中考数学复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 方法技巧训练(三)相似三角形的常见基本模型练习
相似三角形中考复习
相似三角形中考复习相似三角形是初中数学中的重要内容，在中考中占据着相当重要的地位。
为了帮助同学们更好地复习相似三角形，提高解题能力，我们来一起系统地梳理一下这部分知识。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
在实际解题中，我们要根据题目所给的条件，灵活选择合适的判定方法。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
这些性质在求解边长、角度、面积等问题时经常用到。
四、常见的相似三角形模型1、“A”字型在平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
2、“8”字型与“A”字型类似，只不过图形的形状像数字“8”。
3、母子相似型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、一线三等角型在一条直线上有三个相等的角，往往可以通过角的相等关系证明三角形相似。
五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量建筑物的高度、河流的宽度等。
例如，要测量一座塔的高度，我们可以在塔的旁边立一根已知长度的标杆，然后分别测量出标杆的影长和塔的影长。
由于在同一时刻，太阳光线是平行的，所以标杆和塔与地面形成的三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，我们就可以求出塔的高度。
六、中考真题解析例 1：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的点，且DE∥BC，如果 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4，那么 AC 的长是多少？解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
所以 AD：AB ＝ AE：AC因为 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4所以 2：3 ＝ 4：AC解得 AC ＝ 6例 2：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，BD⊥AC 于点 D，若AB ＝ 3，BC ＝ 4，求 BD 的长。
九年级上数学第四单元图形相似与相似三角形知识点教案复习练习
第四章图形相似与相似三角形知识点解读知识点1.．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。
（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)．知识点2．比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d =（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a cb d=（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性．（2）在比例式a cb d=（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项．（3）如果比例内项是相同的线段，即a bb c=或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。
(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求ab．例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=32dm，求c的长度．知识点3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？知识点4．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k,若△A1B1C1∽△ABC，则相似比为1k。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。
当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。
需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。
相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。
比的前项为a，后项为b。
比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。
比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。
其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。
例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。
5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。
注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。
三角形相似题型解题技巧
三角形相似题型解题技巧
以下是 6 条关于三角形相似题型解题技巧：
1. 嘿，你知道吗？找相似三角形的时候可以先看看有没有相等的角呀！比如给你两个三角形，其中有一对角相等，那就要眼睛放光啦！像有这样一道题：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，角 A 等于角 D，这可就是个重要线索呀，是不是一下子就找到解题的切入点啦？
2. 哇塞，还有啊，边的比例也很关键呢！如果两条边的比例相等，嘿嘿，那很有可能相似哦！举个例子，三角形 MNO 中 MN 与三角形 PQR 中 PQ 的比和 MO 与 PR 的比相等，这不是明摆着有戏嘛！
3. 哎呀呀，可别小瞧了那些隐藏条件呀！有时候题目不会直接告诉你，但你得自己去挖掘呀！就好比说，两个三角形共边或者有平行线，这往往就是相似的暗示哟！像三角形 XYZ 旁边有一条和它一边平行的线，这可不是白给的条件呀，要利用起来呀！
4. 嘿，有时候可以反着来想呀！假设它们相似，然后去推理看看对不对。
比如说，三角形 ABC 和三角形 DEF，你就大胆假设它们相似，然后看看能不能推出对应的条件，这招是不是很妙？比如已知一些边和角的关系，然后假设相似能推出一样的关系那就对啦！
5. 注意啦注意啦！相似可不一定只有一种情况哦！有时候一个图形里可能有好几对相似三角形呢！就像在那个复杂的图形里，你得火眼金睛地去找找，
说不定就有惊喜发现！好比说三角形 ABC 里还有三角形 ADE 也相似，这就需要你仔细琢磨啦！
6. 最后啊，多做练习才能真正掌握呀！熟能生巧这句话可不是随便说说的哟！你做的题多了，看到相似三角形就跟看到老朋友一样亲切啦！碰到那些难题也不会怕啦！所以，赶紧去做题吧，还等什么呢！
我的观点结论是：掌握这些三角形相似题型解题技巧对于学好数学真的非常重要，大家加油去学去用吧！。
中考之相似三角形方法总结
中考之相似三角形方法总结相似三角形是初中数学常见的重要知识点，掌握相似三角形的方法对于解题非常有帮助。
下面是关于相似三角形方法的总结。
一、相似三角形的定义和判定相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的判定方法为：1.AA判定法：如果两个三角形中有两对相对角度相等，则这两个三角形相似。
2.AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相对应相等，则这两个三角形相似。
3.SSS判定法：如果两个三角形的对应边长之比相等，则这两个三角形相似。
4.SAS判定法：如果两个三角形中，一对对应角相等，且两对对应边的比值相等，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等。
2.相似三角形的对应边长比值相等。
3.相似三角形的高线、中线和角平分线所对应的长度之比相等。
4.相似三角形的周长比例等于它们的边长比例。
5.相似三角形的面积比例等于它们的边长比例平方。
三、相似三角形的计算方法1.已知两个相似三角形的边长比例，可以通过等比例关系来计算未知边长。
2.已知一个相似三角形的高线或者中线和相似比例，可以通过相似比例关系来计算另一个相似三角形的高线或者中线。
3.已知两个相似三角形的面积比例，可以通过面积比例关系来计算未知面积。
4.已知三个相似三角形的边长比例和一个相似三角形的面积，可以通过面积和边长的比例关系来计算未知面积。
四、相似三角形的应用1.根据相似三角形的性质，可以在不直接测量的情况下，计算远处的高度、长度等。
2.可以通过相似三角形的关系来解决各种几何问题，如平行线的证明、角度的计算、比例的求解等。
3.在实际生活中，相似三角形的知识经常用于建筑、测量、工程等领域的计算和设计中。
1.掌握相似三角形的定义和判定方法，能够准确判断两个三角形是否相似。
2.熟练应用AA、AAA、SSS和SAS判定法，能够根据题目给出的条件判定三角形的相似关系。
3.理解相似三角形的性质，能够应用性质计算未知边长、比例、面积等。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形知识概述1. 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
2. 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3. 相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.4. 相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性. 例如△ AB(^A A B' C'的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' C ABC的相似比元，当且仅当它们全等时，才有k=k' =1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：(1) 判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1;②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必—须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。
(2) 在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。
(3) 运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
九年级数学相似三角形
如果两个多边形的对应角相等且对应 边成比例，则这两个多边形相似。
06
总结回顾与练习题解答
本节课重点知识点总结回顾
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
利用角平分线构造
角平分线将角平分，并且与对边相交，将对边分 为两段，这两段与角的两边构成的两个三角形与 原三角形相似。
05
拓展：高级几何中相似三角形相关知识点介绍
射影几何中相似三角形概念及性质
01
相似三角形的定义：在射影几何中，如果两个三角形的对 应角相等，则称这两个三角形相似。
04
对应角相等。
02
相似比：相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
05
对应边成比例。
03
相似三角形的性质
06
面积比等于相似比的平方。
解析几何中相似三角形表示方法
解析几何中的表示方法
在解析几何中，可以使用向量 或坐标来表示三角形，并通过 比较对应向量或坐标之间的关 系来判断两个三角形是否相似 。
向量表示法
通过三角形的三个顶点可以确 定三个向量，如果两个三角形 的对应向量之间的比值相等， 则这两个三角形相似。
1. 题目
解答
2. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A = ∠D， ∠B = ∠E，AB = 6，AC = 8，DE = 3。求DF和EF的长。
根据相似三角形的性质，我们有 $frac{AB}{DE} = frac{AC}{DF} = frac{BC}{EF}$。代入已知条件， 得$frac{6}{3} = frac{8}{DF} = frac{BC}{EF}$。解得$DF = 4$， $EF$可以通过勾股定理求得， $EF = sqrt{DE^2 + DF^2} = 5$。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 相约“相似三角形”和探索“相似的条件”
相约“相似三角形”和探索“相似的条件”我们已经认识了形状相同的图形，结识了相似多边形，下面让我们一起来研究最简单的相似图形――相似三角形，来探索两个三角形相似的条件吧。
一．相似三角形的概念三角对应相等，三边对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
温馨提示：全等三角形是相似三角形的特例，两者之间有如下关系：（1）全等三角形是相似比为1的相似三角形；相似三角形不一定全等；（2）全等三角形要求对应边相等；相似三角形要求对应边成比例。
因此，我们可以通过将全等三角形与相似三角形进行类比，来学习和掌握相似三角形的相关知识。
现将三角形全等的判别方法与三角形相似的条件列表比较如下：二．探索“三角形相似的条件”1．条件比拼判定两个三角形相似，除了运用相似三角形的定义外，常用的方法还有以下三种：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）三边对应成比例的两个三角形相似．（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．2．指点迷津在利用相似三角形解决问题时，常用到以下几个基本图形：（1）平行型：条件中若有平行线，可直接得两三角型相似，如没有平行线，可添加平行线，构造平行型相似三角形．如：如图1，DE//BC，则△ABC∽△ADE。
（2）斜交型：条件中若有一对角相等，可考虑在找一对角相等，应用相似三角形方法1（两角对应相等的两个三角形相似），或找等角的夹边对应成比例，应用相似三角形的方法3（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．如：如图2，若∠1=∠B或∠2=∠ACB，则△ABC∽△ACD（或△ABC∽△ADE）。
（3）垂直型：若有一对直角出现在条件中，可考虑再找一对等角，使用方法1；或者证明斜边、直角边对应成比例．如：如图3（1），AB⊥AC，AD⊥BC，则△ABD∽△CBA∽△CAD；如图3（2），AB⊥AC，ED⊥BC，则△ABC∽△DEC。
温馨提示：在解与相似三角形有关的问题时，可以通过寻找基本图形来确定相似三角形，也可以通过添加辅助线构造基本图形得到相似三角形，从而使问题得到解决。
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方法技巧训练（三） 相似三角形的常见基本模型
模型1 X 字型及其变形
（1）如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
（2）如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABO∽△CDO.
图1 图2
1.（xx·恩施）如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边的中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为（D ）
A .6
B .8
C .10
D .12
2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与直径AB 相交于点F.若∠BAC＝30°，BC ＝4，cos ∠BAD＝34，CF ＝103
，求BF 的长.
解：连接BD. ∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt △ACB 中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC ＝2×4＝8.
由勾股定理，得AC ＝82－42＝4 3.
在Rt △ADB 中，cos ∠BAD＝34＝AD AB
， ∴34＝AD 8
，∴AD ＝6. ∴BD＝82－62＝27.
∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
∴△DF B∽△AFC.
∴BF
CF
＝
BD
CA
，即
BF
10
3
＝
27
43
，
解得BF ＝5219
.
模型2 A 字型及其变形
（1）如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；
（2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；
（3）如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.常见的结论有：AC 2＝AD·AB.
,图1) ,图2) ,图3)
3.如图，正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点G ，AE ＝2，求EG 的长.
解：在⊙O 的内接正五边形ABCDE 中，∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°，
∴∠BAG＝∠AGB＝72°，
∴AB＝BG ＝AE ＝2.
∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA，
∴△AEG∽△BEA.
∴AE 2＝EG·EB，即22＝EG·（EG ＋2）.
解得EG ＝－1＋5或－1－5（不合题意，舍去）.
∴EG＝5－1.
模型3 双垂直型
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
4.（xx·南通）正方形ABCD 的边长AB ＝2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE ，BD 相交于点M ，N ，则MN 的长为（C ）
55 6B.
25
3
－1 C.
45
15
D.
3
3
A.
5.（xx·娄底改编）如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD ，AB ，BC 都相切，切点分别为D ，E ，C ，半径OC ＝1，求AE·BE 的值.
解：连接OE.
∵半圆O 与四边形ABCD 的边AD ，AB ，BC 都相切，切点分别为D ，E ，C ，
∴OE⊥AB，A D⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE.
∴AD∥BC.
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∴∠OAB＋∠OBA＝90°.
∴∠AOB＝90°.
∵∠OAE＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠BOE＝90°，
∴∠EAO＝∠EOB.
∵∠AEO＝∠OEB＝90°，∴△AEO∽△OEB. ∴AE OE ＝OE BE
，即AE·BE＝OE 2＝OC 2＝1.
模型4 一线三等角型
（1）如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B ，C ，P ，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD；（此图又叫作“三垂图”）
图1 图2
（2）如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B ，P ，C 在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD ，当点P 为BC 的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.
6.如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠（AP>AM ），点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处.
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM ＝1，sin ∠DMF＝35
，求AB 的长.
解：（1）有三对相似三角形：△AMP∽△BPQ∽△CQD .
（2）设AP ＝x ，由折叠的性质，得BP ＝AP ＝EP ＝x.∴AB＝DC ＝2x.
AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，
MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.
在Rt △FDM 中，sin ∠DMF＝35
，DF ＝DC ＝2x ， ∴
2x x 2＋1＝35. 解得x 1＝3，x 2＝13
（不合题意，舍去）. ∴AB＝2x ＝6.
7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.
（1）求证：AC·CD＝CP·BP ；
（2）若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长.
解：（1）证明：∵AB＝AC ，∴∠B＝∠C.
∵∠APD＝∠B，
∴∠APD＝∠B＝∠C.
∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠CPD，
∴∠BAP＝∠CPD.
∴△ABP∽△PCD.
∴BP CD ＝AB PC
. ∴AB·CD＝PC·BP.
∵AB＝AC ，
∴AC·CD＝CP·BP.
（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.
∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.
∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA.
∴BA BC ＝BP BA
. ∵AB＝10，BC ＝12，
∴1012＝BP 10
. ∴BP＝253
.
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