和拉力，如图，根据共点力平衡条件，有N=mgcosθ F=mgsinθ其中θ为支持力N与竖直方向的夹角；当物体向上移动时，θ变大，故N变小，F变大；故A正确，BCD错误．故选A．注：此题答案应该是A.视频8. 如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况（）A. 逐渐增大B. 逐渐减小C. 先增大，后减小D. 先减小，后增大【答案】A【解析】因为小球是以恒定速率运动，即它是做匀速圆周运动，那么小球受到的重力G、水平拉力F、绳子拉力T三者的合力必是沿绳子指向O点．设绳子与竖直方向夹角是θ，则=tanθ（F与G的合力必与绳子拉力在同一直线上）得F=Gtanθ二、多选选择题（2&215;4=8分）9. 一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4m/s，转动周期为2s，则（）A. 角速度为0.5rad/sB. 转速为0.5r/sC. 轨迹半径为mD. 加速度大小为4πm/s2【答案】BCD【解析】试题分析：由，A错；转速，B对；轨道半径：，C对；加速度大小为：，D对。

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上师大附中2018学年第一学期期中考试高三年级语文学科（考试时间：150分钟满分：150分）一、积累运用10分1.按要求填空（5分）（1）__________________，欲人之无惑也难矣。

”（《师说》）（2）念去去，千里烟波，__________________。

（柳永《______》）（3）左思《咏史》诗中与“黄钟毁弃，瓦釜雷鸣”意思相近的句子是，。

2.按要求选择。

（5分）（1）下列各句中，所引诗词不符合语境的一项是( ) （2分）A. “风物长宜放眼量”，祖国山水秀美壮丽，可以陶冶性情，愉悦身心，我们在闲暇之余可以多去各地走一走，亲近当地的自然风光，了解当地的民风民俗。

B. “靡不有初，鲜克有终”，对党员干部来说，走好为官从政的第一步很重要，但守住初心，自始至终坚守住党员干部清正廉洁的底线，则更为重要。

C. “天若有情天亦老，人间正道是沧桑”，变革是发展的永恒推动力，无论是个人还是民族、国家，都要努力冲破思想的藩篱，勇于创新，力争一流。

D. “桃李不言，下自成蹊”，他通过自身的实际行动，以高尚师德、人格魅力和学识风范教育感染着他的学生，感动着无数人，也因此获得了无数赞誉。

（2）划线处最适合填入的一项是（）（3分）诗必有所本，本于自然；亦必有所创，创为艺术。

自然与艺术媾和，结果乃在实际的人生世相之上；另建立一个宇宙，正犹如织丝缕为锦绣，凿顽石为雕刻，，。

诗与人生世相之关系，妙处唯在不即不离。

惟其“不离”，所以有真实感；惟其“不即”，所以新鲜有趣。

A.非全是天然造化，亦非全是别具匠心B.非全是天然造化，亦非全是依样画葫芦C.非全是空中楼阁，亦非全是别具匠心D.非全是空中楼阁，亦非全是依样画葫芦二、阅读70分（一）阅读下文，完成第3-7题。

（16分）①科学史告诉我们科学以理性的力量扫除了前进道路上的迷信和愚昧的阻碍，建立了一个个向未知领域深处挺进的堡垒。

科学的历史无疑就是人类智性进步的历史。

那么科学普及的历史又呈现出什么样的景象呢？美国俄亥俄州立大学历史学教授约翰•伯纳姆在他的著作《科学是怎样败给迷信的》中向我们描绘了这样一幅出人意料的科学普及史图景：起先科学是一种积极、进步的文化力量，但在逐渐兴起的美国消费文化中，科学慢慢地为新伪装下的迷信和神秘主义的复活让出了一条通道，最终科学在大众层面上被迷信击败。

伯纳姆并不是在故作危言。

在书中他引述了详尽的史料和众多当代研究成果，展开了详尽的论证。

感兴趣的读者可以从书中对上述结论获得一个更全面深刻的印象。

②这样一部有点令人沮丧的美国科学普及史，对于中国现阶段的科学普及工作并不是没有意义的。

因为当前中国的科学生长环境不容乐观。

虽然“崇尚科学，破除迷信”这样的标语几乎张贴在了每一个居民小区的宣传栏里，但是由于中国公众受教育程度参差不齐，科学素养相对缺乏，所以迷信有额外的生存维度。

在中国社会的各个阶层，迷信没有被真正破除干净过。

至今走在居住区内和附近的马路上，还经常遇到泼洒在路面上的一团团药渣，这种乞求药“倒”病除的现象不能简单地被归类为一种无害的民俗——至少在污染环境这个层面上是有害的，它反映了老式迷信在现代社会中的顽强生存力。

③譬如体现着数字神秘主义的古代术数系统，原本是一个很复杂、精致的系统，在古代需要通过专门的学习来掌握，而现在则退化为只通过某种方言对数字的发音来附会吉凶宜忌，如“4”谐音“死”是不吉利的，“8”谐音“发”是吉利的，等等。

于是电话号码这种八位或十一位的自然数就有了吉凶之分，人们选择号码时纷纷避凶趋吉。

某省甚至把认为是不吉利的车牌号人为地删除，以便避免用得起小车的富人们化钱买不吉利。

而把重大活动的开幕时间定在8月8日8时之类，其用意是不言而喻的。

这种个人和政府的行为，无疑直接、有力地推动了迷信思想的流行，与科教兴国的国策和培养一种科学、理性的民族精神的努力目标是背道而驰的。

④伯纳姆在书中提到了导致在大众层面上“科学失败、迷信胜利”的两个重要因素：一是剥离了具体知识背景，采用新闻、广告宣传模式支离破碎地介绍科学的产品或成果，往往同时还伴随着追求轰动效应的煽情主义和商业利益的追逐；二是科学家撤出了科普阵地，把科学普及的任务拱手让给了媒体从业人员和初等教育人员。

这两个问题在当前中国也同样存在。

⑤在当今的报纸和电视节目中可以看到铺天盖地的这种对孤立科学事实的强调和对科学产品的推销。

一个典型的例子就是对航天技术的报道。

媒体放弃了向公众普及有关飞船的飞行动力学和外太空高能物理环境的科学知识。

航天活动基本上被看作一种政治活动而不是一种科学探索活动。

媒体对飞船搭载物品的神秘性和尊贵性大肆渲染，似乎发射飞船的物质代价都被附加到了这些物品上。

如果说是搭载植物种子，希望在高能环境中诱发基因突变，以改良品种，这还有一点点科学的味道——实际上由于基因突变是不定向的，所以搭载种子以改良物种的效率和科学性往往被夸大；而一些搭载的纪念品、会徽、会旗等被赋予的价值和神圣性，则纯粹是巫术色彩的，是毫无理性基础和科学意义的。

⑥在美国科学普及史上出现过一些既从事科学前沿领域研究、又热心科学普及的科学家，他们一般从文化和社会的层面用较宽的视野看待科学，他们出版科普书籍，为杂志撰写科普文章，把理性带入到生活的各个方面。

但是到了二十世纪这样的科学家从科普阵地上撤退了。

反观中国的情形，似乎从来没有出现过这样一群有影响力的科学家。

现在有人呼吁，前沿科学工作者应该参与科学的普及，但应者寥寥，学术界远离科普的现状没有改观。

⑦以上是从《科学是怎样败给迷信的》一书中获得一点启示，并对中国科学普及现状进行的一点反思。

伯纳姆的著作犹如一剂清醒剂，帮助我们认识到了问题所在，也就为解决问题提供了一种可能。

科学毕竟已经成为一种重要的社会和文化力量，科学活动也占据越来越多的自然和社会资源。

现在有一种说法：“科学太重要了，不能只交给科学家们去做。

”通过科学普及让公众理解科学尽管有很多困难，但还是值得并且应该去做。

毕竟，人们对他们要参与并要发表决策性意见——无论是赞成还是反对——的东西，应该先有一个正确的了解，是最起码的。

3. 第①段加点词“危言”在文中指的是_________________________________________________。

（2分）4. 用第③段的结论，对下列这一事例加以分析。

（4分）上海某著名学府的某学院乔迁新大楼之际，教授们要挑选自己的办公室。

学院大楼414房间无人认领，有人议论说原本可以人性化地考虑把这种房间号码处理成厕所云云。

________________________________________________________________________________________ 5．能依据文意做出的一项推断是（）（3分）A.“崇尚科学，破除迷信”标语的张贴，必然会带来公众科学素养的提高。

B.培养一种科学民族精神，首先要破除方言对数字的发音附会。

C.基因突变的不定向性，决定了搭载种子以改良物种的做法是有巫术色彩的。

D.当下的中国，亟需出现一群有影响力的热心科学普及的科学家。

6. 最适合作本文标题的一项是（）（3 分）A．走进科学，扫除迷信的阻碍B．迷信——永恒的敌人C．科学究竟能否被真正普及D．科普，路在何方？7. 概括本文的论证思路。

（4分）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ （二）阅读下文，完成第8-11题。

（15分）人在风中刘心武①一位沾亲带故的妙龄少女，飘然而至，来拜访我。

我想起她的祖父，当年待我极好，却已去世八九年了，心中不禁泛起阵阵追思与惆怅。

与她交谈中，我注意到她装扮十分时髦，发型是“男孩不哭”式，短而乱；上衫是“阿妹心情”式，紧而露脐；特别令我触目惊心的，是她脚上所穿的“姐妹贝贝”式松糕鞋。

她来，是为了征集纪念祖父的文章，以便收进就要出版的她祖父的一种文集里，作为附录。

她的谈吐，倒颇得体。

但跟她谈话时，总不能不望着她，就算不去推敲她的服装，她那涂着淡蓝眼影、灰晶唇膏的面容，也使我越来越感到别扭。

事情谈得差不多了，她随便问到我的健康，我忍不住借题发挥说：“生理上没大问题，心理上问题多多。

也许是我老了吧，比如说，像你这样的打扮，是为了俏，还是为了‘酷’？总欣赏不来。

我也知道，这是一种时尚。

可你为什么就非得让时尚裹着走呢”？②少女听了我的批评，依然微笑着，客气地说：“时尚是风。

无论迎风还是逆风，人总免不了在风中生活。

”少女告辞而去，剩下我独自倚在沙发上出神。

本想“三娘教子”，没想到却成了“子教三娘”。

③前些天，也是一位沾亲带故的妙龄少女，飘然而至来拜访我，她的装束打扮，倒颇清纯。

但她说起最近的一些想法，比如想尝试那些与中国传统格格不入的西方陋习，甚至毒品，以便“丰富人生经验”，跻身“新新人类”等等，我便竭诚地给她提出了几条忠告，都是我认定的在世为人的基本道德与行为底线。

④妙龄少女很多，即使同是城中白领型的，看来差异也很大。

那看去清纯的，却正处在可能失纯的边缘。

那望去扮‘酷’的，倒心里透亮，不但不需要我的忠告，反过来还给我以哲理启示。

⑤几天后整理衣橱，忽然在最底下，发现了几条旧裤子。

我回想起那是我费了九牛二虎之力，才讨到手的。

那时“国防绿”的军帽、军服、军裤乃至军用水壶，都强劲风行，我怎么能置身于那审美潮流之外？还有两条喇叭裤，是20年前，在一种昂奋的心情里置备的；那时我已经38岁，却沉浸在“青年作家”的溢美之词里，记得还曾穿着喇叭开度极为夸张的那一条，大摇大摆地去拜访过那位提携我的前辈，也就是，如今穿松糕鞋来我家，征集我对他的感念的那位妙龄女郎的祖父；仔细回忆时，那前辈望着我的喇叭裤腿的眼神，凸现着诧异与不快，重新浮现在了我的眼前，只是，他大概忍住了涌到嘴边的批评，没有就此吱声。

⑥人在风中，风来不可抗拒，有时也毋庸抗拒。

风有成因。

风既起，风便有风的道理。

风就是风，它来了，也就预示着它将去。

凝固的东西就不是风。

风总是多变的。

风既看得见，也看不见。

预报要来的风，可能总也没来，没预料到的风，却会突然降临。

遥远的地球那边一只蝴蝶翅膀的微颤，可能在我们这里刮起一阵劲风。

费很大力气扇起的风，却可能只相当于蝴蝶翅膀一颤的效应。

风是单纯的、轻飘的，却又是诡谲的、沉重的。

人有时应该顺风而行，有时应该逆风而抗。

像穿着打扮，饮食习惯，兴趣爱好，在这些俗世生活的一般范畴里，顺风追风，不但无可责备，甚或还有助于提升生活情趣，对年轻的生命来说，更可能是多余精力的良性宣泄。