高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数练习含解析

1.3.3 函数的最大（小）值与导数
一、选择题
1．定义在闭区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )有唯一的极值点x ＝x 0，且y 极小值＝f (x 0)，则下列说法正确的是( )
A ．函数f (x )有最小值f (x 0)
B ．函数f (x )有最小值，但不一定是f (x 0)
C ．函数f (x )的最大值也可能是f (x 0)
D ．函数f (x )不一定有最小值
【答案】A
【解析】函数f (x )在闭区间[a ，b ]上一定存在最大值和最小值，又f (x )有唯一的极小值f (x 0)，则f (x 0)一定是最小值．
2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值，最小值分别是( )
A ．12，－8
B ．1，－8
C ．12，－15
D ．5，－16 【答案】A
【解析】y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．当x ＝－2时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝12；当x ＝1时，y ＝－8.∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A ．
3．已知f (x )＝12
x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( ) A ．仅有最小值的奇函数
B ．既有最大值又有最小值的偶函数
C ．仅有最大值的偶函数
D ．既有最大值又有最小值的奇函数
【答案】D
【解析】求导可得f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，
则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x ，当x ∈[－1,1]时，h ′(x )>0，
所以h (x )在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．
所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数．
4．已知f x x x m ()=-+2632（m 为常数）在区间[]-22，上有最大值3，那么此函数在[]-22，上的最小值为
（ ）
A ．-5
B ．-11
C ．-29
D ．-37
【答案】D
【解析】令()2()612620f x x x x x '=-=-=，得02x x ==或，当20x -≤<时，()0f x '>，当02
x <<时，()0f x '<，所以最大值在0x =处取得，即()03f m ==，又()()237,25f f -=-=-，所以最小值为37-.
5．函数()3
31f x x x =--，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．3
D ．0
【答案】A 【解析】()()()233311f x x x x '=-=-+，所以()f x 在区间[3,1]--，[1,2]上单调递增，在区间(1,1)-上单调递减．()319f -=-，()21f =，()11f -=，()13f =-，可知()()12||f x f x -的最大值为20，故t 的最小值为20. 6．函数32231(0),()e (0)
ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是（ ） A ．1[ln 2,)2+∞ B.1[0,
ln 2]2 C.(,0)-∞ D.1(,ln 2]2
-∞ 【答案】D
【解析】当0x ≤时，()()61f x x x '=+，令()0,f x '>得1x <-，令()0f x '<，得10x -<<，则在[]2,0-上的最大值为()12f -=.欲使得函数()f x 在[2,2]-上的最大值为2，则当2x =时，2e a 的值必须小于或等于2，即2e 2a ≤，解得1(,ln 2]2
a ∈-∞，故选D. 二、填空题
7．函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是__________.
【答案】1 【解析】()e 1x f x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-上单调递减，在[0,1]上单调递增，从而函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是0
(0)e 01f =-=.
8．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为__________．
【解析】由题知()3f x x x =-+，则()231f x x '=-+
，可得在区间上，()0f x '>，()f x 为增
函数，在上，()'0f x <，()f x 为减函数，故()f x
在x =
. 三、解答题
9．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ．若()f x 的图象在1x =处与直线12
y =-
相切． （1）求b a ,的值； （2）求()f x
【解析】（1
()f x 的图象在1x =处与直线12y =-
（2）由（1）得21()l n 2
f x x x =-，定义域为(0,)+∞
令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >．
所以()f x 在1,1e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(]
1,e 上单调递减， 所以()f x
1(1)2f =-． 10．已知函数()()ln ,0f x x ax a x =-∈>R ，
(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；
(2)当0a >时，求函数()f x 在[]
1,2上的最小值.
【解析】(1)当2a =时，()ln 2f x x x =-，则()12f x x
'=-(0x >)， 令()'120f x x =->，得102x <<，令()120f x x '=-<，得12
x >.
故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)由()ln f x x ax =-得11()ax f x a x x
-+'=-=， 令()0f x '>得10x a <<，令()0f x '<得1x a
>， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. ①当11a
≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,2]上是减函数, ∴()f x 的最小值是()2ln22f a =-. ②当12a ≥，即102
a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数， ∴()f x 的最小值是()1f a =-.
③当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
是减函数．又()()21ln2f f a -=-，∴当1ln 22
a <<时,ln 20,a ->最小值是()1f a =-；当ln21a ≤<时,最小值为()2ln22f a =-.
综上，当0ln 2a <<时, ()min f x a =-；当ln 2a ≥时，()min ln 22f x a =-.。