高考数学总复习(讲+练+测)： 专题6.4 数列求和(讲)

第04节 数列求和【考纲解读】【知识清单】一．数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++； ③等比数列中，n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+. 对点练习：1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C2. 已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35 【答案】B【解析】由题意得479+=4a a ，因此363911+=()6482q q q q ⇒=⇒=舍去负值，因此55116(1)231.112S -==-选B.【考点深度剖析】数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，往往在此基础上考查“裂项相消法”、“错位相减法”.【重点难点突破】考点1 数列求和【1-1】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根，则数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 . 【答案】1422n n n S ++=-【1-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且12n n S ta =-，其中*n N ∈．（1）求实数t 的值和数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足32log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T ． 【答案】（1）23=t ，13-=n n a ；（2）12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n ． 【解析】试题分析：（1）由n n a S =可得32t =，2n ≥时由1n n n a S S -=-得数列{}n a 为首项为1，公比为3的等比数列，可得通项公式；（2）化简21n b n =-，则11111()22121n n b b n n +=--+，用裂项相消求和，可得前项和．试题解析： （1）当1=n 时，21111-==ta S a ，得23=t ，从而 2123-=n n a S ,则 2≥n 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--2123212311n n n n n a a S S a 得 13-=n n a a又01≠a 得31=-n n a a，故数列{}n a 为等比数列，公比为3，首项为1．∴13-=n n a（2）由（1）得 1223-=n n a 得 12-=n b n ∴()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=-121121*********n n n n b b n n 得 ⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=121121513131121n n T n12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn【领悟技法】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.7. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．8. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为12n n -+，漏掉前面的系数12；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 【触类旁通】【变式一】【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。

【答案】21nn + 【解析】【变式二】【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=（II ）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +, 由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-= 记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n T b b b =+++……+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=考点2 数列求和的综合问题【2-1】【2018届师大附中、闽清一中、金石中学联考卷】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122,8a a ==，()11452n n n S S S n +-+=≥， n T 是数列{}2log n a 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求满足2311151111101n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值. 【答案】（1）212n n a -=；（2）最大正整数n 的值为100.（2）2log 21n a n =-，利用等差数列求和可得2n T n =，进而有2311111112n n T T T n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⋅⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再解不等式即可. 试题解析：（1）∵当2n ≥时， 1145n n n S S S +-+=， ∴()114n n n n S S S S +--=-. ∴14n n a a +=.∵12a =， 28a =， ∴214a a =.∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ∴121242n n n a --=⋅=.（2）由（1）得： 2122log log 221n n a n -==-， ∴21222log log log n n T a a a =+++ ()1321n =+++-()1212n n +-=2n = .2222222222223111111213141111111123234n n T T T n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-=--⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()2222132********n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ 12n n+=. 令12n n + 51101>，解得： 101n <. 故满足条件的最大正整数n 的值为100.【2-2】【2018届河南省师范大学附属中学高三8月考试】设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，()31n n S na n n =-- ()*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）是否存在正整数n ，使得()23123120161232n S S S S n n ++++--=？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）65n a n =-；（Ⅱ）807n =．试题解析：（Ⅰ） ()31n n S na n n =-- ()*N n ∈所以2n ≥时， ()()()111312n n S n a n n --=----两式相减得: ()()()111312n n n n n a S S na n a n n n --⎡⎤=-=------⎣⎦即()()()11161n n n a n a n --=-+-，也即16n n a a --=，所以{}n a 为公差为6的等差数列11a =， 所以65n a n =-（Ⅱ）()()231=(65)3132n n S na n n n n n n n n =-----=-，所以32nS n n=-，()()23123131...3123 (22123222)n n n S S S S n n n n n n +++++=++++-=-=- 所以()()222312331353 (112016123222222)n S S S S n n n n n n ++++--=---=-= 所以54035n =，所以807n = 即当807n =时， ()23123 (120161232)n S S S S n n ++++--= 【领悟技法】1. 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题，对于这种问题，首先要明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征；其次，对于既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．2. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决． 【触类旁通】【变式一】【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下六模】已知数列{}n a 满足111,1n n n a a a a +==+，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则222122017a a a ⎡⎤+++=⎣⎦__________.【答案】1()11111,n n n n a a n=+-⨯=∴=， 则当n≥2时： ()22111111n a n n n n n=<=---， 据此有：22221232017111111122320162017122,2017a a a a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-< 很明显： 22222123201711a a a a a ++++>=， 则222122017a a a ⎡⎤+++=⎣⎦ 1.【变式二】【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =， *121,n n a S n N +=+∈．等 差数列{}n b 中， 25b =，且公差2d =．（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得1122...60n n a b a b a b n ++＞?．若存在，求出n 的最小值；若 不存在，请说明理由．【答案】（1）13n n a -=， 21n b n =-；（2）4．试题解析：（Ⅰ） 121n n a S +=+， ∴当2n ≥时， -12+1n n a S =两式相减得， ()+1=32n n a a n ≥，又()*21112133,3n n a a a a a n N +=+==∴=∈， ∴数列{}n a 是以1为首项， 3为公比的等比数列， 1=3n n a -∴，又12523b b d =-=-=， ()1121n b b n d n ∴=+-=+.（Ⅱ）()1213n n n a b n -⋅=+⋅,令()()221315373...213213...n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ① 则()()2313335373...21321 3...n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ② ①-②得： ()()21231233...3213n n n T n --=⨯++++-+⨯， 360n n T n n ∴=⨯>，即360n >， 34327,381==， n ∴的最小正整数为4.【易错试题常警惕】易错典例：已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 易错分析：未对q ＝1或q ≠1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误．错解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得a 1＝3，d ＝－1，∴a n ＝4－n . (2)由(1)知b n ＝n ·q n －1， ∴S n ＝1＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，qS n ＝1·q ＋2·q 2＋3·q 3＋…＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋qn －1＋n ·q n ＝1－q n 1－q ＋n ·q n .∴21(1)1n n n q n q S q q-⋅=+--. 正确解析：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n .(2)由(1)知，b n ＝n ·qn －1， 于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·qn －1，若q ≠1，上式两边同乘以q . qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋qn －1－n ·q n＝1－q n 1－q －n ·q n . ∴221(1)(1)1(1)1(1)n n n n n q n q q n q S q q q -⋅--++=-=---. 若q ＝1，则(1)1232n n n S n +=++++=，∴2(1),12(1)(1)1,1(1)n n n n n q S q n q q q +⎧=⎪⎪=⎨--++⎪≠⎪-⎩温馨提醒：错位相减法适合于一个由等差数列{a n }及一个等比数列{b n }对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．因此利用错位相减法求解时，两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n －1项是一个等比数列．【学科素养提升之思想方法篇】----求数列{||}n a 的前n 项和求数列{|a n |}的前n 项和一般步骤如下：第1步：求数列{a n }的前n 项和；第2步：令a n ≤0(或a n ≥0)确定分类标准；第3步：分两类分别求出前n 项和；第4步：利用分段函数的形式表示结论；第5步：反思回顾，查看{|a n |}的前n 项和与{a n }的前n 项和的关系，以防求错结论．【典例】【2018届安徽池州开学考试】在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知101=a ，且123,22,5a a a +成等比数列.（1）求,n d a ；（2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++【答案】（1）1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N ；（2）123n a a a a ++++22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥试题解析：（1）由题意得，()2132522a a a ⋅=+，由110a =，{}n a 为公差为d 的等差数列得， 2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N .（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S .因为0d <，由（1）得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a ++++=212122n S n n =-+；当12n ≥时，212311*********n n a a a a S S n n ++++=-+=-+. 综上所述，123n a a a a ++++22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥。