3.4 圆心角和圆周角的关系(1)
3.4第1课时圆周角和圆心角的关系(教案)
（2）运用圆周角和圆心角的关系解决问题：在实际问题中，学生可能不知道如何将所学的圆周角和圆心角关系应用到解题过程中。
举例：针对不同类型的题目，指导学生分析问题，找到运用圆周角和圆心角关系的关键步骤，并给出解题策略。
四、教学流程
3.加强实践活动的引导，让学生在讨论和操作过程中，能够更加深入地思考问题；
4.提高自己的课堂应变能力，针对学生的反馈，及时调整教学方法和策略。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角和圆心角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
本节课将紧密围绕核心素养目标，关注学生能力培养，使学生在掌握知识的同时，提高数学学科综合素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）圆周角和圆心角的概念及其关系：圆周角是圆上一段弧所对的角，圆心角是以圆心为顶点的角。圆周角是圆心角的一半，这是本节课的核心知识点。
举例：讲解圆周角和圆心角的定义，通过图示和实际操作，让学生直观感受两者的关系。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角和圆心角的关系，以及它们在解题中的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过观察和测量圆周角和圆心角，验证圆周角是圆心角的一半这一性质。
3.4圆周角和圆心角的关系第1课时(课件)九年级数学下册(北师大版)
即∠C= ∠AOB.
（1）
二、自主合作，探究新知
试一试：你能将图（2）、（3）转化成图（1）吗？与同伴交流，并尝
试证明．
二、自主合作，探究新知
想一想：（1）在足球射门的游戏中，球员在B、D、E三点射门时，所形
成的三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC大小有什么关系？你能用圆周角定
理证明你的结论吗？
？你是怎么发现的？与同伴进行交流．
（1）∠D=∠E= ∠F=40°
F
使用量角器进行测量可得弧AB所对的圆周角的度数都相等．
（2）∠D=∠E=
∠F= ∠AOB.
利用量角器得出弧AB所对的圆周角都等于40°，都等于弧AB所对的
圆心角80°的一半．
二、自主合作，探究新知
议一议：在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结
⌒
它们都是AC所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于∠AOC度
数的一半，所以这三个角相等．
二、自主合作，探究新知
（2）如图，在☉O中 A B = E F ，那么∠C和∠G的大小有什么关系?
为什么?
C
G
O
A
F
B
E
圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：如图，OA,OB,OC都是☉O的半径，∠AOB=50°,
∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数.
⌒ ,
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB所对的弧为 AB
1
∴∠ACB= ∠AOB=25°.
2
1
同理∠BAC= ∠BOC=35°.
2
O .
A
70°
C
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章的内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。
教材通过生活中的实例引入圆周角和圆心角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。
接着，通过观察和操作活动，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而证明圆周角定理。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，为后续学习圆的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。
然而，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与观察、操作和思考。
此外，学生可能对圆的相关概念和性质有一定的了解，但需要进一步引导他们运用这些知识来解决实际问题。
三. 教学目标1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的概念及它们之间的关系。
2.圆周角定理的证明及其推论。
3.运用圆周角定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际情境，引导学生感受圆周角和圆心角的关系，激发学生的学习兴趣。
2.观察操作法：让学生通过观察、操作和思考，发现圆周角和圆心角之间的数量关系，培养学生的观察能力和操作能力。
3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生逐步深入探讨圆周角和圆心角的关系，培养学生的问题解决能力。
4.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，分享彼此的想法和成果，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片、实例和动画效果，帮助学生直观地理解概念和关系。
九年级数学下册 3.4 圆周角和圆心角的关系 圆的知识在足球比赛中的应用素材 (新版)北师大版
圆的知识在足球比赛中的应用
题目：如图1，在一次足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到点A时，乙已经跟随冲到点B，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？为什么？
分析：从数学角度看，甲、乙谁射门好，关键是比较∠MAN与∠MBN的大小，角度越大，射门的机会越好。
如何比较∠MAN与∠MBN的大小呢？
如图2，过M、B、N三点作⊙O，发现点A落在⊙O的外部，连结CN。
根据圆周角定理的推论得，∠MBN＝∠MCN；在△CAN中，根据三角形内角和定理的推论得，∠MCN＞∠MAN，所以∠MBN＞∠MAN，所以甲将球传给乙，让乙射门更好些。
当然我们也可以过M、A、N三点作圆。
如图3，过M、A、N三点作⊙O′，发现点B落在⊙O’的内部，延长MB交⊙O’于点D，连结DN。
根据圆周角定理的推论得，∠MDN＝∠MAN；在△BND中，根据三角形内角和定理的推论得，∠MBN＞∠MDN，同样可得∠MBN＞∠MAN。
图1
图1
图3。
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册 3.4《圆周角和圆心角的关系》是本节课的主要内容。
通过本节课的学习，让学生理解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能运用圆周角定理解决实际问题。
教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而发现圆周角定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，对圆有一定的认识。
但学生对圆周角和圆心角的概念可能比较陌生，需要通过实例和探究活动来理解和掌握。
此外，学生需要具备一定的观察和推理能力，通过观察图形和逻辑推理来发现圆周角定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的掌握和运用。
2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生观察、思考和推理，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：引导学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆周角和圆心角的图形和实例。
2.教学素材：准备一些相关的实例和习题，用于引导学生进行探究和练习。
3.教学工具：准备圆规、直尺等绘图工具，方便学生进行绘图和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如自行车轮子的转动、钟表的指针运动等，引导学生观察和思考这些现象与圆周角和圆心角的关系。
2.呈现（10分钟）呈现圆周角和圆心角的定义，引导学生理解它们的概念。
通过PPT展示一些实例，让学生观察和思考圆周角和圆心角之间的关系。
圆心角与圆周角的关系证明
圆心角与圆周角的关系证明要讨论圆心角与圆周角的关系，我们首先得了解这两个角的基本概念。
想象一下，我们站在一个圆的中心，眼前是一个大大的披萨（谁不喜欢披萨呢？），这个披萨的每一片都能代表一个圆心角。
圆心角就是从圆心出发，连接到圆的两边形成的那个角。
听起来是不是很简单？但别小看这个角，它可是有很多有趣的性质，尤其是与圆周角的关系。
接下来，我们聊聊圆周角。
圆周角就像是坐在披萨边缘的朋友，虽然离圆心远了一点，但它的工作同样重要。
简单来说，圆周角是圆周上某一段的端点与圆心之间形成的角。
这里面有个有趣的点：圆心角的度数和它对应的圆周角的度数是有关系的。
让我们用个小例子来说明吧：假设你有一个圆心角为60度的角，那么对应的圆周角就只有30度。
这是不是听起来很神奇？像是魔术一样，让人忍不住想要深入探讨。
在数学上，这种关系其实是有一定规律的。
我们可以用公式来简单地表示：圆周角= 1/2 × 圆心角。
也就是说，圆心角总是圆周角的两倍！如果你把这个关系想象成一对好朋友，那圆心角就像是个大嘴巴，总是说个不停，而圆周角则比较安静，时不时插一句。
这样的搭配，简直就是天生一对！要想彻底理解这个关系，我们可以借助几何图形来更直观地观察。
画个圆，标出圆心，接着在圆的边缘上找两个点。
用直线连接这两个点到圆心，再在这两个点之间的圆周上找一个点，看看你能形成什么样的角。
这时，你会发现无论你如何移动这些点，圆心角的度数永远是圆周角的两倍。
就像那句老话，“不怕慢，就怕站”，只要我们不停地探索，就总能找到答案。
当然，实际生活中，这个关系也会有很多应用，比如在建筑设计、机械工程等等领域。
想象一下，如果没有这个关系，建筑师们的设计图纸可能会变得乱七八糟，大家都搞不清楚哪个角应该怎么测量，最后建出来的房子可能会歪歪扭扭的，那可就闹笑话了。
可见，圆心角和圆周角的和谐关系在生活中是多么的重要！所以，朋友们，记住这段关系吧。
圆心角和圆周角就像是数学世界里的好搭档，无论走到哪里，它们都携手并进。
圆心角和圆周角的关系
重点难点易错点讲解圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一。
认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点。
圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可。
这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点。
圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线。
这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握。
其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角内部，外部，其中一边上）；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；（4）归纳总结出一般性结论。
这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中。
本节常见的错误有：（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况。
【例1】已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数。
错解：如图3-3-4，∵AB=OA，∴△OAB为等边三角形。
∴∠AOB=60°．∴∠C=30°。
∴AB所对的圆心角为60°，圆周角为30°。
正确解法：如图3-3-5，∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形。
∴∠AOB=60°。
∴∠C=30°；∴∠D=150°。
∴弦AB所对的圆心角为60°，所对的圆周角为30°或150°。
错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个。
应加强位置意识的培养，克服思维定势。
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。
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局二中2014——2015学年第二学期九年级数学导学案 主备: 赵秋娥 审核： 班级 ： 姓名 ：
课题: 3.4圆周角与圆心角的关系(1)
我的疑问
由此得出圆周角定理： 2、（1）如图，在⊙O 中，∠BOC=50°，则∠BAC = 。
（2）如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC= （3）如图，∠B AC=40°，则∠OBC=
3、（思考与探索）（）1、如图，BC 所对的圆心角有多少个？BC 所对的
圆周角有多少个？请在图中画出BC 所对的圆心角和圆周角。
（2）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心角有什么关系？
由此得出什么:在同圆或等圆中， 。
【训练案】
1、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C
所在直线的同侧，∠BAC=35
(1)∠BDC=_______ °理由是 ． (2)∠BOC=_______ °理由是 ． 2、如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且∠BCD=100° ，求∠BOD （BCD 所对的圆心角）和∠BAD 的大小。
【课堂小结】
通过本节课学习，你有哪些收获?
【课后记】：
家长签字
【学习目标】
1、认识圆周角， 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程, 理解和掌握圆周角定理; 2. 能应用圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题 。
【重点难点】
重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。
难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。
【使用说明与学法指导】自主探究、认真完成导学案的问题，并把自己的疑问写出来，最
后小组交流并解决。
【旧知链接】
1、圆心角的定义? 。
2、在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系:
【自主学习】（自学、对学、探索圆周角的定义和特征）
1、圆周角定义： 2判定下列各角哪些是圆周角？
3、圆周角特征：角的顶点 上，两边是圆的 圆心角特征：角的顶点是 ，两边是圆的
【合作探究】
1、 探究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。
（自学、对学、小组交流画出所
有的情况进行分析）
A
B
C
O O
A
B
C
D
A B
C
D
O
A
C
O
B
C
B
O
C
B O
A。