山东省济南市章丘区第四中学2021届高三上学期第一次教学质量检测(8月)数学试题

绝密★启用前
高三教学质量评估
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合{}2230A x x x =−−>，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()R A B =（ ） A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3− C. {}0,1,2,3
D. {}1,2 2．若复数11i z ai
−=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1− B. 12− C. 0 D. 1
3．设随机变量2~(1,)X N δ，若(2)0.2P X >=，则(0)P X >等于（ ）
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8
4．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，
则不同的着色方法共有( )
A. 120种
B. 180种
C. 60种
D. 48种
5．在正三棱柱111ABC A B C −中1AB AA =，则1B C 与平面11AA B B 所成角的余弦值为（ ） A. 104 B. 155 C. 64 D. 63
6．.函数sin ()x x x x f x e e
−−=+在[],ππ−上的图象大致为（ ） A. B.
C. D.
7．已知a ，b 为正实数，直线y x a =−与曲线()ln y x b =+相切，则11a b
+的最小值是( ) A. 2 B. 42 C. 4 D. 22 8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）
A. ()()10f ef >，()()202020200f e f <
B. ()()10f ef >，2(1)(1)f e f >−
C. ()()10f ef <，2(1)(1)f e f <−
D. ()()10f ef >，()()202020200f e f >
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题
目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9. 下列四个函数中，最小值为2的是（ ）
A.
B. C. 2
2x 6y=x 5 D. 44x x y
10．下列说法错误的是（ ）．
A. 若0xy ≥，则||||||x y x y +>+
B. 若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠
C. “2
a b x +>是x ab >”的充分不必要条件 D. “0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+”
11．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（ ） A. 1a = B. 展开式中含6x 项的系数是-32
C. 展开式中含1x −项
D. 展开式中常数项为40 12．如图直角梯形1,//,,22ABCD AB CD AB
BC BC CD AB .E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，且23PC
．则（ ） A. 平面PDE
平面EBCD
B. PC ED
C. 二面角P DC B 的大小为4
D.PC 与平面PED 所成角的正切值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数()ln f x kx x =−在区间()1,+∞内不单调，则k 的取值范围是______.
14．已知一组数据（1,3），（2,3.8），（3，5.2）
，a b （，）的线性回归方程为ˆ 1.04 1.9y x ，
则 1.04b a = ______________． 15．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于3”为事件A ．“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B ，则()|P B A =_________．
16．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”．
（1）设()sin f x x =，则()f x 在()0,π上的“新驻点”为_________
（2）如果函数()()ln 1g x x =+与()x
h x x e =+的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（满分10分）
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比为14:3
②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55
③22110n n n C C −+−= 已知在31n x x
（-）的展开式中， .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含5x 的项；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（满分12分）已知函数()ln a f x x x
=−，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当a e <−时，()f x 在[1,]e 上的最小值为1+e ，求a 的值.
19． （满分12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除
第五局甲队获胜的概率是
外，其余每局比赛甲队获胜的概率是．假设各局比赛结果互相独立．
（1）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率
（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分的分布列及数学期望．
1223
X
20．（满分12分）
如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO DO =
． （1）证明：PA ⊥平面PBC ；
（2）求二面角B PC E −−的余弦值．
21. （满分12分）
大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时（秒） [)5,10
[)10,15 [)15,20 [)20,25 男性人数
15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7
附：()()()()()
22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，n a b c d =+++. ()20P K k ≥ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（1）将用时低于15秒的称为“熟练盲拧者”，不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？ 熟练盲拧者 非熟练盲拧者
男性
女性
（2）以这100名盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？
22．（满分12分）
已知函数2()e x f x ax x =+−.
（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；
（2）当0x ≥时，31()12f x x ≥+，求a 的取值范围.。