高一数学必修四知识点

基本三角函数ⅠⅡ ◆ 终边落在x 轴上的角的集合：{}z ∈=κκπαα, ❖ 终边落在y 轴上的角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z κπκπαα,2♦ 终边落在坐标轴上的角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=z κπκαα,2⌧ 2 21 21 rr l S rl αα=== 弧度度弧度弧度弧度度 18018011801 2360.ππππ====︒︒倒数关系：111cot tan ===ααααααSec Cos Csc Sin 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1平方关系：αααααα222222111tan Csc Cot Cos Sin Sec =+=+=+乘积关系：αααCos Sin tan = ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积Ⅲ 诱导公式◆ 终边相同的角的三角函数值相等()()()zk , tan 2tan z k , 2zk , 2∈=+∈=+∈=+απααπααπαk Cos k Cos Sin k Sin❖ 轴对称关于与角角x αα-()()()ααααααtan tan -=-=--=-Cos Cos Sin Sin♦ 轴对称关于与角角y ααπ- ()()()ααπααπααπtan tan -=--=-=-Cos Cos Sin Sin⌧ 关于原点对称与角角ααπ+()()()ααπααπααπtan tan =+-=+-=+Cos Cos Sin Sin⍓对称关于与角角x y =-ααπ2ααπααπααπcot 2tan 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Sin Cos Cos Sin ααπααπααπcot 2tan 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+Sin Cos Cos Sin 上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”Ⅳ 周期问题◆()()()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕω2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , =≠>>++==≠>>++==>>+==>>+==>>+==>>+=x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y❖()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕω=>>+==>>+==>>+==>>+=T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan x A y x A y x A y x A yⅤ 三角函数的性质图 像性 质 x y tan =x y cot =定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z x x κπκπ,2{}z x x ∈≠κκπ,值 域 R R周期性 π π 奇偶性 奇函数奇函数单调性增函数,,2,2z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππππ()增函数,,,z k k k ∈+πππ对称中心 ()z k k ∈,0,πz k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+,0,2ππ对称轴 无无图 像()k x ASin y Sinx y ++==ϕω变化为怎样由 ？振幅变化：Sinx y = ASinx y = 左右伸缩变化：x ASin y ω= 左右平移变化 )(ϕω+=x ASin y 上下平移变化 k x ASin y ++=)(ϕωⅥ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 ()如果有,,0,b a a ≠()是共线向量与是共线向量；反之如果与则使得一个实数a b a b a a b ,0,,≠=λλxy 0.,abλλ=使得那么又且只有一个实数Ⅶ线段的定比分点PP PPPP↔↓当1=λ时↓当1=λ时Ⅷ向量的一个定理的类似推广向量共线定理：()0≠=aabλ↓推广平面向量基本定理：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=不共线的向量为该平面内的两个其中212211,,eeeeaλλ↓推广空间向量基本定理：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=不共面的向量为该空间内的三个其中321332211,,,eeeeeeaλλλⅨ一般地，设向量()()aayxbyxa如果且,0,,,2211≠==∥01221=-yxyxb那么反过来，如果ayxyx则,01221=-∥b.Ⅹ一般地，对于两个非零向量ba,有θba=•，其中θ为两向量的夹角。

222221212121yxyxyyxxbaCos+++==θ特别的，2aaa===•Ⅺ()()0, , 0 , , , 212121212211=+⇔⊥+=•≠==y y x x b a y y x x b a a y x b y x a 特别的则且如果Ⅻ 0O , 2121=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅n n OA OA A O A A A n 则的中心为边形若正三角形中的三角问题◆2- 22 , 22 , C B A C B A C B A πππ=+=++=++ ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+22Cos 2Cos 2 C Cos Cos C Sin B A C B A Sin B A C Sin B A Sin❖ 正弦定理：SinCSinB SinA cb a R SinCc SinB b SinA a ++++====2 余弦定理：2 2 , 2222222222abCosC b a c acCosB c a b bcCosA c b a -+=-+=-+=变形：abcb a CosC acb c a CosB bc a c b CosA 22,2 222222222-+=-+=-+= ♦ C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++三角公式以及恒等变换◆ 两角的和与差公式：()())()(S , S ,βαβαβαβαβαβαβαβα-+-=-+=+Sin Cos Cos Sin Sin Sin Cos Cos Sin Sin()()()())()()()(T , tan tan 1tan tan tan T , tan tan 1tan tan tan C , C , βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-++-=--+=++=--=+Sin Sin Cos Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos 变形： ()()()()为三角形的三个内角其中χβαχβαχβαβαβαβαβαβαβα,,tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan 1tan tan tan =+++-=--+=+❖ 二倍角公式：ααααααααααα22222tan 1tan 22tan 2112222-=-=-=-==Sin Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin♦ 半角公式：212212ααααCos Cos Cos Sin+±=-±=αααααααSin Cos Cos Sin Cos Cos -=+=+-±=11112tan⌧ 降幂扩角公式：221 , 22122ααααCos Sin Cos Cos -=+=⍓ 积化和差公式：()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos Cos Sin Sin Sin Cos Sin Sin Cos Sin 21212121和差化积公式：⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+222222222222βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαSin Sin Cos Cos Cos Cos Cos Cos Sin Cos Sin Sin Cos Sin Sin Sin （ SSC C CC C C CS S S SCS S 2222-=-=+=-=+）万能公式:2tan12tan 12tan 12tan2222αααααα+-=+=Cos Sin ( +--+C T S )2tan 12tan2tan 2ααα-=三倍角公式：θθθθθθCos Cos Cos Sin Sin Sin 34343333-=-= θθθθ23tan 31tan tan 33tan --= “三四立，四立三，中间横个小扁担”❝()()()()()()()().., ., 1. , .,,:tan , tan ,y .4tan ,tan , y .3tan , tan , .2tan , .12222222222222222比较容易理解和掌握与差的与弦来靠项是余弦的就用两角和第一的正弦来靠正弦的就用两角和与差一般是表达式第一项是的就可以直接写出其它的推导即表达技巧只要记忆不需要死记公式求解最值问题进而可以化归相同的形式也有不同的归不同的形式有不同的化注其中其中其中其中其中其中其中abCos b a b aSin b a Sin b a bSin aCos baCos b a a bSin b a bCos aSin a bCos b a b aSin b a bSin aCos y a bSin b a bCos aSin y =++==-+-=-+=-==++-==-+=-==-+==++=+==++=+=ϕαϕϕϕααϕααϕϕαϕϕαααϕϕαϕϕαααϕϕααα♣ 补充： 1. 由公式 ()())()(T , tan tan 1tan tan tan T , tan tan 1tan tan tan βαβαβαβαβαβαβαβα-++-=--+=+ 可以推导 ：()()2tan 1tan 1 , z , 4=++∈+=+βακπκπβα时当在有些题目中应用广泛。

2. ()()βαβαβαβα+=+++tan tan tan tan tan tan3. 柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈补充1．常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤|sin ||cos |1x x +≥.2. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 3. 三倍角公式 ：3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.4.三角形面积定理：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.5.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 6. 正弦型函数)sin(φω+=x A y 的对称轴为)(2Z k k x ∈-+=ωφππ；对称中心为))(0,(Z k k ∈-ωφπ；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心； 〈三〉易错点提示：1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（这些统称为1的代换) 常数“1”的种种代换有着广泛的应用．3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()。