高一数学竞赛练习一

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高一年级竞赛数学：4.排序不等式与切比雪夫不等式

A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ianna==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明：11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111111()()()()()0.k i i n n n k k n k kn n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑于是111.k nnk n k k j k k a ba b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.证明：法1由排序不等式知道1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤++++++≤+++于是121111.nnnniin i i i i i i i a b a b a b n a b ====+++≤∑∑∑∑即111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.法2 11111111111()()()().nnnnnnnnnnni iiii ii ji ii jiiji i i i j i j i j i j na b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()()()().n n n n n n n ni i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().nnniii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥ 令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G--+++≥即12.na a a n G GG+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c++++≤ 证明：不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++又222333111,,a b c a b c ≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明：等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解：1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111a b c ++≤+++ 证明：因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=---又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明：即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++ ()()().c a c a ab bc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b c ab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++证明：所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*)不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*).所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,ni i x ==∑求证：1ni =≥证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥1x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。

高中数学竞赛讲义第一讲《复数》练习

高中数学竞赛第一讲复数一、基础知识1．复数的运算法则：三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1), z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2)，则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]；11222(0),z r z z r ≠=[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]，或记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+；.)(212121θθ-=i e r r z z 2．棣莫弗定理：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ). 3．开方：若=nw r (cos θ+i sin θ)，则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=，k =0,1,2,…,n -1。

4．方程10(2n x n n n -=≥为自然数，且）的个根记为：22cossin (0,1,2,,1)k k k i k n n nππε=+=-称为1的n 次单位根。

由棣莫弗定理，全部n 次单位根可表示为112111-n εεε ，，，。

关于单位根，有如下常用性质：)20111211≥=++++-n n （εεε ；任意两个单位根j i εε,的乘积仍为一个n 次单位根，且（1）的余数）除以是其中时，当n j i k n j i k j i j i j i +=≥+=⋅++,(εεεεε；（2）设m 为整数，1≠n ，则⎩⎨⎧=++++-的倍数）不是的倍数），是n m n m n mn m m (0(1121εεε（3）1+z 1+z 2+…+z n -1=0；（4）x n -1+x n -2+…+x +1=(x -z 1)(x -z 2)…(x -z n -1)=(x -z 1)(x -21z )…(x -11n z -). 特别地：1的立方根有：1，ω＝－12＋32i ，-ω＝－12－32i（1）ω3＝-ω3＝1 （2）1＋ω＋ω2＝0或1＋-ω＋-ω2＝0 （3）ω-ω＝1 （4）ω2＝-ω，-ω2＝ω （5）(1±i )2＝±2i ，(3±4i )2＝－7±24i5．代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。

上海高一高中数学竞赛题目

上海高一高中数学竞赛题目为了准确满足标题描述的内容需求，我将按照数学竞赛试题的格式给你写一篇关于上海高一高中数学竞赛的文章。

以下是正文：上海高一高中数学竞赛题目第一题：几何问题已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是线段BC、CD上的点，且满足BE = 3CF。

若四边形AEFD的面积为S，求S的值。

解析：首先，我们可以根据题意得知三角形BEA与三角形CFD是全等三角形，因为它们的两条边相等，所以它们的面积也相等。

又根据正方形的特性可知，三角形BEA和三角形CFD是等腰直角三角形，所以它们的面积可以通过直角边的平方除以2来求得。

设BE = x，则CF = (2 - x) / 3。

根据等腰直角三角形的面积公式，BEA的面积为 x^2 / 2，CFD的面积为 [(2 - x) / 3]^2 / 2。

由于AEFD是正方形ABCD减去三角形BEA和三角形CFD所得到的四边形，所以S = 2 - (x^2 / 2) - {[(2 - x) / 3]^2 / 2}。

将式子进行整理和计算，可得S = (5x^2 - 16x + 8) / 18。

第二题：函数问题已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c的图像经过点P(2, 2)，Q(3, 4)，R(4, 8)。

求函数f(x)的解析式。

解析：首先，我们将点P(2, 2)代入函数f(x)，可得 2 = 8 + 4a + 2b + c。

同理，将点Q(3, 4)代入函数f(x)，可得 4 = 27 + 9a + 3b + c。

再将点R(4, 8)代入函数f(x)，可得 8 = 64 + 16a + 4b + c。

通过解这个线性方程组，可以求得函数f(x)的解析式。

解方程组得到 a = -4, b = 2, c = -4，所以函数f(x)的解析式为 f(x) =x^3 - 4x^2 + 2x - 4。

第三题：概率问题若从一副完整的扑克牌中随机抽取两张牌，求这两张牌中至少有一张是红心的概率。

专题01 集合真题专项训练(全国竞赛+强基计划专用)学生版

专题01集合真题专项训练(全国竞赛+强基计划专用)一、单选题1(2020·北京·高三校考强基计划)设A，B，C是集合{1,2,⋯,2020}的子集，且满足A⊆C,B⊆C，这样的有序组(A,B,C)的总数是()A.32020B.42020C.52020D.620202(2021·全国·高一专题练习)已知非空集合A1,A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：(1)若a∈A1，则a∉A2；(2)若a∈A2，则a∉A1；则称(A1,A2)是集合A的“互斥子集”，并规定(A1,A2)与(A2,A1)为不同的“互斥子集组”，则集合A={1,2,3,4}的不同“互斥子集组”的个数是()A.11B.28C.32D.503(2021·北京·高三强基计划)现有7把钥匙和7把锁．用这些钥匙随机开锁，则D1,D2,D3这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是()A.1321B.67105 C.23 D.以上答案都不对4(2021·全国·高一专题练习)设集合S，T，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x,y ∈S，若x≠y，则x+y∈T；②对于任意的x,y∈T，若x<y，则y-x∈S.若S有3个元素，则T可能有()A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素5(2021·北京·高三强基计划)设正整数m，n均不大于2021，且mn+1<2<m+1n，则这样的数组(m,n)的个数为()A.2021B.1428C.3449D.以上答案都不对二、填空题6(2022·新疆·高二竞赛)设集合3a+b 1≤a ≤b ≤4 中的最大元素与最小元素分别为M ，N ，则M -N =．7(2022·浙江·高二竞赛)已知集合A =x x -n x -n 2+n ≤0,n ∈N + ，若集合A 中恰有9个正整数，则n =.8(2020·江苏·高三竞赛)设n ∈N *，欧拉函数φn 表示在正整数1，2，3，⋯，n 中与n 互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以φ4 =2，则φ2020 =．9(2022·广西·高二统考竞赛)设A 、B 是集合1,2,⋅⋅⋅,20 的两个子集，A ∩B =∅，且n ∈A 时2n +2∈B ．记M A 为A 的元素之和，则M A 的最大值是．10(2022·福建·高二统考竞赛)已知A 1，A 2，⋯，A n 是集合A =1,2,3,⋯,10 的n 个非空子集，如果对于任意的i ，j ∈1,2,3,⋯,n ，均有A i ∪A j ≠A ，则n 的最大值为.11(2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛)定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为.12(2021·全国·高三竞赛)已知非空集合X ⊆M ={1,2,⋯,2019,2020}，用f X 表示集合X 中最大数和最小数的和，则所有这样的f X 的和为.13(2020·浙江·高三专题练习)记S 为集合S 的元素个数，σS 为集合S 的子集个数，若集合A ，B ，C 满足：①A =B =2020；②σA +σB +σC =σA ∪B ∪C ，则A ∩B ∩C 的最大值是.14(2022·全国·高三专题练习)已知n ∈N *，集合M n =12,34,58,⋯,2n -12n，集合M n 的所有非空子集的最小元素之和为T n ，则使得T n >80的最小正整数n 的值为．15(2022·浙江·高二竞赛)给定正整数n ，k n ≥k ，记X =1,2,⋅⋅⋅,n 从X →X 的一一映射f 称为是可k -划分的：若X 可划分为k 个非空子集A 1，A 2，⋯，A k ，且f A i =A i (i =1，2，⋯，k )(即X =A 1∪A 2∪⋅⋅⋅∪A k ，且A 1，A 2，⋯，A k 两两的交集为空集，f A i =f x x ∈A i ).已知f 是一个X 的k -划分的一一映射，a 1，a 2，⋯，a n 是1，2，⋯，n 的一个排列，则ni =1a i +1-f a i 的最小值为.16(2022·北京·高一统考竞赛)对实数x 1,x 2,⋯,x 19，不超过f x 1,x 2,⋯,x 19 =1k 1=01k 2=0⋯ 1k 19=0k 1x 1+k 2x 2+⋯+k 19x 19-1 的最小值的最大整数为．17(2022·北京·高一统考竞赛)有个不超过2020的正整数k ，满足对任意的正整数n ，均有3(k -1)n +1∤(kn )!n !2．三、解答题18(2021·浙江·高二竞赛)设数集P=a1,a2,⋯,a m，它的平均数C p=a1+a2+⋯+a mm.现将S={1,2,⋯,n}分成两个非空且不相交子集A，B，求C A-C B的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对A,B的数目.19(2022·福建·高二统考竞赛)某校数学兴趣小组有14位同学，他们组成了n个不同的课题组.每个课题组有6位同学，每位同学至少参加2个课题组，且任意两个课题组至多有2位共同的同学，求n的最大值.20(2022春·浙江·高一校联考竞赛)已知1≤i<j≤2022i,j∈N*，求最大的实数C，使得对任意大于2022的正整数n及实数r1,r2,⋅⋅⋅,r n，存在集合1,2,⋅⋅⋅,n的一个子集S满足i≤S∩t,t+1,⋅⋅⋅,t+2022≤j对所有t=1,2,⋅⋅⋅,n-2022恒成立且∑m∈S r m≥C⋅∑nm=1r m .21(2021·全国·高三竞赛)设集合S是由平面上任意三点不共线的4039个点构成的集合，且其中2019个点为红色，2020个点为蓝色；在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域，若一组直线对于点集S 满足下述两个条件，称这是一个“好直线组”：(1)这些直线不经过该点集S中的任何一个点；(2)每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.求k的最小值，使得对于任意的点集S，均存在由k条直线构成的“好直线组”.22(2021·全国·高三竞赛)已知X是一个有限集.X=A1∪⋯∪A10,X=B1∪⋯∪B10是满足如下性质的两个分划：若A i∩B j=∅,1≤i≤j≤10，则A i∪B j≥10.求X 的最小值.23(2021·全国·高三竞赛)设M=1,2,3,⋯,2m⋅nm,n∈N+是连续2m⋅n个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在m+1个数a1,a2,⋯,a m+1满足a i a i+1(i=1,2,⋯,m)．24(2021·全国·高三竞赛)设n是正整数，我们说集合{1,2,⋯,2n}的一个排列x1,x2,⋯,x2n具有性质P，是指在{1,2,⋯,2n-1}当中至少有一个i，使得x i-x i+1=n.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.25(2023·全国·高三专题练习)设数列A:a1,a2,⋯,a n(n≥3)的各项均为正整数，且a1≤a2≤⋯≤a n.若对任意k∈{3,4,⋯,n}，存在正整数i,j(1≤i≤j<k)使得a k=a i+a j，则称数列A具有性质T.(1)判断数列A1:1,2,4,7与数列A2:1,2,3,6是否具有性质T；(只需写出结论)(2)若数列A具有性质T，且a1=1，a2=2，a n=200，求n的最小值；(3)若集合S={1,2,3,⋯,2019,2020}=S1∪S2∪S3∪S4∪S5∪S6，且S i∩S j=∅(任意i,j∈{1,2,⋯,6}，i≠j).求证：存在S i，使得从S i中可以选取若干元素(可重复选取)组成一个具有性质T的数列.26(2019·浙江·高三校联考竞赛)设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=A1,A2,⋯,A t.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，A⊂B,B⊂A均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足∀A∈S2,f(A)⊂A或A⊂f(A)成立.27(2022·全国·高三专题练习)对给定的正整数n，令Ωn={a=(a1，a2，⋯，a n)|a i∈{0，1}，i=1，2，3，⋯，n}．对任意的x=(x1，x2，⋯，x n)，y=(y1，y2，⋯，y n)∈Ωn，定义x与y的距离d(x,y)=x1-y1+ x2-y2+⋯+．设A是Ωn的含有至少两个元素的子集，集合D={d(x,y)|x≠y，x，y∈A} x n-y n中的最小值称为A的特征，记作χ(A)．(Ⅰ)当n=3时，直接写出下述集合的特征：A={(0，0，0)，(1，1，1)}，B={(0，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}，C={(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．(Ⅱ)当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=2，求A中元素个数的最大值；(Ⅲ)当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=3，求证：A中的元素个数小于220202021．28(2022·全国·高三专题练习)班级里共有n n≥3名学生，其中有A，B，C．已知A，B，C中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．(1)求班级里朋友圈个数的最大值F n ．(2)求班级里朋友圈个数的最小值G n ．29(2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛)我们称X为“花式集合”，如果它满足如下三个条件：(a)X =2022；(b)X的每个元素都是包含于0,1中的闭区间(元素可重复)；(c)对于任意实数r∈0,1,X中包含r的元素个数不超过1011.对于“花式集合”A､B和区间I∈A､J∈B，用n A,B的的数量.求n A,B表示使得I∩J≠∅的对I,J最大值.30(2020·江苏南通·统考模拟预测)整数n≥2，集合P=x1≤x≤n,x∈N，A，B，C是集合P的3个非空子集，记a n，为所有满足AÜB，A∪B∪C=P的有序集合对(A,B,C)的个数．(1)求a2；(2)求a n．。

高中数学竞赛不等式

高中数学竞赛不等式有答案1．不等式的概念与性质【一】知识要点1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用性质正确、迅速地对不等式进行转换。

2．在利用不等式的性质时，应特别注意条件的限制。

【二】解题指导例1：若610≤≤a ，122a b a ≤≤，c a b =-，求c 的取值范围。

例2：设c d R ,∈+，且c d a +≤，c d b +≤，证明：ca db ab +≤例3：已知函数f x ax c ()=-2满足-≤≤-411f ()，-≤≤125f () 求证：-≤≤1320f ()【三】巩固练习一、选择题1、下列四个命题：（1）若ax b >，则x b a>；（2）若a x a y 22>，则x y >；（3）若()()a x a y 2211+>+，则x y >；（4）若xa y a 22>，则x y >。

其中正确的命题的个数是（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2、若a b ,是任意实数，且a b >，则（A ）a b 22> （B ）b a>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）b a )21()21(< 3、若a b >+1，下列各式中正确的是（A ）a b 22> （B ）ab>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）lg lg a b > 4、已知a b <-<<010,，则下列不等式成立的是（A ）a ab ab >>2 （B ）ab ab a 2>> （C ）ab a ab >>2 （D ）ab ab a >>2 5、若x y z ,,均为大于-1的负数，则一定有（A ）x y z 2220--< （B ）xyz >-1（C ）x y z ++<-3 （D ）()xyz 21> 6、当a b c >>时，下列不等式成立的是（A ）ab ac > （B ）a c b c ||||> （C ）||||ab bc > （D ）()||a b c b -->0 二、填空题1、已知a b c R ,,∈，且a c b <<，则c ab 2+ ()a b c +（用不等号连结）。

阿里巴巴数学竞赛决赛试题

阿里巴巴数学竞赛决赛试题一、选择题1、在以下哪个选项中，等式√x = 2x的解是正数？A. x = 4B. x = 9C. x = 16D. x = 202、如果一个矩形的长和宽分别为 a和 b，那么它的面积最大值是：A.当 a = b时B.当 a > b时C.当 a < b时D.与 a和 b的值无关3、若 x + 4y = 0，且 x和 y均为非负数，则 (x - 4y)²的值可能是：A. 16B. 15C. 9D. 0二、填空题4、一个六边形的内角和为____。

41、在一个等差数列中，前四项的和为 40，第五项到第九项的和为135，则整个等差数列的和为____。

411、在一个三角形中，如果最大的角小于 90度，那么这个三角形是____。

4111、如果一个正方形的面积是 100平方厘米，那么它的周长是____厘米。

本文在一个长方体中，如果它的长、宽和高分别为 a、b和 c，那么它的表面积是____。

本文如果 x² + xy = 20，且 y是 x的 4倍，则 x =____。

本文在一个正方形中，如果一条对角线的长度为 8厘米，那么这个正方形的面积是____平方厘米。

三、解答题11.求方程 x³ + y³ = 25的所有实数解。

12.一个圆柱体的高度是 10厘米，底面半径是 r厘米。

如果圆柱体的侧面积等于其表面积，求底面半径 r的值。

13.求下列数列的前 n项和：Sn=1+1/2+1/3+…+1/n。

全国化学奥林匹克竞赛是一项旨在培养学生化学兴趣、提高化学素养的竞赛活动。

经过初赛、省级选拔赛和全国决赛等多个环节，最终选拔出优秀的学生代表中国参加国际化学奥林匹克竞赛。

而全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题作为竞赛的重要组成部分，对于参赛学生的成绩有着重要影响。

本文将对近10年全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题进行分析，并探讨对我们的启示和建议。

对于近10年全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题的分析，我们可以从以下几个方面展开：难度：从近10年的试题来看，全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题的难度逐渐增加，特别是在有机化学、分析化学和物理化学等知识点上，需要对基础知识有更深入的理解和运用。

数学竞赛指数与对数的综合算式练习题

数学竞赛指数与对数的综合算式练习题在数学竞赛中，指数和对数是常见的数学概念和运算方法。

本文将通过综合算式练习题的形式，帮助读者加深对数学竞赛中指数和对数的理解和应用。

1. 练习题一：指数的运算计算以下表达式的结果：a) $2^3 \times 2^5$b) $4^2 \div 4^3$c) $(3^4)^2$解答：a) $2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$b) $4^2 \div 4^3 = 4^{2-3} = 4^{-1}$c) $(3^4)^2 = 3^{4 \times 2} = 3^8$2. 练习题二：对数的性质根据对数的性质，计算以下表达式的结果：a) $\log_{2} 8$b) $\log_{3} 1$c) $\log_{5} 125$解答：a) $\log_{2} 8 = 3$，因为$2^3 = 8$b) $\log_{3} 1 = 0$，因为$3^0 = 1$c) $\log_{5} 125 = 3$，因为$5^3 = 125$3. 练习题三：指数和对数的综合运算根据指数和对数的运算规则，计算以下表达式的结果：a) $2^{\log_{2} 5}$b) $\log_{4} (2^4)$c) $\log_{3} (3^{2x})$解答：a) $2^{\log_{2} 5} = 5$，因为$\log_{2} 5$表示以2为底，结果为5的对数，2的指数为5，因此结果为5。

b) $\log_{4} (2^4) = 4\log_{4} 2$，因为$4^{\log_{4} 2}$表示以4为底，结果为2的对数，4的指数为2，因此结果为2。

c) $\log_{3} (3^{2x}) = 2x$，因为$\log_{3} (3^{2x})$表示以3为底，结果为$3^{2x}$的对数，3的指数为$2x$，因此结果为$2x$。

4. 练习题四：指数与对数的实际应用某城市人口增长率每年为3%，现有人口为100万人。

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高一数学竞赛练习卷一
1. 已知数列﹛n a ﹜的通项公式2
2
45
n a n n =
-+，则﹛n a ﹜的最大项是（）
(A) 1a (B) 2a (C ) 3a (D) 4a
2.为了得到函数
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=3sin πx y 的图象，可将函数x y sin =的图象向左平移A 个
单位，或者向右平移B 个单位长度，A 、B 均为正数，则|A-B|的最小值为（）
（A ）3
4π
（B ）3
2π
（C ）3
π
（D ）π2
3．已知两点A （1,2），B （3,1）到直线L
L
共有（） A 、1条 B 、2条 C 、 3条 D 、 4条
4．若不等式()1lg 2lg <+x a ax 的解集包含区间（1，2]，则a 的取值范围是（）（A ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛32,31 （B ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛32,
0 （C ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,0 （D ）（0，1）
5．已知函数⎩⎨⎧≤+>=0
,0
,)(x a x x e x f x ，如果对任意的实数t ，函数F （x ）=f （x ）
-t 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是
（）
（A ）(]1,∞- （B ）(]e ,∞-
（C ）[)+∞,1
（D ）{1}
6．已知⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∈2,0πx ，则数M=x x
2
2
cos sin 33
+的整数部分为（）（A ）2
（B ）3
（C ）4
（D ）无法确定
7．P 为△ABC 内一点，且AC AB AP 5152+=
，则=∆∆ABC
ABP S S。

8．设cos 2θ=
3
，则cos 4θ+sin 4
θ的值是。

9. 设不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≥-≤+0104x x y y x 表示的平面区域是D ，若圆()()22
211r y x =+++不经过区
域D 内的点，则圆的半径r 的取值范围是。

10．等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比12
q =-．设()f n 表示该数列的前n 项的积，
则当n = 时，()f n 有最大值。

11．已知θ为锐角，且
31cos 3cos =θθ，则=θ
θ
sin 3sin 。

12．已知f （x ）为奇函数，在R 上单调递减，且在θ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,0π时，
不等式f[1+sin2θ-t （sin θ+cos θ）]+f （1）＜0恒成立，则实数t 的取值范围是。

13．设集合A=12log (3)2x x ⎧⎫⎪⎪
-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，B=21a x x a ⎧⎫>⎨⎬-⎩⎭，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围。

14．已知数列﹛n a ﹜的前n 项和为S n ，满足n a +S n =2n 。

（1）求n a ；
（2）设)2)(2(--=n n a n b ，若对任意的正整数n ，均有()m b n ,∞-∈，求实数m 的取值范围。

15．已知锐角βα,满足)2
,0(sin )cos(sin π
βααβαβ≠+>⋅+=m m ，
若αtan =x ，βtan =y 。

（1）求)(x f y =的表达式；（2）在（1）下，当)2
,4[π
πα∈时，求函数)(x f y =的最大值。

答案： BBCBDB ；
51；1811；220<<r 或52>r ；12；3
7；2<t ； 13、)3,0()0,1(⋃-∈a ； 14、（1）1212--=n n a ；（2）4
1
>m ；
15、（1）()[)+∞∈++=
,1,1
12
x x m mx
y ；（2）2+m m 。