19.2(3)证明举例
证明举例19.2(5)
D
O
B
证明: ∵OB=OC （已知） ∴∠OBC=∠OCB (等边对等角) （已知） ∵ ∠ABC=∠DCB ∴ ∠ABO=∠DCO (等式性质) 在⊿ABO和⊿DCO中 （已证） C ∠ABO=∠DCO BO=CO （已知） ∠AOB=∠DOC （对顶角相等） ∴⊿ABO≌⊿DCO (A.S.A) ∴AO=DO (全等三角形的对应边相等)
证明:
A
E
D
﹛
B
C
∵等边⊿ABC和⊿ADE (已知) ∴∠BAC=∠DAE=600 (等边三角 形的性质） CA=BA, DA=EA 在⊿ACD和⊿ABE中 CA=BA （已证） ∠CAD=∠BAE（已证） AD=AE （已证） ∴⊿ACD≌⊿ABE (S.A.S) ∴CD=BE (全等三角形的对应边相等)
﹛
﹛
证明:
A D
B
E
联结BD ∵BC的垂直平分线是DE （已知） ∴∠BED=∠CED=900 (垂直平分 BE=CE 线的定义) 在⊿BDE和⊿CDE中 （已证） BE=CE ∠BED=∠CED（已证） DE=DE （公共边） C ∴⊿BDE≌⊿CDE (S.A.S) ∴BD=CD (全等三角形的对应边相等) ∠DBE=∠C (全等三角形的对应角相等) ∵AB=CD （已知） ∴BD=AB (等量代换) ∴∠A=∠BDA (等边对等角) ∵∠BDA=∠C+∠DBE (三角形的外角性质) ∴∠A=2∠C (等量代换)
A
D
O
B
证明: ∵OB=OC （已知） ∴∠OBC=∠OCB (等边对等角) 在⊿ABC和⊿DCB中 （已知） ∠ABC=∠DCB BC=CB （公共边） ∠ACB=∠DBC （已证） C ∴⊿ABC≌⊿DCB (A.S.A) ∴AC=BD(全等三角形的对应边相等) ∴OA=OD (等式性质)
沪教版(上海)八年级上册数学19.2证明举例(解析版)
19.2证明举例一、解答题1．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图点D在AB上，E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC,∠B=∠C,求证：BD=CE．【答案】见解析【解析】由两角和夹边ASA即可得出∠ABE∠∠ACD,由全等三角形的性质可到AE=AD,进而可得出结论BD=CE．证明:在∠ABE和∠ACD中B CA A AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以∠ABE∠∠ACD（ASA）,所以AD=AE,因为AB=AC,所以AB-AD=AC-AE即:BD=CE,【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,关键是由两角和夹边得出∠ABE∠∠ACD．2．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图所示ABC，BE，CD相交于O，AB=AC，AD=AE（1）求证：OD=OE（2）联结DE，求证：DE//BC．【答案】（1）见解析；（2）见解析≅，再由全等三角形对应边、对应角相等解题即可；【解析】（1）根据SAS证明ADC AEB≅,最后根据全等三角形（2）先根据AB=AC，整理出BD、EC的数量关系，再由AAS证明BDO CEO对应边相等的性质解题即可．（1）证明：在ADC和AEB△中AB=AC；∠A=∠A；AD=AE，≅所以ADC AEB所以∠ABE=∠ACD，又因为AD=AE，所以BD=CE ， 在BDO △和CEO 中 BD=EC ∠ABE=∠ACD ∠DOB=∠EOC 所以BDO CEO ≅ 所以OD=OE （2）证明：AD AE AB AC ==，AD AEAB AC∴=A A ∠=∠ADE ABC ∴ADE ABC ∴∠=∠//DE BC ∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．3．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图，在∠ABC中，∠A∠∠ABC∠∠ACB=3∠4∠5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．【答案】135°【解析】先设∠A=3x∠∠ABC=4x∠∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A∠∠ABC∠∠ACB，在∠ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC∠解：∠在∠ABC中，∠A∠∠ABC∠∠ACB=3∠4∠5∠故设∠A=3x∠∠ABC=4x∠∠ACB=5x∠∠在∠ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠∠3x+4x+5x=180°∠解得x=15°∠∠∠A=3x=45°∠∠BD∠CE分别是边AC∠AB上的高，∠∠ADB=90°∠∠BEC=90°∠∠在∠ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°∠∠∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°∠【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．4．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）如图，AB=AC，E是AD上的一点，∠BAE=∠CAE．求证：∠EBD=∠ECD．【答案】见解析【解析】先证明∠ABD∠∠ACD ，得到∠ADB=∠ADC ，BD=CD ，再证明∠BDE∠∠CDE ，问题得证．证明：在∠ABD 和∠ACD 中AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠ACD ，∠∠ADB=∠ADC ，BD=CD ，在∠BDE 和∠CDE 中DE DE EDB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠BDE∠∠CDE ， ∠∠EBD=∠ECD ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．5．（2020·仪征市第三中学初二月考）如图，点E∠F 在BC 上，BE=CF∠AB=DC∠∠B=∠C∠AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF∠【答案】证明见解析. 【解析】求出BF=CE ，根据SAS 推出∠ABF∠∠DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． ∠BE=CF∠∠BE+EF=CF+EF∠ ∠BF=CE∠在∠ABF 和∠DCE 中AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠∠ABF∠∠DCE∠SAS∠∠ ∠∠GEF=∠GFE∠ ∠EG=FG∠【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．6．（2020·全国初一课时练习）如图，现有以下3个论断：//BD EC ；D C ∠=∠；A F ∠=∠．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．解：（1）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠；由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠； 由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ； 故能组成3个命题．（2）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠． D C ∠=∠，∠ABD D ∠=∠， //AC DF ∴，A F ∴∠=∠．由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠． A F ∠=∠，//AC DF ∴，,D ABD ∴∠=∠D C ∴∠=∠．由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ，是真命题．理由如下： ∠A F ∠=∠，//AC DF ∴，D ABD ∴∠=∠．D C ∠=∠，ABD C ∴∠=∠，//BD EC ∴．【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．7．（2020·四川前锋·初三其他）如图，点A 、F 、C 、D 在一条直线上，AB DE ∥，AB DE =，AF DC =．求证：BC EF ∥．【答案】见解析.【解析】由全等三角形的性质SAS 判定∠ABC∠∠DEF ，则对应角∠ACB=∠DFE ，故证得结论．∠AB DE ∥， ∠A D ∠=∠． ∠AF DC =， ∠AC DF =．在ABC △与DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABC △∠DEF （SAS ）． ∠ACB DFE ∠=∠．∠BC EF ∥． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件. 8．（2020·广西北流·初三学业考试）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，点D 在边AB 上，使DB BC =，过点D 作EF AC ⊥，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F ．求证：AB BF =．【答案】详见解析【解析】根据EF AC ⊥得出90F C ∠+∠=︒，再根据90A C ∠+∠=︒，故A F ∠=∠，证明FBD ∠ABC 即可证明AB BF =.∠EF AC ⊥，∠90F C ∠+∠=︒．∠90A C ∠+∠=︒，∠A F ∠=∠．在FBD 和ABC 中，90A FFBD ABC BD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠FBD ∠ABC （AAS ），∠AB BF =． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质是解题的关键.9．（2019·全国初二课时练习）如图，在∠ABC 中，AB=AC ，D 点在BA 的延长线上，点E 在AC 上，且AD=AE ，DE 的延长线交BC 于点F ，求证：DF∠BC ．【答案】见解析证明．【解析】试题分析：过A作AM∠BC于M，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DF∠AM，进而得到DF∠BC．试题解析：证明：如图，过A作AM∠BC于M，∠AB=AC，∠∠BAC=2∠BAM，∠AD=AE，∠∠D=∠AED，∠∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，∠∠BAC=2∠BAM=2∠D，∠∠BAM=∠D，∠DF∠AM，∠AM∠BC，∠DF∠BC．考点：等腰三角形的性质．．10．（2020·玉山县南山乡中学月考）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且ABD EBC()1求证：AC BD ⊥；()2判断直线AD 与直线CE 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析【解析】（1）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（2）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答．()1证明：∠ABD EBC ≅，ABD EBC ∠=∠∴．又A ，B ，C 在同一条直线上，90EBC EBA ∴∠=∠=，即AC BD ⊥．()2解：直线AD 与直线CE 垂直．理由：延长CE 交AD 于F ，如图所示，ABD EBC ≅， D C ∴∠=∠．在Rt ABD △中，90A D ∠+∠=，则A C90∠+∠=，∠90∠=，AFC⊥．即CE AD【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答的关键．11．（2020·荆州市实验中学月考）如图，∠ABE和∠CBF有公共顶点B，且满足AB=CB，EB=FB，AB∠BC，BE∠BF，AE和CF交于点D．（1）求证：∠ABE∠∠CBF；（2）求证：AE∠CF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由已知可得：∠ABE＝∠FBC，从而可得∠ABE∠∠CBF；（2）记AE与BC交于点H，则由（1）和已知可得∠A＝∠C，∠CHD＝∠AHB，再由三角形内角和定理可以得到∠CDH=∠CBA=90°，从而可以证得AE∠CF．（1）由AB∠BC，BF∠BE可知：∠ABC＝∠EBF＝90°∠∠ABC＋∠CBE＝∠EBF＋∠CBE即∠ABE＝∠FBC在∠ABE和∠CBF中：ABE CBF EB FB ⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBF （SAS ） （2）由（1）知：∠ABE∠∠CBF ∠∠A ＝∠C记AE 与BC 交于点H ，则：∠AHB ＝180°－∠ABC －∠A ＝90°－∠A 又∠∠CHD ＝∠AHB ＝90°－∠A ∠∠C ＋∠CHD ＝∠C ＋90°－∠A ＝90° ∠∠CDH ＝180°－90°＝90° ∠AE∠CF 【点睛】本题考查三角形全等的应用，综合运用三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理求证是解题关键． 12．（2020·湖南渌口·初二期末）如图，BD ∠CE 分别是ABC 的高，且BE CD =，求证：Rt BEC Rt CDB ≅∠【答案】证明见解析.【解析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL 推出即可；证明：∠BD ∠CE 分别是ABC 的高， ∠90BEC CDB ∠=∠=∠ 在Rt BEC 和Rt CDB 中，BE CD⎨=⎩∠ ∠()Rt BEC Rt CDB HL ≅∠ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．13．（2020·剑阁县公兴初级中学校初二月考）如图，AD 是ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，求证：122B ∠+∠=∠．【答案】见解析【解析】根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ，再利用角平分线的定义转化证明即可．证明：∠∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ， ∠AD 是∠ABC 的角平分线， ∠∠BAC=2∠BAD ，∠∠B+∠1=∠B+∠B+∠BAC=2∠B+2∠BAD=2∠2． 【点睛】此题考查三角形外角的性质，关键是根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ． 14．（2020·安徽临泉·初二期末）如图，在ABC ∆和DEF ∆中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件：∠AB DE =；∠AC DF =；∠//AB DE ；∠BE CF =.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明. 解：我写的真命题是：已知：____________________________________________； 求证：___________.（注：不能只填序号） 证明如下：【答案】已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF.求证：AB∠DE.证明见解析.或已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AB∠DE ，BE=CF ．求证：AC=DF ．证明见解析.【解析】由BE=CF∠BC=EF ，所以，由∠∠∠，可用SSS∠∠ABC∠∠DEF∠∠ABC=∠DEF∠ AB∠DE ；由∠∠∠，可用SAS∠∠ABC∠∠DEF∠AC=DF ；由于不存在ASS 的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．解：将∠∠∠作为题设，∠作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ． 求证：AB∠DE ．证明：在∠ABC 和∠DEF 中， ∠BE=CF ， ∠BC=EF.又∠AB=DE ，AC=DF ， ∠∠ABC∠∠DEF （SSS ） ∠∠ABC=∠DEF ． ∠ AB∠DE.将∠∠∠作为题设，∠作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AB∠DE ，BE=CF ． 求证：AC=DF ．证明：∠AB∠DE,∠∠ABC=∠DEF. 在∠ABC 和∠DEF 中 ∠BE=CF ，∠BC=EF.又∠AB=DE，∠ABC=∠DEF，∠∠ABC∠∠DEF（SAS），∠AC=DF．【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．15．（2020·上虞市实验中学初二月考）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AF=DE．【答案】见解析．【解析】先根据CE=FB得到CF=BE，然后利用“边边边”证明∠ABE和∠DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用“边角边”证明∠ABF和∠DCE全等，然后根据全等三角形对应边相等得证．∠CE=FB，∠CE+EF=FB+EF，即CF=BE，在∠ABE和∠DCF中，AB CD AE DF CF BE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABE∠∠DCF（SSS），∠∠B=∠C，在∠ABF和∠DCE中AB CDB C CE FB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABF∠∠DCE（SAS），∠AF=DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等．16．（2020·江苏海安·月考）如图，AD=CB，AE∠BD，CF∠BD，E、F是垂足，AE=CF．求证：（1）AB=CD（2）AB//CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用HL得到直角三角形ADE与直角三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=BF，可得DF=BE，利用SAS得到三角形AEB与三角形CFD全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．证明：（1）⊥⊥，CF BDAE BDAEB CFD AED CF∴∠=∠=∠=∠=︒B90==，AD CBAE CF∴∆≅∆()Rt ADE CBF HL∠DE=BF∴-=-BD BD BFDE∴=BE DF=∠AEB CFD∠=∠，AE CF∠ABE CDF∆≅∆（SAS）∠AB=CD；∆≅∆（2）∠ABE CDFABE CDF∠∠=∠∴AB CD//【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2020·上虞市实验中学初二月考）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P放在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．【答案】PC=PD，证明见解析【解析】作PE∠OA,PF∠OB,垂足分别为E、F，易证∠ PEO∠∠PFO，得出∠CPE=∠DPF，再证∠PEC∠∠PFD 即可.解：PC=PD证明：作PE∠OA,PF∠OB,垂足分别为E、F．则有∠PEC=∠PFD=90°即∠PEO=∠PFD=90°∠OM平分∠AOB∠∠POE=∠POF于是在∠PEO和∠PFO中∠PEO PFOPOE POFPO PO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠ PEO∠∠PFO(AAS)∠ PE=PF(全等三角形的对应边相等)∠ ∠CPD= 90 ° 即∠CPE+∠EPD=90°易知∠ EPF= 90 ° 即∠ DPF+∠EPD=90°∠ ∠CPE=∠DPF于是在∠PEC和∠PFD中∠PEC PFDCPE DPFPE PF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠PEC∠∠PFD(AAS)∠ PC=PD(全等三角形的对应边相等)18．（2020·湖北红安·初二月考）如图1，已知∠ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与∠ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）详情见解析；（2）四边形DMBN面积不发生变化，面积为14；（3）仍然成立，证明见解析.【解析】（1）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明∠MBD∠∠NCD，进而求证即可；（2）根据全等得出∠MBD与∠NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于∠BDC的面积，进而求解即可；（3）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明∠MBD∠∠NCD，进而求证即可.（1）如图1，连接BD.∠在Rt∠ABC中，AB=BC，AD=DC，∠BD=DC=AD，∠BDC=90°，∠∠ABD=∠C=45°，∠∠MDB+∠BDN=90°，∠CDN+∠BDN=90°∠∠MDB=∠NDC，在∠MBD与∠NCD中，∠∠MDB=∠NDC，BD=DC，∠MBD=∠C，∠∠MBD∠∠NCD，∠DM=DN.（2）四边形DMBN面积不发生变化.由（1）得∠MBD∠∠NCD，∠S∠MBD=S∠NCD，∠四边形DMBN面积=S∠DMB+S∠BDN= S∠CND+ S∠BDN=12S∠ABC=14.∠3∠DM=DN仍然成立.如图2，连接BD，∠在Rt∠ABC中，AB=BC，AD=DC，∠DB=DC,∠BDC=90°，∠∠DCB=∠DBC=45°，∠∠DBM=∠DCN=135°，∠∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，∠∠CDN=∠BDM，在∠CDN与∠BDM中，∠∠CDN=∠BDM，DC=DB，∠DCN=∠DBM，∠∠CDN∠∠BDM，∠DM=DN.【点睛】本题主要考查了三角形旋转问题与全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.。
19.2举例证明(5)
19.2证明举例（5）一：教学目标1、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题;2.了解证明之前进行分析的基本思路，初步掌握规范表达的格式；3、了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；4、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态.5．通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，体会理性思维的精神，发展逻辑思维能力二：教学重点及难点重点：分析基本思路，掌握规范的表达格式.难点：辅助线的添加及其利用图形运动证明的方法三、教材分析：本节课是第十九章第二节证明举例中的第五节，已经学过的平行线的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质等知识的运用为载体，着重学习演绎推理的思考方法以及证明的步骤、格式的规范，而本节课是重点是怎样把分散的已知条件集中到一个图形上，了解添置辅助线的基本方法，为后面的进一步探索演绎证明做好铺垫。
四、学情分析：在此之前学生在七年级已经学习了平行线的性质与判定，全等三角形性质和判定，对于这部分内容学生掌握的很好，可以自行处理中等的平行线和三角形全等的题目，通过前四节课的学习，学生已经复习了以前所学的知识，对这里的内容并不陌生，但对于利用图形的运动来证明sss定理难于理解，再就是添置辅助线比较困难，故要多引导，多让学生体会，多总结五：教学过程（一）复习回顾、归纳整理全等三角形的判定定理1、两条边及它们的夹角对应相等（S、A、S）2、两角及它们的夹边对应相等（A、S、A）3、两个角及其中一个角的对边对应相等（A、A、S）4、三边对应相等（S、S、S）（由于是七年级下学期学得几何，部分学生对平行线和三角形的有关知识有些淡忘，所以通过提问的方式复习一下，让学生回忆起来。
）（二）新课引入：我们已用画图的方法说明了上述结论的正确性（按照上述各条件画出来的三角形形状大小完全一样），也用折叠的方法说明了1、2、3结论的正确性，那么今天我们就用它们来证明4的正确性。
沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：19.2证明举例( 答案不全)
19.2（1）证明举例一、解答题1.已知：如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由．2.已知：如图， AB∥CD，∠B＋∠D＝180°. 求证：BG∥DE.3.．已知：如图，∠E＝∠DAB，∠F＝∠C，请你说明AB与CD是否平行．4. 已知：如图， AB＝AC，AE平分∠DAB. 求证：AE∥BC.5. 已知：如图，点C、D在AB上，AC＝BD，DF∥CE，DF＝CE. 求证：BE∥AF.6. 已知：如图， AB∥CD，∠1＝∠2. 求证：AC∥BD.二、提高题7．已知：如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1＋∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．19.2（2）证明举例一、解答题1．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF．求证：∠A=∠D．2．已知：如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：AB=AD．3. 已知：如图， AB＝AC，BE＝CD. 求证：∠B＝∠C.4. 已知：如图， AB＝AC，E是AC上任意一点，ED⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F. 求证：AE＝AF.5. 已知：如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.二、提高题6.已知：如图，点E为四边形ABCD外一点，联结EB、EA、ED、EC，其中EA、ED与BC交点分别为M、N，且AD∥BC，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.19.2（3）证明举例一、解答题1．已知：如图，AD是BC上的中线，且BE∥CF．求证: DF=DE．2．已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在直线AD上，∠ABE＝∠DCF．求证：BE‖CF．3. 如图，已知：点C在线段AB上，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交DC于M，BD交CE于N. 求证：MN∥AB.4. 已知：如图， E是BC上一点，AB＝EC，∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED. 求证：AE＝DE.5. 已知：如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC上一点，DE⊥AB于点F，AB＝DE. 求证：△BDC是等腰直角三角形．二、提高题6. 已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。
课题：19.2 证明的举例(6)
课题：19.2 证明的举例（6）一、教学目标1、进一步获得证明之前进行分析的基本思路,掌握演绎推理的一般规则。
2、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角倍分的简单问题.3、体会在图形运动思想的指导下添置辅助线和构造基本图形添置辅助线两种常用方法。
4、通过一题多解提高学生的思维能力，激发学习几何的兴趣。
二、教学重点、难点重点：分析解题的基本思路，体会在图形运动的思想指导下添置辅助线方法和构造基本图形添置辅助线的方法。
难点：探索添置常规辅助线的方法。
三、教材分析几何证明举例以已经学过的平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识的应用为载体，着重学习基本的逻辑术语、演绎推理的思考方法以及证明的步骤、格式与规范。
证明举例的教学应注重调动学生已有的知识经验和建立必要的逻辑知识基础，架起从实验几何到论证几何的桥梁，引导学生平稳过渡。
本节课是几何证明举例的第六节课，学习的内容是证明线段相等和角相等的延续和深化，学生主要从中学会分析解题的基本思路，体会并掌握在图形运动的思想指导下添置辅助线方法和构造基本图形添置辅助线的方法。
四、学情分析通过前面几节课证明举例的学习和实践，学生已知道演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式，能利用一些证题的基本方法进行合理的逻辑推理，本班学生对于学习几何证明兴趣较浓。
本节课的设计从复习等腰三角形的性质,变换“等腰三角形三线合一”这一性质的条件和结论引入新课,有助于学生对新知的理解,有利于激发学生探索新知的兴趣。
五、教学过程《19．2证明举例（6）》一课教学设计说明通过前面几节课证明举例的学习和实践，学生已知道演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式，能利用一些证题的基本方法进行合理的逻辑推理。
本节课学习的内容是证明线段相等和角相等的延续和深化。
教学重点落在分析解题的基本思路，体会在图形运动的思想指导下添置辅助线方法和构造基本图形添置辅助线的方法。
19.2(2)证明举例 学案
19.2(2)证明举例一、课前练习1.已知:如图,AB=AC,∠1=∠2,DE=DF.求证:EF∥BC.二、阅读理解1.阅读教材P90～P92.2.填空:(1)根据什么条件可判定两个三角形全等?_____________________________________________ _ _____________________________________________ _ _____________________________________________ _ (2)等腰三角形有哪些性质?_____________________________________________ _ _____________________________________________ _ (1)根据什么条件可判定一个三角形是等腰三角形?_____________________________________________ _ (5)依据学过的哪些定理可以证明线段相等?_____________________________________________ _ (6)依据学过的哪些定理可以证明角相等?_______________________________________________ 3.阅读中遇到的问题有:三、新课探索例题1 已知:如图,AC与BD相交于点O,OA=OD,∠OBC=∠OCB.求证:AB=DC.例题2 已知:如图,AB=AC,DB=DC.求证:∠B=∠C.四、课内练习1.已知:如图,△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,垂足为点D.求证:△ABC是等腰三角形.2.已知:如图,AB=AC,AD=AE,AB,DC相交于M,AC,BE相交于点N,∠DAB=∠EAC.求证:∠D=∠E.3.已知:如图,E,F是线段BC上的两点,AB∥CD,AB=DC,CE=BF.求证:AE=DF.4.已知:如图,点D在AB上,点E在AC上,BE、CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:BD=CE.5.已知:如图,AB=AD,∠B=∠D.求证:CB=CD.19.2（2）证明举例1、如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上，且FB=CD，∠EDF=∠B.求证：DE=DF.2、如图，△ABC为等边三角形，BD=CE．1）求证：AD=BE2）求∠AFE的度数．3、已知：如图，A、E、D在一直线上，AB=AC，∠ABE=∠ACE。
19.2(2)证明举例简案
19.2(2)证明举例教学目标：1、知识与技能目标：初步学会利用全等三角形、等腰三角形的判定与性质来证明线段相等、角相等；初步学会如何添辅助线构造全等三角形或等腰三角形，了解添辅助线的意义。
2、过程与方法：通过演绎推理的继续学习，进一步体会在证明前的分析方法和证明过程的表述规范，体会到几何证明可以一题多解，提高逻辑思维的能力，形成多角度分析问题、解决问题的方法。
3、情感与态度：关注学生参与学习的积极性，和对理性思维的领悟与体会。
教学重点及难点：重点：初步学会利用全等三角形、等腰三角形的判定与性质证明有关线段相等、角相等的简单问题。
难点：探索证明题思路和辅助线的添置。
教学过程设计：一、复习引入，打好铺垫1、 判断两个三角形全等的方法有_____________。
2、 如果已知两个三角形全等，我们又可以得到什么结论？3、 如图，在ABC ∆中， （1）∵AB AC =（已知）∴B C ∠=∠（等边对等角） （2）∵B C ∠=∠（已知）∴AB AC =（等角对等边）二、例题精讲：例题1：已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，垂足为点D 。
求证：AB=AC 。
方法一：通过证明两个三角形全等得到两条边相等。
方法二：通过等角证等边。
刚才证明两条线段相等用了哪些方法？练习： 已知：如图，AC 与BD 相交于点O ，OA OD =， OBC OCB ∠=∠，求证：AB DC =。
方法一：通过△ABO 和△DCO 全等证AB DC = 方法二：通过△ABC 和△DCB 全等证AB DC =方法三：联结AD ，通过△ABD 和△DCA 全等证AB DC =A BCD AB CA CB DO例题2 已知：如图AB DC =、DB DC =，求证：B=C ∠∠。
方法一：联结AD想一想：除了利用全等三角形证明法外，还有没有其他证明方法呢？方法二：联结BC证明两个角相等用了哪些方法？练习：已知：如图，AB AC,AD AE,==AB 、DC 相交于点M ，AC 、BE 相交于点N ，DAB EAC ∠=∠,求证：D E ∠=∠。
19.2证明举例(2)
课题：19.2证明举例（2）（上海教育出版社七年级第二学期p90~p92）
新港中学许晗
【教学目标】：
教继续学习演绎推理，初步掌握规范表达的格式；
能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判断与性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题；
了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的几种辅助线.
【学重点与难点】：
重点：如何进行演绎证明和简明表达.
难点：如何探索证题思路和添置辅助线.
【教学设想】：通过学生已有的认知结构，采用创设学生熟悉的问题情景，层层设疑、讲练结合，综合运用探究式、启发式方法进行教学.
【课前准备】：课件，投影仪，电子白板。
【教学方法】：探索发现法和运用多媒体教学;尝试指导法，以学生为主体，以训练为主线。
【教学过程】：
1.全等三角形有几条判定？分别简记为什么？
2.全等三角形的性质是什么？
3. 利用全等三角形的性质可以证明什么？
4.等腰三角形与什么样的性质？分别可以用来
证明什么？
∠B和∠C就分别为△这时要证明∠B=。
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课前练习
判断两个三角形全等的方法有_____________。 S.A.S 两边一夹角对应相等 A.S.A 两角一夹边对应相等 A.A.S 两角及其中一角对边对应相等 S.S.S 三边对应相等
如果已知两个三角形全等，我们又可以得到什么结论？ 对应边相等，对应角相等
课前练习
作业：练习册19.2(3)
图形有哪三种基本运动？
平移 旋转 翻折
图形作基本运动后图形的形状大小会改变 吗？
图形做平移、旋转运动，图形的 大小形状不发生改变
例1
如图，已知：AD、BC相交于点O，OA=OD， OB=OC，点E、F在AD上， ∠ABE= ∠DCF。
求证：BE//CF。
方法1：
∠1= ∠2可以推得BE//CF，
A
B
故证明∠1= ∠2即可，
而∠1=∠A+ ∠ABE， ∠2=∠D+ ∠FCD，
E1
根据∠ABE =∠FCD只需证明∠A= ∠D，
因此设法证明三角形全等即可。
O
方法2：
∠EBO= ∠FCO可以推得BE//CF，
故证明∠EBO= ∠FCO即可， 根据∠ABE =∠FCD，只需证明∠ABO=
C
∠DCO，因此设法证明三角形全等即可。
B
E
C
巩固练习
已知：如图，BE⊥AC， DF⊥AC，垂足分别是 E、 F，AF=CE，BE=DF。
求证：AB//CD。
A
D
E
F
B
C
巩固练习
已知：如图，DE//BC，A是DE边上一点， AD=AE，AB=AC。
求证：BE=CD。
D
A
E
B
C
课堂小结
1.平行的常用判定方法 2.线段相等常用的证明方法 3.你还有什么收获？
2F D
变式练习
如图，已知：AD、BC相交于点O，OA=OD， OB=OC，点E、F在AD上， ∠ABE= ∠DCF。
求证：BE//CF。 A
图形改变了，
但证明思路没有发生变化。 结题关键仍然是： 证明∠BEO= ∠CFO或者 证明∠EBO= ∠FCO
E
B
O
C
F
D
变式练习
如图，已知：AD、BC相交于点O，OA=OD， OB=OC，点E、F在AD上， AE= DF。
Hale Waihona Puke 求证：BE//CF。A
B
图形和已知条件都改变了， 因此证明思路也会发生变化。 但结题关键仍然是： 证明∠BEO= ∠CFO或者 证明∠EBO= ∠FCO
FO E
C
D
例2
如图，已知：AD//BC，E是线段BC的中点， AE=DE。
求证： AB=DC 。
分析：AB、DC位于两个不同三角形中，A
D
因此设法证明△ABE≌ △DCE即可。