2019年高考数学(北师大版理科)： 第8章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系学案
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第8章 平面解析几何 第3
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第三节圆的方程[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第134页)[基础知识填充]1．圆的定义及方程2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )[解析]由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D[由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.] 3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2A [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜15D ．－15＜a ＜1D [由(2a )2＋(a －2)2＜5得－15＜a ＜1.]5．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．(x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.](对应学生用书第135页)(1)(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10(1)D (2)C [(1)设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C ．]1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数法：①若已知条件与圆心a ，和半径b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的标准方程为( )【导学号：79140274】A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(1)C (2)(x －2)2＋y 2＝9 [(1)到两直线3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，所以圆M 的圆心坐标为(－3，－1)，又两平行线之间的距离为1032＋42＝2，所以圆M的半径为1，所以圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1，故选C ． (2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.]已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.1．(变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值．[解] 设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.2．(变换条件)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．[解] ∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22， ∴|MQ |的最小值为7－2 2.1形如2形如3形如x －2＋y －2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题[跟踪训练(1)(2018·陕西质检(一))的距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2(2)(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4D.163(1)A (2)D [(1)由已知得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为|1－1－2|2＝2，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋2，故选A ．(2)由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.]已知A (2,0) 为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.【导学号：79140275】(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解2定义法：根据圆的定义列方程求解3几何法：利用圆的几何性质得出方程求解4代入法相关点法：找出要求的点与已知点的关系，[跟踪训练] 已知点－1,0)连线段的中点M 的轨迹方程．[解] 由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x ＋1)2＋y 2＝9.设M (x 0，y 0)，则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4)，代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9， 化简得x 20＋(y 0－2)2＝94，故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.。
高中数学第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
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考点一 直线与圆的位置关系
2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 ＝ 2.由 2 勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2，所以，所求弦长为 2 2.
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已知弦长求解直线方程时，易忽视斜率k不存在的情形．
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第八章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
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1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能 根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
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3 解析：依题意得，直线l的方程是y＝tan 150° (x－1)＝－ (x－ 3 |－3－1| 1)，即x＋ 3 y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝ 3＋1 ＝2，因此该直线与圆相切．
答案：B
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[小题纠偏] 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截 得的弦长为8，则直线l的方程是_______________________．
2019年高考数学一轮复习(北师大版文科)： 第8章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系学案 文
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第116页)[基础知识填充]1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：联立直线l 与圆C 的方程，消去y (或x )，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b 2－4ac ，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离． 2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．[1．圆的切线(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是xx 0＋yy 0＝r 2；(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长a 的一半12a 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2.3．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤相离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋－－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2018·张家口模拟)已知直线12x －5y ＝3与圆x 2＋y 2－6x －8y ＋16＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 【导学号：00090279】42 [把圆的方程化成标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径r ＝3，所以圆心到直线12x －5y ＝3的距离d ＝|12×3－5×4－3|122＋－2＝1，则|AB |＝2r 2－d 2＝4 2.](对应学生用书第117页)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (3)(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．(1)A (2)x ＋2y －5＝0 (3)4π [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.(3)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2018·兰州模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.【导学号：00090280】(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．∵圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x－3)，即2x ＋y －7＝0.(2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3.∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.]y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离(2)(2018·汉中模拟)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.(1)B (2)1 [(1)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M截直线所得线段长度为22，∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝A ．∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2. 以下同法一．(2)方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 两式相减得：2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到． 3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] (1)圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与圆x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)(2017·山西太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11(1)B (2)C [(1)将两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0化为标准形式分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝112，(x ＋2)2＋(y －4)2＝82.因此两圆的圆心和半径分别为O 1(3，－8)，r 1＝11；Q 2(－2,4)，r 2＝8.故圆心距|O 1O 2|＝＋2＋－8－2＝13.又|r 1＋r 2|＞|O 1O 2|＞|r 1－r 2|，因此两圆相交，公切线只有2条．(2)圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C ．](2016·江苏高考改编)如图841，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．【导学号：00090图841[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.5分(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 8分因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． [解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. 5分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.7分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.10分 所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.12分。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 北师大版
2．若直线 x－y＝2 被圆(x－a)2＋y2＝4 所截得的弦长为 2 2，
则实数 a 的值为( D )
A．－1 或 3
B．1 或 3
C．－2 或 6
D．0 或 4
解析：圆心(a，0)到直线 x－y＝2 的距离 d＝|a－2|， 2
则2
2
2
2＋|a－22|
2
＝
22，所以
a＝0
或
[解析] (1)因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2＋b2 ＞1，从而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝|a·0a＋2＋b·b02－1|
＝ a21＋b2＜1，所以直线与圆相交． (2)法一：将直线方程代入圆的方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3 ＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ ＝16k2－12(k2＋
所以切线方程为 y－ 3＝ 3(x－1)， 3
即 x－ 3y＋2＝0.
4 ． 若 圆 C1 ： x2 ＋ y2 ＝ 1 与 圆 C2 ： x2 ＋ y2 － 6x － 8y ＋ m ＝ 0 外 切，则实数m＝____9____．
解析：圆 C1 的圆心是原点(0，0)，半径 r1＝1，圆 C2：(x－3)2 ＋(y－4)2＝25－m，圆心 C2(3，4)，半径 r2＝ 25－m，由两 圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋ 25－m＝5，所以 m＝9.
1．(2016·贵阳一检)对任意实数 k，直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋
y2＝4 的位置关系一定是( C )
A．相离
B．相切
C．相交且不过圆心
D．相交且过圆心
解析:因为直线 y＝kx＋1 恒过定点(0，1)，且斜率存在，又 点(0，1)在圆 x2＋y2＝4 内，所以直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2 ＝4 相交，且直线不过圆心，故选 C.
2025年高考数学总复习课件64第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
核心回扣
圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
图形
量的关系
课时质量评价
外离
__d_>_r_1_＋__r_2 __
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61－m. ①当两圆外切时， 5－1 2+ 6－3 2＝ 11+ 61－m，解得m＝25＋10 11.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ 解：(方法一：作差法)
核心考点 提升“四能”
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
应用1 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P 1， 3 处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
√D．x－ 3y＋2＝0
D 解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.因为P 1， 3 在圆Q上，所以所求
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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2．(教材改编题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 C．外切
√B．相交
D．相离
B 解析：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r
+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.
B.
C.2
)
D.
√
解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,
解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.8 平面
圆锥曲线表示的曲线 椭圆
双曲线 抛物线
• 4.直线与圆锥曲线的交点
• [判一判]
基础自测
• (1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要√条件。 ()
• 解析 正确。由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y) ＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，×有f(x0，y0)＝0。 所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件。
• A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 • C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，
代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0。
答案 D
4．(2016·银川模拟)方程(x2＋y2－4) x＋y＋1＝0 的曲线形状是( )
• 【解】 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线 为x轴建立平面直角坐标系。
由|O1O2|＝4，得 O1(－2,0)，O2(2,0)。 设动圆 M 的半径为 r。 则由动圆 M 与圆 O1 内切，有|MO1|＝r－1； 由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO2|＝r＋2， 所以|MO2|－|MO1|＝3。 所以点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支， 所以 a＝32，c＝2， 所以 b2＝c2－a2＝74， 所以点 M 的轨迹方程为49x2－47y2＝1x≤－23。
• (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线。( ) ×
• 解析 错误。方程变形为x(x＋y－1)＝0，所以x＝0或x＋y
－1＝0。故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0。
√
高考数学复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程文市赛课公开课一等奖省优质课获奖
∴kAP＝2－1－－01＝13，kBP＝0－3－－01＝ 3.如图可知，直
线 l 斜率的取值范围为13，
3.
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方法技巧 求直线倾斜角与斜率问题的求解策略
1．由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜 率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 y＝tanx 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，直线倾 斜角的范围是[0，π)，正切函数在[0，π)上并不是单调的．因 此在求解过程中要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函 数图象可以看出，当 α∈0，2π时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α ＝π2时，斜率不存在；当 α∈π2，π时，斜率 k∈(－∞，0)．
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经典题型冲关
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题型 1 直线的倾斜角与斜率 典例 直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3) 为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 __(－__∞__，__－___3_]_∪__[_1_，__＋__∞__) _．
数形结合．由斜率公式求得 kPA、kPB.
－ 22(x－2)，即 x＋ 2y－2－ 2＝0.
34/49
[结论探究] 若本典例条件不变，求|PA|·|PB|的最小值及 此时直线 l 的方程．
解 ∵A2k－k 1，0，B(0,1－2k)(k<0)， ∴|PA|·|PB|＝ k12＋1· 4k2＋4＝2－1k＋－k≥4，当且 仅当 k＝－1 时等号成立． 故|PA|·|PB|最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 x＋y－3 ＝0.
21/49
解 (1)设直线的倾斜角为 α，则 sinα＝35. ∴cosα＝±45，直线的斜率 k＝tanα＝±34. 又直线在 y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为 y＝±34x－5. 即 3x－4y－20＝0 或 3x＋4y＋20＝0.
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考纲传真] (教师用书独具)1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
(对应学生用书第136页)
[基础知识填充]
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离．
(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧
＞0⇔相交；＝0⇔相切；
＜0⇔相离. 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)
[知识拓展]
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；
③相交：2条；④外切：3条；⑤相离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )
(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )
(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y ＝r2.( )
[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√(5)√
2．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切B．直线过圆心
C．直线不过圆心，但与圆相交D．相离
B [依题意知圆心为(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝
＝0，所以直线过圆心．]
12＋(－1)2
3．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切B．相交
C．外切D．相离
B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d
＝42＋1＝17.
∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]
4．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( ) A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
D [由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以
|3×1＋4×1－b|
＝1，解得b＝2或12.]
32＋42
5．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．。