函数

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2016-2017学年度???学校8月月考卷

第I 卷(选择题)

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一、选择题(题型注释)

1.如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点,P 是线段AB 上任意一点(不包括端点),过P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10,则该直线的函数表达式是( )

A .y=x+5

B .y=x+10

C .y=﹣x+5

D .y=﹣x+10

2.设点A (a ,b 是( )

A .2a+3b=0

B .2a ﹣3b=0

C .3a ﹣2b=0

D .3a+2b=0

3.已知一次函数5y kx =+和'7y k x =+,假设k >0且k '<0,则这两个一次函数的交点在( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

4.已知正比例函数y=3x 的图象经过点(1,m ),则m 的值为( )

A .

B .3

C .﹣

D .﹣3

5.若直线y=2x+1经过点(m ,n ),则代数式4m ﹣2n+1的值是( )

A .﹣1

B .1

C .2

D .﹣2

6.对于一次函数y=﹣2x+4,下列结论错误的是( )

A .若两点A (x 1,y 1),

B (x 2,y 2)在该函数图象上,且x 1<x 2,则y 1>y 2

B .函数的图象不经过第三象限

C .函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x 的图象

D .函数的图象与x 轴的交点坐标是(0,4)

7.将函数y=﹣3x+1的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后,所得图象对应的函数关系式为( )

A .y=﹣3x+3

B .y=﹣3x ﹣1

C .y=﹣3(x+2)+1

D .y=﹣3(x ﹣2)+1

8.位于第一象限的点E 在反比例函数F 在x 轴的正半轴上,O 是坐标原点.若EO=EF ,△EOF 的面积等于2,则k=( )

A .4

B .2

C .1

D .﹣2

9.正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,其中点B

的横坐标为﹣2,当y1<y2时,x的取值范围是()

A.x<﹣2或x>2

B.x<﹣2或0<x<2

C.﹣2<x<0或0<x<2

D.﹣2<x<0或x>2

10.如图,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数x>0)图象上的一点,分

别过点P作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3,则k的值为()

A.3 B.﹣3 C. D.﹣

11.如图,在平面直角坐标系中,点P(1,﹣4)、Q(m,n x>0)的

图象上,当m>1时,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点A,B;过点Q分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点C、D.QD交PA于点E,随着m的增大,四边形ACQE的面积()

A.减小 B.增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小

第II卷(非选择题)

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二、填空题(题型注释)

12.如图,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则关于x的不等式x+b >kx+6的解集是_____________.

13.如图,点A,B在反比例函数(k>0)的图象上,AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足C,D分别在x轴的正、负半轴上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中点,且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍,则k的值是.

14.若反比例函数1,﹣6),则k的值为.

15.如图,点P是反比例函数y=(x<0)图象的一点,PA垂直于y轴,垂足为点A,PB垂直于x轴,垂足为点B.若矩形PBOA的面积为6,则k的值为.

16.若12x m﹣1y2与3xy n+1是同类项,点P(m,n)在双曲线上,则a的值为.

17.已知反比例函数的图象经过点(﹣2,﹣3),则k= .

18.如图,点A (a ,1)、B (﹣1,b )都在函数(x <0)的图象上,点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点,当四边形PABQ 的周长取最小值时,PQ 所在直线的解析式是 .

四、解答题(题型注释) 19.如图,抛物线y=x 2﹣mx ﹣3(m >0)交y 轴于点C ,CA ⊥y 轴,交抛物线于点A ,点

B 在抛物线上,且在第一象限内,BE ⊥y 轴,交y 轴于点E ,交AO 的延长线于点D ,BE=2A

C .

(1)用含m 的代数式表示BE 的长.

(2)当D 是否落在抛物线上,并说明理由.

(3)若AG ∥y 轴,交OB 于点F ,交BD 于点G .

①若△DOE 与△BGF 的面积相等,求m 的值.

②连结AE ,交OB 于点M ,若△AMF 与△BGF 的面积相等,则m 的值是 .

20.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线2

5y ax bx =++经过点M (1,3)和N (3,5)

(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;

(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(﹣2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.

21.如图,抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E

(1)求直线BC的解析式;

(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.

22.已知反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x+m的图象交于A(a,1)、B(,﹣3)两点,连结AO.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式;

(2)根据图象直接写出k2x+m﹣<0的x的取值范围;

(3)设点C在y轴上,且与点A、O构成等腰三角形,请直接写出点C的坐标.

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答案第1页,总1页 参考答案

1.C

2.D .

3.A .

4.B

5.A

6.D

7.A

8.B

9.B

10.A.

11.B .

12.x >3.

13

14.﹣6.

15.-6.

16.3

17.6

18.y=x+2

19.(1)2m ;(2)落在抛物线上;(3)①、

20.(1)抛物线与x 轴没有交点;(2)先向左平移3个单位,再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位.

21.(1)

2)D

22.(1)反比例函数关系式为y=﹣,一次函数关系式为y=﹣3x ﹣2;(2)﹣1<x <0或x >;(3)点C 的坐标为:(0,﹣)或(0,)或(0,2)或(0,1).

独立同分布随机变量序列的顺序统计方法(2019)

独立同分布随机变量序列的顺序统计方法 设有限长度离散随机变量序列12,,...,n x x x ,对其按从小到大的顺序排列,得到新的随机序列12,,...,n y y y ,满足:12...n y y y ≤≤≤;假设12,,...,n x x x 是独立同分布的连续取值型随机变量,每个变量的概率分布函数及概率密度分布函数分别为(),()F x f x 。 (1)求(1)k y k n ≤≤的概率密度分布函数()k y f y 解:k y 在y 处无穷小邻域取值的概率()k y f y dy 可以等效为这样一些事件发生的概率之 和:12,,...,n x x x 这n 个随机变量中有任意一个在y 处无穷小邻域取值,而剩余的n -1个随机变量中有任意k -1个的取值小于等于y ,对应的另外n -k 个变量的取值大于等于y 事件的个数(变量的组合数)为111n n k -???? ???-???? ,每个事件的概率为1[()]()[1()]k n k f y dy F y F y ---,则 11()()()[1()]11k k n k y n n f y dy f y dyF y F y k ---????=- ???-???? => 1!()()[1()]() (1)(1)!()! k k n k y n f y F y F y f y k n k n k --= -≤≤-- (2)求随机变量,(1)k l y y k l n ≤<≤的联合概率密度分布函数(,)k l y y f u v 解:(,) ()k l y y k l <在平面上的点(,) ()u v v u ≥处无穷小邻域取值的概率

函数方程的几种解法

解函数方程的几种方法 李素真 摘要:本文通过给出求解函数方程的基本方法,来介绍函数方程,探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。 关键词:函数方程;换元法;待定系数法;解方程组法;参数法 含有未知函数的等式叫做函数方程,能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解,求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法(或代换法)、待定系数法、解方程组法、参数法。 1.换元法 换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量),然后找出函数对中间变量的关系,从而求出函数的表达式。 例1 已知x x f x sin )2(+=,求)(x f 。 解:令u x =2 )(0>u ,则u x log 2=,于是可得,)log sin()log ()(222 u u u f += )(0>u ,以x 代替u ,得)log sin(log 2 )(22u x x f += )0(>x 。 例2 已知x x x x f 212ln )1(+=+ )0(>x ,求)(x f 。 解:令t x x =+1,则11-=t x )1(>t ,于是12ln 112111 2 ln )(+=-+-=t t t t f , 即1 2ln )(+=x x f 。 例3 已知x x f 2cos )cos 1(=+,求)(x f 。 解:原式可以化为 1cos 22cos )cos 1(2+==+x x x f ,令t x =+cos 1,]2,0[∈t ,则换元后有1)1(2)(2 --=x t f ]2,0[∈x 。 2.待定系数法

待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征,用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数,写出它的一般表达式,然后由已知条件,根据多项式相等的条件确定待定系数。 例4 已知)(x f 为多项式函数,且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ,求)(x f 。 解:由于)1(+x f 与)1(-x f 不改变)(x f 的次数,而它们的和是2次的,所以)(x f 为二次函数,故可设c bx x a x f ++=2)(,从而有 由已知条件得 422)(22222+-=+++x x c a bx x a 根据两个多项式相等的条件得 22=a ,22-=b ,4)(2=+c a ,由此得1=a ,1-=b ,1=c ,故有1)(2+-=x x x f 。 例5 已知)(x f 是x 的二次函数,且x x x f f 242)]([-=,求)(x f 。 解:因为c 是x 的二次函数,故可设c bx x a x f ++=2)(,由此,c c bx x a b c bx x a a c x bf x f a x f f ++++++=++=)()()()()]([2222 将上式化简并代入x x x f f 242)]([-=,得x x c bc c a x b abc x ab c a b a x b a x a 2)()2()2(24222223243-=+++++++++ 比较对应项的系数有 ?????????=++=+-=++==0 0222021222223c bc c a b abc ab c a b a b a a ,解之得?????-===101c b a ,故1)(2-=x x f 。 3.解方程组法 此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换,得到新的函数方程,然后与原方程联立,解方程组,即可求出所求的函数。

excel表格的基本操作函数乘法

excel表格的基本操作函数乘法 乘法是没有快捷键的,看下边例子,求合价: C2输入公式=A1*B1,下拉公式,计算每一项的合价; 最后对合价进行求和,求和就有快捷键了,选中C8,点击工具栏上的求和按钮或者按快捷键“ALT+=”,excel会自动捕捉求和区域,填入=SUM(c2:c7),回车即可。 如果不求每一项的合价,直接求所有项目的价款总和,用sumproduct函数 我们先从简单的说起吧!首先教大家在A1*B1=C1,也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 ①首先,打开表格,在C1单元格中输入“=A1*B1”乘法公式。 ③现在我们在“A1”和“B1”单元格中输入需要相乘的数据来进行求积,如下图,我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘,结果在C1中就会显示出来,等于“500”。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法,但是在我们平常工作中,可能会遇到更多数据相乘,下面主要说说多个单元格乘法公式运用,如:“A1*B1*C1*D1”=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式“=A1*B1*C1*D1”。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据,结果就会显示在“E1”中啦! 看看图中的结果是否正确呀!其实,这个方法和上面的差不多,只不过是多了几道数字罢了。 3、Excel混合运算的乘法公式

5加10减3乘2除3等于多少? 提示:加=+,减=-,乘=*,除=/。 ①首先,我们要了解这个公式怎么写,“5+10-3*2/3”这是错误的写法,正确写法应该是“(5+10-3)*2/3”。 ②好了,知道公式了,我们是不是应该马上来在Excel中的“F1”中输入“=(A1+B1-C1)*D1/E1”。 ③然后依次在A1、B1、C1、D1、E1中输入需要运算的数据。 好了,上面的一些基本乘法公式就已经讲玩了,下面教大家个小技巧,在有多行需要计算的时候该怎么办呢? 4、将公式复制到每行或每列 ②此时,从F1到下面的F2、F3、F4等等,都已经复制了“F1”中的公式,下次你需要运算的时候,直接在前面输入数据,在F2、 F3、F4等单元格中就会自动显示运算的结果了。

实变函数证明题全套整合(期末深刻复习)

1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数,证明:存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ,使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明:因为()f x 在E 上可测,由鲁津定理是,对任何正整数n ,存在E 的可测子集n E , 使得1 ()n m E E n -< , 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ,使得当n x E ∈时,有()()n g x f x =所以对任意的0η>,成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ,因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?, 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ,使得lim ()()k n k g x f x →∞ =,..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数,()g x 为[,]a b 上的可测函数,则(())f g x 是可测函数。 证明:记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=,由于()f x 在1E 上连续,故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集,设11 [](,)n n n E f c αβ∞ =>=,其中(,)n n αβ是其构成区间(可能是有限 个 , n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ )因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>= <<= ><因为g 在2E 上可 测,因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{|()}E x f x a =>是一开集,而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明:若00,()x E f x a ∈>则,因为()f x 是连续的,所以存在0δ>,使任意(,)x ∈-∞∞, 0||()x x f x a δ-<>就有, 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则,由于()f x 连续,0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥, 即0x E ∈,因此E 是闭集。 4、(1)设2121 (0,),(0,),1,2, ,n n A A n n n -==求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明:lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞,则存在N ,使x N <,因此n N >时,0x n <<,即

EXCEL乘法函数公式使用方法

在Excel表格中,我们常常会利用Excel公式来统计一些报表或数据等,这时就少不了要用到加、减、乘、除法,在前面我们已经详细的讲解了求差公式使用方法。那么我们又如何利用公式来对一些数据进行乘法计算呢?怎样快速而又方便的来算出结果呢?下面小编就来教大家一步一步的使用Excel乘法公式! 我们先从简单的说起吧!首先教大家在A1*B1=C1,也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 1、A1*B1=C1的Excel乘法公式 ①首先,打开表格,在C1单元格中输入=A1*B1乘法公式。 ②输入完毕以后,我们会发现在 C1 单元格中会显示0,当然了,因为现在还没有输入要相乘的数据嘛,自然会显示0了。 ③现在我们在A1和B1单元格中输入需要相乘的数据来进行求积,如下图,我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘,结果在C1中就会显示出来,等于500。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法,但是在我们平常工作中,可能会遇到更多数据相乘,下面主要说说多个单元格乘法公式运用,如:A1*B1*C1*D1=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式=A1*B1*C1*D1。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据,结果就会显示在E1中啦! 看看图中的结果是否正确呀!其实,这个方法和上面的差不多,只不过是多了几道数字罢了。 因为在工作中不止是乘法这么简单,偶尔也会有一些需要加减乘除一起运算的时候,那么当遇到这种混合运算的时候我们应当如何来实现呢?这里就要看你们小学的数学有没学好了。下面让我们一起来做一道小学时的数学题吧! 3、Excel混合运算的乘法公式,5加10减3乘2除3等于多少? 提示:加=+,减=-,乘=*,除=/。

三角函数公式大全与证明

高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -

sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-

实变函数第一章答案

习题1.1 1.证明下列集合等式. (1) ()()()C A B A C B A \\=; (2) ()()()C B C A C B A \\\ =; (3) ()()()C A B A C B A \\\=. 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2.证明下列命题. (1) ()A B B A = \的充分必要条件是:A B ?; (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是:=B A ?; (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是:=B ?. 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是:.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立,则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.

充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3.证明定理1.1.6. 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4.设f 是定义于集合E 上的实值函数,c 为任意实数,证明: (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ; (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ; (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →,则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 . 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成

函数导数公式及证明

函数导数公式及证明

复合函数导数公式

) ), ()0g x ≠' ''2 )()()()() ()()f x g x f x g x g x g x ?-=?? ())() x g x , 1.证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -== 证: ' 00()()()()lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x →→+-+-== 根据二项式定理展开()n x x + 011222110(...)lim n n n n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x ----→+++++-= 消去0n n n C x x - 11222110...lim n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x x ----→++++= 分式上下约去x 112211210 lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++ 因0x →,上式去掉零项 111 n n n C x nx --== 12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x ----→+-+++++++=

12210 lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++ 1221...n n n n x x x x x x ----=++++ 1n n x -= 2.证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a = 证: ' 00()()()lim lim x x x x x f x x f x a a f x x x +→→+--== 0(1)lim x x x a a x →-= 令1x a m -=,则有log (1)a x m =-,代入上式 00(1)lim lim log (1)x x x x x a a a a m x m →→-==+ 1000 ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m a m a a a a m m m a m →→→===+++ 根据e 的定义1lim(1)x x e x →∞ =+ ,则1 0lim(1)m x m e →+=,于是 1 ln ln lim ln ln ln(1) x x x x m a a a a a a e m →===+ 3.证明对数函数()log a f x x =的导数为''1 ()(log )ln a f x x x a == 证: '0 0log ()log ()() ()lim lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-== 00log log (1)ln(1) lim lim lim ln a a x x x x x x x x x x x x x a →→→+++===

三角函数图像变换顺序详解(全面).

《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到? 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】第1步,横向伸缩: 将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移:

将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2中有的变 换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变? (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)? (3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”? 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问(1):在不同的变换顺序中,为什么“伸缩量不变”,而“平移量有变”?这是因为在“一次”替代:x→中,平移是对x进行的. 故先平移(x→)对后伸缩(→)没有影响; 但先收缩(x→)对后平移(→)却存在着“平移”相关. 这

求函数解析式常用的方法

求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有:待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 (一)待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 例1:已知()f x 是二次函数,若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析:设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结:我们只要明确所求函数解析式的类型,便可设出其函数解析式,设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时,可设f(x)=ax+b(a≠0);f(x)为反比例函数时,可设f(x)= k x (k≠0);f(x)为

二次函数时,根据条件可设①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (二)换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 :已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析: 1视为t ,那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中,用t 表示x ,将右边化为t 的表达式,问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结:①已知f[g(x)]是关于x 的函数,即f[g(x)]=F(x),求f(x)的解析式,通常令g(x)=t ,由此能解出x=(t),将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中,求得f(t)的解析式,再用x 替换t ,便得f(x)的解析式。 注意:换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法,它的基本功能是:化难为易、化繁为简,以快速实现未知向已知的转换,从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的,如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等,它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式,要求()f x 的解析式时,若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式,则可用配凑法,使用

实变函数(复习资料,带答案).doc

《实变函数》试卷一 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数(C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都 _________________________________,则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”) 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ?,若E 是稠密集,则CE 是无处稠密集。 2、若0=mE ,则E 一定是可数集. 3、若|()|f x 是可测函数,则()f x 必是可测函数 4.设()f x 在可测集E 上可积分,若,()0x E f x ?∈>,则 ()0E f x >?

三角函数图像变换顺序详解

三角函数图像变换顺序 详解 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. ? 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 ?

【解法2】第1步,横向伸缩: 将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移: 将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 ? 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法 2中有的变换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. ? 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变 (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)(3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反——如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩” ? 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式

函数证明问题专题训练

函数证明问题专题训练 ⑴.代数论证问题 ⑴.关于函数性质的论证 ⑵.证明不等式 6.已知函数()f x 的定义域为R ,其导数()f x '满足0<()f x '<1.设a 是方程()f x =x 的根. (Ⅰ)当x >a 时,求证:()f x <x ; (Ⅱ)求证:|1()f x -2()f x |<|x 1-x 2|(x 1,x 2∈R ,x 1≠x 2); (Ⅲ)试举一个定义域为R 的函数()f x ,满足0<()f x '<1,且()f x '不为常数. 解:(Ⅰ)令g (x )=f (x ) -x ,则g`(x )=f `(x ) -1<0.故g (x )为减函数,又因为g (a )=f(a )-a =0,所以当x >a 时,g (x )<g (a )=0,所以f (x ) -x <0,即()f x x f ,求证: )(x f 在],0[π上单调递减; 2.已知函数()f x 的定义域为R ,其导数()f x '满足0<()f x '<1.设a 是方程 ()f x =x 的根. ⑴.当x >a 时,求证:()f x <x ; ⑵.求证:|1()f x -2()f x |<|x 1-x 2|(x 1,x 2∈R ,x 1≠x 2); ⑶.试举一个定义域为R 的函数()f x ,满足0<()f x '<1,且()f x '不为

数值分析编程及运行结果(高斯顺序消元法)

高斯消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x

2.运行结果:

高斯选列主元消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次选列主元后的增广矩阵']) temp=max(abs(A(i:m,i))); [a,b]=find(abs(A(i:m,i))==temp); tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解')

x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x 2.运行结果:

求解函数解析式的几种常用方法

求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法:已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f ,我们常设)(x g t =,从而求得)(1t g x -=,然后代入))((x g f 的表达式,从而得到)(t f 的表达式,即为)(x f 的表达式。 2、凑配法 若已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f 的表达式,用换元法有困难时,(如)(x g 不存在反函数)可把)(x g 看成一个整体,把右边变为由)(x g 组成的 3、待定系数法 若已知)(x f 的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得)(x f 的表达式。 式子,再换元求出)(x f 的式子。 4、赋值法 在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 5、消元法 若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成

方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。 典型题例示范讲解 例1 如果45)1(2+-=+x x x f ,那么f(x)=______________________. 例2 设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图像在y 轴上的截距为1,被x 轴截得的线段长为22,求f(x)的解析式。 例 3 设y=f(x)是实数函数,且x x f x f =-)1(2)(,求证:23 2|)(|≥x f 。 例4 已知bx x f x af n n =-+)()(,其中n a ,12≠奇数,试求)(x f 。 例5 已知)12()()(+++=+b a a b f b a f ,且,1)0(=f 求)(x f 的表达式。 解:令0=b ,由已知得:.1)1()0()(2a a a a f a f ++=++= 1)(2++=∴x x x f 例6 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (-1)|=|f (0)|=1,求 f (x ) 的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则,以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识,特别是对“f ”的理解,用好等价转化,注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法;(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;0

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案 证明题:60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明:设lim n n x A →∞ ∈,则N ?,使一切n N >,n x A ∈,所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ,则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ,所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此,n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?,对0>?ε,存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<, 证明E 是可测集。 证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ?,使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集,又因()()1**n m G E m G E n -≤-< , 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=是一零测度集,故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?,且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立,Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?,则存在{}{}i n n f f ?,使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>,则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上,()i n f x 收敛到()f x , 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x (单调序列的子列收敛,则序列本身收敛到同一极限)。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外,()n f x 收敛于()f x ,就是()n f x . 收敛到()f x 。

函数的证明方法

一般地,对于函数f(x) ⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x)就叫做偶函数。关于y轴对称,f(-x)=f(x)。 ⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1,那么函数f(x)就叫做奇函数。关于原点对称,-f(x)=f(-x)。 ⑶如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x),(x∈R,且R关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。 ⑷如果对于函数定义域内的存在一个a,使得f(a)≠f(-a),存在一个b,使得f(-b)≠-f(b),那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 定义域互为相反数,定义域必须关于原点对称 特殊的,f(x)=0既是奇函数,又是偶函数。 说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性。 (分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论) ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 ④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义,则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 ⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f(x)=x3【-∞,-2】或【0,+∞】(定义域不关于原点对称) ⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数,则叫做既奇又偶函数。例如f(x)=0 注:任意常函数(定义域关于原点对称)均为偶函数,只有f(x)=0是既奇又偶函数

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