2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第4章平面向量 4-3a Word版含解析
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第3章三角函数、解三角形 3-3a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．(2017·长沙模拟)已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0， 且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A.4．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4， 这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x .因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A.5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T 4≤t ，即152≤t ， ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |cos x ，给出下列五个结论：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称．其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A解析 ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A. 二、填空题11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案 3π4解析 由题意得f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ，f ′(x )＝cos(x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4是奇函数，因此φ＋π4＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π4.又0<φ<π，所以φ＝3π4.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间的距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________. 答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数， ∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1， 则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sinπx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解16．(2017·洛阳校级月考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋a cosx ＋a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最大值；(2)如果对于区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的任意一个x ，都有f (x )≤1成立，求a的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94， ∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时， f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1， 则1≤cos x ＋1≤2，∴a ≤ cos 2x cos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤(t －1)2t ＝t 2－2t ＋1t＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min . 又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号， ∴a ≤0.。
近年届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例演练直
（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例分层演练直击高考文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例分层演练直击高考文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2018·无锡质检)已知向量a＝(2，1),b＝（5，－3)，则a·b的值为________．［解析] 因为a·b＝（2,1）·（5，－3)＝10－3＝7.[答案] 72．等边三角形ABC的边长为1，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，那么a·b＋b·c＋c·a ＝________．[解析］由题意知｜a｜＝|b|＝|c｜＝1,且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°,c 与a的夹角也为120°。
故a·b＋b·c＋c·a＝－错误!.［答案］－错误!3．已知|a｜＝3，|b｜＝4,且a与b不共线，若向量a＋k b与a－k b垂直，则k＝________．[解析] 因为（a＋k b)⊥(a－k b)，所以（a＋k b)·（a－k b）＝0，即|a｜2－k2｜b|2＝0。
又因为｜a｜＝3，｜b|＝4,所以k2＝916，即k＝±错误!.[答案] ±错误!4．如图，菱形ABCD的边长为2,∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则错误!·错误!的最大值为________．［解析］由平面向量的数量积的几何意义知，错误!·错误!等于错误!与错误!在错误!方向上的投影之积，所以(错误!·错误!)max＝错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!错误!2＋错误!2＋错误!错误!·错误!＝9.［答案] 95．已知平面向量a＝（1，2)，b＝（4,2）,c＝m a＋b(m∈R），且c与a的夹角等于c与b 的夹角,则m＝________.[解析] 由题意得：错误!＝错误!⇒错误!＝错误!⇒错误!＝错误!⇒m＝2.[答案］ 26．(2018·南通市高三第一次调研测试)在△ABC中，若错误!·错误!＋2错误!·错误!＝错误!·错误!,则错误!的值为________．解析:由错误!·错误!＋2错误!·错误!＝错误!·错误!,得2bc×错误!＋ac×错误!＝ab×错误!，化简可得a＝错误!c。
2020导与练一轮复习文科数学：第四篇 平面向量(必修4) 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用含解析
第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积1,2,8,9,11平面向量的夹角与垂直4,5,6,7,13平面向量的模3,10,14平面向量的综合应用12,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于( B )(A)4(B)3(C)2(D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.2.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )(A)-4(B)4(C)-2(D)2解析:因为a·b=|a||b|cos<a,b>=18cos<a,b>=-12,所以cos<a,b>=-.所以a在b方向上的投影是|a|cos<a,b>=-4.3.(2018·云南玉溪模拟)a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于( C )(A)(B)(C)5(D)25解析:因为a=(2,1),所以a=,因为a·b=10,|a+b|=5,所以|a+b|2=(5)2,即|a|2+|b|2+2a·b=50,所以|b|2=25,所以|b|=5,故选C.4.已知向量=(1,1),=(2,3),则下列向量与垂直的是( D )(A)a=(3,6)(B)b=(8,-6)(C)c=(6,8)(D)d=(-6,3)解析:因为=(1,1),=(2,3),所以=(1,2).由于·d=(1,2)·(-6,3)=0,故⊥d.故选D.5.(2018·江西九校联考)已知向量a=(x2,x+2),b=(-,-1),c=(1,),若a∥b,则a与c的夹角为( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为a∥b,所以=,所以x2=(x+2),cos<a,c>=====,又<a,c>∈[0,π],所以<a,c>=,故选A.6.设向量a=(1,m),b=(m-1,2),且a≠b.若(a-b)⊥a,则实数m的值为( C )(A)(B)1或2(C)1(D)2解析:因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=0,即a2-b·a=0,1+m2-(m-1+2m)=0,m2-3m+2=0.解得m=2或m=1.当m=1时,a=(1,1),b=(0,2),满足a≠b;当m=2时,a=(1,2),b=(1,2),不满足a≠b,故舍去.综上,m=1.故选C.7.(2018·大连双基测试)若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b 的夹角为( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,所以a·b=2×1×cos =1,|a+2b|===2,所以cos<a,a+2b>====,因为<a,a+2b>∈[0,π],所以<a,a+2b>=.8.(2018·云南昆明一中月考)已知a=(-1,),b=(0,2),则向量a在向量b方向上的投影为 .解析:因为a·b=-1×0+×2=2,|b|=2,所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos<a,b>===.答案:9.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为 . 解析:由题意知F3=-(F1+F2),所以|F3|=|F1+F2|,所以|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所以|F3|=2.答案:2能力提升(时间:15分钟)10.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|等于( A )(A)2(B)2(C)4(D)12解析:由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以a·b===,由向量a在向量b方向上的投影为-2,则==-2,即|a|2=4,所以|a|=2.故选A.11. (2018·河南鹤壁高级中学段考)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·等于( B )(A)-(B)-(C)-(D)-解析:因为=2,圆O的半径为1,所以||=,所以·=(+)·(+)=||2+·(OE+)+·=()2+0-1=-.故选B.12.(2018·江西赣州红色七校联考)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则·的取值范围是( C )(A)[-1,0](B)[-1,2](C)[-1,3](D)[-1,4]解析: 设M(x,y),如图,建立平面直角坐标系,由题意,点M所在的轨迹为(x-1) 2+(y-1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2),设M(x,y),又A(0,0),B(2,0),所以·=(-x,-y)·(2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,因为∈[0,2],所以(x-1)2+y2∈[0,4],所以(x-1)2+y2-1∈[-1,3],即·∈[-1,3].故选C.13.已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β= .解析:a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.因为|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9,所以|a|=3.因为|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6×1×1×=8,所以|b|=2,所以cos β===.答案:14.在△ABC中,(-3)⊥,则角A的最大值为 .解析:设△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c由已知得(-3)·=(-3)·(-)=+3-4·=0,所以cos A==≥=,则角A的最大值为.答案:15.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB= .解析:在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,所以==-,又因为=+,所以·=(+)·(-)=-·+·-=||2+||||cos 60°-||2=1+×||-||2=1.所以(-||)||=0,又||≠0,所以||=,即AB=.答案:。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第4章平面向量 4-2a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c ∥d ，∴(k a ＋b )∥(a －b )，∴存在λ使k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1. ∴c ＝－a ＋b ，∴c 与d 反向．故选D.2．(2018·襄樊一模)已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12 C ．k ＝1 D ．k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB→与AC →共线．因为AB→＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故选C.3．(2018·怀化一模)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)答案 D解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.4．(2017·河南高三质检)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝4，D 是AB 上一点，且AB →·CD→＝5，则|BD →|等于( ) A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C解析 设AD →＝λAB →，∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝λAB →2－AB →·AC →＝5，可得25λ＝15，∴λ＝35，∴|BD →|＝25|AB →|＝2.故选C.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC→＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知OC→＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)．选A.6．(2017·茂名二模)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.53 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，又x ，y >0，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.7．(2017·济南二模)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，N 为OB 中点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点C 在直线MN 上，且OC→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.425B.25C.49D.23 答案 A解析 因为点C ，M ，N 共线，则OC →＝λOM →＋μON →＝23λOA →＋12μOB →，λ＋μ＝1，由OC→＝xOA →＋yOB →， x ＝23λ，y ＝12μ＝12(1－λ)，x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ2＋14(1－λ)2＝2536λ2－λ2＋14，设g (λ)＝2536λ2－λ2＋14，由二次函数的性质可知：当λ＝925时，g (λ)取最小值，最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫925＝425，所以x 2＋y 2的最小值为425.故选A.8．(2017·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.故选A.9．(2018·安徽十校联考)已知A ，B ，C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABD S △ACD＝( )A.23B.32 C ．6 D.16 答案 C解析 如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC→. 由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ， 而S △AMD ＝S △AND ，∴S △ABDS △ACD＝6.故选C.10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bB ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bC ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22bD.2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22b答案 B解析 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1＋22，∴AB →＝(－1,0)，AC→＝(－1,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1＋22.令AD→＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎨⎧λ＝－2，μ＝1＋22，∴AD →＝－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22b .故选B.二、填空题11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4－x,2－y )，AB →＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为________．答案 60°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理， 得b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12. 又0°<C <180°，∴C ＝60°.13．(2017·太原三模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________．答案 2133解析 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)， C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC→，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，①直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP→|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133.14．(2018·江西南昌一模)已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103解析 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP→＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC → ＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.三、解答题15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的上运动．若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3， 则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. 16．(2018·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n的最小值及对应的x 值．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，2019版高考数学（文）2019版高考数学（文） 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2最小，最小值为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC→＝(cos x ＋1，sin x )， 则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。
高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第4章平面向量4-2aWord版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c ∥d ，∴(k a ＋b )∥(a －b )，∴存在λ使k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1. ∴c ＝－a ＋b ，∴c 与d 反向．故选D.2．(·襄樊一模)已知OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12 C ．k ＝1 D ．k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB→与AC →共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故选C.3．(·怀化一模)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)答案 D解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.4．(·河南高三质检)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝4，D 是AB 上一点，且AB→·CD →＝5，则|BD →|等于( ) A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C解析 设AD→＝λAB →，∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝λAB →2－AB →·AC →＝5，可得25λ＝15，∴λ＝35，∴|BD →|＝25|AB →|＝2.故选C.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA→＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC→＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知OC→＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)．选A.6．(·茂名二模)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.53 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，又x ，y >0，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13 (2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.7．(·济南二模)如图所示，两个非共线向量OA→、OB →的夹角为θ，N 为OB 中点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点C 在直线MN 上，且OC→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.425B.25C.49D.23 答案 A解析 因为点C ，M ，N 共线，则OC →＝λOM →＋μON →＝23λOA →＋12μOB →，λ＋μ＝1，由OC→＝xOA →＋yOB →， x ＝23λ，y ＝12μ＝12(1－λ)，x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ2＋14(1－λ)2＝2536λ2－λ2＋14，设g (λ)＝2536λ2－λ2＋14，由二次函数的性质可知：当λ＝925时，g (λ)取最小值，最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫925＝425，所以x 2＋y 2的最小值为425.故选A.8．(·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14 (DA →＋AB → )＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.故选A.9．(·安徽十校联考)已知A ，B ，C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABD S △ACD＝( )A.23B.32 C ．6 D.16 答案 C解析 如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC→. 由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ， 而S △AMD ＝S △AND ，∴S △ABDS △ACD＝6.故选C.10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bB ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bC ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22bD.2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22b答案 B解析 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1＋22，∴AB→＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1＋22 .令AD→＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎨⎧λ＝－2，μ＝1＋22，∴AD →＝－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22b .故选B.二、填空题11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4－x,2－y )，AB →＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为________．答案 60°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理， 得b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12. 又0°<C <180°，∴C ＝60°.13．(·太原三模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP → |的最大值为________．答案 2133解析 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)， C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3，∵AP →＝23AB →＋λAC→， ∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，①直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP→|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133.14．(·江西南昌一模)已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103解析 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP→＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →， 所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2 ＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23，因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.三、解答题15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的上运动．若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sinα＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. 16．(·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC→，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD → |2＝12－2t t ＋t 2＋12＝t 2－2t t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －22 2＋12(0≤t ≤1)，第11页 共11页 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2最小，最小值为22.(2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC→＝(cos x ＋1，sin x )， 则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。
高考数学一轮复习 第四章 第1讲 平面向量及其线性运算基础反馈训练(含解析)-人教版高三全册数学试题
基础知识反馈卡·4.1时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．(多选)如图J411，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )图J411A.AB →＝CD →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝02．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A.AB → B.DA → C.BC →D ．03．如图J412所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图J412A.FO →B.OG →C.OH →D.EO →4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，若BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝05．(2017年某某八市质检)如图J413，已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )图J413A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 6．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图J414，在△ABC 中，AD →＝13DC →，P 是线段BD 上一点，若AP →＝mAB →＋16AC →，则实数m 的值为________．图J414 图J4158．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．9．如图J415，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →.则λ＝________.三、解答题(共15分)10．如图J416，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.图J416基础知识反馈卡·4.11．AC 2.D 3.A 4.B5．C 解析：∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6．A 解析：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．故选A.7.13 解析：∵AD →＝13DC →，则AC →＝4AD →，∴AP →＝mAB →＋23AD →. ∵B ，P ，D 三点共线，则m ＋23＝1，∴m ＝13.8．－29．2 解析：由平行四边形法则，可得AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. 10．解：AB →＝AC →＋CB →＝－3a ＋2b ， ∵D ，E 为AB →的两个三等分点，∴AD →＝13AB →＝－a ＋23b ＝DE →.∴CD →＝CA →＋AD →＝3a －a ＋23b ＝2a ＋23b .∴CE →＝CD →＋DE →＝2a ＋23b －a ＋23b ＝a ＋43b.。
2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用增分练
—2) , AD= (2,1) A . 5 答案2019-2020年高考数学一轮复习第 4章平面向量第3讲平面向量的数量积1. [xx •许昌模拟]设 x , y € R,向量 a = (x, 1) , b = (1 , y ) , c = (2 , — 4)，且 a 丄 c , b // c ,贝UI a + b | =( A. 5 B. 10 答案 ) C . 2 5 D . 10 解析 1 y由a 丄c ,得a • c = 2x — 4= 0，解得x = 2.由b // c ,得4，解得y = — 2.所以 a = (2,1), b = (1 , — 2) , a + b = (3 , — 1) , | a + b | = 10.故选 B. 2. [xx -广东高考]在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形 ABCD1平行四边形，AB= （1 ,AC= AB+ AD= (1 , — 2) + (2,1) 解析 + 1X ( — 1) = 5.故选 A. =(3 , —1)，所以 AD- AC= (2,1) • (3 , — 1) = 2X33. [xx •全国卷川 ]已知向量 A . 30° B . 45° 答案 A C . 60° T BA=- 2D . 120° BC =,2，则/ ABC ( )解析 cos / AB(=TBA' BC，所以/ABC= 30° .故选 A.| BA 4.已知 | a | = 2| b | 工0, 取值范围是（ ） •丨BQ且关于x 的方程x 2+ | a | x + a • b = 0有实根，则a 与b 的夹角的 |0,B. F, J1 2 n 1；n ] — D.〔3」]6，」B A. C. 答案 解析 4a -b >0, 2 2由于| a | = 2| b |丰0,且关于 x 的方程 x + | a | x + a -b = 0有实根，则| a | — 121 2a -b 4|a|1 即a -b <71 a | .设向量a 与b 的夹角为0，则cos 0 = w=~,4 1 a|1 b| 122a |71故选B.，则 AD- AC=()C . 3D . 25.在△ ABC中，/ C= 90°,且CA= CB= 3，点M满足BM= 2AM 则CM CA=( )A. 18 B . 3 C . 15 D . 12答案Af f f f f f f解析由题意可得△ ABC是等腰直角三角形，AB= 3 2 ,AMh BA故CM- CA= ( C阳AM - CA fff fff fff=CA+AM- CA= 9+ (CA- CB - CA= 9 + cA—CB- CA= 9 + 9- 0= 18.故选 A.6. ［xx •济宁模拟］平面四边形ABC［中, AB+ CD= 0, （AB- AD）- AC= 0，则四边形ABCD是（）A.矩形B.正万形C.菱形D.梯形答案Cf f f f f f解析因为AB+ CD= 0,所以AB=—CD= DC所以四边形ABCD是平行四边形.又（AB-f fffAD - AC= DB- AC= 0,所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD!菱形•故选C.7. ［xx •重庆模拟］已知非零向量a, b满足|b| = 4|a|，且a丄（2a+ b），贝U a与b的夹角为（）答案C解析■/ a 丄(2a+ b)，二a - (2a+ b) = 0,22| a| + a - b= 0,2即2| a| + | a|| b|cos 〈a, b>= 0.2 2T | b| = 4| a| , • 2| a| + 4| a| cos 〈a, b>= 0,& [xx •南宁模拟]已知平面向量 a , B ,且| a | = 1,| 3 | = 2, a丄(a —2 3 )，则|2 a+ 31 = ________ .答案.102 1解析由a 丄(a — 2 3 )得a •( a — 2 3 ) = a — 2 a • 3 = 0,所以a • 3= ?,所以3 = 4X1 2+ 22+ 4X *= 10,所以|2 a + 3 | = . 10.9. [xx •北京东城检测]已知平面向量a= (2,4) , b= (1 , —2)，若c = a—(a - b) b，则|c| = .答案8 2解析由题意可得a - b= 2X 1 + 4X( —2) =—6,n 2 nB.~2C.~3D.5 n"6"• cos〈a, b>2，a, b> 2n丁. 故选C.2 2 2(2 a + 3 ) = 4 a + 3 + 4 a••• c = a — (a- b )b = a + 6b = (2,4) + 6(1 , — 2) = (8 , — 8) , A | cAD- BC= _______A5答案一5解析 利用向量的加减法法则可知AD ・ BC= *AB+ AC ) • ( - AB+ AC ) = 2( - A^+ AC )=[B 级知能提升]f f1. [xx •石家庄模拟]在厶 ABC 中, AB= 4, AC= 3, AC ・ BC= 1 A. 3 B. 2 C . 2 D . 3 答案 D 解析设/ A = 0 ,f f f因为 BC = AC- AB AB= 4, AC = 3,f f f f ff f所以 AC- BC= AC — AC- AB= 9 — AC- AB= 1.,则 BC =( )10.如图，在△ ABC 中 , AB= 3 , AC= 2 , D 是边BC 的中点，则I AQ I AB所以 BC = 16+ 9— 2X 4X 3X 2= 3.故选 D.f2. _________________ 在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA= (3 , — 1) , OB= (0,2) 则实数入的值为 __________________ .答案 2f解析由已知得AB= ( — 3,3)，设C (x , y ),f f则OC ・ AB= — 3x + 3y = 0,所以 x = y .f fAC' AB= 8.cos 0 =f fAC ・ AB = _8_ f f =3X423,若OC ・ AB= 0 , AC =入OBAC= (x — 3, y + 1).又AC=入 OB 即(x — 3, y + 1)=入(0,2),x — 3= 0,所以由x = y 得，y = 3，所以入=2.|y +1= 2入，3. [xx •东营模拟]若两个非零向量 a , b 满足| a + b | = |a — b | = 2| a |，则向量a + b 与a 的夹角为. 答案解析由|a + b | = | a — b |，得a 2 + 2a •b + b 2= a 2— 2a • b + b 2,即卩 a • b = 0,22所以(a + b ) • a = a + a • b = | a | .故向量a + b 与a 的夹角0的余弦值为n又 0w 0 w n ，所以 0 =nr . 34.已知a = （1,2） , b = （1,1），且a 与a +入b 的夹角为锐角，求实数 入的取值范围. 解•/ a 与a +入b 均为非零向量，且夹角为锐角，a •（ a + 入b ） ＞ 0,即（1,2） • （1 + 入，2+ 入）＞0. • （1 + 入）+ 2（2 + 入）＞ 0. 5 •入 >—亍当a 与a +入b 共线时，存在实数 m 使a +入b = ma, 即 （1 + 入，2 + 入）=刑1,2）, 了 1 + 入=m •解得入=0.2 + 入=2m ,即当入=0时，a 与a +入b 共线， 综上可知，入＞—3■且入丰0.5. [xx •全国卷H 改编]已知△ ABC 是边长为2的等边三角形,T T TPA ・(PB+ PC 的最小值.cos 0 =a +b | a |a + b || a ||a | 2| a || a |1 2.P 为平面 ABC 内一点，求解解法一：设BC的中点为D, AD的中点为E,则有PB+ PC= 2PD 则PA-(PB+ PC = 2PA- PDf ff f f f=2( PE + EA •( PE — EA = 2( PE — EA ).fPU 有最小值0,故此时PA-（ PB+ PC 取最小值,f最小值为一2EA解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图, 则 A — 1,0），耳1,0） ，C （0， 3），设 Rx ，y ），取 BC 的中点 D,贝Uff fx -1 + +• y -子=八+42而A W=34,因此，当x =— 4，y =,PA ・（PB+ PC ）取得最小值，为 2X当P 与E 重合时, D2,.PA •( PB + PC ) = 2 PA • PD = 2( — 1 — x ，— y ) • g — x ，^ — y =。
全国通用近年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业二十七4.2平面向量的基
（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时分层作业二十七4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时分层作业二十七4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层作业二十七平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题(每小题5分，共35分）1.已知a=（3,—2）,b=(-2,1)，c=(7，—4),则（）A。
c=a+2b B.c=a-2bC.c=2b—a D。
c=2a-b【解析】选B.设c=x a+y b，所以（7，—4)=(3x-2y,—2x+y),所以得所以c=a—2b。
2.在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB.若=a,=b，=1，=2，则=（）A。
a+b B.a+bC。
a+b D.a+b【解析】选B.因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得==,所以D为AB的三等分点，且==（—),所以=+=+=a+b.3。
（2018·青岛模拟)已知向量a=（—1,2）,b=(3，m）,m∈R，则“m=—6"是“a∥(a+b)"的( )A。
充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得a+b=(2，2+m），由a∥(a+b）,得—1×(2+m)=2×2,所以m=—6.当m=-6时，a∥（a+b）,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充分必要条件。
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[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 答案 C解析 由题可知，设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)．由cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝1665.故选C.2．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a ·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2 D.54 答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)，a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5，∴|2a －b |a ·(a ＋b )＝55＝1.故选B.3．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF→＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( ) A ．6 B ．－6 C ．2 3 D ．－2 3 答案 B解析 由OD→＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →. ∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF . 连接OF ，∵|OF→|＝|OD →|＝|DF →|＝4，∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°. ∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin60°×2＝4 3.∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos 〈EF →，FD →〉＝43cos150°＝－6.故选B.4．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形答案 D解析 因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D.5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( )A ．3B ．－3C ．－92 D.92 答案 D解析 由|AB→＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA →＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →＝9－92＝92.故选D.6．(2017·龙岩一模)已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA→|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，则实数m n 的值为( )A.16B.14 C ．6 D ．4 答案 A解析 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，∵OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB→， ∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA→2＋nOB →2＝0， ∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0， ∴m n ＝16.故选A.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB →＝32，则实数m ＝( ) A ．±1 B ．±32 C ．±22 D ．±12 答案 C解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝4m 2－8(m 2－1)>0，得－2<m <2，又x A x B ＝m 2－12，x A ＋x B ＝－m ，所以y A y B ＝(x A ＋m )(x B ＋m )＝m 2－12，由AO →·AB →＝AO →·(OB →－OA →)＝－OA →·OB →＋OA →2＝－x A x B －y A y B ＋1＝－m 2＋2＝32，解得m ＝±22.故选C.8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ·b 和b ·a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ·b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12 答案 D解析 根据新定义，得a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ·a ＝b ·aa ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ. 又因为a ·b 和b ·a 都在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，设a ·b ＝n 12，b ·a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ·b )·(b ·a )＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以0<n 1n 2<2.所以n 1，n 2的值均为1，故a ·b ＝n 12＝12.故选D.9．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 答案 B解析 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则由c ·a ＝c ·b ＝1，得c ＝(1,1)，c ＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋t (1,0)＋1t (0,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1，1＋1t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ＝(t ＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2t ＋2t ＋2≥22，当且仅当t ＝1时等号成立．故选B.10．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 以a 和b 分别为x 轴和y 轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y )是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c |＝x 2＋y 2.所以|c |可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM |－r ≤|c |≤|OM |＋r ，即|c |∈[2－1，2＋1]．故选A.二、填空题11．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|a －2b |＝27，则|b |＝________.答案 3解析 因为|a |＝2，|a －2b |＝27，所以(a －2b )2＝28，即4－4a ·b ＋4|b |2＝28，又向量a ，b 的夹角为60°，所以4－4×2×|b |cos60°＋4|b |2＝28，解得|b |＝3.12．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案 223解析 a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8. ∵|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝9，∴|a |＝3.∵|b |2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8，∴|b |＝22，∴cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.13．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案 [2,5]解析 如图所示，设|BM→||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ，则λ∈[0,1]，AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝AB →·AD →＋(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD →＋λ(λ－1)BC →·CD →＝1×2×12＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.∵λ∈[0,1]，∴AM →·AN→∈[2,5]． 14．(2018·杭州质检)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则A C →·A E →＝________.答案 94解析 建立如图平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12.∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－14，∴A C →＝(3，0)，A E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫334，－14，∴A C →·A E →＝3×334＝94. 三、解答题15．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP→|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)， ∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)， ∴|OP→|＝22＋22＝2 2. (2)∵OP→＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。