(部编本人教版)最新高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第2讲 函数与方程学案【经典练习】
第2讲 函数与方程
[考情考向分析] 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现．
热点一 函数的零点 1．零点存在性定理
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
2．函数的零点与方程根的关系
函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝
g (x )的图象交点的横坐标．
例1 (1)已知f (x )＝2|x |
x ＋x －2
x
，则y ＝f (x )的零点个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 答案 C
解析 令2|x |
x ＋x －2x
＝0，化简得2|x |＝2－x 2，画出y 1＝2|x |，y 2＝2－x 2
的图象，由图可知，图
象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．
(2)关于x 的方程(x 2
－2x )2e 2x
－(t ＋1)(x 2
－2x )e x
－4＝0(t ∈R )的不等实根的个数为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．1或5 答案 B
解析 设f (x )＝(x 2－2x )e x ，则f ′(x )＝(x ＋2)(x －2)e x
，所以函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，且当x →－∞时，f (x )→0，f (－2)＝(2＋22)
e f (0)＝0，f (2)＝(2－22)当x →＋∞，f (x )→＋∞，由此画出函数y ＝f (x )的
草图，如图所示．
关于x 的方程(x 2
－2x )2e 2x
－(t ＋1)(x 2
－2x )e x
－4＝0，
令u ＝f (x )，则u 2
－(t ＋1)u －4＝0，Δ＝(t ＋1)2
＋16>0，故有两个不同的解u 1，u 2， 又u 1u 2＝f (－2)f (2)＝－4， 所以不等实根的个数为3.
思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 (1)函数零点大致存在区间的确定． (2)零点个数的确定．
(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．
解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．
跟踪演练1 (1)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝?
????
x 2
＋2，x ∈[0，1)，
2－x 2
，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)
＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 答案 B
解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x )的周期为2，作函数f (x )和g (x )的图象，
图中，g (3)＝3－log 23>1＝f (3)，
g (5)＝3－log 25<1＝f (5)，
可得有两个交点，所以选B.
(2)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②?x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1，则方程f (x )＝1
2log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 答案 A
解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．
热点二 函数的零点与参数的范围
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
例2 (1)(2018·浙江省重点中学联考)已知a ∈R ，函数f (x )＝?????
a ＋1x
，x >0，
e －x ，x <0，若存在三
个互不相等的实数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)
x 3
＝－e 成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2e) 解析
f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)
x 3
＝－e 成立，等价于方程f (x )＝－e x 有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－e x 有三个不同的交点，易知直线y ＝－e x 与y ＝
e －x
的图象相切，已有一个交点，只需直线y ＝－e x 与曲线y ＝a ＋1x
(x >0)有两个不同的交点
即可，由－e x ＝a ＋1x
，得e x 2＋ax ＋1＝0，∴Δ＝a 2
－4e>0，解得a >2e 或a <－2e ，又方程
的两个根之和为正数，故－a
e
>0，∴a <0.综上所述，a <－2 e.
(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝?
??
??
e x
，x ≤0，
ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零
点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)
答案 C
解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．
在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．
若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象
可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a ，a ＝－1.
当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 故选C.
思维升华 (1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数． (2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．
跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝?
??
??
2x
－a ，x ≤0，
3x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，
则a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(－∞，1)
答案 A
解析 ∵函数f (x )＝?
??
??
2x
－a ，x ≤0，
3x －a ，x >0(a ∈R )在R 上有两个零点，且x ＝a
3
是函数f (x )的一
个零点，
∴方程2x
－a ＝0在(－∞，0]上有一个解，
再根据当x ∈(－∞，0]时，0<2x
≤20
＝1，可得0 (2)函数f (x )＝|x |e x ，方程[f (x )]2 －(m ＋1)f (x )＋1－m ＝0有4个不相等实根，则m 的取值范 围是( ) A.? ????e 2 －e e 2＋e ，1 B.? ????e 2 －e ＋1e 2＋e ，＋∞ C.? ?? ??e 2 －e ＋1e 2＋e ，1 D.? ?? ??e 2 －e e 2＋e ，＋∞ 答案 C 解析 根据题意画出函数f (x )的图象． 当x >0时，f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝1－x e x (x >0)， 故f (1)＝1 e 为f (x )在(0，＋∞)上的最大值． 设t ＝f (x )，t 2 －(m ＋1)t ＋1－m ＝0 有两个根t 1，t 2， 由图可知，对应两个x 值的t 值只有一个， 故可设t 1对应一个x 值，t 2对应3个x 值． 情况为? ???? t 1＝0， t 2∈? ????0，1e 或??? ?? t 1>1 e ，t 2 ∈? ?? ??0，1e ， 当属于第一种情况时，将0代入方程得m ＝1， 此时二次方程t 2 －(m ＋1)t ＋1－m ＝0的根是确定的，一个为0，一个为2>1e ，不符合第一种 情况的要求； 当属于第二种情况时，????? 1e 2－m ＋1e ＋1－m <0， 1－m >0， 即e 2 －e ＋1 e 2＋e 真题体验 1．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝sin 2 ωx 2＋12sin ωx －1 2 (ω>0，x ∈R )．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________． 答案 ? ????0，18∪? ??? ??14，58 解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －1 2 ＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ? ????ωx －π4. 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T 2>2π－π，所以π ω >π，所以0<ω<1. 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈? ? ???ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有 零点， 则ωπ－π4 4 (k ∈Z )， 即k 2＋18<ω 4 (k ∈Z )． 当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54. 所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时， 0<ω≤18或14≤ω≤5 8 . 2．(2017·山东改编)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2 的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是______________． 答案 (0,1]∪[3，＋∞) 解析 设f (x )＝(mx －1)2 ，g (x )＝x ＋m ，在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2? ?? ??x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形： (1)当0 m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意． (2)当m >1时，0<1 m <1，如图②， 要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点， 只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2 ， 解得m ≥3或m ≤0(舍去)． 综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 3．(2017·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝ ????? x 2 ，x ∈D ，x ，x ?D ， 其中集合D ＝?????? ??? ?x ? ?? x ＝n －1n ，n ∈N * ，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是 ________． 答案 8 解析 由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q ，且x ?Z 时， 设x ＝q p ，p ，q ∈N * ，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m ，m ， n ∈N * ，m ≥2且m ，n 互质．因此10n m ＝q p ， 则10n ＝? ?? ??q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x ?Q ，因此lg x 不可能与每 个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ?D 部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x ?D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝ 1x ln 10＝1 ln 10 <1，则在x ＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8. 押题预测 1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 押题依据 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法． 答案 B 解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)， h ? ????52>g ? ?? ?? 52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5. 2．已知函数f (x )＝????? x ＋2，x >a ， x 2 ＋5x ＋2，x ≤a ， 若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则 实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,1) B ．[0,2] C ．(－2,2] D ．[－1,2) 押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想． 答案 D 解析 g (x )＝f (x )－2x ＝????? －x ＋2，x >a ， x 2 ＋3x ＋2，x ≤a ， 要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需 g (x )＝0恰有三个不同的实数根， 所以? ?? ?? x >a ， －x ＋2＝0或? ???? x ≤a ， x 2 ＋3x ＋2＝0， 所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x >a )， x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a )． 再借助数轴，可得－1≤a <2. 所以实数a 的取值范围是[－1,2)，故选D. 3．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当0≤x ≤2时，f (x )＝min{－x 2 ＋2x,2－x }，若方程f (x )－mx ＝0恰有两个实根，则m 的取值范围是( ) A.? ????－∞，－13∪? ????13，＋∞ B.? ????－∞，－13∪??????13，＋∞ C.? ????－2，－13∪? ????13，2 D.? ?????－2，－13∪? ????13，2 押题依据 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，先研究特殊位置，结合函数的性质，利用数形结合法，构建关于参数的不等式(组)求解． 答案 C 解析 当0≤x <1时，－x 2 ＋2x <2－x ，当1≤x ≤2时，－x 2 ＋2x ≥2－x ，所以f (x )＝ ? ?? ?? －x 2 ＋2x ，0≤x <1， 2－x ，1≤x ≤2，又因为f (x )是偶函数，且是以4为周期的周期函数，作出函数f (x ) 的图象(图略)，直线y ＝mx 与y ＝－x 2 ＋2x 的图象相切时，m ＝2，直线y ＝mx 经过点(3,1)时，与函数f (x )的图象有三个交点，此时m ＝1 3，故x ≥0时，要使方程f (x )－mx ＝0恰有两 个实根，则1 3 则－2 3 . A 组 专题通关 1．已知函数f (x )＝? ????12x －1 3x ，则在下列区间中含有函数f (x )零点的是( ) A.? ????0，13 B.? ????13，12 C.? ?? ??12，23 D.? ?? ??23，1 答案 B 解析 f (0)＝1>0，f ? ????13＝13 12?? ???－13 13?? ???>0，f ? ????12＝12 12?? ???－13 12?? ??? <0，f ? ????13f ? ?? ??12<0， 所以函数f (x )在区间? ?? ??13，12内必有零点，故选B. 2．(2018·绍兴市柯桥区模拟)已知x 0是函数f (x )＝e －x ＋ 1 x －2 的零点，若x 1∈(0，x 0)，x 2∈(x 0,2)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 C 解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠2}，又e －x >0，且x <2时， 1 x －2 <0，故f (x )的零点x 0∈(－∞，2)，求导得f ′(x )＝－e －x －1(x －2)2<0，则函数f (x )在区间(－∞，2)，(2，＋∞)上单 调递减，由0 3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x >0时，f (x )＝2x ＋2x －4，则f (x )的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B 解析 由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故f (0)＝0. 由于f ? ?? ??12·f (2)<0， 而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故当x >0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知， 当x <0时，也有1个零点．故一共有3个零点． 4．已知函数f (x )＝x 2＋2x －12(x <0)与g (x )＝x 2 ＋log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点， 则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，2) C.()－∞，22 D.? ?? ??－22， 22 答案 B 解析 f (x )＝x 2＋2x －12 (x <0)， 当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2＋2－x －12 (x >0)， 所以f (x )关于y 轴对称的函数为h (x )＝f (－x )＝x 2＋2－x －12 (x >0)， 由题意得x 2＋2－x －12 ＝x 2 ＋log 2(x ＋a )在x >0时有解，作出函数的图象如图所示， 当a ≤0时，函数y ＝2－x －12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意， 若a >0，若两函数在(0，＋∞)上有交点，则log 2a <1 2， 解得0 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，2)． 5．(2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x |＋|x ＋1|，则方程f (2x －1)＝f (x )所有根的和是( ) A.13 B ．1 C.4 3 D ．2 答案 C 解析 由题意得f (2x －1)＝|2x －2|＋|2x －1|＋|2x |，f (2x －1)＝f (x )?|2x －2|＋|2x －1| ＋|2x |＝|x －1|＋|x |＋|x ＋1|，即|x －1|＋|x |＋|2x －1|－|x ＋1|＝0，设g (x )＝|x －1|＋ |x |＋|2x －1|－|x ＋1|，则g (x )＝????? －3x ＋3，x <－1， －5x ＋1，－1≤x <0，－3x ＋1，0≤x <12， x －1，12≤x <1，3x －3，x ≥1， 令g (x )＝0，解得x ＝1 3 或x ＝1， 所以方程f (2x －1)＝f (x )所有根的和是13＋1＝4 3 ，故选C. 6．已知函数f (x )＝????? |ln (x －1)|，x >1， 2x －1 ＋1，x ≤1， 则方程f (f (x ))－2? ?????f (x )＋34＝0的实根个数为 ( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C 解析 令t ＝f (x )，则方程f (f (x ))－2??????f (x )＋34＝0等价于f (t )－2t －32＝0，在同一平面直 角坐标系中作出f (x )与直线y ＝2x ＋3 2 的图象， 由图象可得有两个交点，且f (t )－2t －3 2＝0的两根分别为t 1＝0和1 时，解得x ＝2，当t 2＝f (x )∈(1,2)时，f (x )有3个不等实根，综上所述，方程f (f (x ))－2? ?????f (x )＋34＝0的实根个数为4. 7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2 －2x ，则函数f (x )在区间[0，2 019]上的零点个数是________． 答案 605 解析 因为f (x )＋f (x ＋5)＝16， 所以f (x ＋5)＋f (x ＋10)＝16， 所以f (x )＝f (x ＋10)， 所以该函数的周期是T ＝10. 由于函数y ＝f (x )在(－1,4]上有3个零点， 因此在区间(－1,9]上只有3个零点， 且在(－1,0)上有1个零点，在[0,9]上有2个零点且不在区间端点处．而2 019＝201×10＋9， 故在区间[0,2 019]上共有201×3＋2＝605(个)零点． 8．已知函数f (x )＝?? ? x sin x ，0 g (x )＝f (x )－kx (k ∈R )． ①当k ＝1时，函数g (x )有________个零点； ②若函数g (x )有3个零点，则k 的取值范围是________． 答案 1 ? ?? ??0， ππ 解析 ①当k ＝1时，g (x )＝0，即f (x )＝x ， 当0 2， 当x ≥π时，x ＝x ，解得x ＝0(舍去)或1(舍去)， 综上，g (x )的零点个数为1. ②若函数g (x )有3个零点，则k ≠0. 当x ≥π时，x ＝kx (k >0)，最多有1个解， 即有x ＝1k 2≥π，解得0 π ， 又0 π π . 9．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2 ＋x －3与g (x ) ＝x 2 －ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3,4] 解析 由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2， 设g (x )满足|2－μ|≤1的零点为μ， 因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3. 因为函数g (x )的图象开口向上， 所以要使g (x )的一个零点落在区间[1,3]上， 则需满足g (1)g (3)≤0或????? g (1)>0， g (3)>0， Δ≥0， 1 解得103≤a ≤4或3≤a <10 3 ，得3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]． 10．(2018·浙江)已知λ∈R ，函数f (x )＝? ???? x －4，x ≥λ，x 2 －4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0 的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞) 解析 当λ＝2时，f (x )＝???? ? x －4，x ≥2，x 2 －4x ＋3，x <2， 其图象如图(1)． 由图知f (x )<0的解集为(1,4)． f (x )＝? ???? x －4，x ≥λ， x 2 －4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无 零点；②二次函数与一次函数各有一个零点． 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝x －4与y 2＝x 2 －4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)． B 组 能力提高 11．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝????? 12log (x ＋1)，0≤x <1， 1－|x －3|，x ≥1， 若关于x 的方程f (x )－a ＝0(0 22 B.12 C.23 D.1 4 答案 B 解析 因为函数f (x )为奇函数，所以当x ∈(－1,0]时，f (x )＝－f (－x )＝－12 log (－x ＋1) ＝log 2(1－x )； 当x ∈(－∞，－1]时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－|－x －3|)＝|x ＋3|－1，所以函数f (x )的图象如图所示，令g (x )＝f (x )－a ，函数g (x )的零点即为函数y ＝f (x )与y ＝a 的交点，如图所示，共5个．当x ∈(－∞，－1]时，令|x ＋3|－1＝a ，解得x 1＝－4－a ，x 2＝a －2，当x ∈(－1,0)时，令log 2(1－x )＝a ，解得x 3＝1－2a ；当x ∈[1，＋∞)时，令1－|x －3|＝a ，解得 x 4＝4－a ，x 5＝a ＋2，所以所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝－4－a ＋a －2＋1－2a ＋4－a ＋a ＋2＝1－2a ＝1－2，∴a ＝12 . 12．若函数f (x )＝ax ＋ln x －x 2 x －ln x 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A.? ????1，e e －1－1e B.??????1，e e －1－1e C.? ????1e －e e －1，－1 D.???? ??1e －e e －1，－1 答案 A 解析 函数f (x )＝ax ＋ln x －x 2 x －ln x 有3个不同的零点， 等价于a ＝x x －ln x －ln x x ，x ∈(0，＋∞)有3个不同解， 令g (x )＝ x x －ln x －ln x x ，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝ 1－ln x ()x －ln x 2 －1－ln x x 2 ＝ ln x ()1－ln x ()2x －ln x x 2(x －ln x )2 ， 当x ∈(0，＋∞)时，令y ＝2x －ln x ， 则y ′＝2－1x ＝2x －1 x ， 当x ∈? ????0，12时，y ′<0，y 单调递减； 当x ∈? ?? ??12，＋∞时，y ′>0，y 单调递增， 则y min ＝1－ln 1 2 ＝1＋ln 2>0， 则当x ∈(0，＋∞)时，恒有2x －ln x >0， 令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝e ， 且x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； x ∈()1，e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； x ∈()e ，＋∞时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 则g (x )的极小值为g (1)＝1， g (x )的极大值为g (e)＝ e e －1－1e