图示不同支座情下压杆临界力倍数关系
压杆的临界应力
a
1和b
是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。
1
2、scr=sS时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破
坏，采用强度公式：
scr s s
三、临界应力总图
例1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细 长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力 之比以及临界力之比。
解：
s cr a :s cr b :s cr c
②柔度(细长比)： l L
i
2.欧拉公式应用范围：
①线弹性状态下的大柔度杆：slj≤sp，即
p 2E l2
≤s
p
说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，
在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。
∴
l≥
p 2E sp
lp
3.注意 对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
A
E BC
[FNC ] 245kN
F2
[Nc ] 1.36
180kN
a
a
F D a
10-5 提高压杆稳定性的措施
一、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状： （1）各方向约束相同时：
1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
p2E
l
2 1
p2E : l22
p2E
:
l
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
第14章压杆稳定
l
材料力学讲义（压杆稳定）
查表：a=304MPa，
b=1.12MPa
cr a b 304 1.12 86.6
207MPa
Pcr cr A 207 40 60 496.8kN
临界力为373kN.
20
材料力学讲义（压杆稳定）
§9.5压杆的稳定性校核
材料力学讲义（压杆稳定）
（3）对压杆CD进行稳定校核 №5槽钢
imin 1.1cm
1.110
A 6.93cm
128.5
2
λ
l 11.414103
imin
A3钢：
p 100
p
27
材料力学讲义（压杆稳定）
E 2.1010 cr 2 125.5MPa 2 128.5
材料是A3钢，最大起重量P=80kN，规定稳定安全系数
nst=3。试校核丝杠的稳定性。
解： 1.计算临界力
μ2
A3 钢
λ
l 2 375
i 40 4
75
p 102
s 61.6 s p
是中柔度压杆
i=d/4
22
材料力学讲义（压杆稳定）
查表:a=304MPa，b=1.12MPa 临界载荷为
2
E cr l 2
( i )
长细比(柔度)
cr
l
i
2E 2
欧拉公式
压杆在柔度大的平面 内先失稳
柔度：无量纲无单位
14
材料力学讲义（压杆稳定）
二、欧拉公式的适用范围
适用范围：
2
cr P
2E 即 P
材料力学-压杆稳定
1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
材料力学-压杆稳定
A
பைடு நூலகம்
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
L
100
60
4、AB杆的两端固定，在20OC时杆内无内力。已知： 杆长为L＝400毫米，杆的直径d＝8毫米，材料的弹性 模量为E＝200GPａ，比例极限为σP=200Mpa，线胀 系数α＝1.25×10-51/OC，杆的稳定安全系数为2，当 温度升高到40OC时，校核杆的稳定性。
i I D2d2 16mm A4
得11.713 61230108 P
3、选用公式，计算临界应力
AB为大柔度杆
FcrcrA
2E 2
A
2lE2I118kN
4、计算安全系数
n F cr FN
1184.4 26.6
2nst3
5、结论
AB杆满足稳定性要求
1、圆截面杆BD的直径为ｄ＝35毫米，采用普通碳 钢，弹性模量 Ｅ＝200GPａ，比例极限为σP＝ 200MPａ，屈服极限为σS＝235MPａ，ａ＝304 MPａ，ｂ＝1.12 MPａ，稳定安全系数取ｎw＝3， 载荷G＝30K N，校核BD杆的稳定性。
cr
2E 2
临界应力的欧拉公式
塑性材料在压缩时的应力应变曲线
σ
σp
σs
O
σ
σp
σs
O
细长杆 1
σ
当临界应力小于或等于材料的比例极限时 cr p σp
σs
压杆的临界力和临界应力
压杆的临界力和临界应力
如图11-4所示给 出了临界应力与柔度 之间的关系曲线，称 为临界应力总图，该 图表示了临界应力随 柔度的变化规律。
图11-4
压杆的临界力和临界应力
通过上面的分析可知，当构件受 到轴向压力作用时，需要考虑稳定性 问题。在此过程中，应首先根据杆的 情况计算其柔度值，再确定临界应力 的计算公式，并进行稳定计算。
压杆的临界力和临界应力
【例11-1】
压杆的临界力和临界应力
图11-5
压杆的临界力和临界应力
压杆的临界力和临界应力
工程力学
压杆的临界力和临界应力
压杆的临界力和临界应力
1.2
临界应力
临界应力是指在临界力作用下压杆横截面上的
压应力。在材料服从胡克定律的条件下，压杆临界应
力的欧拉公式为
（11-2）
其中，
（11-3）式中，
σcr为临界应力；E为材料拉（压）弹性模量；λ为压
杆的柔度；i为惯性半径；I为轴惯性矩；A为杆横截
面面积。
压杆的临界力和临界应力
压杆的临界力和临界应力
（3）λ≤λs，杆是小柔度杆，即短粗杆。这类 杆在失稳前工作应力就已达到屈服极限，材料发生 较大的塑性变形，从而丧失工作能力，即这类杆失 效的原因是因强度问题，而非失稳。因此，对于小 柔度杆只需考虑强度问题即可，临界应力为
σcr=σ0
压杆的临界力和临界应力
工程力学
压杆的临界力和临界应力
1.1
临界力
临界力是反映压杆稳定的承载能力指标，临界力越大，压杆 的稳定性越好。在材料服从胡克定律的条件下，压杆临界力的计 算公式为
（11-1） 式中，Pcr为临界力；EI是抗弯刚度；μ为支座长度系数，数值 取决于杆两端的约束形式（见表11-1）；l为杆的长度。 式（11-1）常称为欧拉公式，它说明压杆的临界力与杆的长 度、截面形状尺寸、两端的约束形式及材料有关。细长的杆临界 力小，稳定性差。
压杆的临界力与临界应力
压杆的临界力与临 界应力
压杆的临界力与临界应力
1.1 细长压杆的临界力的欧拉公式
各种杆端约束下细长压杆的临界力可用下面的统 一公式表示（推导从略）：
π2EI Fcr (μl)2 上式通常称为欧拉公式。
式中的μ称为压杆的长度因数，它与杆端约束有关， 杆端约束越强，μ值越小；μl称为压杆的相当长度，它是 压杆的挠曲线为半个正弦波（相当于两端铰支细长压杆 的挠曲线形状）所对应的杆长度。
O
【解】 由于木柱两端约束为球
形铰支，故木柱两端在各个方向的 约束都相同（都是铰支）。因为临 界力是使压杆产生失稳所需要的最 小压力，所以公式中的I应取Imin。 由图知，Imin=Iy，其值为
Iy
140 803
12
m m4
O
597.3 104 mm4
故临界力为
Fcr
π2 EI y
(l ) 2
O
【解】钢压杆的横截面是圆形，圆形截面对其任一 形心轴的惯性矩都相同，均为
I πd 4 π 1004 1012 m4
64
64
0.049104 m4
因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而
钢压杆在各纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以公式中的 μ应取较大的值，即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面 内。
cr s a2
式中：s——材料的屈服极限，单位为MPa；
a——与材料有关的常数，单位为MPa。
●Q235钢：cr=2350.00668λ2； ● 16锰钢： cr=3430.00142λ2。
2. 临界应力总图
实际压杆的柔度值不同，临界应力的计算公式将不 同。为了直观地表达这一点，可以绘出临界应力随柔度 的变化曲线，这种图线称为压杆的临界应力总图。 Q235钢压杆的临界应力总图如下：
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图示不同支座情下压杆临界力倍数关系
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
建筑结构工程的可靠性技术要求
掌握建筑结构工程可靠性
一、结构的功能要求
1. 安全性
2. 适用性
3. 耐久性
安全性、适用性、耐久性概括称为结构的可靠性
二、两种极限状态
1. 所谓构件的抵抗能力：结构或构件抵抗上述荷载效应的能力，它与截面的大小和形状及材料的性质和分布有关。
S 外荷载作用效应；R 本身的抵抗能力
1）S > R ，构件破坏，不可靠状态
2）S < R ，可靠状态，R 比S 超出过多不经济
3）S = R ，即将破坏的边缘状态，称为极限状态
（好比：等于60分及格，处于极限状态；小于60分，失败，不及格；大于60分，及格） 2. 极限状态分两种： 1）承载能力极限状态
2）正常使用极限状态
3. 承载能力极限状态是对应于结构或构件达到最大承载能力或不适于继续承载的变形，包括结构构件或连接因强度超过而破坏，结构或其一部分作为刚体而失去平衡，发生的疲劳破坏。
对所有结构和构件都必须按承载能力极限状态进行计算，施工时应严格保证施工质量，以满足结构的安全性。
杆件稳定的基本概念
1. 在工程结构中，受压杆件如果比较细长，受力达到一定的数值（这时一般未达到强度破坏）时，杆件突然发生弯曲，以致引起整个结构的破坏，这种现象称为失稳。
因此，受压杆件要有稳定的要求。
不同支座情况的临界力的计算公式为：202l EI
P lj π=
临界应力等于临界力除以压杆的横截面面积A 。
临界应力lj σ是指临界力作用下压杆仍处于直线状态时的应力
22202202)/(λπππσE i l E A I l E
A P lj lj ==*==，其中，A I i /=称作截面的回转半径或惯性半径。
i
l 0=λ称作长细比。
i 由截面形状和尺寸来确定。
所以，长细比λ是影响临界力的综合因素。
S = R S < R S > R 可靠
失效
2. 临界力的大小与下列因素有关：
1）压杆的材料（弹性模量E ）；
2）压杆的截面形状与大小（惯性矩I ）
3）压杆的长度l ；
4）压杆的支撑情况。
一端固定一端自由，l = 2l 0；两端铰支，l = l 0；一端固定，一端铰支，l = 0.7l 0；两端固定，l = 0.5l 0
长细比：i
l 0=λ，是影响临界力的综合因素。
当构件长细比过大时，常常会发生失稳破坏。
(2007年)同一长度的压杆，截面积及材料均相同，仅两端支承条件不同，则（）杆的临界力最小。
A. 两端铰支；
B. 一端固定，一端自由；
C. 一端固定，一端铰支；
D. 两端固定
202l EI
P lj π=，A. 两端铰支，l = l 0、P lj ；B. 一端固定，一端自由，l = 2l 0、1/4P lj ；C. 一端固
定，一端铰支，l = 0.7l 0、2.04P lj ；D. 两端固定，l = 1/2l 0、4P lj ；
支座情况
倍数 临界力 1
一端固定，一端自由，l = 2l 0 0.25 Pij 2
两端铰支，l = l 0 1 Pij 3
一端固定，一端铰支，l = 0.7l 0 2.04
Pij 4 两端固定，l = 0.5l 0 4 Pij
（2005年）某受压钢筋混凝土土柱，高3.6m ，两端铰支，其临界力为50kN ，若将此构件改为两端固定，则其临界力为（）kN 。
A. 50；
B. 100；
C. 150；
D. 200
建筑结构工程的适用性 – 三个判断标准：
熟悉建筑结构工程的适用性要求
一、建筑结构工程的适用性：
除了要保证安全外，还应满足适用性要求，在设计中成为正常使用的极限状态。
正常使用的极限状态包括：
1. 在正常使用条件下产生过度变形
2. 过早裂缝或裂缝发展过宽
3. 在动力荷载作用下结构或构件产生过大的振幅。