山东省2012届高考数学 权威预测 数列求和 新人教版

*
4n 1 n(n 1) ． 3 2
（Ⅲ）证明：对任意的 n N ，
Sn1 4Sn
4n 1 n(n 1) 4n1 1 (n 1)(n 2) 1 2 4 2 (3n n 4) ≤ 0 ． 3 2 2 3
【变式】已知二次函数 y f ( x) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f ' ( x) 6 x 2 ，数列 （Ⅰ） 、 求数列 {an } {an } 的前 n 项和为 Sn ，点 (n ,S n ) (n N ) 均在函数 y f ( x) 的图像上。 的通项公式；
（Ⅱ） 、设 bn
（Ⅰ）求数列 an 的通项； （Ⅱ）设 bn
2 n 1 解 (I) a1 3a2 3 a3 ...3 an
n ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn ． an
n n 1 , a1 3a2 32 a3 ...3n 2 an 1 (n 2), 3 3
*
解、 （Ⅰ）证明：由题设 an1 4an 3n 1，得 an1 (n 1) 4( an n) ， n N ．
*
又 a1 1 1，所以数列 an n 是首项为 1 ，且公比为 4 的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 an n 4n1 ，于是数列 an 的通项公式为 an 4n1 n ． 所以数列 an 的前 n 项和 Sn
综上，当 n N * 时，
【变式】在数列 an 中， a1 2 ， an1 4an 3n 1， n N* ． （Ⅰ）证明数列 an n 是等比数列； （Ⅱ）求数列 an 的前 n 项和 Sn ； （Ⅲ）证明不等式 Sn1 ≤ 4Sn ，对任意 n N 皆成立．
m 1 ， Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和，求使得 Tn 对 所有 n N 都成立 20 an an1
的最小正整数 m； 点评：本小题考 查二次函 数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能， 考查分析问题的能力和推理能力。 解： （Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－2, 得
所以
S6 6a 15d 27d 3 1 ,故选 A S12 12a1 66d 90d 10
5.已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 a1 、 b1 ，且 a1 b1 5 ， ，则数列 {cn } 的前 10 项和等于（ a1 , b1 N * ．设 cn abn （ n N * ） A．55 B．70 C．85 D．100 ）
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3n 1 an
n n 1 1 (n 2). 3 3 3
an
1 (n 2). 3n
验证 n 1 时也满足上式， an
1 (n N * ). 3n
① ②
n1
(II) bn n 3n ， Sn 1 3 2 32 3 33 ...n 3n
当
n≥3
时
，
1 1 1 f ( n Tn 6 a3a a a a5n a n 4
1
，
6
(
)
1
2
)
1
1 1 1 1 ≥ 6 a3a4 a5a6 a2 n1a2 n
1 1 1 1 1 1 1 1 ， ≥ 3 n n 2 6 6 62 6 2 2 6 62
求证：
1 5 ≤ Tn ≤ (n N* ) ． 6 24
2 k k
（I）解：方程 x (3k 2 ) x 3k 2 0 的两个根为 x1 3k ， x2 2k ， 当 k 1 时， x1 3，x2 2 ，所以 a1 2 ； 当 k 2 时， x1 6 ， x2 4 ，所以 a3 4 ； 当 k 3 时， x1 9 ， x2 8 ，所以 a5 8 时； 当 k 4 时， x1 12 ， x2 16 ，所以 a7 12 ． （ II ） 解
2 2
：
S2n a a a n (1
（III）证明： Tn


n
3

n

3n2 3n n1 6 2 2 2 ． 2
3
1 1 1 (1) f ( n1) ， a1a2 a3a4 a5a6 a2 n1a2 n
所以 T1
1 1 5 1 1 ． ， T2 a1a2 a3a4 24 a1a2 6
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
n n! (n 1)!n!
1 1 1 1 [ ] n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2) n 1 1 (n 1)! n! (n 1)!
2

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知 bn
3 1 1 1 3 )， ＝ ＝ ( a n a n 1 (6n 5)6(n 1) 5 2 6n 5 6n 1
故 Tn＝
b ＝ 2
i 1 i
n
1 1 1 1 1 1 1 1 ）. (1 ) ( ) ... ( ) ＝ （1－ 6n 1 7 7 13 6n 5 6 n 1 2
3Sn 1 32 2 33 3 34 ...n 3n1
① - ② ：
2Sn 3 3 3 3 n 3
2 3 n
3 3n 1 n 3n 1 ， 1 3
Sn
n n 1 1 n 1 3 3 3 2 4 4
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同时， Tn
1 5 1 1 5 1 1 (1) f ( n1) ≤ 24 a5a6 a7 a8 a2 n1a2 n 24 a5 a6 a1a2 a2 n1a2 n
≤
1 5 5 1 1 1 1 5 ． 1 n n 3 24 24 92 9 2 2 24 92 1 5 ≤ Tn ≤ ． 6 24
x 的方程
， 2， 3， ) ． x2 (3k 2k ) x 3k 2k 0 的两个根，且 a2k 1 ≤ a2k (k 1
（I）求 a1 ， a2 ， a3 ， a7 ； （Ⅲ）(理)记 f ( n) （II）求数列 an 的前 2 n 项和 S 2 n ；
1 sin n (1) f (2) (1) f (3) (1) f (4) (1) f ( n1) 3 ， ， T … n 2 sin n a1a2 a3a4 a5a6 a2 n1a2 n
n n-1
n
切点为（2，-2 ）,所以切线方程为 y+2 =k(x-2),令 x=0 得 an=(n+1)2 ,令 bn=
n
n
n
an 2 n .数 n 1
列
an 2 3 n n+1 的前 n 项和为 2+2 +2 +…+2 =2 -2 n 1
★★★高考要考什么 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
1 30
5 6
C．
1 6
D．
S3 1 S6 4.设 Sn 是等差数列｛an｝的前 n 项和，若 ＝ ，则 ＝ S6 3 S12
A. 3 10 1 B. 3 1 C. 8 D. 1 9
解析:由等差数列的求和公式可得
S3 3a1 3d 1 , 可得a1 2d 且 d 0 S6 6a1 15d 3
C.
2 n 3 (8 1) 7
D.
2 n4 (8 1) 7
）
2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ B A．9 B．10 C．11 D．12
3.）数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，若 an A．1 B．
1 ，则 S5 等于（ B ） n(n 1)
6．公式法求和
k 2
k 1
n
n(n 1)(2n 1) 6
k
k 1
n
3
[
n(n 1) 2 ] 2
7．倒序相加法求和 ★ ★★ 突 破 重 难 点
2 n 1 【范例 1】设数列 an 满足 a1 3a2 3 a3 … 3 an
n * ，aN ． 3
= 4 5 6 13 85 ，选 C. 6.对正整数 n，设曲线 y x n (1 x) 在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则数列
{
an } 的前 n 项和的公式是 n 1
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解： y nxn1 (n 1) xn ，曲线 y=x (1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2 -(n+1)2
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因此，要使
1 1 m 1 m （1－ ）< （ n N ）成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ，即 2 6n 1 20 2 20
m≥10，所以满足要求的最小正整数 m 为 10.
【 范 例 2 】 已 知 数 列
an
中 的 相 邻 两 项 a2k 1，a2k 是 关 于

2012 届山东新课标高考数学权威预测：数列求和
★★★高考在考什么 【考 题回放】 1. 设 f (n) 2 24 27 210 23n10 (n N ) ，则 f ( n) 等于（ D ） A.