复变函数的映射
复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
复变函数
2．实变复值函数的概念 定义：设T 是实数集， F 是复数集，T f F
1) t R z z(t) ，称 z 是 t 的实变复值函数 z z(t) ;
2) 单值： t 一个z z(t) 多值： t 多个z z(t) ,本文只研究单值函数；
1.5复变函数
一、复变函数的概念 1．映射的概念
定义：设 E 和 F 是复平面上的两个点集， E f F
z 唯一确定 w
w 称为 z 在映射 f 下的像，记作 w f (z)，z 称为 w 在 f 下
的一个原像。 例如：设 E F {z;| z |1}，则 f : z iz ，g : z z 都是 E 到 F
w x2 y2 2 2xyi z2 2
四、函数与空间 y f (x) 二维； u f (x, y) 三维； z z(t) 三维；
w f (z) 四维，用两张复平面表示： z 平面 w 平面
例 3：设映射 w z2 ，求
1）直线 x c( 0) 在 w 平面上的像；
2
即 r 2, 2 是扇形区域 0 ,0 4 。
2
例 4：在 w 1 映射下，ｚ平面上圆周 x2 y2 9 将变成 w 平 z
面上什么曲线
［解］这是ｗ平面上以原点为中心，1/3 为半径的圆周。
y
v 2c
，将其代入（1.2.1）中，得
uc2来自v2 4c 2，
即
u
c2
v2 4c 2
是
w
平面上的抛物线方程，它的图形关于
u
轴对
称。
2）设 w ei , z rei ，则 ei r 2e2i ，
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数复变函数是将复数域上的变量映射到复数域上的函数。
形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是自变量，u(x,y)和v(x,y)是实部和虚部函数。
复变函数的性质包括解析性、全纯性、调和以及实部虚部的关系等。
1.解析函数性质解析函数是复变函数的重要性质之一，它表示函数在其定义域内处处可导，并且其导数连续。
如果f(z)是定义在区域D上的函数，满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)是该区域上的解析函数。
Cauchy-Riemann条件可以表示为：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x2.全纯函数性质全纯函数是解析函数的特殊情形，它在整个复平面上都有定义，并且是解析的。
全纯函数还有许多重要的性质，如Liouville定理、最大模原理等。
3.调和函数性质调和函数是复平面上的实函数，满足拉普拉斯方程(△u=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0)。
调和函数在物理学中有广泛的应用，例如描述电势、热力学等现象。
4.实部虚部关系对于任意一个复变函数f(z)，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)之间有一些重要的关系。
例如，如果f(z)是一个解析函数，则它的实部和虚部函数满足调和方程，并且u(x,y)和v(x,y)是共轭调和函数。
二、积分变换公式积分变换是对函数进行积分操作的数学工具，常用于求解微分方程、信号处理等问题。
常见的积分变换公式包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号分析和控制系统的积分变换方法。
定义域为半无穷区间的函数f(t)在复平面上进行拉普拉斯变换后得到一个复变函数F(s)，满足积分方程：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt2.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、位移性质、尺度变换、微分性质等。
复变函数表达式
复变函数表达式复变函数是数学分析中的重要概念，是指由复数集合到复数集合的映射。
它具有形式为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的表达式，其中z=x+iy是复数变量，u(x,y)和v(x,y)是实数函数。
复变函数的研究是复分析的核心内容之一，它在物理学、工程学以及计算机科学等领域中都有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及到函数的解析性、积分、级数、留数等概念。
解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
对于解析函数，我们可以利用柯西-黎曼方程推导出它的柯西-黎曼条件，即u 和v满足一阶偏导数关系式。
这一条件是解析函数的充要条件，也是复变函数理论中的重要定理之一。
复变函数的积分也是其研究的重要内容。
在复平面上，我们可以定义沿一条曲线的积分，称为复积分。
复积分具有路径无关性，这是由于复变函数解析的性质所决定的。
通过计算复积分，我们可以得到很多重要的结果，比如柯西积分定理和留数定理等。
复级数也是复变函数理论中的重要概念之一。
对于复数列{an}，我们可以将其求和得到复级数。
复级数的收敛性与实数级数类似，但是复级数的性质更加丰富。
通过研究复级数的收敛性和性质，我们可以得到一些重要的结论，如柯西收敛准则和绝对收敛性等。
留数是复变函数理论中的重要概念之一。
对于解析函数f(z)，在其奇点z0处可以定义留数Res(f,z0)。
留数的计算可以通过留数定理来进行，这个定理是复分析中的核心定理之一。
留数定理为计算复积分提供了重要的工具，也为计算一些特殊函数的积分提供了便利。
复变函数理论在物理学中有广泛的应用。
量子力学中的波函数、电磁学中的电势函数等都可以使用复变函数来描述。
复变函数的解析性和路径无关性使得它在物理学中具有重要的意义。
复变函数理论还在工程学和计算机科学中有广泛的应用。
在信号处理中，复变函数可以用来分析信号的频谱特性；在图像处理中，复变函数可以用来进行图像的滤波和增强等。
复变函数的理论为这些应用提供了基础和工具。
复变函数理论中的共形映射及其性质
复变函数理论中的共形映射及其性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究复平面上的复数函数。
复变函数理论的一个重要概念是共形映射。
共形映射是指保持角度不变的映射关系。
本文将讨论复变函数理论中的共形映射及其性质。
一、共形映射的定义共形映射是指保持角度不变的映射关系。
设f(z)是一个定义在复平面上的复变函数，如果对于平面上任意两条非平行的曲线，这两条曲线在映射f下的对应曲线的切线之间的夹角等于原曲线对应切线的夹角，那么称f(z)是一个共形映射。
二、共形映射的性质1. 保角性质：共形映射保持角度不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，如果z1、z2、w1和w2在同一条直线上，那么它们的夹角相等。
2. 保距性质：共形映射保持距离不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，那么z1和z2之间的距离等于w1和w2之间的距离。
3. 保边界性质：共形映射保持边界不变。
若一个区域的边界曲线在共形映射下映射到另一个区域，那么映射后的曲线仍然是原来区域的边界曲线。
4. 保圆性质：共形映射将圆映射为圆。
具体来说，若一个圆在共形映射下映射为另一个曲线，那么映射后的曲线仍然是圆。
三、常见的共形映射复平面上的共形映射有很多种，下面介绍几种常见的共形映射：1. 线性变换：线性变换是一类共形映射，表达形式为f(z)=az+b，其中a和b是复数，a≠0。
线性变换可以将直线映射为直线或者圆。
2. 幂函数：幂函数是一种共形映射，表达形式为f(z)=z^n，其中n是整数。
幂函数可以将圆映射为圆或者直线。
3. 分式线性变换：分式线性变换是另一类共形映射，表达形式为f(z)=(az+b)/(cz+d)，其中a、b、c和d是复数，ad-bc≠0。
分式线性变换可以将圆、直线或者半平面映射为圆、直线或者半平面。
四、应用领域共形映射在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有广泛的应用。
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类一、引言复变函数是复数域上的函数，它具有许多独特的性质和分类方法。
在数学和工程领域中，复变函数被广泛应用于解析几何、积分变换、微分方程等多个重要领域。
本文将介绍复变函数的定义、性质及其分类方法，以期对读者有所启发和帮助。
二、复变函数的定义复变函数是指定义域和值域都是复数集合的函数。
设z为复平面上的点，z=x+yi（x、y为实数，i为虚数单位），则z是一个复数。
若w=f(z)，其中f是一个从复数集合C到C的映射，那么f(z)就是一个复变函数。
三、复变函数的性质1. 解析性对于一个定义在某个区域上的函数f(z)，如果f(z)在该区域内是解析的，也就是说f(z)在该区域内可以展开成幂级数，则称f(z)在该区域内是解析的。
2. 全纯性如果一个函数在某个区域内具有一阶偏导数，并且这个函数的偏导数连续，那么这个函数就称为全纯函数。
3. 共轭性设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)（u、v为实函数），则f(z)的共轭函数为f*(z)=u(x,-y)-iv(x,-y)。
4. 周期性如果存在一个非零常数w，使得对于定义在某个区域上的函数f(z)，对任意z都有f(z+w)=f(z)，则称函数f(z)是周期函数。
四、复变函数的分类1. 整函数与亚纯函数整函数是指在整个复平面上具有解析性的函数。
当整函数还满足条件f(z)在无穷远处有界时，称这样的整函数为有界整函数。
亚纯函数是指在几个离散点处不解析，在其他地方均解析的复变函数。
2. 特殊类型函数包括双全纯映射、调和映射、保角映射等特殊类型的复变函数。
3. 黎曼映射定理及其应用黎曼映射定理说明了任意一个单连通区域都存在一个保角映射，将这个区域映射为单位圆盘。
黎曼映射定理在多孔区域映射等问题中有重要应用。
五、结语通过本文对复变函数的性质与分类进行介绍，希望读者能够对复变函数有更深入的了解，并能够应用到实际问题中去。
复变函数作为数学分析和工程领域中重要的工具，在不同领域都有着重要的应用价值，期待未来能够有更多关于复变函数方面的研究成果出现。
复变函数
6.sin z 仅在z = kπ 处为0, cos z 仅在z = kπ + π / 2处为0; sin iy = ishy, cos cos iy = chy chy
7. | sin z |,| cos z | 无界.
(iv)幂函数 z =e
α α Lnz
, 在每个单值分支上, ( z ) ' = α z
α
α −1
.
当α 取不同值时, 幂函数zα的多值性可能不同. 的多值性可能不同 例3.计算 (1) (-1) ;
-i
(2)i .
2
1.(1)求 cos( x + iy ),sin( x + iy )的实部和虚部; (2)证明: sin iz = ishz , cos iz = chz , (sin z ) ' = cos z. 2.求 sin i, cos(2 + i ), i , (−1) , ln(2 − 3i )的值.
(iii )三角函数 1.cos z和 sin z在C上解析, 且(sin z ) ' = cos z , (cos z ) ' = − sin z; 2.cos z,sin z以2π 为周期; 3.cos z是偶函数,sin z是奇函数; 4.和角公式成立; 5.sin z + cos z = 1,sin(π / 2 − z ) = cos z;
eiy + e − iy eiy − e − iy 又 Q cos y = ,sin y = 2 2i iz − iz iz − iz e +e e −e ∴ 定义三角函数 : cos z = ,sin z = 2 2i
从指数函数的可以定义e z的反函数Lnz , 定义为 : 满足e = z的复数w称为z的对数, 记为Lnz.同样
复变函数的基本概念与性质
复变函数的基本概念与性质复变函数是数学中一个重要的分支，它涉及复数域上的函数理论和分析。
本文将介绍复变函数的基本概念和性质，包括复数、复变函数的定义和解析性、调和函数、全纯函数等。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为z=a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数除了具有实数的加法和乘法运算，还有复数的共轭运算、模运算和幅角运算等。
二、复变函数的定义和解析性复变函数从复数域到复数域的映射，可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy。
其中，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部函数。
复变函数的解析性是指函数在其定义域内可导，用柯西-黎曼条件表述，即函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。
三、调和函数调和函数是一种特殊的复变函数，其实部和虚部函数均具有拉普拉斯方程，即Δu=0和Δv=0。
调和函数在物理学和工程学领域有广泛的应用，如电势问题、热传导问题等。
四、全纯函数全纯函数是复变函数中的重要概念，也称为解析函数。
全纯函数在其定义域内可导，并且导数也是全纯函数。
全纯函数具有很多良好的性质，如可分部积、洛朗级数展开、辐角原理等。
五、复变函数的性质1. 极限性质：复变函数的极限与实变函数类似，但多了收缩定理和全纯函数的唯一性。
2. 连续性质：全纯函数在其定义域内连续。
3. 导数性质：全纯函数的导数也是全纯函数，并且满足导数的性质。
4. 积分性质：沿简单闭曲线的积分与函数在该曲线内的积分无关，这是复变函数中的柯西积分定理。
综上所述，复变函数是由复数域到复数域的映射，具有许多独特的性质。
它为解决物理学、工程学等领域的问题提供了重要的数学工具。
希望本文可以帮助读者理解复变函数的基本概念和性质，并进一步探索其中的数学奥秘。
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. arg z(t0 )
z0
0
x
相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间 的夹角 ,
就是
C1与
C
在交点处的两条切线正
2
向之间的夹角.
设 ： C1 : z z1(t ), C2 : z z2 (t ); arg z2 (t0 )
C2 .
z0
argz2 (t0 ) argz1 (t0 ) arg z1 (t0 )
完全含于 的G一条曲线.
从而， 仿照柯西积分定理
的古萨证明的第三步，
可以找到一条联结
w1、w2 ,
内接于 且完全含于 的折线G ,
1 于是 是G连通的.
因此，G f ( D) 是区域 .
推论 7.2 设 w f (z) 在区域 D 内单叶解析 ，则 D 的像
G f ( D) 也是一个区域 . 因 f(z)不为常数
§1 解析变换的特性
1、解析变换的保域性 2、解析变换的保角性—导数的几何意义 3、单叶解析变换的共形性
1、解析变换的保域性
要探讨解析变换的几何特性，首先要弄清楚复平面上的一个点集 (曲线或区域)与它的像集之间的对应关系.
定理 7.1( 保域定理 ) 设 w f (z) 在区域 D 内解析
且不恒为常数 , 则 D 的像 G f ( D) 也是一个区域 .
第七章 共 形 映 射
从第二章开始，利用分析的方法，即通过微分、积分和级数分别 探讨了解析函数的性质和应用 . 在这一章中，我们将从几何的角度对 解析函数的性质和应用进行讨论 .
在第一章中已经介绍过，一个复变函数 在几何上可w以看f作(把z) z 平面上的一个点集变到 w平面上的一个点集的映射(或变换). 对解析 函数来说，由它所构成的变换（简称解析变换）还需作进一步的研究 .
其次， 要证明 中G任意两点
w1 f ( z1 ), w2
f ( z2 )均可以用一条完全含于 的折线G联结起来.
由于 是D区域， 可在 内D取一条联结 的折z1线, z2 C : z z(t ) (t1 t t2 , z(t1 ) z1 , z(t2 ) z2 ). 于是，
: w f [z(t )] (t1 t t2 ) 就是联结 w1、 的并w且2
点 w 及在 C 上的点 z 有
| f ( z) w0 | | w0 w | 0,
| f ( z) w0 | | w0 w | 0
因此由儒歇定理知 ，在 C 的内部
f ( z) w [ f ( z) w0 ] w0 w 与 f ( z) w0 有相同的零点个数 , 于是 w f ( z) 在 D 内方向一致.
0
x
当 p 沿 C p0 时,
p0 p
C上 p0 处切线
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0 )
z(t0 )
y
z(t0 )
p. C z(t0 t )
p0. z(t0 )
0
x
方向与 C 一致.
y
从而 C 在 z0 有切线 ，z(t0 )
z(t0 )
C
就是切向量 ，它的倾角为
f ( z) w f (z) w0 w0 w , 由解析函数零点的孤立性，必有以 z0 为心的某 个圆周 C ,C 及 C 的内部全含于 D , 使得 f (z) w0 在 C 上及 C 的内部 (除 z0 外 )均不为零 . 因而在 C 上
| f ( z) w0 | 0 .对在邻域 | w w0 | 内的任意
证： 先证 G 是开集 (即证G 的点都是其内点 ) .
设有一点 z0 D , 使 f (z0 ) w0 G f ( D), 要证 w0 为 G 的内点 , 只须证明 w与 w0 充分接近时 ,
w也属于 G , 即须证明，当 w与 w0 充分接近时 , 方程 w f ( z) 在 D 内有解 . 为此，考察
定理 7.3 若函数 w f ( z) 在点 z0 解析 , 且 f ( z0 ) 0 , 则 f (z) 在 z0 的一个邻域内单叶解析. —符合定理条件的解析函数w = f (z)将z0的一个充分小邻域变成 w0 =f (z0)的一个曲边邻域.
w ez在区域 a Im z a 2 (a为一实数)内单叶解析
C1 z0 z1(t0 ) z2 (t0 ).
经过变换 w f (z) , C 的像 曲线 的参数方程为
: w f [z(t )] (t0 t t1 ) ,
y
z
v w(t0 )
w
w f (z)
z(t0 )
.
C
z0
. w0
0
x
0
u
由于 在点 w0 w(t0 ) 的邻域内是光滑的 , 且
2、解析变换的保角性—导数的几何意义
在设数学w分析f中(我z)们于知区 道，域导D数内 用来解刻析画因, z变0 量相D对,于在自点变量z0的有 导 变 数化将数情会况 刻f ， 画( z且 怎0 )具 样有 的0相关. 当系过明呢z显？0的又任几有意 何什意么引义样一.的那条 几么何有，意向 一义个呢光复？滑 变函曲数线的导
w(t0 ) w(t ) tt0 f ( z0 )z(t0 ) 0,
在这一章中，我们先分析解析函数所构成映射的特性，引出 共形映射这一重要概念 . 然后进一步研究分式线性函数和几个初 等函数所构成的共形映射.
共形映射之所以重要，原因在于它能把在比较复杂区域上所 讨论的问题转到比较简单区域上进行讨论 . 因此，在解决诸如流 体力学、弹性力学、电磁学等实际问题中，发挥了重要的作用.
在上一章中曾证明定理 6.11 : 若函数 f (z) 在 区域 D 内单叶解析 ，则在 D 内 f (z) 0 .
但其逆未必成立 . 例如, 函数 f (z) ez 在z 平面 上 f (z) e z 0, 但 f (z) ez在 z 平面不是单叶的.
下面的定理表明， 解析函数具有局部单叶性 .
C : z z(t ) ( t0 t t1 )
正向: t 增大的方向;
z0 z(t0 ) , 且 z(t0 ) 0 .
如果规定: 割线 p0 p正向对应于 t y
增大的方向, 那么 P0 P
p. C z(t0 t )
与 z(t0 t ) z(t0 ) 同向, t
p0. z(t0 )
即