2018年1月北京市各城区导数汇编及答案
2018年高考真题汇编(函数与导数)
函数与导数1 .【2018年浙江卷】函数【解析】分析:先研究函数的奇偶性』再研究雷数在G"）上的符号，即可判断选择详解；令= 2圍血滋，因为^ e =刃*血2（—x） = —2罔血Zx = —fG（）p所以fOO = 2團血2耳力奇画数’排除选项止出因为工匸$町时『f@） < 0,所以曲穩选项J选D点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复.c = b眉2. 【2018年理天津卷】已知il=lo^^in2, 2 ,则a, b, c的大小关系为A. u > b>cB.b>u> e C c> b> a D.c> a> b【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果b = ln2 = -^―e （0A）c= 3詰=和g* > Sg声详解：由题意结合对数函数的性质可知: "忆吆>1, 5慾, 2据此可得：•本题选择D选项.点睛：对于指数幕的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幕的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较•这就必须掌握一些特殊方法•在进行指数幕的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断•对于不同底而同指数的指数幕的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.龙兰0*3. 【2018年理新课标I卷】已知函数I曲乩北〉心饥巧二“/) + +a .若g (x)存在2个零点，则a的取值范围是A. [ - 1, 0)B. [0 , +R)C. [ - 1 , +R)D. [1 , +R)【答案】C【解析】分析；首先根据存在2个零点，得到方程f CO十""哨两个亀将其转化为金〉二-覽-口有两个解，即直线y =-第-诣曲^二fCO有两个交点”根据題中所给的函数解析式，画出函数f何的團像(将町4掉A再画出直绳=-补并将其上下移动』从图中可臥发现走丄时/龊7=-電-口与曲线y=f^＞有两个玄点'从而求得结果.详解：画出函数的图像，7■-了在y轴右侧的去掉，再画出直线卜:讨，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程■有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即• ，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果4. 【2018年理新课标I卷】设函数兀心--，若$叩为奇函数，则曲线：在点’ 处的切线方程为A.卜「阙B. H" - '■ - -IC."划D.【答案】D【解析】分析；利用奇函数偶此项系数为零求得"X进而得到的解析式，再对“）求导得出桩戋的斜率©进而求得切线方程.详解；因豹画数雇苛函数J 解得"二4所以』⑴二卯1,门>）二阪y 所臥厂◎二九代町二g所汰曲线y二厲刃在点（啦处的切线方程为y-m））二比建简可得y二知故选D点睛：该题考查的是有关曲线卜在某个点凤煮強；；|处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得帀，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果•5. 【2018年全国卷川理】设“=』0目仇2°収，方=衍的帖，贝UA. N + bunbcOB.C. u + bcOca/iD. kb<OCQ +市【答案】B1 i I 11【解析】分析：求出-= io^^ 2t-=lo^.32,得到- +二的范围，进而可得结果。
北京市东城区普通中学2018年1月初三数学中考复习 一元二次方程 专项练习题 含答案
北京市东城区普通中学2018年1月初三数学中考复习一元二次方程 专项练习题1．方程4x 2－25＝0的解为( )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝03．用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x －2)2＝3C ．(x －2)2＝5D ．(x ＋2)2＝54．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和25．若(a ＋b)(a ＋b －2)－8＝0，则a ＋b 的值为( )A ．－4或2B ．3或－32C ．－2或4D ．3或－2 6．用换元法解方程x 2－2x ＋7x 2－2x ＝8，若设x 2－2x ＝y ，则原方程化为关于y 的整式方程是( )A ．y 2＋8y －7＝0B ．y 2－8y －7＝0C ．y 2＋8y ＋7＝0D ．y 2－8y ＋7＝07．解一元二次方程：(x －1)2＝48. 解方程：x 2＋4x －2＝09. 解方程：x(x－2)＝x－210. 解方程：x2－2x－1＝011. 解方程：(x－2)2－3(2－x)＋2＝0.12．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x＋4)＝6.解：原方程可变形，得[(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6.(x＋2)2－22＝6，(x＋2)2＝6＋22，(x＋2)2＝10.直接开平方并整理，得x1＝－2＋10，x2＝－2－10.我们称晓东这种解法为“平均数法”．(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得[(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5.(x＋□)2－○2＝5，(x＋□)2＝5＋○2.直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝△.上述过程中“□”“○”“☆”“△”表示的数分别为________，________，________，________．(2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5.13. 解方程2x 2＋43x ＝22，有一位同学解答如下：∵a ＝2，b ＝43，c ＝22，∴b 2－4ac ＝(43)2－4×2×22＝32，∴x ＝－43±3222＝－6±2， ∴x 1＝－6＋2，x 2＝－6－2.请你分析以上解答有无错误，如果有错误，找出错误的地方，并写出正确的解答过程．答案：1---6 CCADC D7. x 1＝3，x 2＝－18. x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 69. x 1＝2，x 2＝110. x 1＝1＋2，x 2＝1－ 211. x 1＝0，x 2＝112. (1) 4 2 －1 －7(2) 原方程可变形，得[(x －1)－2][(x －1)＋2]＝5，整理，得(x －1)2－22＝5，(x －1)2＝5＋22，即(x －1)2＝9，直接开平方并整理，得x 1＝4，x 2＝－213. 解：以上解答有错误，c ＝22错误，正确的是c ＝－2 2.原方程化为2x 2＋43x －22＝0，∵a ＝2，b ＝43，c ＝－22，∴b 2－4ac ＝(43)2－4×2×(－22)＝48＋16＝64，∴x ＝－43±6422＝－6±22，∴x 1＝－6＋22，x 2＝－6－2 2。
2018高考数学北京卷(理)精编
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理）本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则AB =（）A ．{0,1}B ．{1,0,1}-C ．{2,0,1,2}-D ．{1,0,1,2}-【答案】A ，交集，绝对值不等式 2．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D ，复数计算、几何意义3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A ．12 B ．56C ．76D ．712【答案】B ，程序框图-循环结构4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为（）ABC．D．【答案】D ，数学文化，等比通项5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ，三视图→直观图，三垂线定理6．设,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C ，向量的数量积，向量的线性运算|3||3|a b a b -=+22(3)(3)a b a b ⇔-=+66a b a b ⇔-⋅=⋅0a b ⇔⋅=a b ⇔⊥7．在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ，直线与圆，点到直线距离俯视图直线20x my --=绕A 旋转，不包含与x 重合位置．max max ||1d OH =+3=，当直线垂直于x 轴，即0m =时，取得最大值． 8．设集合{(,)|1,4,2}A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（）A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 【答案】D ，线性规划-可行域，逻辑或，直线过定点 法一：若(2,1)A ∉，则214a +≤或22a ->，解得32a ≤或0a <，∴32a ≤ 法二：画直线也可得出结论，图象有些复杂第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =-，等差通项10．在极坐标系中，直线c o s s i n (0a a ρθρθ+=>与圆2c o s ρθ=相切，则a =__________．【答案】1直线0x y a +-=，与圆22(1)1x y -+=相切，求得1a =111．设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23，三角函数的最值 已知条件等价于()f x 在4x π=时取得最大值，∴2,46k k ππωπ-=∈Z ，解得28,3k k ω=+∈Z ，∴ω的最小值为2312．若,x y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________．【答案】3，简单线性规划13．能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】sin y x =，22y x x =-+等均可，函数的单调性14．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1；2．椭圆、双曲线性质三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．【解】同角三角函数关系，正弦定理，两角和差的三角函数（Ⅰ）在△ABC 中，∵1cos 7B =-，∴(,)2B ππ∈，∴sin 7B ==．由正弦定理sin sin a b A B =，得7sin A =，∴sin A =． ∵(,)2B ππ∈，∴(0,)2A π∈，∴∠3A π=； （Ⅱ）在△ABC 中，∵sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+11()72=-+=．如图所示，在△ABC 中，∵sin h C BC =，∴sin h BC C =⋅7==，∴AC边上的高为2．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111A B C A B C-中，1CC ⊥平面ABC ，,,,D E F G 分别为1111,,,A A A C A C B B的中点，AB BC ==12AC AA ==． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ； （Ⅱ）求二面角1B CD C --的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．【解】线面垂直性质、判定，（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中， ∵1CC ⊥平面ABC ，∴四边形11A ACC 为矩形．又,E F 分别为11,AC AC 的中点，∴AC EF ⊥．∵AB BC =，∴AC BE ⊥， ∴AC ⊥平面BEF ．（Ⅱ）方法一：【空间向量】由（Ⅰ）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1//EF CC ． 又1CC ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ．∵BE ⊂平面ABC ，∴EF BE ⊥． 如图建立空间直角坐称系E xyz -．ACD1C 1B 1A EFG由题意得(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,1)D ，(0,0,2)F ，(0,2,1)G ． ∴(2,0,1)CD =，(1,2,0)CB =， 设平面BCD 的法向量为(,,)n a b c =，∴00n CD n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴{2020a c a b +=+=， 令2a =，则1b =-，4c =-，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =--， 又∵平面1CDC 的法向量为(0,2,0)EB =，∴cos 21||||n EB n EB n EB ⋅<⋅>==-．由图可得二面角1B CD C --为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为． 方法二：二面角-三垂线定理，∵BE ⊥平面1CDC ，过E 作EN CD ⊥于N ，连结BN ，则BNE ∠的补角为二面角1B CD C--的平面角，易求5EN =，∴tan BNE ∠=1B CD C --的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD 的法向量为(2,1,4)n =--，∵(0,2,1)G ，(0,0,2)F ， ∴(0,2,1)GF =-，∴2n GF ⋅=-，∴n 与GF uuu r不垂直，∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交． 17．（本小题满分12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k =）．写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系．【解】古典概型，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，对立事件，两点分布的方差，两个正数的和为定值差越小积越大（直接用？）．（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=， 第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550⨯=． 故所求概率为500.0252000=． （Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为：()P AB AB +()()P AB P AB =+()[1()][1()]()P A P B P A P B =-+-．由题意知：()P A 估计为0.25，()P B 估计为0.2． 故所求概率估计为0.250.80.750.20.35⨯+⨯=．（Ⅲ）142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ． 18．（本小题满分13分）设函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【解】导数的几何意义，导数判定单调区间求极值 （Ⅰ）因为2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++， 所以2'(x xf x ax a e ax a x a e =-++-+++2[xa=()x ∈R ，∴'(1)(1)f a e =-．由题设知'(1)0f =，即(1)0a e -=，解得1a =．此时(1)30f e =≠．所以a 的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2'()[(21)2]x f x ax a x e =-++(1)(2)x ax x e =--． 若12a >，则当1(,2)x a∈时，'()0f x <；当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >． 所以()f x 在2x =处取得极小值． 若12a ≤，则当(0,2)x ∈时，20x -<，11102ax x -<-<， 所以'()0f x >．所以2不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是1(,)2+∞． 19．（本小题满分14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．【解】待定系数法，直线与抛物线相交，丢解是易错点，韦达定理，斜率公式，计算量 （Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1y kx =+(0)k ≠．由{241y x y kx ==+得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<．又,PA PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-． 所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,)-∞--+∞．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由（Ⅰ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--． 令0x =，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 【求点坐标可利用斜率公式】 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由QM QO λ=，QN QO μ=得1M y λ=-，1N y μ=-． 所以11λμ+1111M Ny y =+--121211(1)(1)x x k x k x --=+--1122()11x x x x k x x -+=⋅-222224111k k k k k -+=⋅-2=． 所以11λμ+为定值．20．（本小题满分14分）设n 为正整数，集合12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n n A t t t t k n αα==∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(2nn nnM x y xy x y x yx y αβ=+--++--+++--． （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【解】集合，在计算中发现规律，（Ⅰ）因为(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，所以1(,)[(11|11|)(11|11|)(00|00|)]22M αα=+--++--++--=，1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]12M αβ=+--++--++--=．（Ⅱ）设1234(,,,)x x x x α=B ∈，则1234(,)M x x x x αα=+++． 由题意知1234{0,1}x x x x +++∈，且(,)M αα为奇数， 所以1234,,,x x x x 中1的个数为1或3． 所以{B ⊆((((((((．将上述集合中的元素分成如下四组：(1,0,0,0),(1,1,1,0)；(0,1,0,0),(1,1,0,1)；(0,0,1,0),(1,0,1,1)；(0,0,0,1),(0,1,1,1)．经验证，对于每组中两个元素,αβ，均有(,)1M αβ=．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素（枚举没全，依据？）． 所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4； （Ⅲ）设1211{(,,k nnS x xx =∈=）），11212{(,,,)|0}n n n S x x x x x x +=====，则111n A S S S +=．对于(1,2,,1)k S k n =-中的不同元素,αβ，经验证，(,)1M αβ≥． 所以(1,2,,1)k S k n =-中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +． 取12(,,,k n k e x x x S =∈）且10(1,2,,1)k n x x k n +====-．令1211(,)n nn B e e e S S -+=,,，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件．故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．11。
2018届北京各区一模理科数学分类汇编---参数、极坐标、复数(含答案)
2018届北京各区一模理科数学分类汇编----参数、极坐标、复数（含答案）1.（朝阳）直线l的参数方程为=,1+3x y tìïïíï=ïî（t 为参数），则l 的倾斜角大小为（ ） C A ．6π B ． 3π C ． 32π D ．65π 2.（石景山） 已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ+=，则直线截圆C 所得的弦长是_____________3. （延庆）在复平面内，复数-2i 1i +的对应点位于的象限是 C （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4. （延庆）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设():cos sin 2l +=ρθθ，M 为l 与224x y +=的交点，则M 的极径为 ．25. (东城)复数i 1iz =-在复平面上对应的点位于 （ ）B （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限6. （东城）在极坐标系中， 圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为 ．17. （房山）已知复数i 21+=z ，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则=21z z B （A ）1+i （B ）i 5453+ （C ）i 54-53 （D ）i 341+ 8. （房山）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 的距离为______．29. （丰台）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 D(A) sin ρθ=(B) 2sin ρθ= (C) cos ρθ=(D) 2cos ρθ=10. （丰台）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B对应的复数分别是1z ，2z ，则21z z = ____．12i -- 11. （海淀）复数2i 1i=+ _____________.1+i12.（海淀）直线2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为__________.213．（西城）已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 B（A ）2sin ρθ=-（B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=- （D ）2cos ρθ=14．（西城）若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____． -7。
2017-2018北京市各区初三数学期末考试分类汇编-基础题答案
2018.1北京市各区期末考试 数学试题 基础题部分答案2018.1石景山区C B 13．5.02-<<-x 14．3515．先以点C 为中心顺时针旋转90º，再以y 轴为对称轴翻折（答案不唯一） 22．（本小题满分5分）解：（1）一次函数错误！未找到引用源。
y x b =+的图象与x 轴交于点A (2，0)， ∴02=+b ． 可得，2-=b ．∴2-=x y ． …………………………………………………………1分 当3=x 时，1=y ， ∴点B （3，1）． 代入xky =中，可得3=k ， ∴反比例函数的表达式为xy 3=． ……………………………………3分 （2）点P 的坐标是(6，0)或（-2，0）． ……….……………………………5分23．（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠DAF =∠CDE ， ……………………………………………… 1分∵ DF ⊥BA ，CE ⊥AD ，∴∠F =∠CED =90°，……………………………………………… 2分 ∴△ADF ∽△DCE ； ………………………………………………3分（2）解：∵△ADF ∽△DCE ，∴DE AFDC AD = ∴326=DC ， ∴DC =9．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =DC∴A B =9．…………………………………………………………5分24．（本小题满分5分）解：（1）∵二次函数m mx x y 522+-=的图象经过点(1,-2). ∴m m 5212+-=-解得1-=m .………………………………………………………1分 ∴二次函数的表达式522-+=x x yFE DCB A∴二次函数的对称轴为：直线-1=x ．………………………2分 （2）二次函数的表达式6-）1（5222+=-+=x x x y .当-1=x 时，-6最小=y ， …………………………………………3分当1=x 时，2-=y ， 当-4=x 时，3=y ，∴14≤≤-x 时，y 的取值范围是36≤≤-y . …………………5分2018门头沟区CA 2 4 先将以点B 为旋转中心顺时针旋转90°，在向左平移7个单位长度(不唯一) 22.（本小题满分5分）解：根据题意补全图形如下:（1）可知60MN =，30NQ =，∠AMQ =30°，∠BMQ =60° …1分（2）在Rt △ADB 中，由MN =60，∠AMQ =30°，根据三角函数可得AN = ………………………………………2分（3）过点A 作 AK ⊥BQ 于K ，可得四边形AKQN 是矩形，进而得出AK =NQ =30，KQ =AN = ………………………………………3分 （4）在Rt △BMQ 中，由MQ =MN+NQ=90，∠BMQ =60°，根据三角函数可得BQ =BK = ………………………………………4分（5）在Rt △AKB 中，根据勾股定理可以求出AB 的长度. …………………………5分 23．（本小题满分5分）（1）证明：令y =0，可得2(1)10kx k x +++=∵11a k b k c ==+=，， ∴△=221k k -+……………………………………………………………………………1分=2(1)k - …………………………………………………………………………………2分∵2(1)0k -≥ ∴此二次函数的图象与x轴总有交点．………………………………………………………3分（2）解：令y =0，得2(1)10kx k x +++=解得 x 1=1(1)12k k k k--+-=-，x 2=1(1)12k k k----=-………………………………4分∵k 为整数，解为整数 ∴1k =±. ………………………………………………………………………………5分24．（本小题满分5分） （1）证明：连接OE ，∵AC 与圆O 相切，∴OE ⊥AC ，…………….1分 ∵BC ⊥AC ，∴OE ∥BC ，又∵O 为DB 的中点，∴E 为DF 的中点，即OE 为△DBF 的中位线， ∴OE =BF ， 又∵OE =BD ，∴BF =BD ；……………………………………….2分 （2）设BC =3x ，4tan 3B ∠=可得：AB =5x ， 又∵CF =2， ∴BF =3x +2，由（1）得：BD =BF ， ∴BD =3x +2， ∴OE =OB =322x +，AO =AB ﹣OB =3272522x x x +--= ∵OE ∥BF ，∴∠AOE =∠B ， ……………………………………………………………………………………4分 ∴cos ∠AOE =cos B ，即32232725OE x AO x +=⋅=-， 解得： 83x =则圆O 的半径为3210522x +==………………………………………………………………………5分2018丰台区DD 14.（2，0）； 15.22864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2； 23.解：建立平面直角坐标系，如图. 于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k =-+根据题意，得出A ，P 两点的坐标分别为A （0，2），P （1，3.6）. ……2分 ∵点P 为抛物线顶点， ∴1 3.6h k ==， . ∵点A 在抛物线上， ∴ 3.62a +=， 1.6a =-.…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x =--+. ……4分当点C 的纵坐标y =0时，有()21.61 3.6=0x --+.10.5x =-（舍去），2 2.5x =.∴BC =2.5.∴水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m. ……5分2018顺义区B 13．35r ≤≤； 14．略； 15．1 22．证明：∵AD 是角平分线，∴∠1=∠2，……………………………………….1分又∵AB AD = AE AC ，……………………….2分∴△ABE ∽△ACD ，………………………………………..…….3分 ∴∠3=∠4，……………………………………………………….4分 ∴∠ BED =∠BDE ，∴BE =BD ．………………………………………………………..5分23．解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 在Rt △ADE 中，∠AED =90°，tan ∠1=AEDE， ∠1=30°，………………………….…..1分∴AE =DE × tan ∠1=40×tan30°=40≈40×1.73×13≈23.1……………………..2分在Rt △DEB 中，∠DEB =90°，tan ∠2=BEDE， ∠2=10°，……………………………...3分 ∴BE =DE × tan ∠2=40×tan10°≈40×0.18=7.2………………………………..………..4分 ∴AB =AE +BE ≈23.1+7.2=30.3米．………………………………………………………..5分24．证明： 延长CE 交⊙O 于点G ． ∵AB 为⊙O 的直径，CE ⊥AB 于E ， ∴BC =BG ，∴∠ G =∠2，……………………………………………..2分 ∵BF ∥OC ，∴∠1=∠F ，………………………………………………3分 又∵∠G =∠F ，………………………………………..….5分∴∠1=∠2．…………………………………………….…6分2018密云区22.（1）解：点P(1，4)， Q （2，m ）是双曲线ky x=图象上一点. ∴41k=，2k m =∴4k =，2m = ………………………………………………………………………3分（2）02n << 或2n <- ………………………………………………………………………5分23. 解：（1）过C 作CE//AB 交BD 于E.由已知，14,22DCE ECB ∠=︒∠=︒∴36DCB ∠=︒ …………………………………………………………………………………………2分（2）在Rt CEB ∆中，90CEB ∠=︒，AB=20，22ECB ∠=︒∴t a n0.420BE BEECB CE ∠==≈ ∴BE ≈8 …………………………………………………………………………………………3分在Rt CED ∆中，90CED ∠=︒，CE=AB=20，14DCE ∠=︒∴t a n0.2520DE DEDCE CE ∠==≈ ∴DE ≈5 ∴BD ≈13∴国旗杆BD 的高度约为13米.……………………………………………………………………5分24.（1）证明：连结BC.AB 是 的直径，C 在O 上∴90ACB ∠=︒AC BC = ∴AC=BC∴45CAB ∠=︒AB 是O 的直径，EF 切O 于点B ∴90ABE ∠=︒ ∴45AEB ∠=︒ ∴AB=BE∴AC=CE ……………………………………………2分（2）在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，AE=，AE=BE8AB = ………………………..3分在Rt ABF ∆中，AB=8，3sin 5BAF ∠=解得：6BF = ………………………..4分连结BD ，则90ADB FDB ∠=∠=︒90BAF ABD ∠+∠=︒，90ABD DBF ∠+∠=︒，∴DBF BAF ∠=∠3sin 5BAF ∠=∴3sin 5DBF ∠=∴35DF BF = ∴185DF = …………………5分2018大兴区22．解：由题意可知：CD ⊥AD 于D ，∠ECB=∠CBD ＝45︒， ∠ECA=∠CAD ＝35︒， AB ＝9. 设CD x =，∵ 在Rt CDB ∆中，∠CDB ＝90°，∠CBD ＝45°， ∴ CD =BD =x . ……………………………… 2分∵ 在Rt CDA ∆中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝35°，∴ tan CDCAD AD ∠=，∴ tan 35xAD =︒…………………………… 4分∵ AB =9，AD =AB +BD ，∴ 90.7xx +=.解得 21x =答：CD 的长为21米.……………………… 5分23. 解：设AM 的长为x 米 , 则MB 的长为(2)x -米，以AM 和MB 为边的两个正方形面积之和为y 平方米. 根据题意，y 与x 之间的函数表达式为222(2).................................................................22(1) 2.....................................................................3y x x x =+-=-+分分因为2>0于是，当1=x 时，y 有最小值………………………..4分所以，当AM 的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小.……5分24. （1）证明：∵AB 是半圆直径，∴∠BDA =90°. .………………………………………………………1分 ∴90B DAB ∠+∠=︒ 又DAC B ∠=∠∴90DAC DAB ∠+∠=︒……………………………………………2分 即∠CAB =90°∴AC 是半圆O 的切线. （2）解：由题意知，,90OE BD D ∠=︒∥∴∠D =∠AFO =∠AFE = 90°∴OE AD ⊥.12AF AD =……………………………………………………3分又∵AD=6 ∴AF =3. 又B CAD ∠=∠∴△AEF ∽△BAD ……………………………………………4分 4369 (52)4EF AF AD BDBD BD EF ∴==∴==∴ 分。
导数及其应用五年(2018-2022)高考数学真题专项汇编卷
考点三 ：导数及其应用——五年（2018-2022）高考数学真题专项汇编卷 新高考版1.【2019年 北京卷】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-2.【2022年 新高考Ⅰ卷】（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则( )A.(0)0f =B.102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.(1)(4)f f -=D.(1)(2)g g -=3.【2022年 新高考Ⅱ卷】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，_________.4.【2018年 江苏卷】若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．5.【2021年 新高考Ⅰ卷】已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e ab<+<. 6.【2021年 新高考Ⅱ卷】已知函数2()(1)e x f x x ax b =--+. （1）讨论()f x 的单调性.（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.①21e 22a <≤，2b a >； ②102a <≤，2b a ≤.7.【2020年 天津卷】已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数. （1）当6k =时：（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值.（2）当3k ≥-时，求证：对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8.【2020年 北京卷】已知函数2()12f x x =-.（1）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（2）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值.9.【2019年 浙江卷】已知实数0a ≠，设函数()=ln 1,0.f x a x x x +>(1).当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2).对任意21[,)ex ∈+∞均有()2x f x a ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828=⋯为自然对数的底数.10.【2018年 北京卷】设函数2(){(41)43}x f x ax a x a e =-+++ (1).若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行,求a (2).若f ()x 在2x =处取得极小值,求a 的取值范围答案以及解析1.答案：A解析：依题意，126.7m =-，2 1.45m =-，所以125lg1.45(26.7)25.252E E =---=，所以122lg25.2510.15E E =⨯=，所以10.11210E E =.故选A. 2.答案：BC解析：通解（转化法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，3535222424f f ⎛⎫⎛⎫-⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(1)(4)f f -=，所以C 正确；因为(2)g x +为偶函数，所以(2)(2)g x g x +=-，函数()g x 的图象关于直线2x =对称，因为()()g x f x '=，所以函数()g x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()g x 的周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因为(1)(4)f f -=，所以(1)(4)f f ''-=-，即(1)(4)(2)g g g -=-=-，所以D 不正确；因为332222f f ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1722f f ⎛⎫⎛⎫''-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1711(22)2222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以B 正确；不妨取()1()f x x =∈R ，经验证满足题意，但(0)1f =，所以选项A 不正确.综上，选BC. 光速解（特例法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，函数()g x 的图象关于直线2x =对称.取符合题意的一个函数()1()f x x =∈R ，则(0)1f =，排除A ；取符合题意的一个函数()sin f x x =π，则()cos f x x '=ππ，即()cos g x x =ππ，所以(1)cos()g -=π-π=-π，(2)cos2g =ππ=π，所以(1)(2)g g -≠，排除D.故选BC.3.答案：1e y x =，1ey x =-解析：先求当0x >时，曲线ln y x =过原点的切线方程，设切点为()00,x y ，则由1y x'=，得切线斜率为01x ，又切线的斜率为00y x ，所以0001yx x =，解得01y =，代入ln y x =，得0e x =，所以切线斜率为1e ，切线方程为1e y x =.同理可求得当0x <时的切线方程为1e y x =-.综上可知，两条切线方程为1e y x =，1ey x =-.4.答案：-3解析：解： '()2(3),(0,)f x x x a x =⋅-∈+∞ 当0a ≤时， '()0f x >()f x ∴在(0,)+∞递增，(0)1f =时，则在(0,)+∞为零点，舍去当0a >时，()f x 在(0,)3a递减，(,)3a +∞递增，又()f x 只有一个零点， ()033a f a =⇒=32()231f x x x =-+ []'()6(1),1,1f x x x x =-∈-5、（1）答案：()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞解析：函数的定义域为()0,+∞，又1ln 1)n (l f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）答案：见解析解析：因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设11x a =，21x b =，由(1)可知不妨设101x <<，21x >.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立. 若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<， 故即证12()(2)f x f x >-，即证：22()(2)f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2g x f x f x =--，12x <<则()()()()()2ln ln 2ln 2g x f x f x x x x x '''⎡⎤=+-=---=--⎣⎦， 因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b +=，11x a =，21x b=可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-， 即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-， 要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<， 令()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-，1t >，则()112()ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+-⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则1()111xu x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故max ()(0)0u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t tt ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<. 6.答案：（1）由题意得()()e 2x f x x a '=-，当0a ≤时，令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <. 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 当0a >时，令()0f x '=，得0x =或ln2x a =，①当102a <<时，令()0f x '>，得ln2x a <或0x >，令()0f x '<，得ln20a x <<.所以()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，②当12a =时，()()e 10x f x x '=-≥且等号不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.③当12a >时，令()0f x '>，得0x <或ln2x a >； 令()0f x '<，得0ln2x a <<，所以()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减. （2）选择条件①，证明如下：由（1）知当12a >时，()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减.所以()f x 在0x =处取得极大值(0)f ，在ln2x a =处取得极小值(ln 2)f a ， 且(0)1fb =-+，(ln 2)(2ln 2)ln 22f a a a a a b a =-+-.由于21e 22a <≤，2b a >，所以(0)0f >，ln20a >，20b a ->.令()2ln 2g x x x x =-，则()2ln 211ln 2g x x x '=--=-，令()0g x '=，得e2x =，当1e 22x <<时，()0g x '>.当2e e 22x <≤时，()0g x '<. 所以()g x 在1e ,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2e e ,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()g x 在e 2x =处取得极大值e2g ⎛⎫⎪⎝⎭. 由于e e 022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，2e 02g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0g x ≥在21e ,22⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，所以(ln 2)0f a >.当x →-∞时，()f x →-∞，所以()f x 有一个零点，得证. 选择条件②，证明如下：由（1）知，当102a <<时，()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，所以()f x 在ln2x a =处取得极大值(ln 2)f a ， 在0x =处取得极小值(0)f .由于102a <<，2b a ≤，所以(0)0f <，20b a -≤，ln20a <，ln20a a ->， 则2ln20a a a ->，所以(ln 2)0f a <.当x →+∞，()f x →+∞，所以()f x 有一个零点，得证.7.答案：（1）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+.所以(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-.（ii ）依题意，323()36ln g x x x x x =-++，(0,)x ∈+∞，从而可得2263()36g x x x x x '=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=.令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如表：x(0,1) 1 (1,)+∞()g x ' -0 + ()g x单调递减极小值单调递增()g x (0,1)(1,)+∞()g x (1)1g =，无极大值.（2）由3()ln f x x k x =+，得2()3kf x x x'=+. 对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.①令1()2ln h x x x x=--，[1,)x ∈+∞.当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭， 由此可得()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0t t t-->. 因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+--≥-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-.②由（1）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->.③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->. 所以当3k ≥-时，对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8.答案：()212f x x =-（1）设切点为()()00,x f x ()2f x x '=-()0022f x x '=-=-01x ∴= ()111f =∴切线()1121y x -=--213y x ∴=-+（2）()212f x x =-定义域R ，()()f x f x -=.∴()f x 为偶函数()f x 关于y 轴对称∴只须分析0x ≥既可当0x =不合题意舍0t ∴>()2f x x '=- ()2f t x '=-：在()()t f t 、处切线()()2122y t t x t --=-- 令0x = 得212y t =+；令0y =时2122t x t+= ()()22221211244t S t xy tt +=== ∴t x =()0x >()412x g x x+=()()()(234223222412x x x x x x g x x x +---+'==()0g x '> 2x ()0g x '< 02x <<()min 282g x g∴==()()()2min min 1324S t g x ∴== 9.答案：(1).当34a =-时，3()ln 1,04f x x x x =-++>．3(12)(211)()42141x x f 'x x x x x+-++=-=++ 所以，函数()f x 的单调递减区间为03（，），单调递增区间为3+∞（，）． (2).由1(1)2f a≤，得20a <≤当204a <≤时，()2x f x a ≤等价于212ln 0x xx a a+--≥． 令1t a=，则22t ≥． 设()212ln ,2g t t x t x x t =+≥，则()(22)4212ln g t g x x x ≥=+．①.当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭1122x + ()(22)4212ln g t g x x x ≥=+．记1()4221ln ,7p x x x x x =+≥，则 212121()11x x x x p'x x x x x x +--+==++. 故x17 1(,1)71 (1,)+∞()p'x+ ()p x1()7p 单调递减极小值(1)p单调递增()(1)0p x p ≥=因此，()(22)2()0g t g p x ≥=≥．②.当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12ln (1)()12x x x g t g x x --+≥+=． 令211()(1),,e 7q x x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．由（i ）得127127(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此1()102g t g x x ≥+=>． 由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，[22,),()0t g t ∈+∞≥，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2x f x a ≤．综上所述，所求a 的取值范围是20,4⎛ ⎝⎦．10.答案：(1). 1a =(2). a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解析：(1). 因为2()(41)43xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦,所以()()()()()22 2414143212x x xf x ax a e ax a x a e x R ax a x e ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎣⎦⎣'=-+++++∈=++⎦⎣⎦,()()11.f a e '=-由题设知()10,f '=即()10,a e -=解得1a =. 此时()130f e =≠.所以a 的值为1(2).由(1)得()()()()221212x xf x ax a x e ax x e ⎡'=++-⎣⎦-⎤-=.若12a >,则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()'0f x <;当()2,x ∈+∞时, ()0f x '>.所以()0f x <在2x =处取得极小值. 若12a ≤,则当()0,2x ∈时, 1–20,1102x ax x <-≤-<,所以()0f x '>. 所以2不是()f x 的极小值点.综上可知, a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。
2018年高考真题汇编(函数与导数)
函数与导数1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果。
2018年高考导数分类汇编
2018年高考导数分类汇编（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x），得b=﹣＞0，得0＜x＜1，由f（x0）=g（x），得﹣x2+a==﹣，得a=x2﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．7.（全国1卷）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）DA．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f （x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．8.（全国1卷）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）CA．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．9. （全国1卷）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．10.（全国1卷）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，设g（x）=x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2﹣4，①当0＜a≤4时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：）（）综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则=﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．11.（全国2卷）函数f（x）=的图象大致为（）BA．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．12.（全国2卷）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）CA．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．13.（全国2卷）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x ．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．14.（全国2卷）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）≥h（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递增，当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．15.（全国3卷）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）DA．B．C．D ．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A ，B ．函数的导数f′（x ）=﹣4x 3+2x=﹣2x （2x 2﹣1），由f′（x ）＞0得2x （2x 2﹣1）＜0，得x ＜﹣或0＜x ＜，此时函数单调递增，排除C ，故选：D ．16.（全国3卷）设a=log0.20.3，b=log 20.3，则（ ）BA ．a+b ＜ab ＜0B ．ab ＜a+b ＜0C ．a+b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a+b【解答】解：∵a=log 0.20.3=，b=log 20.3=，∴=，，∵，，∴ab ＜a+b ＜0．故选：B ．17.（全国3卷）曲线y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ﹣3 ．【解答】解：曲线y=（ax+1）e x ，可得y′=ae x +（ax+1）e x ，曲线y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案为：﹣3． 18.（全国3卷）已知函数f （x ）=（2+x+ax 2）ln （1+x ）﹣2x ．（1）若a=0，证明：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；当x ＞0时，f （x ）＞0； （2）若x=0是f （x ）的极大值点，求a ．【解答】（1）证明：当a=0时，f （x ）=（2+x ）ln （1+x ）﹣2x ，（x ＞﹣1）．，，可得x ∈（﹣1，0）时，f″（x ）≤0，x ∈（0，+∞）时，f″（x ）≥0∴f′（x ）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f′（x ）≥f′（0）=0，∴f （x ）=（2+x ）ln （1+x ）﹣2x 在（﹣1，+∞）上单调递增，又f （0）=0．∴当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；当x ＞0时，f （x ）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h″（x）单调递减，①令h″（0）=0，解得a=﹣．∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（0）=0，∴h（x）单调递减，又h（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0，∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x，∴当0＜x＜x时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，）上单调递增，不符合题意；∴f（x）在（0，x③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，，∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，∴当x1∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．综上，a=﹣．19.（上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og 2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．20.（上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α= ﹣1 ．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．21.（上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：622.（上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）BA．B． C． D．0【解答】解：设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，故f（1）=cos=，故选：B．23.（上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f （x ）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）=2x+﹣90＞40，即x 2﹣65x+900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x ＜100时，g （x ）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g （x ）=；当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24.（天津）已知a=log 2e ，b=ln2，c=log，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）DA ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【解答】解：a=log 2e ＞1，0＜b=ln2＜1，c=log =log 23＞log 2e=a ，则a ，b ，c 的大小关系c ＞a ＞b ，故选：D ．25.（天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是（4，8）．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，由g（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h（x）＞0得x＞4，此时递增，由h（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）26.（天津）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=a x﹣xlna，有h′（x）=a x lna﹣lna，令h′（x）=0，解得x=0．由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由f′（x）=a x lna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为lna．由g′（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．∵这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得loga x2+x1+2logalna=0，∴x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：．要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，即只需证明当a≥时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u（x）=，既要证明当a≥时，函数y=u（x）存在零点．u′（x）=1﹣（lna）2xa x，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，又u′（0）=1＞0，u′=＜0，故存在唯一的x0，且x＞0，使得u′（x）=0，即．由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x，+∞）上单调递减，u（x）在x=x0处取得极大值u（x）．∵，故lnlna≥﹣1．∴=．下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，由（Ⅰ）可得a x≥1+xlna，当时，有u（x）≤=．∴存在实数t，使得u（t）＜0．因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0．∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．27.（浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）DA． B． C．D．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．28.（浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x= 8 ，y= 11 ．【解答】解：，当z=81时，化为：，解得 x=8，y=11．故答案为：8；11．29.（浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3] ．【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f （x ）=的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则λ∈（1，3]．故答案为：{x|1＜x ＜4}；（1，3]．30.（浙江）已知函数f （x ）=﹣lnx ．（Ⅰ）若f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，证明：f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a ≤3﹣4ln2，证明：对于任意k ＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f （x ）有唯一公共点．【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f （x ）=﹣lnx ，∴x ＞0，f′（x ）=﹣，∵f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，∴=﹣，∵x 1≠x 2，∴+=，由基本不等式得：=≥，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256，由题意得f （x 1）+f （x 2）==﹣ln （x 1x 2），设g （x ）=，则，∴列表讨论：∴g （x ）在[256，+∞）上单调递增，∴g （x 1x 2）＞g （256）=8﹣8ln2，∴f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln2．（Ⅱ）令m=e ﹣（|a|+k ），n=（）2+1，则f （m ）﹣km ﹣a ＞|a|+k ﹣k ﹣a ≥0，f （n ）﹣kn ﹣a ＜n （﹣﹣k ）≤n （﹣k ）＜0，∴存在x 0∈（m ，n ），使f （x 0）=kx 0+a ，∴对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y=kx+a 与曲线y=f （x ）有公共点，由f （x ）=kx+a ，得k=，设h （x ）=，则h′（x ）==，其中g （x ）=﹣lnx ，由（1）知g （x ）≥g （16），又a ≤3﹣4ln2，∴﹣g （x ）﹣1+a ≤﹣g （16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a ≤0，∴h′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴方程f （x ）﹣kx ﹣a=0至多有一个实根，综上，a ≤3﹣4ln2时，对于任意k ＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f （x ）有唯一公共点．。
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1 导数汇编 2018.1 1.DC（本小题13分） 已知函数xxxxxfln2161)(3.
（Ⅰ）求曲线)(xfy在点（1，)1(f）处的切线方程； （Ⅱ）若()fxa对),1(eex恒成立，求a的最小值.
2.已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意，都有，求实数的取值范围. 求证：“”是“函数有且只有一个零点” 的充分必要条件.
3. CY(本小题满分13分) 已知函数()cosfxxxa，aR. （Ⅰ）求曲线()yfx在点2x处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0fx（()fx为()fx的导数）在区间0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sincosFxxxxax在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a的取值范围. 2
4.FT（本小题共13分） 已知函数22()=ln()fxxaxaxaR．
（Ⅰ）求函数()fx的单调区间； （Ⅱ）若()0fx恒成立，求实数a的取值范围．
5（本小题共13分） 已知函数22()ln()fxaxxaxaR．
（Ⅰ）求函数()fx的单调区间； （Ⅱ）当0a时，若()fx在(1,e)上有零点，求实数a的取值范围．
6.HD（本小题14分） 已知函数2()222xfxaxxe
（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程； （Ⅱ）当0a时，求证：函数()fx有且只有一个零点； （Ⅲ）当0a时，写出函数()fx的零点的个数.（只需写出结论） 3
7. （本小题13分） 已知函数2()(1)exfxxax. （Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程； （Ⅱ）求证：“0a”是“函数()fx有且只有一个零点”的充分不必要条件.
8．SJS（本小题共13分） 已知函数ln()()xafxx． （Ⅰ）若1a ,确定函数()fx的零点； （Ⅱ）若1a，证明：函数()fx是(0,)上的减函数； （Ⅲ）若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与直线0xy平行，求a的值.
9．（本小题共13分） 已知函数3212()32afxxxxaR. （Ⅰ）当3a时，求函数fx的单调区间； （Ⅱ）若对于任意(1,)x都有2fxa成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若过点1(0,)3可作函数yfx图象的三条不同切线，求实数a的取值范围. 4
10．XC（本小题满分13分） 已知函数()esin1axfxx，其中0a． （Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程； （Ⅱ）证明：()fx在区间[0,π]上恰有2个零点．
11．（本小题满分13分） 已知函数2()ln2fxxxx． （Ⅰ）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程； （Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x，使得曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率为
(2)(1)ff；
（Ⅲ）比较(1.01)f与2.01的大小，并加以证明．
12．TZ（本题满分13分） 已知函数()lnxafxx，aR.
（Ⅰ）当0a时，求函数()fx的单调区间； （Ⅱ）对任意的1,x，fxx恒成立，求a的取值范围. 5
导数答案 1.（本题满分共13分） 解：（Ⅰ）()fx的定义域为(0,). 由已知得21ln21)('2xxxf，且32)1(f. 所以0)1('f. 所以曲线)(xfy在点（1，)1(f）处的切线方程为32y. （Ⅱ）设()'()gxfx，（1xee）
则211'()xgxxxx. 令'()0gx得1x. 当x变化时，'()gx符号变化如下表： x 1(,1)
e 1
(1,)e
'()gx 0
()gx 极小
则()(1)0gxg，即'()0fx，当且仅当1x时，'()0fx. 所以()fx在1(,)ee上单调递增. 又eeef2161)(3，
所以a的最小值为为31162ee. 2（共14分） 解：（Ⅰ）因为函数，
所以, .又因为， 所以曲线在点处的切线方程为. ………4分 6
（Ⅱ）函数定义域为， 由（Ⅰ）可知，.
令解得. 与在区间上的情况如下：
极小值 所以，的单调递增区间是； 的单调递减区间是. ………9分 （Ⅲ）当时，“”等价于“”. 令，， ，. 当时，，所以在区间单调递减. 当时，，所以在区间单调递增.
而， . 所以在区间上的最大值为. 所以当时，对于任意，都有. ………14分 7
3. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()cossinfxxxx.ππ()22kf. …………3分 （Ⅱ）设()()gxfx，()sin(sincos)2sincosgxxxxxxxx. 当(0,1)x时，()0gx，则函数()gx为减函数. 又因为(0)10g，(1)cos1sin10g, 所以有且只有一个0(0,1)x，使0()0gx成立. 所以函数()gx在区间0,1内有且只有一个零点.即方程()0fx在区间0,1内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数()sincosFxxxxax在区间0,1内有且只有一个极值点，由于()()Fxfx，即()cosfxxxa在区间0,1内有且只有一个零点1x，且()fx在1x两
侧异号. 因为当(0,1)x时，函数()gx为减函数，所以在00,x上，0()()0gxgx，即()0fx
成立，函数()fx为增函数； 在0(,1)x上， 0()()0gxgx，即()0fx成立，函数()fx为减函数, 则函数()fx在0xx处取得极大值0
()fx.
当0()0fx时，虽然函数()fx在区间0,1内有且只有一个零点0x，但()fx在0x 两侧同号，不满足()Fx在区间0,1内有且只有一个极值点的要求. 由于(1)cos1fa，(0)fa，显然(1)(0)ff.
若函数()fx在区间0,1内有且只有一个零点1x，且()fx在1x两侧异号， 则只需满足： (0)0,(1)0,ff
即
0,cos10,aa
解得cos10a. ……………13分 8
4.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）函数()fx的定义域为(0,)， 222()(2)()xaxaxaxafxxx
．
由 ()0fx，可得 xa 或 2ax． 当0a时，()0fx在(0,)上恒成立， 所以()fx的单调递增区间是(0,)，没有单调递减区间； 当0a时，x，
()fx，()fx的变化情况如下表：
x (0,)a a (,)a
()fx + 0 -
()fx ↘ ↗
所以()fx的单调递减区间是(0,)a，单调递增区间是(,)a． 当0a时，x，()fx，()fx的变化情况如下表：
x (0,)2a 2a (,)2a
()fx + 0 -
()fx ↘ ↗
所以()fx的单调递减区间是(0,)2a，单调递增区间是(,)2a． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a时，2()0fxx，符合题意． 当0a时，()fx的单调递减区间是(0,)a，单调递增区间是(,)a， 所以()0fx恒成立等价于min()0fx，即()0fa， 所以 222ln0aaaa，所以 01a． 当0a时，()fx的单调递减区间是(0,)2a，单调递增区间是(,)2a， 9
所以()0fx恒成立等价于min()0fx，即()02af． 所以 222ln()0422aaaa，所以 342e0a． 综上所述，实数a的取值范围是34[2e,1]． 6. （本小题14分） （Ⅰ）因为函数2()222xfxaxxe 所以'()222xfxaxe ……………..2分 故(0)0f，'(0)0f ……………..4分 曲线()yfx在0x处的切线方程为0y ……………..5分 （Ⅱ）当0a时，令()'()222xgxfxaxe，则'()220xgxae ……………..6分 故()gx是R上的增函数. ……………..7分
由(0)0g， ……………..8分 故当0x时，()0gx，当0x时，()0gx. 即当0x时，'()0fx，当0x时，'()0fx. 故()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增. ……………..10分 函数()fx的最小值为(0)f 由(0)0f， …………….11分 故()fx有且仅有一个零点. （Ⅲ）当01a时，()fx有两个零点. ……………..12分 当1a时，()fx有一个零点； ……………..13分 当1a时，()fx有两个零点. ……………..14分 7. （本题共13分） 解：（Ⅰ）依题意，2,xfxxeaxxR -----------------------------1