第12章 结构动力计算

第一节概述一、动力计算的特点和内容1、动力计算的特点“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。

这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。

“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。

这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。

与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。

力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。

建立的平衡方程是微分方程。

2、动力计算的目的和内容结构动力计算的目的在于确定结构在荷载作用下产生的最大内力与最大位移，为设计提供可靠的依据。

此外还需求出结构在动力荷载作用下产生的最大速度和加速度，用以判别所设计的结构是否超过规范中的允许值，因为过大的速度和加速度对人工健康、工艺过程和建筑物不利。

结构在动力荷载作用下的计算，要涉及内外两个方面的因素，即结构本身的动力特性和干扰力的变化规律。

所谓结构的动力特性是指结构的自振频率、振型和阻尼，其中阻尼的大小取决于结构的物理性质，它是由试验测定的，而结构的自振频率和振型的计算就构成结构动力计算中一个很重要的组成部分。

至于干扰力的变化规律可事先设定或由统计得到。

结构的动力计算将分为两大类，即自由振动(结构自身的动力特性)和强迫振动(结构受到激励后的动力反应)。

3、动力计算的研究方法理论分析实验研究数学模型结构的质量是连续分布结构的质量离散化无限自由度体系多自由度体系材料性能的测定结构动力相似模型结构固有振动测定振动环境试验联机实验二、动力荷载分类(1) 简谐荷载按正弦函数或余弦函数变化的周期荷载，称为简谐荷载。

P (t )t (2) 一般周期荷载它是指除简谐荷载以外的其它型式的周期荷载。

tP (t )图12-1图12-2(3)冲击荷载这类荷载的特点是在很短的时间内，荷载值急剧增大或急别减小。

例如，锻锤对基础的撞击作用以及爆炸型荷载部属于这类荷载。

因为在冲击荷载作用下．结构很快就达到它的最大反应值，由阻尼所吸收的能量较小，所以阻尼对这类荷载的动力反应的影响是比较小的。

P t P (t )tt r Pt r P 图12-3它们不仅随时间作复杂变化，而且在基本条件不变的情况下，由于偶然因素的影响，两次荷载不会重现同一波形，因而不可能将荷载与时间的函数关系作出精确的数学描述。

如地震荷载、风荷载、海浪作用等。

(4)随机荷载-320-240-160-800801602403200246810时间(S)加速度(g a l )图12-4三、体系振动的自由度确定体系上全部质量位置所需独立参变数的数目称为该体系的振动自由度。

实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。

计算困难，常作简化如下：1、集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。

m+αm柱mm>>m梁m+αm梁I I2I厂房排架水平振动时的计算简图水平振动时的计算体系θ(t )v (t )u (t )4个自由度m 1m 2m 32个自由度)(x m y (x,t )x无限自由度体系2、广义座标法如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示∑==n k k l x k t a t x y 1sin )(),(π用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中l x k πsin ——是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。

a k (t )——称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。

x y x )(.),........(),(21x x x n ϕϕϕa 1，a 2，…….. a n∑==n k k k x a t x y 1)(),(ϕy (x,t )图12-7四、动力计算的方法动力平衡法（达朗伯尔原理）)()(t ym t F P =0)()(=-t ym t F P …………..运动方程m设其中)()(t F t y m I =-F P (t )＝F I (t )…………..平衡方程F I (t )－惯性力，与加速度成正比，方向相反。

)()(t y m t F P =改写成虚功原理（拉格朗日方程）哈米顿原理（变分方程）}都要用到抽象的虚位移概念)(t y m-图12-9一、运动微分方程的建立1、刚度法m...yd静平衡位置质量m 在任一时刻的位移：k 11.ydmmW弹性力：)()()(1111d st e y k t y k t F +∆-=-=惯性力：)()()(d stI y m t y m t F+∆-=-=W y k y m d st d st=+∆++∆)()(11 (a )上式可以简化为：011=+d d y k y m 或011=+y k ym st∆)(t F I )(t F e dst y t y +∆=)(mgW k st ==∆11(b)刚度系数图12-10第二节单自由度体系的自由振动2、柔度法..m静平衡位置)(t F I 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。

)(t y ..静平衡位置11δ1根据比例关系可得到质点的位移为))(()()(1111t ym t F t y I -==δδ可进一步写成0)()(11=+t ym t y δ(c)由于，故式(b)与式(c)等效。

11111δ=k 上式平衡方程式，由于引用了柔度系数，称柔度法。

柔度系数图12-11二、自由振动微分方程的解它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：tC t B t y ωωsin cos )(+=积分常数B ，C 由初始条件确定。

单自由度体系的自由振动微分方程可改写为02=+y yω 其中11111δωm m k ==设在初始时刻t=0时：)0(y y =0)0(ν=y (d)(f)(e)则由式(e)可求出y B =ων0=C于是，式（e ）可以写成tv t y t y ωωωsin cos )(00+=由式可知，动位移是由初位移y 0引起的余弦运动和由初速度v 0引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动，令ϕωϕcos sin 00A v A y ==(g)式(g)改写成)sin()(ϕω+=t A t y 它表示合成运动仍是一个简谐运动。

其中A 和可由下式确定ϕ⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=02020arct anv y v y A ωϕω(h)(i)ytTTTω0v ω0v -yty t∙∙ωϕA-Aty ωcos 0tv ωωsin 0⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωϕωt A sin 0y 0y -图12-12三、结构的自振周期和频率由式)sin()(ϕω+=t A t y 及图可见位移方程是一个周期函数。

Ty t∙∙ωϕA-A周期－,2ωπ=T 工程频率－),(21Hz T f πω==园频率－T f ππω22==计算频率和周期的几种形式stgW g m m k ∆====1111111δδωgk mT st ∆==ππ2211图12-13[例12-1] 图示三种不同支承情况的单跨梁，EI ＝常数，在梁中点有一集中质量m ，当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。

ml/2l/2l/2l/2mm l/2l/2[解] 先按前面章节的方法算出此三种情况下的静力位移分别为EIm gl st4831=∆EImgl st768732=∆EImgl st19233=∆然后分别求得三种情况的自振频率为3148ml EI =ω327768ml EI =ω33192ml EI =ω据此可求得2:512.1:1::321=ωωω图12-14[例12-2]试求图示刚架的自振频率。

略去柱的质量。

II EI 1=∞m h1=∆k 1126hEI 26h EI 26h EI 26h EI 312h EI 312h EI 31124hEI k =[解] 先求刚架的刚度系数k 11。

为此，作出刚架横梁发生水平单位位移时的弯矩图，根据横梁的平衡条件可求得1124EI k ==ω于是刚架的自振频率为图12-15T当k 11较大或者m 较小时，周期T 取较低值。

Response Displacement Trace-0.002-0.00100.0010.002012345678910time(secs)Di s p l a c e m e n t (m )D i s p l a c e m e n t (m )四、自由振动反应讨论time (sec)TResponse Displacement Trace-3-2-10123012345678910time(secs)Di s p l a c e m e n t (m )D i s p l a c e m e n t (m )当k 11较小或者m 较大时，周期T 取较大值。

图12-18图12-19建筑物自振周期随着高度增加而增加，下表给出的是周期估计(按照美国规范IBC-2000中的经验公式推算)建筑高度(m)砼抗抗弯框架砼剪力墙180.640.4360 1.58 1.06120-- 1.8240-- 3.0420-- 4.6桥梁T = 6 -15 sec图12-20储水罐图12-21T = 3 -4 sec桥梁自振周期T = 0.5 sec图12-22 T = 1 secT = 2 secT = 5 secT = 10 sec五、简谐自由振动的特性由式)sin()(ϕω+=t A t y 可得，加速度为：)sin()(2ϕωω+-=t A t y )sin()()(2ϕωω+=-=t mA t ym t F I 在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。

它们的幅值产生于1)sin(=+ϕωt 时，其值分别为：Ay =02ωA y-= 2ωmA F I=既然在运动的任一瞬时质点都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t ，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。

惯性力为：[例12-3]计算图示体系的自振频率。

A BC D EI=∞l /2l /2lmm =1mm 312=k BC k 1m 2m α..A 1..A 2l k α01I F02I F[解]：单自由度体系，以α表示位移参数的幅值,各质点上所受的力为：αωω2212101l m A m F I ⋅==αωαωωl m l m A m F I ⋅=⋅==2222202212331建立力矩平衡方程0=∑B M 02320201=⨯-⨯+⨯l l k l F l F I I α0232122122=⨯-⨯+⨯l l k l l m l l m ααωαω化简后得km =2ωk =∴ω图12-23mk 11)(t F P (a))()(11t y k t F e -=)(t F P )()(t ym t F I -=(b))(11t F y k ym P =+ 所谓爱迫振动，是指体系在干扰力作用下所产生的振动。