概率论与数理统计3-3-zh
《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
概率论与数理统计3章
VS
概率密度函数
描述连续随机变量在任意一点处的概率的 函数。
随机变量的期望与方差
期望
方差
数学期望或均值，是随机变量取值的平均数， 反映了随机变量的中心趋势。对于离散随机 变量，期望是所有可能取值的概率与其对应 的值的乘积之和；对于连续随机变量，期望 是积分概率密度函数在定义域内的值。
度量随机变量取值与其期望之间的偏离程度， 即各取值偏离其均值的大小。方差越小，各 取值越接近均值；方差越大，各取值越分散。
03
统计推断
参数估计
01
02
03
04
参数估计方法
根据样本数据，通过适当的方 法估计总体参数的过程。
点估计
用单一数值表示总体参数的估 计值，如算术平均数、中位数
等。
区间估计
给出总体参数的可能取值范围 ，如置信区间。
估计量的评选标准
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
根据样本数据对总体参数作出推断，通过检验假设是 否成立来作出决策。
离散随机变量及其分布
离散概率分布
描述离散随机变量取各个可能值的概率的分布。常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布等。
概率质量函数
描述离散随机变量取每一个可能值的概率的函数。
连续随机变量及其分布
连续概率分布
描述连续随机变量在某个区间内取值的 概率的分布。常见的连续概率分布有正 态分布、均匀分布、指数分布等。
定义
指数平滑法是一种时间序列预测方法，通过计算 时间序列的加权平均值来预测未来的值。
计算公式
指数平滑法的计算公式为`预测值 = α*当前值 + (1-α)*上期预测值`，其中α是平滑系数，取值范 围为0到1。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结(详细)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。
下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。
一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。
- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
2. 古典概型与几何概型- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。
- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。
3. 随机变量与概率分布- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。
- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。
- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。
4. 期望与方差- 期望：反映随机变量平均取值的数值。
- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。
5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。
- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。
二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。
- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。
2. 参数估计与置信区间- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。
- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。
3. 假设检验与统计显著性- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。
- 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。
4. 方差分析与回归分析- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。
- 回归分析：通过观察变量之间的关系，建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。
5. 交叉表与卡方检验- 交叉表：将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。
概率论与数理统计(完整版)
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定义 : 若B1,B2,,Bn一组事件 : 满足
(iB i) B j φ ,i ji,j, 12,.,.n .,,
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中 的 基 本 事k件 数 P(A)S中的基本事n件总数 15
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P(Bi |A)P(Bi |A.)
i1
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
概率论与数理统计知识点
概率论与数理统计知识点概率论与数理统计是数学中非常重要的一门学科，它涉及到现实生活中各种不确定性的问题。
本文将探讨概率论与数理统计的一些核心知识点，包括概率、随机变量、概率分布、参数估计等内容。
概率是研究随机试验结果可能性的数学分支。
概率的计算主要有两种方法：频率法和古典概型法。
频率法是通过实际试验次数的频率来估计某个事件发生的概率。
而古典概型法是通过对试验结果的分析，利用等可能性原理来计算概率。
概率的计算公式包括加法定理、乘法定理、条件概率等。
随机变量是概率论中很重要的一个概念。
随机变量是一个函数，它把样本空间中的每个可能的结果与一个实数联系起来。
随机变量分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量的取值是有限的或者可列的，比如扔一次硬币的结果。
而连续型随机变量的取值是无限的，比如测量某个时间段内的温度。
概率分布是随机变量的分布规律。
离散型随机变量的概率分布可以通过概率质量函数来描述，例如二项分布、泊松分布等。
连续型随机变量的概率分布可以通过概率密度函数来描述，例如正态分布、指数分布等。
概率分布具有一些特征值，如均值、方差和标准差，它们是描述变量分布的重要指标。
参数估计是根据样本估计总体的未知参数值。
参数估计有点估计和区间估计两种方法。
点估计是用样本统计量作为总体参数的估计值，如样本均值、样本方差等。
区间估计是给出一个总体参数的区间估计范围，如置信区间。
参数估计的准确性可以通过标准误差、置信水平等来衡量。
除了概率论与数理统计的基本知识点，还有一些衍生的概念和应用。
例如，假设检验是根据样本数据对总体参数提出关于总体参数的一个假设，并对这个假设进行检验的方法。
假设检验有类型I错误和类型II错误之分。
此外，回归分析是指通过建立变量之间的统计模型，用以预测和解释因变量的方法。
回归分析对于了解变量之间的关系和预测未来的趋势具有重要意义。
概率论与数理统计是现代科学和工程领域中不可或缺的工具。
无论是在自然科学、社会科学还是经济管理等领域，概率论与数理统计都得到了广泛应用。
概率论与数理统计实验实验3参数估计假设检验
概率论与数理统计实验实验3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。
2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为F(x, )，其中为未知参数( 可以是参数估计点估计区间估计点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩.令设总体分布含有个m未知参数??1 ，…，??m解此方程组得其根为分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。
2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知, ?? 的置信区间2、方差的区间估计未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)此命令以alpha 为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。
（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，并以此为样本值，给出?? 和?? 的点估计和区间估计命令:r=normrnd(10,2,100,2);[mu,sigm,muci,sigmci]=normfit(r);[mu1,sigm1,muci1,si gmci1]=normfit(r,0.01);mu=9.8437 9.9803sigm=1.91381.9955muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762sigmci=1.68031.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803sigm1=1.91381.9955muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。
概率论与数理统计第三章笔记
概率论与数理统计第三章笔记好的，以下是为您生成的一篇“概率论与数理统计第三章笔记”，希望符合您的需求：---# 概率论与数理统计第三章笔记在学习概率论与数理统计这门课的时候，第三章的内容就像是一座神秘的城堡，充满了新奇和挑战。
这一章主要讲的是多维随机变量及其分布。
一开始，听到这个概念的时候，我的脑袋里就像是被塞进了一团乱麻。
不过，随着深入学习，我逐渐理清了其中的头绪。
先来说说多维随机变量的联合分布函数。
这玩意儿就像是一个神奇的魔法盒子，它能把多个随机变量的可能性都装在一起。
想象一下，有两个随机变量 X 和 Y，它们就像是两个调皮的小精灵，在一个大大的游乐场里到处乱跑。
而联合分布函数 F(x,y) 呢，就能告诉我们这两个小精灵同时出现在某个特定区域的概率。
比如说，X 表示今天的气温，Y 表示湿度，那 F(x,y) 就能告诉我们在气温为 x 度，湿度为 y 的情况下的可能性。
再讲讲多维离散型随机变量。
这可有意思啦！比如说，咱们来假设一个场景，有一家小杂货店，店里卖两种零食，薯片和巧克力。
每天来买零食的顾客人数是随机的，而且他们选择薯片或者巧克力的情况也是随机的。
我们把买薯片的人数设为 X，买巧克力的人数设为 Y。
那么 (X,Y) 就是一个二维离散型随机变量。
我们可以列出它们所有可能的取值以及对应的概率，就像是给这两个调皮的小家伙拍了一张张照片，记录下它们每一个瞬间的样子。
然后是多维连续型随机变量。
这就像是一条流淌不息的河流，没有明显的断点。
还是用上面那个杂货店的例子，不过这次假设每天的销售额是连续变化的。
销售额 X 受到很多因素的影响，比如客流量、顾客的购买欲望等等。
这时候，我们就得用概率密度函数 f(x,y) 来描述它。
想象一下，这个函数就像是一张地图，告诉我们销售额在不同区域的密集程度。
在学习边缘分布的时候，我可真是费了好大的劲。
边缘分布就像是从一个大蛋糕上切下来的一小块。
还是以杂货店为例，如果我们只关心买薯片的人数 X 的分布，不考虑巧克力的情况，那这就是 X 的边缘分布。
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Z 服 从 参 数 为 ( 0 )的 瑞 利 ( Rayleigh )分 布 .
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 f (x,y)，求Z=X+Y的概率密度. y
解1 FZ ( z ) P ( Z z ) P ( X Y z ) z y f ( x , y )dxdy ( f ( x , y )dx )dy
设X ~ N ( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2 , 2 ), X与Y相互独立，
2 2
则
Z X Y ~ N ( 1 2 , 1 2 ).
2 2
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布.
例7
设X和Y是两个相互独立的随机变量，它 们的概率密度均为 10 x , 0 x 10, f ( x ) 50 其他. 0, 求Z = X+Y的概率密度.
证明 P ( X k ) e 1 1 , k 0,1,2,. k!
k
P (Y m ) e
n
2
2 , m0,1,2,. m!
m
由前面的例题可知
P ( X Y n) P ( X k ) P (Y n k ), n 0,1,2, .
已知 X , Y 相互独立, 且均服从 N ( 0 , 2 )
2 2
X Y 的概率密度. 2 1 x 解 2 X ~ N ( 0 , ), f X ( x ) exp 2 . 2 2
2 1 y 2 Y ~ N ( 0, ), f Y ( y ) exp 2 . 2 2
更一般地，设全班有n个同学，在相同条件下 独立重复进行同一个试验，每次试验成功的概率 是 p. 若第 i个同学做了mi次试验，其中试验成功的 次数是Xi. 全班同学一共进行了 m= m1+ m2+…+ mn 次试验. 设Z表示全班同学试验成功的总次数， Z= X1+ X2+…..+ Xn， 则Z~B(m, p).
§3.4
随机向量的函数的分布
设(X, Y)是二维随机向量，z = (x, y)是一个 已知的二元函数，如果当(X, Y)取值为(x, y)时， 随机变量 Z 的取值为z = (x, y),则 Z 称是二维 随机向量，(X, Y)的函数，记作Z = (X, Y). 问题: 已知(X, Y)的分布, 求Z = (X, Y)的分布.
z2 1 exp 2 , z 0, FZ ( z ) 2 其它. 0,
F Z ( z ) f Z ( z ).
z z2 2 exp 2 , z 0, f Z ( z ) 2 其它. 0,
这两个公式称为fX 和 fY 的卷积公式，记为 f X fY .
已知X, Y 相互独立且均服从N(0,1)分布，求 例6 Z=X+Y的概率密度. x2 1 2 解 X ~ N (0,1), f X ( x ) e , 2 2 y 1 Y ~ N (0,1), fY ( y ) e 2. 2 x ( z x)
一、离散型随机向量函数的分布 例1 设随机向量 ( X , Y ) 的分布律为
X
1
1 2 3
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12
0
3 12 0
0
求 (1) X Y , ( 2) X Y 的分布律.
2 12
概率
1 12
1 12
3 12
2 12
1 12
2 12
2 12
1 1 ( X ,Y ) ( ,1 ( 3,2) ( 3,0) 2 2
r 2
1 r 2 2 e 2 0
.
1 f Z (z) e 2
z2 4
1 2( e 2 2
z2 2 )2
, Z ~ N ( 0 , ( 2 ) 2 ).
若X和Y 独立，具有相同的分布N(0,1)，则 Z=X+Y服从正态分布N(0, 2).
x y z
x y z
(
z
f ( u y , y )du)dy
z
(令u x y ) ( f ( u y , y )dy )du.
o
x
由概率密度的定义，FZ ( z ) f Z ( u)du, 故 f Z ( z ) f ( z y , y )dy .
X Y 3
X Y
2
1
3 2 5 2
1 2 3 2
1
3 3
1
0
1
5
所以 X Y , X Y 的分布律分别为
X Y 3
P
X Y
1 12
2
1 12
1
3 12
3 2
2 12
1 2
1 12
1
2 12
3
3
2 12
5
0
1 12
1
4 12
5 2
2 12
3 2
1 12
X,Y相互独立，
2 2 1 x y f ( x, y) . 2 exp 2 2 2
Z X Y . 当 z 0时 , F Z ( z ) 0 . 当 z 0时 , FZ ( z ) P ( Z z ) P ( X 2 Y 2 z)
f Z ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx
1 2 1 e e 2 2
2
2
2
dx
fZ (z) 1 2
z2 4
e
x 2 ( z x )2 2
dx
令t x z 1 e e dx 2 2 z2 z2 1 4 t2 1 4 e e dt e 2 2 z2 1 4 e . 2
P ( Z n) P ( X Y n)
P ( Z n) P ( X Y n) n P { X k ,Y n k } k 0
P( X k ,Y n k )
P ( X k ) P (Y n k )
2 2
2 2 1 x y 2 exp 2 d xd y 2 2 2 2 x y z
设Z的分布函数和概率密度分别为 F Z ( z ),
f Z ( z ).
x2 y2 z
f ( x , y )dxdy
x r cos , y r sin . r2 1 z2 2 . 2 exp 2 r d r d 1 exp 2 2 2 rz
k 0 n
k 0 n
n
X, Y 相互独立
p( k )q( n k ), n 0,1,2,...
k 0
P ( Z n) p( k )q( n k ), n 0,1,2,...
k 0
n
设 X , Y 是相互独立的随机变量 ， X ~ P ( ), 1 例3 Y ~ P ( 2 ), 则X Y ~ P (1 2 ).
F Z ( z ) P ( Z z ) P ( ( X , Y ) z )
( x , y ) z
f ( x , y )dxdy .
若Z为连续型随机变量，则在 f Z(z) 的连续点处
f Z ( z ) FZ ' ( z ).
例5 ( 0 ), 求 Z
P
2 12
2 12
例2 分布分别为 P ( X k ) p( k ), k 0,1,2, P (Y m ) q( m ), m 0,1,2,
求随机变量 Z X Y的分布律 .
已知X , Y是相互独立的随机变量，其概率
解 Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,…,
如果X i 服从二项分布 B( m i , p ), i 1,2, , n. X 1 , X 2 , , X n相互独立 , 则
Z X i ~ B( m , p )，
其中m m1 m 2 m n .
i 1
n
二、连续型随机向量函数的概率分布 已知(X,Y)~ f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布.
f ( x , u x )du)dx
(
z
f ( x , u x )dx )du.
由概率密度的定义，FZ ( z )
故 f Z (z)
z
f Z ( u)du,
f ( x , z x )dx .
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 f (x,y)，则Z= X+Y为连续型随机变量，其概率密度为 f Z ( z ) f ( x , z x )dx ,
X~ B(n1, p). 若Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的 次数,每次试验中A出现的概率都为p, 则
Y~ B(n2,p).
Z=X+Y是在n1+ n2次独立重复试验中事件A 出现的次数，每次试验中A出现的概率都为p， 则Z=X+Y ~ B(n1 + n2, p). 于是Z是以(n1+n2，p)为参数的服从二项分布 的随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p). 从问题的背景出发得到的结果更直接，更容 易理解.
f Z ( z ) f ( z y , y )dy .