高中数学第三章《一元二次不等式及其解法》学案新人教A版必修5
高中数学人教A版必修5第三章3.2 一元二次不等式及其解法 教案
3.2.1一元二次不等式及其解法（第一课时）一、教材分析本节课是人民教育出版社数学（必修5）第三章第二节第一部分内容，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一。
从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。
从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。
一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。
二、学情分析本节内容对学生来说不算陌生，由于一元二次不等式的解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中学习的薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑，对达成所规定的要求带来影响。
三、教学目标知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
过程与方法：通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。
情感与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
四、重点与难点重点：一元二次不等式的解法难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系要点：运用数形结合的思想方法，帮助学生将所学知识有机联系五、教法与学法1.教学方法的选择：创设问题情境，采用启发诱导式的教学模式引导学生探索讨论，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。
2.教学方法的选择：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：①.让学生自己发现问题，自己通过观察图像归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。
②.分组竞赛。
六、.教学手段本节课运用多媒体课件辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
人教A版高中数学必修五一元二次不等式及其解法教案新(3)
一元二次不等式的解法教学设计方案教学目标（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组； （3）了解简单的分式不等式的解法；（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．教学重点：一元二次不等式的解法；教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系． 教与学过程设计 第一课时Ⅰ．设置情境 问题：①解方程023=+x②作函数023=+=x y 的图像③解不等式023>+x【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。
能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？【回答】函数图像与x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式023>+x 的解集为函数图像落在x 轴上方部分对应的横坐标。
能。
通过多媒体或其他载体给出下列表格。
扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。
利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？Ⅱ．探索与研究我们现在就结合不等式062>--x x 的求解来试一试。
（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出62--=x x y 的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。
）【答】方程062=--x x 的解集为{}32=-=x x x 或 不等式062>--x x 的解集为{}32>-<x x x 或【置疑】哪位同学还能写出062<--x x 的解法？（请一程度差的同学回答） 【答】不等式062>--x x 的解集为{}32<<-x x我们通过二次函数62--=x x y 的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题062>--x x 的解集，还求出了062<--x x 的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。
高中数学 3.2.1一元二次不等式及其解法学案 新人教A版必修5 学案
"福建省莆田第八中学高中数学 3.2.1一元二次不等式及其解法学案新人教A版必修5 "一、学习目标：1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.二、教材阅读：(阅读课本+视频辅助=完成知识【认知、思考、记忆】：时间15分钟。
不明白的地方应该【伙伴交流】。
)1．只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为_______________.归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.3.（图像法）解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（0a>）.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.4.公式法：大于号取___________；小于号取_______________。
三、基础作业：(完成基础作业、对今日视频进行【到位】跟踪检测：时间10分钟，如果无法完成作业、应重新看视频、进行例题【临摹】。
不明白的地方应该【伙伴交流】。
)1求不等式2230x x-+->的解集.（分别用“图像法”与“公式法”）学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差【修改说明】1. 2人共同协作完成作业（3分钟），没有人抽组签。
2. 其他组修改（获取相应6个阳光）（3分钟）3. 该小组其他两人（至少）解答（5分钟）（1）修正修改的获取3个阳光，（2）解答对的不减阳光，（3）说不出理由的减3个阳光，（4）解答内容为：本题练习的知识点是什么本题的解题的步骤是什么（即①从哪里开始有思路；②先求什么；再求什么；③最后应该注意什么。
）本题有出错的，说明出错的理由。
人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)
3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。
最新人教版高中数学必修5第三章《一元二次不等式及其解法》教案
《一元二次不等式及其解法》教案教学目标1．深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.2．通过含参不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论.由于字母多又要讨论，所以往往成为学生的薄弱环节.要通过借助数轴的直观效果，熟练掌握，并通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.3．通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力.教学重点难点1．重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数列结合的思想.熟练地掌握一元二次不等式的解法.2．难点：深刻理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系．教法与学法1．教法选择：采用探究与合作相结合的教学方式，进行启发式教学.2．学法指导：以学生自主探究为主，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣二、思维拓展，课堂交流三、归纳小结，课堂延展教学设计说明1．教材地位分析：从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多.从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想.同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用.2．学生现实状况分析：学生已经学习了一元一次不等式，一元一次方程、一元一次函数，二元一次方程与函数.。
高中数学 32 一元二次不等式及其解法学案 新人教A版必修5 学案
3.2 一元二次不等式及其解法（1）课前预习学案【知识准备】1．我们把 ，并且 不等式，称为一元二次不等式． 2．不等式30ax +>的解集是 ．3．若将不等式20x bx c -++>的二次项系数化为正数，则不等式化为 ． 【预习内容】课本第76-78页．1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式．2．探究方程的根与二次函数的零点的关系．3．探究不等式250x x -<的解集．【提出疑惑】1．不等式250x x -<与250x x ->的解集之间有什么关系？规律是什么？2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点为例进行探究．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？课内探究学案【学习目标】1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法； 2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式． 【提出问题】1．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++<(0)a >？ 2．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a <？ 【合作探究】1．探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系．2．总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格0∆>0∆=0∆<二次函数 2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=无实根20ax bx c ++>(0)a >的解集2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭20ax bx c ++<(0)a >的解集∅2．尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来．3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固． 例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集．变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．【反思总结】解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：20A ax bx c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根120x x x <=，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集． 【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第1题 课后练习与提高1．与不等式(3)(5)0x x +-<的解集相同的是（ ）A ．3050x x +>⎧⎨-<⎩B ．3050x x +<⎧⎨->⎩C ．5030x x ->⎧⎨+<⎩D ．3050x x +>⎧⎨->⎩2．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x >，则关于x 的不等式2023ax bx x +>--的解集为（ ）A ．{|213}x x x -<<->或B ．{|321}x x x -<<->或C ．{|123}x x x -<<>或D ．{|13}x x <-<或 3．集合{}2540A x x x =-+≤，{}2560B x x x =-+≥，则AB =（ ）A ．{|1234}x x x ≤≤≤≤或B ．{|1234}x x x ≤≤≤≤且C ．{1, 2, 3, 4}D ．{|4123}x x x -≤≤-≤≤或4．已知集合{}2320U x x x =-+≥，{}31A x x x =><或，则U C A = ． 5．不等式2228x x ≤-<的正整数解集为 ． 6．解下列不等式① (1)(3)52x x x --<-； ② 22(11)3(1)x x x +≥+)； ③ 2(21)(3)3(2)x x x +-+＞ 答案：1．A 2．C 3．A 4．{|231}x x x ≤≤=或 5．{3}6．① {|24}x x x <>或；② 3{|1}2x x ≤≤；③ ∅3.2 一元二次不等式及其解法（2）课前预习学案【知识准备】1．回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．3．如何将不等式20ax bx c++>(0)a<进行转化？【预习内容】课本第78-79页．1．尝试解答课本P78-79两个例题．2．进一步巩固一元二次不等式的解法步骤．3．探究下面题目的解法例5设2{|430}A x x x=-+<，2{|280}B x x x a=-+-≤，且A B⊆，求a的取值范围．不等式250x x-<的解集．【提出疑惑】1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼”，如何审题？2．解答应用题需要注意些什么？课内探究学案【学习目标】1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．【提出问题】1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？2．一元二次不等式20ax bx c++>(0)a>与20ax bx c++>(0)a<的解集具有什么关系？【合作探究】1．例3某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：21120180s x x=+．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）探究不等式250x x-<与二次函数25y x x=-的零点之间的关系．变式训练：课本第80页练习22．例4一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220y x x=-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？变式训练：课本第80页习题3.2 A组第5题．3．补充例5设2{|430}A x x x=-+<，2{|280}B x x x a=-+-≤，且A B⊆，求a的取值范围．变式训练：课本第80页习题3.2 A组第3题．【反思总结】1．熟练掌握一元二次不等式的解法；2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题课后练习与提高1．若不等式20ax x a++<（0a≠）无解，则实数a的取值范围是（）A．1122a a≤-≥或 B．12a< C．1122a-≤≤ D．12a≥2．关于x的不等式21mx mx m++<的解集为R，则实数m的取值范围是（） A．(, 0)-∞ B．4(, 0)(, )3-∞+∞C．(, 0]-∞ D．4(, 0](, )3-∞+∞3．(1998年上海高考题)设全集U=R，2{|560}A x x x=-->，{||5|}B x x a=-＜ (a是常数)，且11∈B，则（）A．()UC A B=R B．()UA C B=RC．()()U UC A C B=R D．A B=R4．若2()40f x ax ax=--<恒成立，则实数a的取值范围是．5．若210ax bx+-<的解集为{|12}x x<<－，则a=________，b=________．6．已知22()4422f x x ax a a=-+-+在区间[0, 2]上的最小值是3，求a的值．答案：1．D 2．C 3．D 4．(16, 0]-5．11,22ab==-6．15a a==。
高中数学 第三章 不等式 第二十课 一元二次不等式及其解法导学案 新人教A版必修5-新人教A版高二必
第二十课 一元二次不等式及其解法一、课标要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.会解一元二次不等式.二、先学后讲1．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：（1）20(0)ax bx c a ++>> （2）20(0)ax bx c a ++<>.上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程20ax bx c ++=的根确定.设24b ac ∆=-，则：①0∆>时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的解12,x x ，则不等式（1）的解集为2{|x x x >或1}x x <（俗称：大于零取 ），不等式（2）的解集为12{|}x x x x <<（俗称：小于零取 ）； ②0∆=时，方程20ax bx c ++=有两个相等的解，即12x x ≠，则不等式（1）的解集为1{|}x x x ≠，不等式（2）的解集为 ；③0∆<时，方程20ax bx c ++=无实数解，则不等式（1）的解集为 ，不等式（2）的解集为 .三、合作探究1.不等式的解法例1解下列不等式.(1)2540x x +-≥; (2) 216810x x -+-≥;(3)235x x -+<; (4)225x x <-.【思路分析】解一元二次不等式首先将不等式标准化(二次项系数为正),然后看对应方程是否有根,再求出不等式的解集.【解析】(1)原不等式化为2450x x --≤.∵方程2450x x --≤两根为－1、5, 所以不等式的解集为{|15}x x -≤≤.(2) 原不等式化为216810x x -+≤.∵方程216810x x -+=的解是1214x x ==. 所以不等式的解集为1{|}4x x =.(3) 原不等式可化为2350x x -+>, ∵方程2350x x -+=无实根.所以不等式的解集为R.(4)原不等式化为2250x x -+<.∵方程2250x x -+=没有实根, 所以求不等式的解集为∅.【点评】记住不等式的求解方法，有利于今后的学习。
高中数学 第三章 3.2一元二次不等式及其解法(二)导学案新人教A版必修5
§3.2 一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0x 1<x 2 Δ＝0 Δ<0ax 2＋bx ＋c >0 (a >0) {x |x< x 1或x>x 2} {x |x ∈R 且x ≠－b2a }R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0) {x |x 1<x <x 2}∅∅2．节分是不等式的同解变形法则：(1)f xg x>0⇔f (x )·g (x )>0；(2)f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≤0g x ≠0；(3)f xg x ≥a ⇔f x －ag xg x≥0.3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0；ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C解析 解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 答案 C解析 当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．不等式x ＋5x －12≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D 解析x ＋5x －12≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2x －12x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝x 2－3x ＋2>0g －1＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3.二、填空题 7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0 ∴a ＝4.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧fx <0，gx <0的解集可用P 、Q 表示为________．答案 P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ， 所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，g x <0的解集为P ∩∁I Q .10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________． 答案 0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？解 由题意可列不等式如下：⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 【能力提升】13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在答案 A解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2， ∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0，f2>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －1·－2＋x 2－2x ＋1>0，x －1·2＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .。
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泗县三中教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
一元二次不等式及其解法
授课时间
撰写人
2012年1月
学习重点
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
学习难点
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系
学习目标
理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力
A． B． C． D．
3.在下列不等式中，解集是 的是（）.
A． B．
C． D．
4.不等式 的解集是.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5. 的定义域为.
四课后反思
（1）将原不等式化为一般式（ ）.（2）判断 的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.
五课后巩固练习
1.求下列不等式的解集
（1） ；（2） .
2.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
教学过程
一自主学习
二次函数
（ ）的图象
一元二次方程
二师生互动
例1求不等式 的解集.
练习.求下列不等式的解集.
（1） ；（2） .
例2求不等式 的解集.
练习1.求不等式 的解集.
2.求不等式 的解集.
三巩固练习
1.已知方程 的两根为 ，且 ，若 ，则不等式 的解为（）.
A．RB．
C． 或 D．无解
2.关于x的不等式 的解集是全体实数的条件是（）.