2020-2021学年北师大版必修五 余弦定理 课时作业
2021年高中数学北师大版必修5达标练习：第2章§1-1.3正弦定理和余弦定理习题课版含解析
[A 根底达标]1．在△ABC 中 ,a ＝15 ,b ＝10 ,A ＝60° ,那么cos B 等于( ) A.63B ．223C ．－63 D ．－223 解析：选A.因为a ＝15 ,b ＝10 ,A ＝60° ,所以在△ABC 中 ,由正弦定理可得sin B ＝b sin A a＝10×3215＝33 ,又由a >b 可得A >B ,即得B 为锐角 ,那么cos B ＝1－sin 2B ＝63. 2．在△ABC 中 ,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边 ,且cos 2A 2＝b ＋c 2c,那么△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.因为cos 2A 2＝b ＋c 2c 及2cos 2A 2－1＝cos A ,所以cos A ＝b c ,即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c,所以a 2＋b 2＝c 2 ,那么△ABC 是直角三角形．应选A.3．在△ABC 中 ,|AB →|＝4 ,|AC →|＝1 ,△ABC 的面积为3 ,那么AB →·AC →＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4解析：选A.因为|AB →|＝4 ,|AC →|＝1 ,△ABC 的面积为3 ,所以S △ABC ＝12·|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝ 3.所以sin A ＝32 ,所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±12. 所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A＝4×1×⎝⎛⎭⎫±12＝±2 ,应选A.4．在△ABC 中 ,A ＝π3,且最||大边长和最||小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根 ,那么第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.A ＝π3,且最||大边长和最||小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根 ,那么第三边为a ,b ＋c ＝7 ,bc ＝11 ,所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos π3 ＝ (b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝4.5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0 ,a ＝2 ,c ＝2 ,那么C ＝( )A.π12B ．π6 C.π4 D ．π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0 ,所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0 ,所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0 ,整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0 ,因为sin C ≠0 ,所以sin A ＋cos A ＝0 ,所以tan A ＝－1 ,因为A ∈(0 ,π) ,所以A ＝3π4 ,由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a＝2×222＝12 ,又0<C <π4 ,所以C ＝π6.应选B. 6．△ABC 中 ,A ＝60° ,a ＝3 ,那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝__________． 解析：由题知 ,设△ABC 外接圆半径R , 那么2R ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝23 , 那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝2 3. 答案：2 3 7．在△ABC 中 ,sin A ∶sin B ＝2∶1 ,c 2＝b 2＋2bc ,那么三内角A 、B 、C 的度数依次是________．解析：由题意知a ＝2b ,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,又c 2＝b 2＋2bc ,所以cos A ＝22 ,得A ＝45° ,sin B ＝12 ,B ＝30° ,所以C ＝105°.答案：45° ,30° ,105°8．在△ABC 中 ,B ＝60° ,AC ＝3 ,那么AB ＋2BC 的最||大值为__________．解析：由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A, 所以AB ＝2sin C ,BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120° ,所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α) ,其中tan α＝32,α是第|一象限角． 由于0°<C <120° ,且α是第|一象限角 ,因此AB ＋2BC 有最||大值27.答案：279．在△ABC 中 ,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,b cos C ＝(2a －c )cos B ．(1)求角B 的大小；(2)假设b 2＝ac ,试确定△ABC 的形状．解：(1)由及正弦定理 ,有sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ,即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ．所以sin(B ＋C )＝2sin A cos B ．因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0 ,所以2cos B ＝1 ,即cos B ＝12,所以B ＝60°. (2)由题设及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 ,ac ＝a 2＋c 2－2ac cos 60° ,即a 2＋c 2－2ac ＝0.所以(a －c )2a ＝c .由第|一问知B ＝60° ,所以A ＝B ＝C ＝60°.所以△ABC 为正三角形．10．在△ABC 中 ,a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最||大值．解：(1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又因为0<∠B <π ,所以∠B ＝π4. (2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4,那么 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4. 因为0<∠A <3π4 ,所以当∠A ＝π4时 ,2cos A ＋cos C 取得最||大值1. [B 能力提升]11．在△ABC 中 ,sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ,那么C 等于( )A.π6B ．π3 C.5π6 D ．2π3解析：选B.由sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )·sin B ,结合正弦定理可得a 2－c 2＝(a －b )b ＝ab －b 2 ,即a 2＋b 2－c 2＝ab ,由余弦定理可得2ab cos C ＝ab ,解得 cos C ＝12 ,所以C ＝π3. 12．在△ABC 中 ,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,A ＝π3,b ＝1 ,三角形ABC 的外接圆半径为1 ,那么△ABC 的面积S ＝________． 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝2R ,所以a ＝3 ,sin B ＝12,所以a >b ,所以A >B ,所以B ＝π6 ,C ＝π2.所以S △ABC ＝32.答案：3213．在△ABC 中 ,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos A a ＋cos B b ＝sin C c. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)假设b 2＋c 2－a 2＝65bc ,求tan B ． 解：(1)证明：根据正弦定理 ,可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)． 那么a ＝k sin A ,b ＝k sin B ,c ＝k sin C ,代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中 ,有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C,变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中 ,由A ＋B ＋C ＝π ,得sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ,所以sin A sin B ＝sin C .(2)由 ,b 2＋c 2－a 2＝65bc ,根据余弦定理 ,有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35 , 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由第|一问 ,知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B , 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ,故tan B ＝sin B cos B＝4. 14．在△ABC 中 ,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且a 3cos A ＝c sin C . (1)求A 的大小；(2)假设a ＝6 ,求b ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理 ,得a 3cos A ＝a sin A , 整理得sin A ＝3cos A ,即tan A ＝ 3.又0<A <π ,所以A ＝π3.(2)因为b sin B ＝c sin C ＝6sin π3＝43 , 所以b ＝43sin B ,c ＝43sin C ,那么b ＋c ＝43sin B ＋43sin C ＝43[sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ]＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0<B <2π3, 那么π6<B ＋π6<5π6, 所以12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1(当且仅当B ＝π3时 ,等号成立) , 得6<b ＋c ≤12 ,于是b ＋c 的取值范围是(6 ,12]．。
20212022学年高中数学北师大版5作业212余弦定理含解析.docx
课酎分屋作业（十二）余弦定理（建议用酎：60分钟）［。
组基础巩固练］~、选.择题1.在△ABC中，巳知。
=4, b = 6, C = 120°，则边.c的值是（JA、8 B. 2错误！C. 6错误！D. 2错误！D ［由余弦定理得:c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 16 + 36 - 2x4x6cos 120° = 76,所以c = 2错误!，故选D、J2.在△ABC中，若。
=8力=7, cos C =错误!，则最大角的余弦值是（）A、一错误！ B. —错误！C, 一错误！D, —错误！C ［由余弦定理，得c2 = a2 + b2 - 2abcos C = 82 + 72 - 2x8x7x 错误！= 9, 所以c = 3,故。
栽火，所以景大角的余弦值为cos A =错误！=错误!=一错误！在4 ABC中，a, b, c为角A, B,。
的对适，且b2 = ac f则£的取值施围是（形状是() (A + B),又 sin (A + B)*0, sin(A - B) = sin fA + B), 2cos AsinB = 0,又 sin B/0, .\cos A = 0,又 AE(0,兀)，则 4 =错误!，故也B.J5、在△ABC 中，角A, B,。
所对的适分别为Q , b, c,若C=120°, c = \/2a,贝1 ()A.。
B.a<b C.a =b D. 。
与。
的大<1、关系不能确定 A ［由余弦定理，知c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos C,贝 1 2a 2 = a 2 + b 2 + ab, a -b + ab,则B.错误!C.错误!D.错误!a 2 + c 2 -b 1 a-c 1 + acA [cosB - lac赤< =错误！ +错误£错误！，因为0<B 〈兀，所以BE 错误！、］4,在人ABC 中,sin (A + B)sin(A - B) = sin 2C,则此三角形的 A 、等腰三角形 B.直角三角形 C 、等适三角形 D.等腰直角三角形 B [V sin C = sin(A + B) ,sin (A + B) sin (A- B) = sin 2A 、错误!错误！曰，+错误！一1 = 0,所以错误！=错误！〈1,所以。
2020-2021学年北师大版高中数学必修五《余弦定理》课时练习1及解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修五1.2 余弦定理(一)课时目标1.熟记余弦定理及其推论；2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a2＝________________，b2＝________________，c2＝____. 2．余弦定理的推论cos A＝________________；cos B＝______________；cos C＝________________. 3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝________.一、选择题1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )A.3B ．3 C.5D ．52．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3B.π6 C.π4D.π123．在△ABC 中，已知a ＝2，则bcos C ＋ccos B 等于( ) A ．1 B.2C ．2 D ．4 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14B.34C.24D.235．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a>0，b>0)，则最大角为________． 10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.三、解答题11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．能力提升13．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．14．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．2 余弦定理(一)答案知识梳理1．平方平方夹角两倍b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C2.b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab3.(1)90°(2)60°(3)135°作业设计 1．A2．B [∵a>b>c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. ∴C ＝π6.]3．C [bcos C ＋ccos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a22a＝a ＝2.]4．B [∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.]5．B [∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．]6．B [∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12absin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2absin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2absin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .] 7．120° 8．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12 ∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°. 9．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ， 则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°. 10．－2 3解析 S △ABC ＝12acsin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·ABcos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－12，又∵C ∈(0°，180°)， ∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2abcos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12absin C ＝32.13. 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝3.14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。
高中数学必修5课时作业 余弦定理作业
余弦定理作业1、在ABC ∆中，222c b a <+，则这个三角形一定是 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 2、在ABC ∆中，8,6,5===b a c ，则ABC ∆的形状是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 非钝角三角形 3、在ABC ∆中，60=B ，ac b =2，则这个三角形是 （ ） A. 不等边三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 4、在ABC ∆中， 若2cos2cos2cosC c B b A a ==，那么ABC ∆是 ( )A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形5、在ABC ∆中，已知ab b c a =+-222，则=∠C （ ）A. 60B. 45或 135C. 120D.306、若三角形三边长之比是2:3:1，则其所对角之比为 （ ） A. 3:2:1 B. 2:3:1 C. 3:2:1 D.2:3:27、在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，则ABC ∆的最大角是 （ ） A.30 B.60 C.90 D.120 8、在ABC ∆中，已知()2224442ba c cb a +=++，则角C 为 （ ）A.30 B.60 C.45或135 D.1209、在ABC ∆中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A.B.C. 32D.10、在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦值为 。
11、在A B C ∆中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两根，120=C ，则=c 。
12、在A B C ∆中，已知b c a b a 2,4=+=-，且最大角为120，则该三角形的周长为 。
13、在ABC ∆中，若120=A ，7,5==a c ，则ABC ∆的面积=S 。
2020-2021学年北师大版高中数学必修五《正、余弦定理》单元同步检测题及解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修五1 正弦定理和余弦定理（北师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，下列各式中符合余弦定理的是（）（1）c2＝a2＋b2－2abcos C；（2）c2＝a2－b2－2bccos A；（3）b2＝a2－c2－2bccos A；（4）cos C＝a2＋b2＋c2－2ab.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B =（）A. B.C. D.3.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的长是（）A. B.C.2D.24.已知锐角A 是△ABC的一个内角，a,b,c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则下列各式正确的是（）（1）b＋c＝2a；（2）b＋c2a；（3）b＋c ≤2a；（4）b＋c≥2a.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)5.在△ABC中，点D为BC边上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝（）A.30°B.60°C.45°D.90°6.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A. B.C. D.7.在△ABC中，已知2sin Acos B = sin C，那么△ABC的形状是（）三角形.A.锐角B.直角C.等边D.等腰二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）8.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C＝.9.如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝12A1B1. 若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为_______．10.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状是．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)11.在△ABC中，下列关系式：①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C，一定成立的个数是.12.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c= .三、解答题（共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.（11分）在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．14.（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B=b．（1）求角A的大小；（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．15.（12分）在△ABC 中，sin cos A A +=2AC =，3AB =，求tan A 的值和△ABC 的面积.16.（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n|的最小值．1 正弦定理和余弦定理（北师大版必修5）参考答案1.A 解析：注意余弦定理的形式，特别是正负号问题．2.A 解析：依题意得0°60°，由正弦定理得sin sin a b A B =得sin B ＝sin b Aa＝33，cos B ＝＝63，故选A. 3.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219. 故选D.4.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12.又因为A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a+＝sin sin 2sin B C A+＝2sin cos 223B C B C +-＝cos2B C -≤1，即b ＋c ≤2a.故选C.5.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin 60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE＝1，所以BE ＝3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°.在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3， 所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.6.C 解析：设等腰三角形的底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222··a a a a a ＋－＝78. 故选C.7.D 解析：由2=，知2=，∴+，即 = 0.∴0，∴.故选D.8. 解析：利用正弦定理、余弦定理求解.由3sin A=5sin B ，得3a=5b.又因为b+c=2a ，所以a=b,c=b, 所以cos C==-.因为C ∈（0,π），所以C ＝.9.2 解析：在△AOB 中，由正弦定理得＝1，∴ sin ∠AOB ＝AB. ∵ ∠AOB=∠，∴.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝＝＝2.10.锐角三角形 解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B.∵ B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴ 2a c +⎛⎫⎪⎝⎭2＝a 2＋c 2－2accos 60°，整理得(a －c)2＝0，∴ a ＝c.∴ △ABC 是正三角形．∴ △ABC 是锐角三角形． 解析二：根据正弦定理得，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C. 又∵ B ＝60°，∴ A ＋C ＝120°，∴ C ＝120°－A ，∴ 2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A)，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴ A ＝60°，C ＝60°.∴ △ABC 是正三角形．∴ △ABC 是锐角三角形． 11.3 解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin(B ＋C)，显然成立． 对于④，由正弦定理知sin B ＝sin Csin A ＋sin Asin C ＝2sin Asin C ，不一定成立．12.2 解析：∵ B=2A ，a=1，b= ，∴ 由正弦定理= 得：= ==，∴ cos A=.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A ，即1=3+c 2-3c ，解得c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故填2.13.解：由余弦定理知cos B ＝2222a c b ac＋－，将c ＝acos B 代入，得c ＝2222a c bac＋－，∴ c 2＋b 2＝a 2，∴ △ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形． 又∵ b ＝asin C ，∴ b ＝a •ca，∴ b ＝c ， ∴ △ABC 是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 14. 解：（1）由2asin B=b ，利用正弦定理得2sin Asin B=sin B.∵ sin B ≠0，∴ sin A =.又A 为锐角，∴ A= .（2）由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A ，即36=b 2+c 2-bc=（b+c ）2-3bc=64-3bc ，∴ bc= .又sin A=，则 =bcsin A= ．15.解法一：先解三角方程，求出角A 的值..21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+οοΘA A A A又0180οο<<A , 4560,105.A A ∴-==ooo13tan tan(4560)2313A +∴=+==--o o .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==οοοοοοοA)62(434623221sin 21+=+⨯⨯⨯=•=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A-cos A 的值. 22cos sin =+A A Θ， ① .0cos ,0sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A οοΘ又23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A Θ, 26cos sin =-∴A A . ② ①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264.从而sin tan 2cos 4A A A ===-以下解法同解法一.16.解：（1）由正弦定理得，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， ∴ 1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵ m +n 2cos ,2cos1(cos ,cos )2C B B C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴|m +n|222222π1πcos cos cos cos 1sin 2326B C B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ π3A =，∴ 2π3B C +=， ∴ 2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．从而ππ7π2666B -<-<．∴当πsin26B⎛⎫-⎪⎝⎭＝1，即π3B=时，|m+n|2取得最小值12．∴|m+n|min=.。
北师大版高中数学必修5练习-余弦定理
[练案13]A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·烟台高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( A )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°[解析] ∵a 2＝b 2－c 2＋2ac ， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac ac ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°.2．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( C )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形[解析] 由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．3．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 [解析] 设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则∠C 的大小为( B )A ．π6B ．π3C ．π2D ．23π[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )且p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∴C ＝π3.5．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( D ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形[解析] 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 和B ＝60°，得ac ＝a 2＋c 2－ac ， (a －c )2＝0.所以a ＝c .又B ＝60°，所以三角形是等边三角形．6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( C ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)[解析] 本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，∴0<A ≤π3，故选C ．二、填空题7．若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于7.[解析] 由已知得△ABC 的面积为12AB ·AC ·sin A ＝20sin A ＝103，所以sin A ＝32，因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＝π3.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝49，∴BC ＝7. 8．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦等于32，则三边长为3,5,7. [解析] ∵a －b ＝2，b －c ＝2，∴a >b >c ， ∴最大角为A ．sin A ＝32，若A 为锐角，则A ＝60°， 又C <B <A ，∴A ＋B ＋C <180°，这显然不可能， ∴A 为钝角．∴cos A ＝－12，设c ＝x ，则b ＝x ＋2，a ＝x ＋4. ∴x 2＋(x ＋2)2－(x ＋4)22x (x ＋2)＝－12，∴x ＝3，故三边长为3,5,7. 三、解答题9．△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断三角形的形状．[解析] 解法一：将已知等式变形为 b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B ·cos C ， 即有b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a2＝a 2. 所以A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形． 解法二：由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，则条件可化为4R 2·sin 2C ·sin 2B ＋4R 2·sin 2C ·sin 2B＝8R 2·sin B ·sin C ·cos B ·cos C ．又sin B ·sin C ≠0， 所以sin B ·sin C ＝cos B ·cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又0°<B ＋C <180°，所以B ＋C ＝90°，所以A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．10．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°. 由a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根． 解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.B 级 素养提升一、选择题1．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( C )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4.又∵b <c ，∴b ＝2.2．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( D ) A ．19 B ．－14 C ．－18D ．－19[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.3．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( C )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4.4．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( C )A ．1010B ．105C ．31010D ．55[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC ＝ 5. 由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A，∴sin A ＝BC sin BAC ＝3×225＝31010.二、填空题5．在△ABC 中，已知(b ＋c )﹕(c ＋a )﹕(a ＋b )＝4﹕5﹕6，求△ABC 的最大内角为120°. [解析] 设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)． 则a ＋b ＋c ＝7.5k ，解得a ＝3.5k ，b ＝2.5k ，c ＝1.5k . ∴a 是最大边，即角A 是△ABC 的最大角． 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，即最大角为120°.6．已知钝角△ABC 的三边，a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的范围是(2,6). [解析] ∵c >b >a ，∴角C 为钝角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6. 而k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，故k 的范围是(2,6)． 三、解答题7．在四边形ABCD 中，BC ＝a ，DC ＝2a ，四个内角A ，B ，C ，D 度数的比为3﹕7﹕4﹕10，求AB 的长．[解析] 设四个角A ，B ，C ，D 的度数分别为3x,7x,4x,10x ，则有3x ＋7x ＋4x ＋10x ＝360°，解得x ＝15°.∴A ＝45°，B ＝105°，C ＝60°，D ＝150°. 连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos C ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·12＝3a 2，∴BD ＝3a .这时DC 2＝BD 2＋BC 2，则△BCD 是以DC 为斜边的直角三角形， ∴∠CDB ＝30°，于是∠ADB ＝120°. 在△ABD 中，由正弦定理，得AB ＝BD ·sin ∠ADB sin A ＝3a sin120°sin45°＝3a ·3222＝322a .∴AB 的长为322a .8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ． (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .[解析] (1)∵a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝b 2，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，∴B ＝45°.(2)由(1)得B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝180°－75°－45°＝60°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴a ＝b ·sin A sin B ＝2×sin75°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1， c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝2×3222＝6.。
2022-2021学年高二数学北师大版必修5练习：2.1.2 余弦定理(二)
1.2 余弦定理(二)课时目标 1.娴熟把握正弦定理、余弦定理；2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝________. (2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝_____________.(3)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝____________. (4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝__________. 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝____________________. (2)cos A ＝______________.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为________；c 2>a 2＋b 2⇔C 为________；c 2<a 2＋b 2⇔C 为________． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝______，A ＋B2＝________________.(2)sin (A ＋B)＝________，cos (A ＋B)＝________，tan (A ＋B)＝________.(3)sin A ＋B 2＝__________，cos A ＋B 2＝____________________________________.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则∠C 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的外形确定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a>b B ．a<b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定6．假如将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的外形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定二、填空题7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________．9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21.(1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C.力气提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C<π2C .π6<C<π2D .π6<C ≤π314．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．1．解斜三角形的常见类型及解法已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 (如a ，B ，C )正弦定理 由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解.两边和夹角 (如a ，b ，C ) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一角．在有解时只有一解.三边 (a ，b ，c )余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；再利用A ＋B ＋C ＝180°，求出角C .在有解时只有一解.两边和其中一边的对角如(a ，b ，A )正弦定理 余弦定理由正弦定理求出角B ；由A ＋B ＋C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c .可有两解、一解或无解. 2.依据所给条件确定三角形的外形，主要有两种途径 (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1．2 余弦定理(二) 答案学问梳理1．(1)2R (2)2R sin A 2R sin B 2R sin C (3)a 2R b 2R c2R(4)a ∶b ∶c 2.(1)b 2＋c 2－2bc cosA(2)b 2＋c 2－a 22bc (3)直角 钝角 锐角 3.(1)π π2－C 2 (2)sin C －cos C －tan C (3)cos C 2sinC 2作业设计 1．C[∵(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.] 2．C [∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin (A ＋B)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B)＝0，∴A ＝B.]3.B [∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.]4．D [∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c)2，即(a －c)2＝0. ∴a ＝c.∴2b ＝a ＋c ＝2a.∴b ＝a ，即a ＝b ＝c.]5．A [在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab. ∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab.∴a 2－b 2＝ab>0，∴a 2>b 2，∴a>b.] 6．A [设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b)x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c)x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．] 7.19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19. 8．2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a>12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2化简得：0<a<8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a>2，∴2<a<8. 9．12解析 S △ABC ＝12AB·AC·sin A ＝12AB·AC·sin 60°＝23，∴AB·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A＝AB 2＋AC 2－AB·AC ＝(AB ＋AC)2－3AB·AC ， ∴(AB ＋AC)2＝BC 2＋3AB·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10.13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3.11．证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 12．解 (1)∵AB →·BC →＝－21，∴BA →·BC →＝21.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c<b 且B 为锐角，∴C 确定是锐角． ∴C ＝45°.13．A [方法一 (应用正弦定理) ∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB<BC ，∴C<A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.]14．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C.于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2 B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac·cos B ＝5，∴(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
北师大版高中数学必修五练习余弦定理
第1课时 余弦定理及其推论课时过关·能力提升1.在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,a=2,b=3,cos C =13,c =( )A.2B.3 C .√11 D.√17c 2=a 2+b 2-2ab cos C=22+32-2×2×3×13=9,∴c =3.2.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C ,3b=20a cos A ,则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4a=b+1,c=b-1.∵3b=20a ·cos A ,∴3b=20(b+1)·b 2+(b -1)2-(b+1)22b (b -1). 整理得7b 2-27b-40=0,解得b=5,故a=6,b=5,c=4,即sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=6∶5∶4.3.若△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2−√3ab,则△ABC 的最大内角为( )A.60°B.90°C.120°D.150°cos C =a 2+b 2-c 22ab =−√32,则C=150°.故选D.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若c 2-a 2-b 22ab>0,则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形5.在△ABC 中,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.−32 B.32 C.−152 D.152,得cos C =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=52+32-722×5×3=−12, ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos C=3×5×(-12)=−152.6.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,已知a =√3,b =3,C =30°,则A =_______________.,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=3+9-2×3×√3×cos 30°=3,所以c =√3,即a=c =√3.所以A=C=30°.°7.在△ABC 中,已知a ,b 是方程x 2-5x+2=0的两个根,C=120°,则c= .a ,b 为方程x 2-5x+2=0的两个根,∴a+b=5,ab=2,c 2=a 2+b 2-2ab cos C=(a+b )2-2ab-2ab cos 120°=25-4-4×(-12)=23,∴c =√23. √238.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知B=C ,2b =√3a,则cos A =_________________.B=C ,2b =√3a,得c=b =√3a, 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =34a 2+34a 2-a 22×32a×32a =13.9.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a+c=6,b=2,cos B =79.(1)求a ,c 的值;(2)求sin(A-B )的值.∵cos B =79,由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-42ac =79,又a+c=6,解得a=c=3. (2)∵sin B =4√29,a =3,b =2,∴由正弦定理a =b ,得sin A =2√23,cos A =13. ∴sin(A-B )=sin A cos B-cos A sin B =2√23×79−13×4√29=10√227. ★10.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan C=3√7.(1)求cos C ;(2)若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52,且a +b =9,求c.∵C 是△ABC 的内角,且tan C=3√7,∴C 为锐角,则cos C>0.由tan C=3√7及sin 2C+cos 2C=1,得cos C=−18(舍去)或cos C =18.(2)∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52,∴abcos C =52,∴ab =20. ∵a+b=9,∴a 2+b 2+2ab=81,∴a 2+b 2=41.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=41-2×52=36,解得c=6或c=-6(舍去).∴c=6.★11.如图所示,A ,B 是单位圆O 上的动点,且A ,B 分别在第一、第二象限,C 是圆O 与x 轴正半轴的交点,△AOB 为等边三角形.若点A 的坐标为(x ,y ).记∠COA=α.(1)若点A 的坐标为(35,45),求sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α的值; (2)求BC 2的取值范围.∵点A 的坐标为(3,4),根据三角函数的定义可知,0<α<π,∴sin α=4,cos α=3,∴sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α=sin 2α+2sinαcosα3cos 2α-1=20.(2)∵△AOB 为等边三角形,∴∠AOB =π3.∴cos ∠COB=co s (∠COA +π)=cos (α+π).∴BC2=OC2+OB2-2OC·OB cos∠BOC=2-2co s(α+π3).∵π6<α<π2,∴π2<α+π3<5π6,∴co s5π6<cos(α+π3)<cosπ2,即−√32<cos(α+π3)<0.∴2<BC2<√3+2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双基限时练(十四)
一、选择题
1．在不等边△ABC 中，若a 2
<b 2
＋c 2
，则A 的取值范围是( ) A ．90°<A <180° B ．45°<A <90° C ．60°<A <90°
D ．0°<A <90°
解析 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc
，a 2<b 2＋c 2
，知cos A >0.
答案 D
2．已知一个三角形三边分别为a ，b ，a 2
＋b 2
＋ab ，则此三角形中的最大角为( ) A ．30° B ．120° C ．60°
D ．150°
解析 显然a 2
＋b 2
＋ab 最大，设最大角为θ，
则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋b 2＋ab 2ab ＝－1
2
.
又θ为三角形的内角，所以θ＝120°. 答案 B
3．三角形的两边分别是3和5，它们夹角的余弦是方程5x 2
－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )
A ．52
B ．213
C ．16
D ．4
解析 由5x 2
－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，
由题意可得cos α＝－3
5
.设另一边为c
由余弦定理，得c 2
＝9＋25－2×3×5×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35＝52. ∴c ＝213. 答案 B
4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2
＋c 2
－b 2
＝3ac ，则角B 的值为( )
A.π6
B.π3
C.
π6或5
6
π D.
π3或23
π 解析 由a 2
＋c 2
－b 2
＝3ac ，
得a 2＋c 2－b 22ac ＝32＝cos B ，得B ＝π6
.
答案 A
5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
解析 由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°，c ＝2a ，得a 2－b 2
－ab ＝0，得b ＝－a ＋5a 2<a .
答案 A
6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则边长a 等于( ) A ．13 B.13 C ．21
D.21
解析 由S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×3
2c ＝3，
知c ＝4，由余弦定理可知
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc ·cos A ＝1＋16－2×4×1
2
＝13.
答案 B 二、填空题
7．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若sin A :sin B :sin C ＝5:7:8，则
a :
b :
c ＝________，B 的大小是________．
解析 (1)利用正弦定理． (2)利用余弦定理． 答案 5:7:8:π
3
8．已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2sin 2
A ＋B
2
＋cos2C ＝1，a
＝1，b ＝2，则角C ＝________，c ＝________.
解析 ∵2sin
2
A ＋B
2
＋cos2C ＝1，
∴cos2C ＝1－2sin
2
A ＋B
2
＝cos(A ＋B )＝－cos C .
∴2cos 2
C ＋cos C －1＝0，得cos C ＝12，或cos C ＝－1.
∵C 为三角形的内角， ∴cos C ＝12，C ＝π
3
.
由余弦定理得c ＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝ 3. 答案
π3
3
9．在△ABC 中，|BC →|＝7，|AB →|＝3，|AC →
|＝5，则S △ABC ＝________. 解析 由余弦定理，
得cos A ＝|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|22|AB →||BC →|＝－1
2.
∴sin A ＝32，故S △ABC ＝1534
. 答案
1534
三、解答题
10．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2
＝ac ，且c ＝2a ，求cos B 的值．
解 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2
＝34.所以cos B 的值为3
4
. 11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2
－c 2
＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .
解 由余弦定理，得a 2
－c 2
＝b 2
－2bc cos A . 又a 2
－c 2
＝2b ，b ≠0， ∴b ＝2c cos A ＋2.①
由正弦定理b c ＝sin B
sin C
，又sin B ＝4cos A sin C ，
∴b ＝4c cos A .② 由①②可知，b ＝4.
12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π
3.若△ABC 的面
积等于3，求a ，b .
解 由余弦定理，得a 2＋b 2
－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12
ab sin C ＝3，
得ab ＝4.联立方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＋b 2
－ab ＝4，
ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.
思 维 探 究
13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tan C ＝37. (1)求cos C ；
(2)若CB →·CA →＝5
2，且a ＋b ＝9，求c .
解 (1)∵tan C ＝37，∴sin C
cos C ＝37.
又∵sin 2C ＋cos 2
C ＝1，解得cos C ＝±18.
∵tan C >0，∴C 是锐角．∴cos C ＝1
8.
(2)∵CB →·CA →＝5
2，∴ab cos C ＝52，∴ab ＝20.
又∵a ＋b ＝9，∴a 2
＋2ab ＋b 2
＝81. ∴a 2
＋b 2
＝41.∴c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝36. ∴c ＝6.。