2020-2021学年山西省大同市第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案 - 副本
山西省大同市第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题
山西省大同市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π 2．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱 长等于A ．2 2B ．223C ．423D ．4333．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝04．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A(12，12，12)，B(12，12，0)，C(13，13，13)，则A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥ACC ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC5．若P(2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝06．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x有两个交点时，其斜率k 的取值范围是A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18) 9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A ．85B ．25C ．285D ．12511．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －4)2＋(y －2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －1)2＝112．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为 A ．26＋2 B ．26－2 C ．5D ．6第II 卷 主观卷（共36分）二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分)13．顺次连结A(1,0)，B(1,4)，C(3,4)，D(5,0)所得到的四边形绕y 轴旋转一周，所得旋转体的体积是________．14．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为________．15．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝________，E ＝________.16．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．三、解答题（本题共6个小题，每小题8分）17．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD.(1) 证明PA ⊥BD ；(2) 设PD ＝AD ＝1，求棱锥D －PBC 的高．18．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1,1)在AD 边所在直线上．(1) 求AD 边所在直线的方程；(2) 求矩形ABCD 外接圆的方程．19．已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42，求圆的方程．20．如图，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD.(1) 求证：BE ＝DE ；(2) 若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.(1) 若直线l 1过点A(2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程；(2) 直线l 2的方程是x ＝52，证明：直线l 1上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 3和l 4，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等．22．如图已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点．(1) 证明：BC 1∥面A 1CD ；(2) 设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE的体积．一、选择题B 、 D 、 D 、C 、 A 、D 、 D 、 C 、 C 、 D 、 A 、 B二、填空题13、184π314、 4x －y －2＝0或x ＝1 15、6 －2 16、x ＋y －3＝0 三、解答题17.(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD.从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD.又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD.所以BD ⊥平面PAD.故PA ⊥BD.(2)如图，作DE ⊥PB ，垂足为E.已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC.由(1)知BD ⊥AD ， 又BC ∥AD ，所以BC ⊥BD.故BC ⊥平面PBD ，所以BC ⊥DE.则DE ⊥平面PBC.由题设知PD ＝1，则BD ＝3，PB ＝2.根据DE·PB ＝PD·BD ，得DE ＝32， 即棱锥D －PBC 的高为32.18.解： (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝03x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为 (0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又r ＝|AM|＝(2－0)2＋(0＋2)2＝2 2.所以矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.19.解：方法一：设圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝10.因为圆心在直线y ＝2x 上，所以b ＝2a. ①解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝10，得2x 2－2(a ＋b)x ＋a 2＋b 2－10＝0， 所以x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1·x 2＝a 2＋b 2－102.由弦长公式得2·(a ＋b )2－2(a 2＋b 2－10)＝42， 化简得(a －b)2＝4. ② 解①②组成的方程组，得a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.方法二：设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝10，则圆心为(a ，b)，半径r ＝10，圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b|2. 的直角三角形得d 2＋(422)2＝r 2，即由弦长、弦心距、半径组成(a －b )22＋8＝10， 所以(a －b)2＝4.又因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.20. 解：(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC ＝CD 知，CO ⊥BD ，又已知CE ⊥BD ，所以BD ⊥平面OCE.所以BD ⊥OE ，即OE 是BD 的垂直平分线，所以BE ＝DE.(2)取AB 中点N ，连接MN ，DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN ⊥AB.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°＋30°＝90°，即BC ⊥AB ，所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC.21. 解： (1)若直线斜率不存在，x ＝2符合题意；当直线l 1的斜率存在时，设直线l 1的方程为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0， 由条件得|4k －5－2k|k 2＋1＝2，解得k ＝2120， 所以直线l 1的方程为x ＝2或y ＝2120(x －2)，即x ＝2或21x －20y －42＝0. (2)由题意知，直线l 3，l 4的斜率存在，设直线l 3的斜率为k ，则直线l 4的斜率为－1k， 设点P 坐标为(52，n)，互相垂直的直线l 3，l 4的方程分别为：y －n ＝k(x －52)，y －n ＝－1k (x －52)，即kx －y ＋n －52k ＝0，－1k x －y ＋n ＋52k＝0， 根据直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得：圆心C 1到直线l 3与圆心C 2到直线l 4的距离相等． 有⎪⎪⎪⎪4k －5＋n －52k k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪3k －1＋n ＋52k 1k 2＋1，22．解： (1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ，由已知AC ＝CB ，D 为AB 中点，所以，CD ⊥AB ，又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1，由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得，∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D ，所以VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.。
山西省大同市2020版高二上学期期中数学试卷(理科)C卷
山西省大同市 2020 版高二上学期期中数学试卷（理科）C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 直线 x﹣y+1=0 的倾斜角是（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2017 高一下·天津期末) 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 7 名学生在一次数学测试中的 成绩，已知甲组学生成绩的平均数是 m，乙组学生成绩的中位数是 n，则 n﹣m 的值是（ ）A . ﹣2 B . ﹣1 C.0 D.1 3. （2 分） (2016 高一下·咸阳期末) 一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出 1 个 球，若摸出红球的概率是 0.45，摸出白球的概率是 0.25，那么摸出黑球或白球的概率是（ ） A . 0.3 B . 0.55第 1 页 共 12 页C . 0.75 D . 0.7 4. （2 分） (2017·池州模拟) 某学校有 2500 名学生，其中高一 1000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了 解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高一和高三抽取样本数分别为 a，b， 且直线 ax+by+8=0 与以 A（1，﹣1）为圆心的圆交于 B，C 两点，且∠BAC=120°，则圆 C 的方程为（ ） A . （x﹣1）2+（y+1）2=1 B . （x﹣1）2+（y+1）2=2C . （x﹣1）2+（y+1）2=D . （x﹣1）2+（y+1）2= 5. （2 分） 已知两条直线 y=ax﹣2 和 3x﹣（a+2）y+1=0 互相平行，则 a 等于（ ） A . 1 或﹣3 B . ﹣1 或 3 C . 1或3 D . ﹣1 或﹣3 6. （2 分） 平面直角坐标系中直线 y=2x+1 关于 y=x﹣2 对称的直线 l 方程为（ ） A . x﹣4y﹣11=0 B . 4x﹣y+11=0 C . x﹣2y+7=0 D . x﹣2y﹣7=0 7. （2 分） (2016 高二下·南城期末) 某海滨游乐场出租快艇的收费办法如下：不超过十分钟收费 80 元；超 过十分钟，超过部分按每分钟 10 元收费（对于其中不足一分钟的部分，若小于 0.5 分钟则不收费，若大于或等于 0.5 分钟则按一分钟收费），小茗同学为该游乐场设计了一款收费软件，程序框图如图所示，其中 x（分钟）为航行 时间，y（元）为所收费用，用[x]表示不大于 x 的最大整数，则图中①处应填（ ）第 2 页 共 12 页A . y=10[x] B . y=10[x]﹣20C . y=10[x﹣ ]﹣20D . y=10[x+ ]﹣208. （2 分） (2018 高一上·广西期末) 直线与圆的位置关系（ ）A . 相切B . 相离C . 相交但不过圆心D . 相交且过圆心9. （2 分） 一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）第 3 页 共 12 页A.B.C.D. 10. （2 分） 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 （） A . (x－2)2＋(y－1)2＝1 B . (x－2)2＋(y－3)2＝1 C . (x－3)2＋(y－2)2＝1 D . (x－3)2＋(y－1)2＝1 11. （2 分） (2016 高二上·河北开学考) 如图，三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB=1，BC= ， 若三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A.πB . 2πC . 3πD . 4π12. （2 分） 下列命题是真命题的为（ ）A.若，则B.若，则第 4 页 共 12 页C.若，则D.若，则二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 已知直线 l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若 l1⊥l2 ， 则 a=________14. （1 分） (2016 高二上·杭州期中) 设实数 a，b 满足约束条件 ________．，则的取值范围为15. （1 分） (2018 高三上·北京月考) 若原点 到直线 的距离不大于 ，则在下列曲线中：；；；________（写出你认为正确的所有序号)．与直线 一定有公共点的曲线的序号是16. （1 分） (2019 高二上·湖南期中) 已知数列 满足： ，，函数，记，则数列 的前 项和为________.三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)，且，17. （5 分） 求圆（x﹣2）2+（y+3）2=4 上的点到 x﹣y+2=0 的最远、最近的距离．18. （10 分） (2018 高一下·唐山期末)知.中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，已（1） 若，求角 ；（2） 若，，求边 上的高 .19. （10 分） (2018 高二下·大名期末) 已知等差数列 列.的公差不为零，，且成等比数（1） 求 的通项公式；（2） 求数列的前 项和.第 5 页 共 12 页20. （10 分） (2016 高一上·杭州期末) 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1） 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2） 假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是 8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数 s（km） 与时间 t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．21. （10 分） (2017·松江模拟) 上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号 称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记 O 点为塔基、P 点为塔尖、 点 P 在地面上的射影为点 H．在塔身 OP 射影所在直线上选点 A，使仰角 k∠HAP=45°，过 O 点与 OA 成 120°的地面 上选 B 点，使仰角∠HPB=45°（点 A，B，O 都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A 与 B 之间距离为 33.6 米．试 求：（1） 塔高（即线段 PH 的长，精确到 0.1 米）； （2） 塔身的倾斜度（即 PO 与 PH 的夹角，精确到 0.1°）．22. （10 分） (2019 高二下·宁夏月考) 在直角坐标系中，直线 的参数方程为第 6 页 共 12 页为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 的极坐标方程为．（1） 求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程：（2） 设直线 与曲线 交于点,若点 的坐标为,求的值．第 7 页 共 12 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、 18-1、第 9 页 共 12 页18-2、 19-1、 19-2、 20-1、第 10 页 共 12 页20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2020-2021学年山西省大同四中联盟学校高二上学期期中考试数学(理)试题 word版
大同四中联盟学校2020-2021学年第一学期期中考试试题高二理科数学本试卷共4页满分：150分考试用时：120分钟一､选择题(本题包括12小题､每小题5分､共60分)1.已知直线12:3(2)30,:(2)(2)20l mx m y l m x m y +++=-+++=，且12//l l ，则m 的值为（ ）A.1-B.12 C.12或2- D.1-或2-2.若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A.(1,1)-B.22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C.( D.(3.圆221:46120O x y x y +--+=与圆222:86160O x y x y +--+=的位置关系是（ ）A.内切B.外离C.内含D.相交4.已知a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（ ）A.若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面B.若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交C.若a //b ，则a ，b 与c 所成的角相等D.若a b ⊥，b c ⊥，则a //c5.若圆锥轴截面是等边三角形且轴截面的面积为 ）6.已知圆22:(1)(1)8C x y +++=与直线l 切于点(1,1)P ，则直线l 的方程是（ ）A.0x y -=B.210x y --=C.20x y +-=D.20x y ++=7.平面α截球O 所得截面的面积为4π，球心4π ）B. C. D.8.直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定9.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.410.若三棱锥P ABC -中，,,PA BP PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且1,2,3PA PB PC ===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A.72π B.14π C.28π D.56π11.三棱锥A BCD -的所有棱长都相等，M ，N 别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A.13B.13 D.2312.若,x y 满2224200x y x y +-+-=，则22x y +的最小值是（ ）5 B.5 C.30- D.无法确定二､填空题(本题包括4小题､每小题5分､共20分)13.一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是__________.14.，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为__________. 15.如图所示，在圆锥 SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径AB CD O ⋂=，且,2AB CD SO OB ⊥==，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为__________.16.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 表面上，2,1,60AB BD CD BCD ∠====，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为__________.三､解答题(本大题共6小题，共70分)17.(本题10分)如图所示，等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=，BC =DA AC ⊥于点A ，DA AB ⊥于点A ，若1DA =，且E ､F 为DA ､AC 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.18.(12分)已知直线l 的倾斜角为135，且经过点(1,1)P（1）求直线l 的方程；（2）求点()3,4A 关于直线l 的对称点A '的坐标.19.(12分)已知圆22:40C x y x +-=.（1）直线l 的方程为0x -=，直线l 交圆C 于A .B 两点，求弦长AB 的值；（2）从圆C 外一点(4,4)P 引圆C 的切线，求此切线方程.20.(12分)已知圆心为C 的圆经过点()1,0A 和()1,2B --，且圆心C 在直线:10l x y -+=上. （1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）若线段CD 的端点D 的坐标是(4,3)，端点C 在圆C 上运动，求CD 的中点M 的轨迹方程.21.(本题12)在三棱锥S ABC -中，90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，8AC =，BC SB ==.（1）证明SC BC ⊥；（2）求点C 到平面SAB 的距离.22.(本题12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，设E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC（2）设异面直线BP 与CD 所成角为45︒，1,AP AD ==E ACD -的体积.大同四中联盟校2020—2021学年第一学期期中考试高二年级理科数学学科参考答案及评分标准一､选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分)1-5ADACD 6-10CCDCB 11-12DC二､填空题(本题包括4小题，每小题5分，共20分)13.π 14.3π16.163π三､解答题17.如图所示，取AC 的中点F ，连接EF 和BF .在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD.∴∠BEF 和其补角二者当中的锐角即所求的异面直线BE 和CD 所成的角 (2)又△ABC 为等腰直角三角形，且BC =，∴AB =AC =1.在Rt △BAE 中，AB =1，AE =，∴BE = (4)在Rt △EAF 中，AF =，AE =，∴EF = (6)在Rt △BAF 中，AB =1，AF =，∴BF = (8)在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB = (10)∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为.18.【答案】（1）20x y +-=；（2）(2,1)--.【解析】（1）∵直线l 的倾斜角为135︒，∴直线l 的斜率tan1351k ︒==-，由此可得直线l 的方程为1(1)y x -=--，化简得20x y +-= (6)（2）设点(3,4)A 关于直线l 的对称点为(,)A a b '，∵r AA 与直线l 相互垂直，且r AA 的中点34(,)22a b ++在直线l 上， ∴4(1)13342022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，可得A '的坐标为(2,1)--19.【答案】(2)x ＝4或3x ﹣4y+4＝0.试题分析：（1）计算圆心到直线的距离为，再利用勾股定理得到答案.6 （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，利用原点到直线的距离等于半径得到答案. 【详解】 （1）化圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0为：（x ﹣2）2+y 2＝4，知圆心（2，0）为半径为2， 故圆心到直线的距离，∴； (8)（2）当斜率不存在时，过P （4，4）的直线是x ＝4，显然是圆的切线；当斜率存在时，设直线方程为y ﹣4＝k （x ﹣4）．由，解得．此时切线方程为3x ﹣4y+4＝0.综上所述：切线方程为x ＝4或3x ﹣4y+4＝0 (12)20【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设圆心的坐标为，则有， 整理求得，故圆心为，，则圆的方程为． (6)（2）设线段中点，，由题意知，， ∵点在圆上运动，∴，∴的轨迹方程为.....................................12．21.(1)因为SA ⊥面ABC ，所以SA ⊥BC ，又因为AC ⊥BC ,所以BC ⊥面SAC ，所以SC ⊥BC ; (6)(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，因为SA ⊥面ABC ，所以平面SAB ⊥面ABC ，2131d ==+2131d ==+22223AB R d =-=24221kk -=+34k =22(1)4x y ++=2233()()122x y -+-=(,1)t t +2222(1)(1)(1)(3)t t t t -++=+++1t =-(1,0)-222(1)(1)4r t t =-++=22(1)4x y ++=CD (, )M x y 11(,)C x y 124x x =-123y y =-C 22(1)4x y ++=22(241)(23)4x y -++-=M 2233()()122x y -+-=则CD⊥面SAB,即CD是点C到平面SAB的距离，则CD=AC·BCAB =2√22117 (12)22.(1)连BD交AC于F,F为BD中点,连EF；又在三角形PBD中,E为PD的中点,所以PB//EF,因为EF⊆平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB//平面AEC (6)(2)∵AB//CD,∴异面直线BP与CD所成角的平面角为∠ABP=450,∴AB=AP=1,所以V E−ACD=12V P−ACD=12×13×12×1×√3×1=√312. (12)。
2019-2020学年山西省大同市平城区第一中学高二上学期期中数学试题(解析版)
19．如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝ x上时，求直线AB的方程．
【答案】(3＋ )x－2y－3－ ＝0.
【解析】解：由题意可得kOA＝tan45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－ ，
故选：
【点睛】
本题考查了直线过定点问题，抓住垂直关系得到|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2是解题的关键.
11．如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 是线段 的中点，则（）
A． ，且直线 是相交直线
B． ，且直线 是相交直线
C． ，且直线 是异面直线
D． ，且直线 是异面直线
【答案】B
所以球 的体积为 ,
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查空间几何体的外接球的体积，破解关键在于熟悉正三棱锥的结构特征，运用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱锥的棱的关系，继而分析出正三棱锥的外接球是以正三棱锥中互相垂直的三条棱为棱的正方体的外接球，利用正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求解更方便快捷，属于中档题。
试题解析：设直线方程为 ，令 得 ，令 得 ，
所以有
解得 ， ．
所以直线的方程为： 或 ．
【考点】直线方程的斜截式，三角形的面积．
18．如图，四边形 与四边形 为平行四边形， 分别是 的中点，
求证：（1） 平面 ；
（2）平面 平面 .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)连接 ，结合题意证得 ，利用线面平行的判断定理即可证得 平面 .
16．已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为 正三角形， 分别是 的中点， ，则球 的体积为_________________。
2020-2021学年山西省大同一中高二(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年山西省大同一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共12小题60分）1．（5分）直线3310x y -+=的倾斜角是( )A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒2．（5分）已知空间向量(3m =，1，3)，(1n =-，λ，1)-，且//m n ，则实数(λ= )A ．13-B ．3-C ．13D ．63．（5分）下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直4．（5分）如图，在四面体ABCD 中，AB CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为30︒，则MN 和CD 所成的角的大小为( )A ．15︒B ．75︒C ．30︒或60︒D ．15︒或75︒5．（5分）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．（5分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线210x y +-=互相垂直，则直线l 的方程为( )A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=7．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为( )A ．25:1B ．1:25C ．1:5D ．5:18．（5分）若点(1,1)A 关于直线y kx b =+的对称点是(3,3)B -，则直线y kx b =+在y 轴上的截距是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）过两直线310x y -+=和330x y +-=的交点，并与原点的距离等于1的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条10．（5分）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的最大值是( ) A ．4 B ．10 C ．5 D ．1011．（5分）如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，则:(AB A B ''= )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:312．（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是( )A ．[17,5]B ．[4，5]C ．[3，5]D ．17]二．填空题（每题5分共20分）13．（5分）已知点(1,0)M 是圆22:420C x y x y +--=内的一点，那么过点M 的最短弦所在的直线方程是 ．14．（5分）若圆2225x y +=与圆22680x y x y m +-++=的公共弦的长为8，则m = ．15．（5分）已知三棱锥S ABC -，满足SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 ．16．（5分）过ABC ∆所在平面α外一点P ，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC ，则下列说法中所有正确的序号是 ．①若PA PB PC ==，90C ∠=︒，则点O 是AB 的中点；②若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的外心；③若PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，则点O 是ABC ∆的垂心；④若2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，则四面体PABC 外接球的表面积为29π．三．解答题（6个大题共70分）17．（10分）已知直线:3470l x y +-=．（1）求直线l 的斜率；（2）若直线m 与l 平行，且过点(2,5)P -，求m 的方程．18．（12分）已知直线:50l x y +-=，圆22:4430C x y x y +--+=．（1）求直线l 被圆截得的弦长；（2）在直线l 取一点(5,0)P ，设Q 为圆C 上的点，求||PQ 的取值范围．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，11AB AC ⊥， AC BC ⊥，E 是AC 的中点，22AB BC ==．()I 求证：1//B C 平面1A BE ；（Ⅱ）若直线1B C 与平面1A BC 所成的角为60︒，求1A B 的长20．（12分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2AD PA ==，22CD =，E ，F 分别是AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ⊥平面PCD ．（2）求三棱锥P EFC -的体积．21．（12分）如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=︒，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30︒． （Ⅰ）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A CE B --的余弦值．22．（12分）已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA 3P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山西省大同一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共12小题60分）1．（5分）直线310x +=的倾斜角是( )A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【分析】根据直线求出它的斜率，再求出倾斜角．【解答】解：直线310x +=的斜率为k ==tan α∴∴倾斜角是60︒． 故选：B ．【点评】本题考查了根据直线方程求倾斜角的问题，是基础题．2．（5分）已知空间向量(3m =，1，3)，(1n =-，λ，1)-，且//m n ，则实数(λ= )A ．13-B ．3-C ．13D ．6【分析】由//m n ，可设km n =，可得1313k k k λ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解出即可得出．【解答】解：//m n ，∴可设km n =，∴1313k k k λ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩， 解得13k λ==-． 故选：A ．【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【分析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D．【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力．4．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB CD=，M、N分别是BC、AD的中点，若AB 与CD所成的角的大小为30︒，则MN和CD所成的角的大小为()A．15︒B．75︒C．30︒或60︒D．15︒或75︒【分析】取BD中点E，连结ME、NE，推导出//ME CD，从而MEN∠是ABNE AB，//与CD所成的角（或所成角的补角），由AB CD=，AB与CD所成的角的大小为30︒，得MENME CD，得MN和CD所成的角为NME∠，由此能求出∠=︒，由//∠=︒或15030MENMN和CD所成的角的大小．【解答】解：取BD中点E，连结ME、NE，在四面体ABCD中，AB CD=，M、N分别是BC、AD的中点，ME CD，∴，//NE AB//∴∠是AB与CD所成的角（或所成角的补角），MEN=，AB与CD所成的角的大小为30︒，AB CD∠=︒，∴∠=︒或150MEN30MENME CD，//∠，MN∴和CD所成的角为NME75NME ∠=︒或15NME ∠=︒，MN ∴和CD 所成的角的大小为15︒或75︒．故选：D ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（5分）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值．【解答】解：20a -+=，即2a =时，直线20ax y a +-+=化为20x y +=，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；20a -+≠，即2a ≠时，直线20ax y a +-+=化为122ax y a a+=--， 它在两坐标轴上的截距为22a a a-=-，解得1a =； 综上所述，实数2a =或1a =．故选：D ．【点评】本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．6．（5分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线210x y +-=互相垂直，则直线l 的方程为( )A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=【分析】根据题意设出直线l 的方程，把点(2,1)P -代入方程求出直线l 的方程．【解答】解：根据直线l 与直线210x y +-=互相垂直，设直线l 为20x y m -+=， 又l 过点(2,1)P -，22(1)0m ∴-⨯-+=，解得4m =-，∴直线l 的方程为240x y --=．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．7．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为( )A ．25:1B ．1:25C ．1:5D ．5:1【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a ，利用正三棱柱的内切球的半径为正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，求出内切球的半径1R ，再利用正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连接线段的中点，结合勾股定理求出外接球的半径2R ，从而得到外接球与内切球表面积之比．【解答】解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a ，当球内切于正三棱柱时，球的半径1R 等于正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，所以136R a =， 故正三棱柱的高为33263a a ⨯=， 当球外接于正三棱柱时，设球的半径为2R ，则球心是上下底面中心连接线段的中点，如图所示：， 因为113OO R ==，1132sin 60a CO =⨯=︒， 所以222222135()12OC R R a ==+=， ∴外接球与内切球表面积之比为222221544125:1434()a R R a ππππ⨯==⨯， 故选：D ．【点评】本题主要考查了三棱柱的内切球与外接球的问题，考查了学生的空间想象能力，是中档题．8．（5分）若点(1,1)A 关于直线y kx b =+的对称点是(3,3)B -，则直线y kx b =+在y 轴上的A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由中点坐标公式求出AB 中点的坐标，代入直线方程，再由AB 的斜率与直线y kx b =+的斜率互为负倒数求得k ，即可求出b 的值．【解答】解：点(1,1)A 关于直线y kx b =+的对称点是(3,3)B -，由中点坐标公式得AB 的中点坐标为13(2-，13)(12+=-，2)， 代入y kx b =+得2k b =-+，①直线AB 得斜率为311312-=---，则2k =． 代入①得，24b k =+=．∴直线y kx b =+在y 轴上的截距是4．故选：D ．【点评】本题考查了点关于直线的对称点的求法，关键是掌握该类问题的解决方法，是基础题．9．（5分）过两直线10x +=0y +的交点，并与原点的距离等于1的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【分析】解方程组可得直线交点，由点到直线的距离公式可得满足题意的直线斜率，验证无斜率直线，综合可得．【解答】解：联立10x +=0y +=可解得12x =且y =，∴直线10x +=0y +的交点为1(2， 当直线无斜率时，方程为12x =，到原点的距离等于12，不合题意；当直线斜率存在时设方程为1()2y k x -=-，即220kx y k -=，1=，解得k =， 故满足题意的直线共有1条．故选：B ． 【点评】本题考查点到直线的距离公式和直线的交点坐标，涉及分类讨论思想，属中档题．10．（5分）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的最大值是( )A ．4B ．10C ．5D ．10 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【解答】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点(1,3)B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点， 则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||5PA PB ==时取“=” )， 故选：C ．【点评】本题考查了直线系、直线相互垂直与斜率的关系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，则:(AB A B ''= )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:3【分析】设AB 的长度为a 用a 表示出A B ''的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB '和A B '，设AB a =，可得AB 与平面α所成的角为4BAB π'∠=，在Rt BAB '∆中有2AB '=，同理可得AB 与平面β所成的角为6ABA π'∠=， 所以12A A a '=，因此在Rt △AAB ''中22211()()222A B a a a ''=-， 所以1::2:12AB A B a a ''==， 故选：A ．【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度12．（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是( )A ．[17,5]B ．[4，5]C ．[3，5]D ．17]【分析】取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结EF 、1C E 、1C F ，则平面//CMN 平面1C EF ，由此推导出P ∈线段EF ，当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，由此能求出线段1C P 长度的取值范围．【解答】解：取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结EF 、1C E 、1C F ， 则平面//CMN 平面1C EF ，是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，22111345max C P C E C F ∴==+，42EF =2221125(22)17min C P PO C E EO =--∴线段1C P 长度的取值范围是[175]．故选：A ．【点评】本题考查线段长取值范围的求法，突出对运算能力、化归转化能力、空间想象的考查，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二．填空题（每题5分共20分）13．（5分）已知点(1,0)M 是圆22:420C x y x y +--=内的一点，那么过点M 的最短弦所在的直线方程是 10x y +-= ．【分析】数形结合，点M 是圆C 的一点，故最短的弦与CM 垂直，点斜式可求得最短弦的方程．【解答】解：最短的弦与CM 垂直，圆22:420C x y x y +--=的圆心为(2,1)C ，10121CM k -==-， ∴最短弦的方程为01(1)y x -=--，即10x y +-=．【点评】本题通过直线和圆的位置关系来求直线方程，体现数形结合的数学思想．14．（5分）若圆2225x y +=与圆22680x y x y m +-++=的公共弦的长为8，则m = 55-或5 ．【分析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到|25|310m d +==．从而解得55m =-或5． 【解答】解：2225x y +=①22680x y x y m +-++=②两式相减得68250x y m ---=．圆2225x y +=的圆心为(0,0)，半径5r =．圆心(0,0)到直线68250x y m ---=的距离为22|25|1068m d +==+．则公共弦长为8=2216r d ∴-=．29d ∴=．|25|310m d +∴==． 解得，55m =-或5d =故答案为：55-或5．【点评】本题考查两圆相交的性质，公共弦以及点到直线的距离公式等知识，属于中档题．15．（5分）已知三棱锥S ABC -，满足SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 ． 【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA ，SB ，SC 为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC 的距离，即可求出点Q 到平面ABC 的距离的最大值．【解答】解：三棱锥S ABC -中，SA SB ⊥，SB SC ⊥，SC SA ⊥，且2SA SB SC ===，∴三棱锥的外接球即为以SA ，SB ，SC 为长宽高的正方体的外接球，正方体的体对角线长为，∴球心到平面ABC 的距离为12=，∴点Q 到平面ABC =．【点评】本题考查点Q 到平面ABC 的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC 的距离是关键．16．（5分）过ABC ∆所在平面α外一点P ，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC ，则下列说法中所有正确的序号是 ①②③ ．①若PA PB PC ==，90C ∠=︒，则点O 是AB 的中点；②若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的外心；③若PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，则点O 是ABC ∆的垂心；④若2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，则四面体PABC 外接球的表面积为29π．【分析】根据PA PB PC ==，结合平面几何中三角形的外心的定义可以判断选项①②，根据PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理以及性质定理可以判断选项③，利用四面体外接球的几何性质求出球的半径，再利用球的表面积公式进行求解判断选项④，从而得到答案．【解答】解：若PA PB PC ==，连结OA ，OB ，OC ，则POA POB POC ∆≅∆≅∆，则OA OB OC ==，所以O 为ABC ∆的外心，故选项②正确；又90C ∠=︒，则O 为AB 的中点，故选项①正确；因为PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，所以PA ⊥平面PBC ，所以PA BC ⊥，又PO ⊥平面ABC ，所以PO BC ⊥，所以BC ⊥平面PAO ，所以BC AO ⊥，同理AB CO ⊥，AC BO ⊥，则O 为ABC ∆的垂心，故选项③正确；因为2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，所以四面体PABC 的对棱相等，如图所示，要求四面体PABC 外接球的表面积，即求以该四面体的棱为面对角线的长方体的外接球的表面积，设长方体的棱长为a ，b ，c ，则有222222222222()()()2()29PA PB BC b c a b a c a b c ++=+++++=++=，故外接球的半径12r =所以四面体PABC 外接球的表面积为2229442S r πππ==⨯=，故选项④错误． 故答案为：①②③．【点评】本题考查了空间几何体的结构特征，涉及了平面几何中三角形的外心和垂心、球的表面积公式的应用．对于①②中，解题的关键是利用三角形全等得到OA OB OC ==，对于④中，关键是将四面体的外接球转化为长方体的外接球进行求解．三．解答题（6个大题共70分）17．（10分）已知直线:3470l x y +-=．（1）求直线l 的斜率；（2）若直线m 与l 平行，且过点(2,5)P -，求m 的方程．【分析】（1）把直线的方程化为斜截式，可得它的斜率．（2）设直线m 的方程为：340x y c ++=，再把点P 的坐标代入，求得c 的值，可得直线m 的方程．【解答】解：（1）直线:3470l x y +-=，即3744y x =-+，故它的斜率为34-． （2）设直线m 的方程为：340x y c ++=，再把点(2,5)P -代入，可得14c =-，故m 的方程34140x y +-=．【点评】本题主要考查直线的斜截式方程，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．18．（12分）已知直线:50l x y +-=，圆22:4430C x y x y +--+=．（1）求直线l 被圆截得的弦长；（2）在直线l 取一点(5,0)P ，设Q 为圆C 上的点，求||PQ 的取值范围．【分析】（1）利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求得直线l 被圆截得的弦长；（2）由两点间的距离公式求得||PC ，得到||PC r +与||PC r -，则||PQ 的取值范围可求．【解答】解：（1）由224430x y x y +--+=，得22(2)(2)5x y -+-=，∴圆心C 的坐标为(2,2)，半径5r =， 圆心(2,2)到直线50x y +-=的距离|225|222d +-==， 则直线l 被圆截得的弦长为221225322r d -=-=； （2）(5,0)P ，22||(52)(02)13PC ∴=-+-=，||135PC r ∴+=+，||135PC r -=-．||||||PC r PQ PC r -+，||PQ ∴的取值范围是[135,135]-+．【点评】本题考查圆的一般方程化标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，11AB AC ⊥， AC BC ⊥，E 是AC 的中点，22AB BC ==．()I 求证：1//B C 平面1A BE ；（Ⅱ）若直线1B C 与平面1A BC 所成的角为60︒，求1A B 的长【分析】（Ⅰ）设1A B 与1AB 的交点为F ，连结EF ，则1//EF B C 由此能证明1//B C 平面1A BE ． （Ⅱ）连结FC ，推导出1AB ⊥平面1A BC ，从而1B CF ∠是直线1B C 与平面1A BC 所成角，进而160B CF ∠=︒，推导出1BC B C ⊥，由此能求出1A B 的长．【解答】证明：（Ⅰ）设1A B 与1AB 的交点为F ，连结EF ，则1//EF B C ，又EF ⊂面1A BE ，1B C ⊂/平面1A BE ，1//B C ∴平面1A BE ．解：（Ⅱ）连结FC ，11AB A B ⊥，11AB AC ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BC ，1B CF ∴∠是直线1B C 与平面1A BC 所成角，直线1B C 与平面1A BC 所成的角为60︒，160B CF ∴∠=︒，1AB BC ⊥，AC BC ⊥，BC ∴⊥平面1AB C ，1BC B C ∴⊥，1Rt BCB ∆中，1BC =，12BB =，13B C ∴=，在Rt △1B CF 中，160B CF ∠=︒，13cos602CF B C ∴=︒=， 在Rt BCF ∆中，2272BF BC CF =+=， 17A B ∴=．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2AD PA ==，22CD =，E ，F 分别是AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ⊥平面PCD ．（2）求三棱锥P EFC -的体积．【分析】（1）推导出AF PD ⊥，PA CD ⊥，AD CD ⊥，从而CD ⊥平面PAD ，进而AF CD ⊥，由此能证明AF ⊥平面PCD ．（2）取PC 的中点G ，连结EG ，GF ，则四边形AEGF 为平行四边形，从而//EG AF ，进而GF ⊥平面PCD ，EG 为三棱锥E PFC -的高，由此能求出三棱锥P EFC -的体积．【解答】证明：（1）2PA AD ==，F 为AD 中点，AF PD ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PA CD ∴⊥，AD CD ⊥，PA AD A =，CD ∴⊥平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，AF CD ∴⊥，PD CD D =，AF ∴⊥平面PCD ．解：（2）取PC 的中点G ，连结EG ，GF ，则//GF CD ，12GF CD =， 又//EA CD ，12EA CD =，//AE GF ∴，AE GF =， ∴四边形AEGF 为平行四边形，//EG AF ∴，由（1）知AF ⊥平面PDC ，GF ∴⊥平面PCD ，EG 为三棱锥E PFC -的高，又2GF AF EG ===，122PF PD ==， 122PCF S PF CD ∆=⋅=， ∴三棱锥P EFC -的体积12233PCF V S EG ∆=⋅=．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=︒，2EC 2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30︒． （Ⅰ）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A CE B --的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出EF FC ⊥，AB BD ⊥，//EF AB ，EF BD ⊥，从而EF ⊥平面BCD ，由此能证明平面EFC ⊥平面BCD ．（Ⅱ）法一：取AC 中点M ，则//ME CD ，推导出CD AC ⊥，CD BC ⊥，从而CD ⊥平面ABC ，进而ME ⊥平面ABC ，ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角，过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ，则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角，由此能求出二面角A CE B --的余弦值．法二：在平面BCD 中，作x 轴BD ⊥，以B 为坐标原点，BD ，BA 为y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A CE B --的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在Rt BCD ∆中，F 是斜边BD 的中点，所以112FC BD ==． 因为E ，F 是AD ，BD 的中点，所以112EF AB ==，且2EC 所以222EF FC EC +=，EF FC ⊥，又因为AB BD ⊥，//EF AB ，所以EF BD ⊥，且BD FC F =，故EF ⊥平面BCD因为EF ⊂平面EFC ，所以平面EFC ⊥平面BCD ．解：（Ⅱ）方法一：取AC 中点M ，则//ME CD 因为122CE AD ==CD AC ⊥． 又因为CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，故ME ⊥平面ABC因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角，22cos306AC MC EC ==⋅︒2CD BC ==过点B 作BN AC ⊥于N ，则BN ⊥平面ACD ，23AB BC BN AC ⋅==， 过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ，则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角，因为2BE BC EC ===， 所以223661,cos 2263HN BH BE HN BH BN BHN BH ===-=∠== 因此二面角A CE B --的余弦值为13． 方法二：如图所示，在平面BCD 中，作x 轴BD ⊥， 以B 为坐标原点，BD ，BA 为y ，z 轴建立空间直角坐标系． 因为2CD BC ==（同方法一，过程略）则(1C ，1，0)，(0A ，0，2)，(0E ，1，1)，所以(1,0,1)CE =-，(0,1,1)BE =，(0,1,1)AE =-设平面ACE 的法向量111(,,)m x y z =则00AE m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111100y z x z -=⎧⎨-+=⎩取11x =，得(1,1,1)m =， 设平面BCE 的法向量222(,,)n x y z =则00BE n CE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222200y z x z +=⎧⎨-+=⎩取21x =，得(1,1,1)n =- 所以11cos ,||||333m n m n m n ⋅<>===⨯， 因此二面角A CE B --的余弦值为13．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（12分）已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA 3P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出圆M 的半径1r =，设(2,)P b b -，利用圆的切线，转化求解||MP ，推出b ，然后得到P 的坐标．（2）设(2,)P b b -，求出圆系方程222224(2)()()24b b b x b y ++-++-=，然后求解结果的定点． 【解答】解：（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设(2,)P b b -，因为PA 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒， 所以2222||(02)(2)||||2MP b b AM AP =++-+=，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P -． （2）设(2,)P b b -，因为90MAP ∠=︒，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为222224(2)()()24b b b x b y ++-++-=， 即22(22)(2)0x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，解得2xy=⎧⎨=⎩或4525xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆N过定点(0,2)，42 (,)55 -．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
山西省大同一中高二上学期期中考试数学(理)试题
2015~2016学年度第一学期 期中试卷高 二 数 学(理)第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题 (每小题3分，共36分) 1． 下列说法正确的是（ ）.A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．共点的三条直线确定一个平面2． 已知过点(2,)P m -，(,4)Q m 的直线的倾斜角为45°，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 4 3． 两条平行直线34120x y +-=与68110x y ++=的距离是（ ） A ．72 B ．27C ．2D ．74．直线130kx y k -+-=，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(1,3)5．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 6．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程为（ ）A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++=7．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n8．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上皆有可能 9．已知球的内接正方体棱长为1，则球的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 11．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长相等的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（ ）.A ．棱柱B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥12．如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图②）， 则图①中的水面高度为（ ）A ．2aB ．3aC ．37aD ．371a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭第II 卷 主观卷（共64分）二、填空题（本题共4题,每小题3分，共12分） 13．空间直角坐标系中点A 和点B 的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4) ，则AB =．14．实数x ，y 满足 22(3)(4)1x y -+-=，则22x y +的最小值是 ．15．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线.给出以下四个论断：（1）m n ⊥；（2）αβ⊥；（3）n β⊥；（4）m α⊥. 以以上四个论断中的三个作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ．16．若直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则222111.h a b =+类比以上性质，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ， PO 为棱锥的高，记22221111,M N PO PA PB PC==++，那么 M ，N 的大小关系是M N （填 >,<或 =）三、解答题：（本大题共6小题，满分52分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（本小题满分8分）如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是(3,0)、(1,3)，点D 是线段AB 上的动点。
山西省大同市第一中学高二上学期期中考试数学试题Word版含答案
2017—2018学年度第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别是 A. ()0,2,2 B.()2,0,4 C. ()2,0,2- D.()2,0,22.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若//,,a b αβαβ⊂⊂，则 //a bB.若//,,a b αβαβ⊥⊥，则 //a bC.若,//,//a b a b αβ⊥，则 αβ⊥D.若,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则 αβ⊥3.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 2π+4π+C. 2π+D. 4π+4.直线2130x my m -+-=，当m 变化时，所有直线都过定点A. 1,32⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 A. ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值是A.6 B. 3 C.4 D.57.20y +-=截圆224x y +=所得的弦长为A. 1B. 8.在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为棱1AA 上一动点，Q 为底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点,P Q 都运动时，点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是A. 棱柱B. 棱台C.棱锥D. 球的一部分9.已知点(),P x y 在直线10x y --=上运动，则()()2222x y -+-=的最小值是A.12 B. 2 C. 2D.2 10.三棱锥的三组相对棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长分,m n ，其中226m n +=，则该三棱锥体积的最大值为A.12 B. 11.若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为A. 1B. 5C. 3+12.在菱形ABCD 中，60AB A ==，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角P BD C --的大小为120，三棱锥P BCD -的外接球球心为O ，BD 的中点为E ，则OE =二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知两条直线0x ky k --=与()1y k x =-平行，则k 的值为 . 14.在三棱锥中P ABC -，6,3,PB AC G ==为PAC ∆的中心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 .15.从原点O 向圆2212270x y x +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长度为 .16.已知圆22:4O x y +=，直线:l x y m +=，若圆O 上恰有3个点到直线l 的距离为1，则实数m = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）如图1，在Rt ABC ∆中，90,,C D E ∠=分别为,AC AB A 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2.（1）求证：//DE 平面1ACB ； （2）求证：1A F BE ⊥.18.（本题满分12分）已知点()1,A a ，圆224.x y +=（1）过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；（2）若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为a 的值.19.（本题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1BAC AB AC AA ∠====,点,M N 分别为11,A B B C 的中点. （1）求证：//MN 平面11A ACC ；（2）求三棱锥1A MNC -的体积（锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）20.（本题满分12分）已知圆C 的圆心在直线上4y x =-，且与直线10x y +-=相切于点()3,2.P -（1）求圆C 的方程；（2）是否存在过点()1,0N 的直线l 与圆C 交于,E F 两点，且OEF ∆的面积为O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知三棱柱111A B C ABC -中，12AB AC A A ===侧面11ABB A ⊥底面,ABCD 是BC 的中点，1160,.B BA B D AB ∠=⊥（1）求证：AC ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1AC 与平面ABC 所成角的正弦值.22.（本题满分12分）已知圆C 经过点()()2,0,2,0A B -，且圆心C 在直线y x =上，又直线:1l y kx =+与圆C 交于P,Q 两点.（1）求圆C 的方程；（2）（文科）若2OP OQ ⋅=-，求实数k 的值；（2）（理科）过点()0,1作直线1l l ⊥，且1l 交圆C 于M,N 两点，求四边形PMQN 的面积的最大值.23.（仅实验班做）（本题满分20分）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y -+=与圆C 相切. （1）求圆C 的方程；（2）过点()0,3Q -的直线l 与圆C 交于不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，且当12123x x y y +=时，求AOB ∆的面积.2017~2018学年度第一学期期中试卷高二数学答案一、选择题（每小题5分，共60分。
山西省大同市2020版高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
山西省大同市2020版高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2 ， P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A . 4B . 2C . 1D .2. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数的单调递减区间是（）A .B .C .D .3. （2分）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A . 5x2﹣=1B . 5x2﹣=1C . ﹣=1D . ﹣=15. （2分） (2017高二下·宾阳开学考) 命题“∀n∈N* ， f（n）≤n”的否定形式是（）A . ∀n∈N* ， f（n）＞nB . ∀n∉N* ， f（n）＞nC . ∃n∈N* ， f（n）＞nD . ∃n∉N* ， f（n）＞n6. （2分） (2017高二下·石家庄期末) 下列求导运算正确的是（）A . （3x）′=x•3x﹣1B . （2ex）′=2ex（其中e为自然对数的底数）C . （x2 ）′=2xD . （）′=7. （2分）已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A . 圆B . 抛物线C . 椭圆D . 双曲线8. （2分）(2014·四川理) 已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A . ①②③B . ②③C . ①③D . ①②9. （2分）(2018·湖北模拟) 已知，则（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·山东模拟) “（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“logam＞0”的一个（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分）(2016·肇庆模拟) 已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，g（x）= x3﹣ x2+ax﹣（a＞1）若对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A . （1， ]B . [9，+∞）C . （1，]∪[9，+∞）D . [ ，]∪[9，+∞）12. （2分） (2015高二下·上饶期中) 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0 ， y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2 ，则可求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值为（）A . 4029B . ﹣4029C . 8058D . ﹣8058二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·苏州期中) 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，已知，则△ABC的形状是________．14. （1分）(2020·杨浦期末) 己知数列的通项公式为，是数列的前项和，则 ________.15. （1分） (2015高一下·太平期中) 在等差数列{an};中，已知公差，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+…+a100=________．16. （1分） (2017高二上·南通期中) 已知数列{an}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{an+1﹣an}是等比数列，则 i=________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2018高一下·威远期中) 已知(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)求的值18. （10分） (2016高三上·黄冈期中) 在等比数列{an}中，an＞0，（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3与a5的等比中项为2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值．19. （10分） (2016高二上·高青期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=6，△ABC的面积是9 ，求三角形边b，c的长．20. （10分） (2017高二下·沈阳期末) 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，（1）求的度数；（2）若，，求b和c的值．21. （5分） (2016高三上·山西期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足4nSn=（n+1）2an（n∈N*）．a1=1（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ，求证：Tn ．22. （5分） (2016高一上·浦东期中) 设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。