2010 东城一模数学
北京市东城区2010届高三第一次模拟考试(数学文)
北京市东城区2009—2010学年度高三综合练习（一）数 学 试 题（文）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 为样本平均数。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．计算复数ii+-11的结果为 （ ）A ．－iB ．IC ．－1D ．12．设集合A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，则 韦恩图中阴影部分表示的集合为 （ ） A ．{2} B ．{3，5} C ．{1，4，6} D ．{3，5，7，8}3．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何 体的表面积是 （ ） A ．226+ B ．26+C ．225+D ．25+主视图 侧视图4．已知变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.0,2,1y x y x 则x +y 的最小值为 （ ） 俯视图 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．按如图所示的程序框图运算，若输入x =6，则输出k 的值是 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必 定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点 与靶心的距离小于2的概率为 （ ）A ．131B ．91 C ．41D ．217．已知圆04122=-++mx y x 与抛物线241x y =的准线相切，则m 的值等于 （ ） A ．2±B ．3C ．2D ．3±8．已知函数)(t f 是奇函数且是R 上的增函数，若x ，y 满足不等式)2()2(22y y f x x f --≤-，则22y x +的最大值是 （ ）A ．3B ．22C ．8D ．12第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应位置的横线上. 9．已知命题0log ),,1(:3>+∞∈∀x x p ，则p ⌝为 .10．经过点（－2，3）且与直线052=-+y x 垂直的直线方程为 . 11．设}{n a 是等比数列，若8,141==a a ，则q= ，数列}{n a 的前6项的和S 6= . 12．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10n mile ，︒=∠︒=∠75,60ABC BAC ,则B ，C 间的距离是 n mile.13．向量a ，b 满足：0)(,1||,2||=⋅+==b b a b a ，则a 与b 的夹角是 .14．点P 是椭圆1162522=+y x 上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 设函数x x x x f 2cos cos sin 3)(-=（1）求)(x f 的最小正周期；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数)(x f 的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下. （1）计算样本的平均成绩及方差；（2）在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率.17．（本小题满分14分）三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，△ABC是边长为2的等边三角形，D 为AB 边中点，且CC 1=2AB. （1）求证：平面C 1CD ⊥平面ABC ； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1； （3）求三棱锥D —CBB 1的体积. 18．（本小题满分13分）已知函数∈+=a xax x f (ln )(R ）. （1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=--y x 平行，求a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间和极值；（3）当1=a ，且1≥x 时，证明：.1)(≤x f19．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P （4，0），M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点. 20．（本小题满分14分） 已知数列}{},{n n b a ，其中211=a ，数列}{n a 的前n 项和)(2*∈=N n a n S n n ，数列}{n b 满足b 1=2，b n +1=2b n.（1）求数列}{},{n n b a 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意2,≥∈*n N n ，有481111121-<+++++m b b b n 恒成立？若存在，求出m 的最小值；（3）若数列}{n c 满足⎪⎩⎪⎨⎧=,,,,1为偶数为奇数n b n na c nn n求数列}{n c 的前n 项和T n .参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1—8 ABCABBDC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．030(1,),log 0x x ∃∈+∞≤ 10．280x y -+= 11．2，63 1213．120° 14．83注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分） 解：（I）11()2cos 2222f x x x =-- 1sin(2).62x π=-- ………………6分2,()2T f x ππ==故的最小正周期为π. ………………7分（II ）因为20π≤≤x ，所以.65626πππ≤-≤-x …………………………………………9分 所以当)(,3,262x f x x 时即πππ==-有最大值0，……………11分当.23)(,0,662-=-=-有最小值时即x f x x ππ………………13分 16．（本小题满分13分）解：（I ）样本的平均成绩x =80.……………………………………3分 样本方差为222222222221[(9280)(9880)(9880)(8580)(8580)10(7480)(7480)(7480)(6080)(6080)]174.4s =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-= ………………………………………………………………………………6分 （II ）设A 表示随机事件“93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个的样本总数是： （98，84），（98，86），（98，93），（98，97），（97，84），（97，86），（97，93），（93，84），（93，86），（86，84）共10种。
示范校2010届高三数学第一学期联考测试(理) 新人教版
北京市东城区示范校2009-2010学年度第一学期联考试卷高三 数学（理科）2009年12月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1．已知集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则AB 等于 （ ）A ．()0,2B ．(]0,2C ．[)0,2D ．[]0,22．命题“,cos 1x x ∀∈≤R ”的否定是 （ ） A ．,cos 1x x ∃∈≥R B ．,cos 1x x ∃∈>R C ．,cos 1x ∀∈≥R D ．,cos 1x x ∀∈>R3．已知,A B 是x 轴上不同的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |．若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为 （ ） A ．210x y --= B ． 270x y +-= C ．240x y --= D ．50x y +-=4．已知变量,x y 满足约束条件20,230,0,x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则2log (5)z x y =++的最大值为（ ）A ． 2B ． 3C ．4D ．55．右图是一个几何体的三视图（单位：cm ），根据图 中数据，可得该几何体的体积是 （ ） A ．243cm B ．123cm C ．83cm D ．43cm 6．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是 ( ) A ．22cos y x = B ．cos 2y x = C ．cos 2y x =- D ．22cos y x =-234234俯视图侧视图正视图7．在ABC ∆中，AB AC BA BC ⋅=⋅“” 是 AC BC =“”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．设函数21()ln 1(0)2f x x x x =-+>，则函数()y f x = （ ） A ．在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B ．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点 C ．在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D ．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7963S S ==，则249a a a ++= ，n S 的最大值为 ．10．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中真命题有 （写出所有真命题的序号）． 11．若43x ππ<≤，则函数tan 2tan y x x =的最大值为 ．12．若曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()()ln f x g x x =+ 在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ，该切线方程为 ．13．若满足2220x y y ++=的实数,x y ，使不等式0x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是 ．14．设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[0.3]0=，[0.4]1-=-．则在坐标平面内满足方程22[][]25x y +=的点(,)x y 所构成的图形的面积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求cos()βα-的值； （Ⅲ）已知点C (-，求函数()f OA OC α=⋅的值域．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是棱形，SA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为SA ，CD的中点．（Ⅰ）证明：直线MN ‖平面SBC ； （Ⅱ）证明：平面SBD ⊥平面SAC ；（Ⅲ）当SA AD =，且60ABC ∠=时，求直线MN 与平面ABCD 所成角的大小．D360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙17．（本小题满分13分）围建一个面积为2（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)．（Ⅰ）将修建围墙的总费用y表示成x的函数；（Ⅱ）当x为何值时,修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．18．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,a =142n n S a +=+（*n ∈N ）．（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式．19．（本小题满分14分）已知矩形ABCD 中,AB =1BC =.以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy .(Ⅰ)求以,A B 为焦点，且过,C D 两点的椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点(0,2)P 的直线l 与(Ⅰ)中的椭圆交于,M N 两点，是否存在直线l ，使得以线段MN 为直径的圆恰好过原点?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（本题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在[02]，上是单调减函数，求实数a 的取值范围．北京市东城区示范校2009-2010学年度第一学期联考答案高三 数学（理科）2009年12月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1． C 2． B 3． D 4． B 5． D 6． A 7． C 8． A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9． 21 ，64 10．②和④ 11．3- 12．3，3y x = 13． 1,)+∞ 14． 12 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据三角函数的定义，得4sin 5α=，12sin 13β=． 又α是锐角，所以，3cos 5α=．……………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4sin 5α=，12sin 13β=．又α是锐角，β是钝角， 所以 3cos 5α=，5cos 13β=-． 所以 5312433cos()cos cos sin sin ()13513565βαβαβα-=+=-⨯+⨯=．……9分（Ⅲ）由题意可知，(cos ,sin )OA αα=，(OC =-．所以 ()3sin cos 2sin()6f OA OC παααα=⋅=-=-，因为 02πα<<，所以663πππα-<-<，所以函数()f OA OC α=⋅的值域为(-．……………………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：如图，取SB 中点E ，连结ME 、CE ，因为 M 为SA 的中点， 所以 ME ∥AB ，且12ME =AB ， 因为 N 为ABCD 菱形边CD 的中点，所以 CN ‖AB 且12CN AB =，所以 ME ‖CN ，且ME =CN ， 所以 四边形ME CN 是平行四边形， 所以 MN ‖EC ，又因为SBC ⊂平面EC ，ME ⊄平面SBC ，所以直线MN SBC 平面‖． ……………………………5分 （Ⅱ）证明：如图，连结AC BD 、，相交于点O ，因为SA ABCD ⊥底面， 所以SA BD ⊥．因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥． 又SAAC A =，所以BD SAC ⊥平面． 又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAC ． ……………………………10分 （Ⅲ）解：如图，连结AN ，因为MA ABCD ⊥平面，所以AN 是MN 在平面ABCD 上的射影， 所以ANM ∠是直线MN 与平面ABCD 所成的角．OENMSADCBONM SADCBD设2SA AD DC ===， 由60ABC ∠=，可知AN =，1AM =， 所以在AMN Rt 中30ANM ∠=，即直线MN 与平面ABCD 所成的角为30. ……………………………14分 也可用空间向量来解决本题（略） 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am ，则45180(2)1802225360360y x x a x a =+-+⋅=+-． 由已知360ax =，得360a x=， 所以2360225360(2)y x x x =+->． …………………………6分（II ）因为0x >，所以236022510800x x+≥=， 所以236022536010440y x x =+-≥，当且仅当2360225x x=时，等号成立． ……………………12分即当24x m =时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．…………13分 18．（本小题满分13分）解：（I ）由11a =，及142n n S a +=+，得 12142,a a a +=+21325a a =+=，所以12123b a a =-=． 由 142n n S a +=+， ① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+， ②②－① 得1144n n n a a a +-=-，所以1122(2)n n n n a a a a +--=-，又12n n n b a a +=-，所以12n n b b -=，所以{}n b 是以13b =为首项、以2为公比的等比数列． …………………6分（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，所以113224n n n n a a ++-=． 所以 数列{}2n n a 是首项为12，公差为34的等差数列． 所以 1331(1)22444n na n n =+-=-，即2(31)2n n a n -=-⋅（*n ∈N ）．…………13分 19．（本题满分14分）解:(Ⅰ)由题意可得点,,A B C 的坐标分别为(.设椭圆的标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>.则2a AC BC =+，即214a ==>2a =.所以222422b a c =-=-=.所以椭圆的标准方程是22142x y +=.7分 (Ⅱ) 由题意知，直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为2y kx =+.由222,2 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(12)840k x kx +++=. 因为,M N 在椭圆上，所以226416(12)0k k ∆=-+>.设,M N 两点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y . 则122812kx x k +=-+122412x x k =+， 若以MN 为直径的圆恰好过原点，则OM ⊥， 所以 02121=+y y x x ，所以，1212(2)(2)0x x kx kx +++=,即21212(1)2()40k x x k x x ++++=，所以，22224(1)16401212k k k k +-+=++， 即 2284012k k -=+，得 22k =，k =经验证，此时480∆=>.所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y . 即所求直线存在，其方程为22+±=x y . …………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=， 所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．即1a =． …………………6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)x g x e ax x ax x =-+-，又0x e >， 所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤， 这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x++≤=++对(0,2]x ∈恒成立． 令236()3x h x x x +=+（(0,2]x ∈）， 则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++， 所以()h x 在区间0,2]（上是减函数，所以()h x 的最小值为6(2)5h =． 所以65a ≤．即实数a 的取值范围为6(,]5-∞． …………………13分 注：其他解法相应给分。
东城区2010综合练习(一)答案
北京市东城区2009-2010学年度初三年级综合练习（一）数学参考答案 2010.5一、选择题：（本题共32分，每小题4分）二、填空题：（本题共16分，每小题4分）9. 3x ≥-， 10. 8， 11. ()()aa b a b -+， 12..2. 三、 解答题：（本题共30分，每小题5分） 201()(1)2sin 602π-++-︒13.解:原式＝412=+- …………………………………………4分 5=5= ………………………………………………………………5分14.解：31422x x x ->-⎧⎨<+⎩12x x >-⎧⇒⎨<⎩12x ⇒-<<. ∴原不等式组的解集是12x -<<. ……………………………3分 在数轴上表示为：……………………………………5分15.证明：ABC △与AED △均为等腰直角三角形，AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=. ··························································· 3分BAC CAE EAD CAE ∴∠+∠=∠+∠.即BAE CAD ∠=∠. ············································································································· 4分 在BAE △与CAD △中，ABCDE MFEDCBA,,.AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BAE CAD ∴△≌△. ……………5分16．解：2(1)()3x x x y ---=-，223x x x y ∴--+=-．………………………2分3x y ∴-=. ……………………………………3分22222()39x y xy x y ∴+-=-==． ……………………………………5分17．解：设B 型机器人每小时搬运x kg 化工原料，则A 型机器人每小时搬运(30)x +kg 化工原料.A 型机器人搬运900kg 与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等， ∴90060030x x=+. …………………2分 解此分式方程得：60x =.检验：当60x =时，(30)0x x +≠，所以60x =是分式方程的解. …………………4分 当60x =时，3090x +=.答：A 型机器人每小时搬运90kg 化工原料，B 型机器人每小时搬运60kg 化工原料. ………………………………………………………………………………………………5分 18．解：（1）m = 0 . ………2分（2）0p <，11p p ∴<+<，又因为抛物开口向上，对称轴为1x =， ∴12y y >. …………5分四、解答题：（本题共20分，每小题5分）19．解： 过点E 作BC 的垂线交BC 于点F ，交AD 的延长线于点M . ………1分 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点， ∴∠M=∠MFC ，DE=CE .在△MDE 和△FCE 中，∠M=∠MFC ， ∠DEM=∠CEF ，DE=CE .∴△MDE ≌△FCE .∴EF = ME ，DM=CF . ………………3分∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=23. 在Rt △FCE 中，tanC=34=CFEF，∴EF = ME =2. ………4分 在Rt △AME 中，AE =265)232(222=++. …5分 20. 解：（1）CD 是⊙O 的切线．……………………1分 证明：连接OD ．∵∠ADE =60°，∠C =30°，∴∠A =30°． ∵OA=OD ，∴∠ODA=∠A =30°．∴∠ODE=∠ODA+∠ADE =30°+60°=90°． ∴OD ⊥CD ． ∴CD 是⊙O 的切线．……………………………3分（2）在Rt △ODC 中，∠ODC =90°， ∠C =30°， CD =33． ∵tan C =CDOD， ∴OD=CD ·tan C =33×33=3．∴OC=2OD =6．∵OB=OD =3，∴BC=OC -OB =6-3=3．…………………………………………5分 21. 解：（1）60秒跳绳的成绩在140—160次的人数为：1003826148410-----=（人）．…………………1分（2）（1）中人数所在扇形统计图中圆心角的度数为：1036036100⨯︒=︒．…………………4分 （3）估计全校60秒跳绳的次数在100次以上的学生人数为：381410436002376100+++⨯=（名）． ………………5分22．（1）1+3+5+7+9+11+13=72． …………………1分算式表示的意义如图（1）．…………………2分（2）第n 条黑折线与第1n -条黑折线所围成的图形面积为21n -. …………………3分（3）算式表示的意义如图（2）、（3）等. …………………5分（1）（2）（3）五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分）23．解：（1）顶点坐标A（1，-1）. …………………1分……………………………………………………………………………………2分（2）2(1)2(2)y x by x x=+⎧⎨=-⎩把（1）式代入（2）整理得：230x x b--=.940b∆=+=，94b=-. …………………4分（3）2(1)2(2)y x by x x=+⎧⎨=+⎩把（1）式代入（2）整理得：20x x b+-=.140b∆=+=，14b=-. …………………6分∴当直线y x b=+与图象C3有两个交点时，b的取值范围为：9144b-<<-. …………………7分24. 解：（1）由已知可得：2,90OA AB A ==∠=︒，11130,4BOA BOA OB OB ∴∠=∠=︒==.又1AOA ∠为旋转角，130AOA ∴∠=︒.160B OA ∴∠=︒. …………………1分过点1B 作1B E OA ⊥于点E ， 在1Rt B OE ∆中，1160,4B OE OB ∠=︒=，12,OE B E ∴==1(2,B ∴. …………………2分（2）设F 为11AC 与1OB 的交点，可求得(1F . …………………4分 设直线l 的方程为y kx b =+，把点（2，0）、（102,k b k b=+⎧⎪=+解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线l 的方程为y =+. …………………5分（3）…………………7分25．（1）证明：过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H . ∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点，∴MG=MH .又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090， ∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中∠1=∠2， MG=MH ， ∠MGE=∠MHF .F 21HGE QPNBDMCA∴ME=MF . ………………3分（2）解：①当MN 交BC 于点E ，MQ 交CD 于点F 时.过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H .∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090. ∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2∠MGE=∠MHF ∴△MGE ∽△MHF . ∴MHMGMF ME =. ∵M 为矩形对角线AB 、AC 的交点，∴MB=MD=MC又∵MG ⊥BC ，MH ⊥CD ，∴点G 、H 分别是BC 、DC 的中点. ∵24BC AB ==， ∴BC MH AB MG 21,21==. ∴21=MF ME . ………………4分 ②当MN 的延长线交AB 于点E ，MQ 交BC 于点F 时. 过点M 作MG ⊥AB 于点G ，MH ⊥BC 于点H .∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090. .∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2， ∠MGE=∠MHF .NP∴MHMGMF ME =. ∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点，∴MB=MA=MC .又∵MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，∴点G 、H 分别是AB 、BC 的中点. ∵24BC AB ==，∴AB MH BC MG 21,21==. ∴2=MFME. ………………5分 ③当MN 、MQ 两边都交边BC 于E 、F 时.过点M 作MH ⊥BC 于点H .∴∠MHE=∠MHF =∠NMQ=090. ∴∠1=∠3，∠2=∠4.∴△MEH ∽△FEM ，FMH ∽△FEM .∴ME MH FE FM =，FM MHFE EM=. ∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点， ∴点M 为AC 的中点.又∵MH ⊥BC ，∴点M 、H 分别是AC 、BC 的中点. ∵24BC AB ==，∴AB=2. ∴MH=1. ∴1FM FM ME MH EF EF ==⋅， 1EM EMMF MH EF EF==⋅. ∴11122222=+=+EF EM FM MF ME . ………………6分 ④当MN 交BC 边于E 点，MQ 交AD 于点F 时. 延长FM 交BC 于点G .易证△MFD ≌△MGB . ∴MF=MG .同理由③得22111MG ME +=. ∴22111ME MF +=. ………………7分 综上所述：ME 与MF 的数量关系是21=MF ME 或2=MFME 或11122=+MF ME . …8分。
东城区高三一模试题目—文科数学
东城区高三一模试题目—文科数学东城区普通校2009-2010学年第二学期联考试卷高三 文科数学命题校：65中 2010年3月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合要求的. 1. 复数2i12-i +等于（ ）A ．1 B.545i - C. iD. i -2. 已知直线1l ：()()02y 2m x 2m =+--+，直线2l ：01my 3x =-+，且21l l⊥，则m等于（ ） A ．1- B. 6或1- C. 6-D. 6-或13.5，6，10，则输出的结果为 （ ）A ．10 B. 7C ．6 D. 54. 命题p ：∃实数∈x 集合A ，满足032x x 2<--，命题q ：∀实数∈x 集合A ，满足032x x 2<--，则命题p 是命题q 为真的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分非必要条件5. 要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中， 面积最大的一个矩形的面积为ca =（ ） A ．50 B. 325 C. 350 D.1006. 若想将函数cosx sinx y +=的图象进行平移，得到函数cosx sinx y -=的图象，下面可行的变换步骤是（ ）A. 向左平移4π个单位B. 向右平移4π个单位C. 向左平移2π个单位D. 向右平移2π个单位7. 已知函数⎩⎨⎧≤>=)x (x)x (x log)x (f 2002，则满足1>)a (f 的a 的取值范围是（ ）A ．)2(,-∞B ．)1,(--∞∪),(∞+2C ．()2,1-D ．)1,(--∞∪)2,0(8. 已知函数()5-4x 2xx f 2+=，[]2t t,x +∈，此函数()x f 的最大值形成了函数()t g y =，则函数()t g y =的最小值为（ ）A ．7- B. 9- C. 5- D.3-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9. 计算：619sin π=_____________.10. 等比数列{}na 中,,21=a263=S ,则q =________________.11.在区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<<<=4020,y x y x M 内随机撒一粒黄豆,落在区域()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>><+=04,x x y y x y x N 内的概率是 .12. 若b a c 2,b 1a -===,，（1）若向量a 与b 方向相反，则=c ； （2）若a c ⊥，则向量a 与b 的夹角为 . 13. 如果直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N关于直线0=+y x 对称，那么可求得圆心的横坐标为______，直线被圆所截得的弦MN 的长度为_______________.14. 如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.请写出一种可行的选择方案：_____，______，______.三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2010年北京市东城区初三一模数学试卷(含答桉)
积差的值.
y
y
B1
B1
C1 C O
B A1
C1 C
B A1
A
x
O
A
x
备用图
5
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y
C1
（2）若直线 y = kx + b 与抛物线 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 有且只有一个
交点时,称直线与抛物线相切. 若直线 y = x + b 与抛物线 C1 相切， 求 b 的值； （3）结合图象回答，当直线 y = x + b 与图象 C3 有两个交点时， b 的
取值范围．
欢 迎 访 问 A．
B．
C．
D．
45．．布是若AA白袋一．．. 中球个51.3的装正有概多率边1 个是形红的球一，个h t2外t个p角BB:白．．/是/球6b166，0lo°3g，个.s则黑in这球a个.，c正o它m多CC们．．.边除c7n形12颜/的b色e边外ij数完in是全gs相tu同d，y从D袋D．．中8任56 意摸出一个球，摸出的球
在数轴上表示为：
……………………………………5 分
15.证明：∵△ABC 与 △AED 均为等腰直角三角形， ∴ AB = AC ， AE = AD ， ∠BAC = ∠EAD = 90� .······························································3 分
量关系.
A M
B
E
N
D
F Q
北京2010年中考各区一模数学试题分类(切线的证明与圆中的计算).doc
21.已知：如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 为⊙O 直径，且AB PA ⊥于点A ，AC PO ⊥于点M （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）当2=OM ，42cos =B 时，求PC 的长。
［崇文一模］ 20.如图，AB 是半圆⊙O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆⊙O 于点E ，交AC 于点C ，使BED C ∠=∠ （1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论。
（2）若8=AC ，54cos =∠BED ，求AD 的长。
［延庆一模］20．如图，AB 为⊙O 的直径，AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，AC 交AC DE ⊥的延长线于点E ，B BF A ⊥交AD 的延长线于点F ，（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若,3=DE ⊙O 的半径为5，求BF 的长． ［西城一模］21．如图，ABC △内接于O ，AB AC =．点D 在O 上，AD AB ⊥于点A ，AD 与BC 交于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF AE =．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若4AD =，4cos 5ABF ∠=，求BC 的长．O FEDCBAM B PO AC F E DCBAODCBAO21．如图，⊙O 的直径AB=4，C 、D 为圆周上两点，且四边形OBCD 是菱形，过点D 的直线EF ∥AC ，交BA 、BC 的延长线于点E 、F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）求DE 的长．［门头沟一模］20. 已知：如图，BE 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点B ，OC ∥DE 交⊙O 于点D ，CD 的延长线与BE 的延长线交于A 点.（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝4，CD ＝6，求tan ∠ADE 的值.［丰台一模］20．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =21，求⊙O 的直径．［石景山一模］20．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦OD AC //,BD 切⊙O 于B ,联结CD ． （1）判断CD 是否为⊙O 的切线，若是请证明；若不是请说明理由． （2）若2=AC ,6=OD ,求⊙O 的半径． OF E DCBAOE D C B A20． 已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当BD=2，sinC=12时，求⊙O 的半径．［平谷一模］19. 已知，如图，直线MN 交⊙O 于A,B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若6DE =cm ，3AE =cm ，求⊙O 的半径.［大兴一模］19．如图7，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，且︒=∠90DEC ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若30C ∠=°，32=CE ，求⊙O 的半径．［密云一模］19．如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝8．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin ∠E 的值． AF DO E B G C AE DOBC（图7）23．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E.（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与 ⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若 GC ＝CD ＝5，求AD 的长.［海淀一模］20. 已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .(1)求证：DA 为⊙O 的切线； (2)若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求⊙O 的半径.［昌平一模］20．已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且8BE =，5tan 2BFA ∠=， 求⊙O 的半径长.（第23题图） F OD CBAFE DCBAO［朝阳一模］ 21．（本小题满分5分）如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ， 且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径长；（3）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积 （结果保留π）．［东城一模］20．如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由； （2）若CD = 33 ，求BC 的长．OBCDEA。
2010北京一模数学试题汇编--复数、算法、集合、简易逻辑、推理与证明、平面几何、坐标系与参数方程
平面几何1. （崇文·理·题3）已知PA 是O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是O 的直径，PC 交O 于点B ，30PAB ∠=，则O 的半径为 （ ）PAA ．1B ．2CD ．【解析】 C ；30,2tan30PAPCA PABCA ∠=∠===2. （东城·理·题3） 如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是（ ）A ．3B ．C ．2 DOPCB A【解析】 B ；延长CP 交于圆上一点，得到一条圆的弦，易知P 点为该弦的中点，有28PC PA PB =⋅=．3. （丰台·理·题9）在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积是12cm ，则CDF ∆的面积是 2cm ． 【解析】 4；EB取CD 的中点G ，连结BG 交AC 于H ，则∵BE DG ∥且1122BE AB CD DG ===，∴四边形BEDG 为平行四边形 ∴AF FH HC == ∴44DFC AEF S S ==△△4. （海淀·理·题10） 如图，AB 为O 的直径，且8AB =，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4C PP D =，则弦CD 的长度为 ．【解析】 7；由8AB =得2,6AP PB ==．由已知和相交弦定理得 :3:4CP PD AP PB CP PD ⋅=⋅⎧⎨=⎩，解得34CP PD =⎧⎨=⎩． 于是347CD CP PD =+=+=．5. （石景山·理·题10）已知曲线C 的参数方程为cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=-+⎩()θ为参数，则曲线C 的普通方程是 ；点A 在曲线C 上，点(,)M x y 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，则AM 的最小值是 ．【解析】22(2)1x y ++=，32； C 是圆22(2)1x y ++=；不等式组的可行域如图阴影所示，A 点为(0,1)-、M 为10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，||AM 最短，长度是32．6. （西城·理·题12） 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于点E ．已知O 的半径为3，2PA =，则PC = ．OE = ．B【解析】 94,5； 22(26)164PC PA PB PC =⋅=⨯+=⇒=；连结OC ，知OC PC ⊥，于是5PO =，2239235CO OE OP PE =⋅⇒==+．BCOE PDA7. （宣武·理·题11）若,,A B C 是O ⊙上三点，PC 切O ⊙于点C ，110,40ABC BCP ∠=︒∠=︒，则AOB ∠的大小为 ． 【解析】 60︒；如图，弦切角40PCB CAB ∠=∠=︒，于是18030ACB CAB ABC ∠=︒-∠-∠=︒，从而260AOB ACB ∠=∠=︒．POCBA8. （朝阳·理·题12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，3CD AB BC ===，则BD 的长为 ；AC 的长为 ．【解析】 4,()24CD DB DA DB AB BD BD =⋅=⋅+⇒=．又由DCB CAB∠=∠知BCD ACD∆≅∆．于是BC BD CDAC CD AD==．即3BD ACAC CD===9.（西城·理·题12）如图，PC切O于点C，割线PAB经过圆心O，弦C D A B⊥于点E．已知O的半径为3，2PA=，则PC=．OE=．B【解析】94,5；22(26)164PC PA PB PC=⋅=⨯+=⇒=；连结OC，知OC PC⊥，于是5PO=，2239235CO OE OP PE=⋅⇒==+．BCO EPDA坐标系与参数方程1.（海淀·理·题4）在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1,．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（）A．π1,3⎛⎫-⎪⎝⎭B．4π2,3⎛⎫⎪⎝⎭C．π2,3⎛⎫-⎪⎝⎭D．4π2,3⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】C；易知2ρ==，()π2π3k k θ=-∈Z ．2. （朝阳·理·题9）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 ． 【解析】 ()1,0,1；由22cos ρρθ=，有222x y x +=，即圆的直角坐标方程为()2211x y -+=．于是圆心坐标为()1,0，半径为1．3. （崇文·理·题11）将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为 ．【解析】 ()2214x y -+=；由12cos ,2sin x y θθ-==知()2214x y -+=．4. （石景山·理·题11）如图，已知PE 是圆O 的切线．直线PB 交圆O 于A 、B 两点，4PA =，12AB =，AE =．则PE 的长为_____，ABE ∠的大小为________．POEBA【解析】 8，30︒；24(412)64PE PA PB =⋅=⨯+=，则8PE =；由222P EP A A E =+，可知90PAE ∠=︒，即90BAE ∠=︒，由tan AE ABE AB ∠=，得30ABE ∠=︒．5. （西城·理·题11）将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为 ． 【解析】2220x y x +-=； 2222cos 2x y x ρρθ=⇒+=．6. （东城·理·题12）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为 ．【解析】 2215(1)()24x y -+-=，11,2⎛⎫⎪⎝⎭；222sin 2cos 2x y y x ρρθρθ=+⇒+=+．7. （东城·理·题12）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为 ．【解析】 2215(1)()24x y -+-=，11,2⎛⎫⎪⎝⎭；222sin 2cos 2x y y x ρρθρθ=+⇒+=+．8. （宣武·理·题12）若直线:0l x =与曲线:x a C y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数，0a >）有两个公共点,A B ，且||2AB =，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ． 【解析】22,4cos 20ρρθ-+=； 曲线C ：22()2x a y -+=，点C 到l 的距离为2a=，因此||22A B a ==⇒=；222(2cos )(2sin )ρθθ-+=，即24cos 20ρρθ-+=．9. （丰台·理·题12）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x y t =⎧⎨=+⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[)0,2πθ∈），则圆心到直线l 的距离是 ．直线方程为1y x =+，圆的方程为()2211x y -+=．于是圆心()1,0到直线10x y -+=．复数1. （海淀·理·题1）在复平面内，复数1iiz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 C ；()()1i 1i i 1i iz -==--=--，该复数对应的点位于第三象限．2. （丰台·理·题1）如果1i1ia z a -=+为纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1-或1 【解析】 D ；设i z x =，0x ≠则1ii 1i a x a -=+()1i 0ax a x ⇔+-+=100ax a x +=⎧⇔⎨+=⎩11a x =⎧⇔⎨=-⎩或11a x =-⎧⎨=⎩．3. （石景山·理·题1）复数21i+等于（ ）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 【解析】 C ；22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-++-．4. （东城·理·题1）i 是虚数单位，若12ii(,)1ia b a b +=+∈+R ，则a b +的值是（ ） A ．12- B ．2- C ．2 D ．12【解析】 C ；12i (12i)(1i)3i 1i (1i)(1i)2++-+==++-，于是31222a b +=+=． 5. （朝阳·理·题1）复数112i i ++等于 （ ）A ．12i +B ．12i -C ．12-D ．12【解析】 D ；计算容易有1i 11i 22+=+．6. （海淀·文·题1）在复平面内，复数()i 1i -（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 A ；()i 1i 1i -=+，对应的点为()1,1位于第一象限．7. （丰台·文·题1）复数1i1iz -=+化简的结果等于（ ）A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i 【解析】 A ；1i1i z -=+()()()21i 2i i 1i 1i 2--===-+-．8. （石景山·文·题1）复数21i+等于（ ）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 【解析】 C ；22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-++-．9. （东城·文·题1）计算复数1i1i-+的结果为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【解析】 A ；21i (1i)i 1i 2--==-+．10. （朝阳·文·题1）复数22(1)i i+等于 （ ） A ．2 B ．-2 C ．2i - D ．2i 【解析】 C ；()221221i ii i +==--．11. （宣武·理·题3）若复数z 满足2i 1iz=+，则z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 B ；2i(1i)22i z =+=-+．12. （宣武·文·题4）设i 是虚数单位，则复数(1i)2i z =+⋅所对应的点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 B ；22i z =-+．13. （西城·文·题9）i 是虚数单位，1i 1i +=+ ． 【解析】 11i 22+；11i 1ii i 1i 22-++=+=+．14. （西城·理·题9）若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b += ． 【解析】 3；2i i a b +=+1,2a b ⇒==．15. （崇文·理·题9）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． 【解析】 1-；()()()()223i 1i 1mm m m i m ++=-++．于是有3101m m +=⇒=-．16. （崇文·文·题10）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． 【解析】 -1；()()()()223i 1i 1m m m m m i ++=-++．于是有3101m m +=⇒=-．算法1. （丰台·文·题3）在右面的程序框图中，若5x =，则输出i 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】 C ；51337109325→→→→，对应的4i =．2. （石景山·理·题4）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（ ） A ．80 B ．60 C ．40 D ．20【解析】 A ；几何体如图，是正四棱锥，底边长8，侧面底边上的高为5，因此侧面积为1854802⨯⨯⨯=．3. （西城·理·题5）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．4. （东城·理·题5）如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．4?T >B ．4?T <C ．3?T >D ．3?T <【解析】 B ；循环一次得：12,1,2i T S ===；两次得：1123,2,263i T S ===+=；三次得：2134,3,3124i T S ===+=；四次得：3145,4,4205i T S ===+=，此时需要跳出循环，故填4?T <．5. （东城·文·题5）按如图所示的程序框图运算，若输入6x =，则输出k 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解析】 B ；6x =，0k =，13x =，1k =，27x =，2k =，55x =，3k =，111x =，4k =，111100x =>，跳出循环，输出4k =．6. （石景山·文·题6）已知程序框图如图所示，则该程序框图的 功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NB ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NC ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈ND ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N注意n 和k 的步长分别是2和1．7. （西城·文·题6）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．8. （海淀·理科·题7）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）第 7 题A ．1-B ．1C ．2D ．12【解析】 A ；∵()20100mod 3i ==，∴对应的1a =-．9. （朝阳·文·题11）如图，下程序框图的程序执行后输出的结果是 ．【解析】 55；10.（宣武·文·题12）执行如图程序框图，输出S的值等于．12题图【解析】20；运算顺序如下===→===→===→===>，1,1,23,4,36,10,410,20,54A S i A S i A S i A S i输出S，故20S=．11.（崇文·理·题12）（崇文·文·题12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N的值分别为．【解析】 13，21；n 4次运行后43i =>，于是有13,21M N ==．12. （丰台·理·题13）在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 ．【解析】 (]2,4；∵328228x x ->⇔>，322810x x ->⇔>，32104x x ->⇔>，3242x x ->⇔>∴要使得刚好进行4次运算后输出的82x>，则有24x<≤．13.（朝阳·理·题13）右边程序框图的程序执行后输出的结果是．【解析】625；将经过i次运行后的,n S值列表如下．i 1 2 3 4 5 ．．．m．．．25n 3 5 7 9 11 21m+51 S 1 4 9 16 25 2m625 于是625S=．14.（海淀·文·题13）已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________．【解析】12；∵()202mod 3i ==，∴对应的12a =．集合简易逻辑推理与证明1. （崇文·文·题1）已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()U A B =ð （ ）A ．{}|14x x -≤≤B ．{}|23x x <≤C ． {}|23x x <≤D ．{}|14x x -<< 【解析】 D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<． 于是()U A B =ð{}23x x <≤．2. （西城·理·题1）设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞．3. （宣武·理·题1）设集合20.3{|0},2P x x m =-=≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m P ⊂ B ．m P ∉ C ．{}m P ∈ D ．{}m PÞ 【解析】 D ；{|0P x x =≤≤，0.3022m <=<<，故m P ∈，因此{}m P Þ4. （崇文·理·题1）已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()U A B =ð（ ）A ．{}|14x x -≤≤B ．{}|14x x -<<C ．{}|23x x <≤D ． {}|23x x <≤ 【解析】 D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<．于是()U A B =ð{}23x x <≤．5. （西城·文·题1）设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞．6. （宣武·文·题1）设集合{|4},sin 40A x x m ==︒≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m A ⊂ B ．m A ⊄ C ．{}m A ∈ D ．{}m A ∉ 【解析】 D ；正确的表示法，m A ∈，{}m A Þ，{}m A ∉．7. （东城·理·题2）设全集{33,}I x x x =-<<∈Z ，{1,2}A =，{2,1,2}B =--，则()I A B ð等于（ ） A ．{1} B ．{1,2} C ．{2} D ．{0,1,2} 【解析】 D ；{2,1,0,1,2}I =--，{0,1}I B =ð，故(){0,1,2}I A B =ð．8. （石景山·文·题2）已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么命题p ⌝为（ ） A ．,2x x ∀∈R ≤ B ．,2x x ∃∈<R C ．,2x x ∀∈-R ≤ D ．,2x x ∃∈<-R 【解析】 B ；全称命题的否定是存在性命题，将∀改为∃，然后否定结论．9. （东城·文·题2）设集合{1,2,4,6}A =，{2,3,5}B =，则韦恩图中阴影部分表示的集合（ ） A ．{2} B ．{3,5} C ．{1,4,6} D ．{3,5,7,8}【解析】 B ；阴影部分表示{3,5}U AB =ð．10. （丰台·理·题2）设集合[)1{|(),0,}2x M y y x ==∈+∞，(]2{|log ,0,1}N y y x x ==∈，则集合M N 是（ ）A ．[)(,0)1,-∞+∞B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．(,0)(0,1)-∞ 【解析】 C ；(]0,1M =，(],0N =-∞，因此(],1MN =-∞．11. （石景山·理·题2）已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么命题p ⌝为（ ） A ．,2x x ∀∈R ≤ B ．,2x x ∃∈<RC ．,2x x ∀∈-R ≤D ．,2x x ∃∈<-R 【解析】 B ；全称命题的否定是存在性命题，将∀改为∃，然后否定结论．12. （朝阳·文·题2）命题:0p x ∀>，都有sin 1x -≥，则 （ ） A ．:0p x ⌝∃>，使得sin 1x <- B ．:0p x ⌝∀> ，使得sin 1x <- C ．:0p x ⌝∃>，使得sin 1x >- D ．:0p x ⌝∀>，使得sin 1x -≥ 【解析】 A ；由命题的否定容易做出判断．13. （海淀·文·题7） 给出下列四个命题：①若集合A 、B 满足A B A =，则A B ⊆；②给定命题,p q ，若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真； ③设,,a b m ∈R ，若a b <，则22am bm <；④若直线1:10l ax y ++=与直线2:10l x y -+=垂直，则1a =． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 B ；命题①和④正确．14. （丰台·文·题7）若集合{}0,1,2P =，10(,),,20x y Q x y x y P x y ⎧⎫-+>⎧⎪⎪=∈⎨⎨⎬--<⎩⎪⎪⎩⎭，则Q 中元素的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9 【解析】 B ；(){},|12,,Q x y x y x y P =-<-<∈，由{}0,1,2P =得x y -的取值只可能是0和1．∴()()()()(){}0,0,1,1,2,2,1,0,2,1Q =，含有5个元素．15. （崇文·文·题8）如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 例如[]3.273=，[]0.60=． 那么“[][]x y =”是“1x y -<”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 A ；由[][][][]1,1x x x y y y <+<+≤≤．于是有[][]()[][]1111x y x y x y -=+<-<+-=-则1x y -<． 不妨设33,24x y ==，于是3331424x y -=-=<．但是[][]1,0.x y ==16. （东城·文·题9）已知命题3:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>，则p †为 ． 【解析】 030(1,),log 0x x ∃∈+∞≤；全称命题的否定为存在命题．17. （宣武·文·题10）命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是 ． 【解析】 存在一个常数列不是等比数列； 全称命题的否定是存在性命题． 18. （海淀·理·题11） 给定下列四个命题：① “π6x =”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；② 若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；③ 若a b <，则22am bm <；④ 若集合A B A =，则A B ⊆．其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）． 【解析】 ①，④；19. （海淀·理·题14） 在平面直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y xy =+≤，{(,)|4,0,340}B x y x y x y =-≤≥≥，则⑴点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； ⑵点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．【解析】 π；18π+．；⑴如左图所示，点集P 是以()3,1为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π； ⑵如右图所示，点集Q 是由三段圆弧以及连结它们的三条切线段围成的区域，其面积为()1π433451π18π2OPQ OABP PCDQ OFEQ S S S S ++++=⨯⨯+++⨯+=+△．20. （海淀·文·题14） 在平面直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y xy =+≤，(){},|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，则⑴点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； ⑵点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．【解析】π，12π+；⑴如左图所示，点集P 是以()3,1为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π；⑵ 如右图所示，点集Q 是由四段圆弧以及连结它们的四条切线段围成的区域，其面积为12π+．。
2010年北京市东城区初三数学一模试题及答案-推荐下载
17．列方程或方程组解应用题：. A、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30kg，A 型机器
人搬运 900kg 与 B 型机器人搬运 600kg 所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
18．已知：二次函数 y ax2 bx c (a 0) 中的 x，y 满足下表：
（1）求 60 秒跳绳的成绩在 140—160 次的人数； （2）若将此直方图转化为扇形统计图，求（1）中人数所在扇形统计图中圆心角的度数； （3）请你估计一下全校大概有多少名学生 60 秒跳绳的次数在 100 次以上？
频数 38
26
14 8 4 O 60 80 100 120 140 160 180 次数
（1） m 的值为
x
y
…
…
；
1
0
0
3
（2）若 A( p，y1) ， B( p 1，y2 ) 两点都在该函数的图象上，且 p 0 ，试比较 y1 与 y2 的大小.
京睿试题库
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（一）高三数学试卷（理科） 2010.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中为样本平均数． 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. i 是虚数单位，若计算复数),(121R b a bi a ii∈+=++，则b a +的值是 （ ） A ．21-B ．2-C ．2D ．212.设集全I={x|-3<x<3,x ∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则AY(C 1B)等于 （ ）A. {1}B. {1,2}C. {2}D. {0，1，2}3.如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 位AB 上一点，PC ⊥OP,PC 交⊙O 于C ，若AP=4,PB=2,则PC 的长是（ ）A.3B. 22C.2D. 24.8)2(y x -的展开式中26y x 项的系数数（ ） A.56 B.-56 C.28 D.-285. 如图是一个算法的程序框，若该程序输出的结果为54，则判断框中应填入的条件是 （ ）A.T>4?B.T<4?C.T<2?D.T<3?6.某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶， 且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与靶心的距离小于2的 概率为 （ ） A.131B. 91C. 41D. 217.已知数列}{n a 的通项公式)(1log 3+∈+=N n n na n ,设其前n 项和为,n S 则使4-<n S 成立的最小自然数n 等于（ ）A.83B.82C. 81D. 808.定义在R 上的函数)(x f y =是减函数，且函数)1(-=x f y 的图象关于（1，0）成中心对称，若s ，t 满足不等式),2()2(22t t f s s f --≤-则当sts 时，41≤≤得取值范围是（ ） A.)1,41[-B. ]1,41[-C. )1,21[-D. ]1,21[-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应位置的横线上。
9.右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 。
10.将2121322,)32(,2按从大到小的顺序排列应该是 。
11.在平行四边形ABCD 中若===AD ),5,2(),3,1(则AC AB ,=BD .12.圆的极坐标方程为θθρcos 2sin +=，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为 。
13.直线t x =过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 。
14.如果对任意一个三角形，只要它的三边a 、b 、c 都在函数的定义域内，就有)(),(),(c f b f a f 也是某个三角形的三边长，则称)(x f 为“II 型函数”，那么下列函数：①()f x x =②()sin ,(0,)g x x x π=∈ ③()ln ,[2,)h x x x =∈+∞是“II 型函数”的序号为 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）设函数21)2sin(cos cos sin 3)(-+-=x x x x x f π（1）求)(x f 的最小正周期； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值。
16. （本小题满分13分）在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下。
（1）计算样本的平均成绩及方差； （2）现从这10个样本中随机抽取2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列和均值。
17. （本小题满分14分）如图1所示，在边长为12的正方形ADD 1A 1中，点B 、C 在线段AD 上，且AB=3，BC=4,作BB 1∥AA 1,分别交A 1D 1 ,AD 1于点B 1、P ，作CC 1∥AA 1, 分别交A 1D 1 ,AD 1于点C 1、Q,将该正方形沿BB 1 、CC 1 折叠，使得DD 1 与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A 1B 1C 1。
（1）求证：平面AB ⊥平面BCC 1B 1； （2）求四棱锥A-BCQP 的体积； （3）求平面PQA 与平面BCA 所成锐二面角的余弦值。
18. （本小题满分13分） 已知函数.,1ln )(R a xx a x f ∈-= （1）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当a=1，且2≥x 时，证明：52)1(-≤-x x f . 19. （本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为21，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切。
（1）求椭圆C 的方程；（2）设P(4,0),A 、B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴交于定点Q ；（3）在（2）条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，求ON OM ⋅的取值范围。
20. （本小题满分14分）已知数列}{n x 满足.423,4211--==+n n n x x x x （1）求证：3>n x ； （2）求证：n n x x <+1；（3）求数列}{n x 的通项公式。
北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（一）高三数学试卷（理科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1—8 CDBABBCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.34 10.212123)32(22>> 11.(1,2),(0,-1)12.)21,1(,45)21()1(22=-+-y x13. )2,1( 14. ①③注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分。
三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）.1)62sin(12cos 212sin 2321cos 2sin 2321)2sin(cos cos sin 3)(2--=--=--=-+-=ππx x x x x x x x x x f…………………… 6分 2,().2T f x πππ==故的最小正周期为 ……………………… 7分 （Ⅱ）因为0,2x π≤≤所以52666x πππ-≤-≤…………………………………… 9分 所以当2,()062x f x πππ-=即x=时，有最大值，3 ……… 11分 当2,()66x f x ππ-=-3即x=0时，有最小值-2. …………… 13分16. （本小题满分13分）解: （Ⅰ）样本的平均成绩x=80. ………………………… 3分 样本方差为175])8060()8060()8074()8074()8074()8085()8085()8098()8098()8092[(10122222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s…………………… 6分 （Ⅱ）由题意，随机变量X=0,1,2,157)0(21027===C C X P ,157)1(2101713===C C C X P .151)2(21023===C C X P 随机变量X 的分布列为X0 1 2P157 157 151 .53151215711570=⨯+⨯+⨯=EX ……………………………… 13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正方形ADD 1A 1中，因为CD=AD-BC=5,所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC=5. 因为AB=3,BC=4,所以AB 2+BC 2=AC 2,所以A B ⊥BC …………… 2分 因为四边形ADD 1A 1为正方形，AA 1∥BB 1 所以AB ⊥B B 1，而BC∩BB 1=B,所以AB ⊥平面BBC 1B 1 …………… 5分 （Ⅱ）解：因为AB ⊥平面BBC 1B 1 ，所以AB 为四棱锥A-BCQP 的高。
因为四边形BCQP 为直角梯形，且BP=AB=3,CQ=AB+BC=7,所以梯形BCQP 的面积为,7)(21=⨯⨯=BC CQ BP S BCQP 所以四棱锥A-BCQP 的体积,2031=⨯=-AB S V BCQP BCQP A…………… 9分(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）可知 ， AB,BC,BB 1两两互相垂直。
以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B —xyz,则A(0,0,3), B(0,0,0), C(4,0,0), P(0,3,0), Q(4,7,0)所以),3,7,4(),0,3,0(==AQ AP 平面PQA 的一个法向量为),,(1z y x n =令x=-1,则y=z=1所以)1,1,1(1-=n (11)分显然平面BCA 的一个法向量为)0,1,0(2=n 设平面PQA 与平面BCA 所成锐二面角为θ 则.33||||cos cos 212121=⋅⋅>=⋅<=n n n n n n θ 所以平面PQA 与平面BCA 所成锐二面角的余弦值为33.………………… 14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数{}()|0,f x x x >的定义域为 所以.1)(2'x x a x f +=………………… 2分 又曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线02=+y x 垂直 所以21)1('=+=a f即1=a ……………………………………………4分（Ⅱ）由于2'1)(x ax x f +=当0)(),,0(0'>+∞∈≥x f x a 有时，对于在定义域上恒成立， 即上是增函数在),0()((+∞x f ， ).,0(10)(0'+∞∈-==<ax x f a ，得时，由于当 )(0)()1,0('x f x f ax ，时，当>-∈单调递增; )(0)()),1('x f x f ax ，时，当<+∞-∈单调递减；………………………8分(Ⅲ)当).,2[,11)1ln()1(1+∞∈---=-=x x x x f a 时， 令.5211)1ln()(+----=x x x x g .)1()2)(12(2)1(111)(22'---=--+-=x x x x x x g ………………………10分 ），在（时，当∞+<>2)(,0)(2'x g x g x 单调递减； 又(2)0,2()0g x g x =≥≤所以时，..05211)1ln(≤+----x x x 即 故当.52)1(2,1成立时，且-≤-≥=x x f x a ………………… 13分19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知,21==a c e 所以,41222222=-==a b a a c e 即.3422b a =又因为,3116=+=b所以.3,422==b a故椭圆C 的方程为C ：.13422=+y x ………… 4分 （Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4).y k x =-由.0126432)34134),4(222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 得（ ① ……… 6分 设点).,(),,(),,(112211y x A y x E y x B -则 直线AE 的方程为).(212122x x x x y y y y -++=-令.)(,0121222y y x x y x x y +--==得将代入，)4,(),4(2211-=-=x k y x k y 整理，得8)(42212121-++-=x x x x x x x ②由①得341264,343222212221+-=+=+k k x x k k x x 代入② 整理，得x=1.所以直线AE 与x 轴相交于定点Q （1，0）. ……………… 9分(Ⅲ)当过点Q 的直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为)1(-=x m y ，且),(),,(N N M M y x N y x M 在椭圆C 上.由.01248)34134),1(222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m x m x m yx x m y 得（① 易知0>∆所以.349,34124,348222222+-=+-=+=+m m y y m m x x m m x x N M N M N M 因为.0)34433411,022<+≤-≥m m （所以 所以).45,4[--∈⋅ON OM………………………………… 11分当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时，其方程为x=1. 解得).23,1(),23,1(-N M此时.45-=⋅ON OM 所以ON OM ⋅的取值范围是].45,4[-- ………………… 13分 20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明（1）当n=1时，341>=x ，所以结论成立.(2)假设n=k 时结论成立，即31>x ，则.042)3(34233221>--=---=-+k k k k k x x x x x 所以.31>+k x即n=k+1时，结论成立.由（1）（2）可知对任意的正整数n ，都有3>nx ……… 4分（Ⅱ）证明：221343(1)(3).242424n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +--+-----=-==---所以1n n x x +< …………………………………………………………… 7分(Ⅲ) 2213(1)11.2424n n n n n x x x x x +---=-=-- 2213(3)33,2424n n n n n x x x x x +---=-=-- 所以21111().33n n n n x x x x ++--=-- 又111413.343x x --==-- 所以133111log 2log .33n n n n x x x x ++--=--……………………………… 11分又1311log 1,3x x -=- 令31log ,3n n n x a x -=-则数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列. 所以12.n n a -= 由31log ,3n n n x a x -=-得13.3n a n n x x -=- 所以1112123131.3131n n n n a n a x -+++--==--………………………………………… 14分。