指数函数的知识点讲解及其练习题实战
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
(完整word版)指数与指数函数知识点与例题讲解
指数与指数函数知识点与例题讲解【基础知识回顾】一、指数1、根式：当n 为奇数，a a n n =；当n 为偶数，⎩⎨⎧<-≥==00a a a a a a n n ，，.2、指数运算 (1)分数指数幂()10>∈>=*n N n m a a a n mnm，且，，； ()1011>∈>==*-n N n m a a aanmnm nm ，且，，.(2)指数幂的运算性质①()Q s r a aa a sr sr∈>=•+，，0； ②()Q s r a a aa s r s r∈>=-，，0；③()()Q s r a a a rs sr∈>=，，0； ④()()Q r b a b a ab r r r∈>>=，，00.二、指数函数1、定义：一般地，函数()10≠>=a a a y x ，且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .2、图像和性质1>a 10<<a图像性质定义域： 值域：过定点 ，即当0=x 时，1=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数3、同底的指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称. 三、立方和差公式()()2233y xy x y x y x +-+=+，()()2233y xy x y x y x ++-=-.【课前小测】1、233等于（ ） A 、2 B 、33 C 、327 D 、27 2、52-a等于（ ） A 、52-aB 、25aC 、52aD 、25a -3、下列函数是指数函数的是（ ） A 、2x y = B 、x y 2= C 、12+=x y D 、x y 23⨯=4、函数32-=x y 的定义域为（ ） A 、[)+∞,3 B 、R C 、()+∞,3 D 、()+∞,05、使代数式041)73()2(-+--x x 有意义，则x 取值范围是 .考点一 ：比较大小例1、比较下列各题中两个数的大小：⑴8.03 7.03 ⑵1.075.0- 1.075.0 ⑶6.08.1 6.18.0 ⑷3231-⎪⎭⎫ ⎝⎛ 532-【解析】⑴因为x y 3=在R 上是增函数，且7.08.0>，所以>8.037.03。
指数函数及其性质知识点及题型分类
指数函数及其性质【知识点分析及例题】1、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.注意： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． y=a x0<a<1时图象 a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞） ②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1 ⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
（4）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：在[a ，b]上)10()(≠>=a a a x f x 且，值域是)](),([b f a f 或)](),([a f b f（5）若0≠x ，则1)(≠x f ；)(x f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （6）对于指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且，总有a f =)1(； 3、指数函数底数变化与图像分布规律① xy a = ②xy b = ③xy c = ④x y d =注意：（1）0＜b ＜a ＜1＜d ＜c（2）x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） （3）x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> 4、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法（中间量为1） (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【例题】题型一、指数函数的概念例1、指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；例2、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值．题型二、指数函数的图像例3、函数与的图象大致是( ).例4、函数（）的图象是（）例5、若，，则函数的图象一定在（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限例6、指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]A．a＜b＜1＜c＜d B.a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b题型三、函数的定义域、值域例7、求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy=+；(2)y=4x-2x+1；(3)21139x--；(4)211xxy a-+=(a为大于1的常数)例8、已知，当其值域为时，的取值范围是；函数的值域是__________ ．题型四、比较大小例9、判断下列各数的大小关系(1)1.8a与 1.8a+1；(2)24-231(),3,()331；(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2；(4)23(0,1)a a a a>≠与例10、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．例11、已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．例12、讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．题型六、判断函数的奇偶性例13、判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f xϕ+-= (()x ϕ为奇函数)例14、已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.例15、 某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%．设x 年后年人均粮食占有量为y 千克，求出函数y 关于x 的解析式．例16、设12()2x x af x b+-+=+（a ，b 为实常数）。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
《指数函数》经典讲义(完整版)
指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
(完整word版)指数及指数函数知识点及习题
指数及指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．（一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义 ○2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1．（二）指数函数的图象和性质注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．指数函数的图象如右图：4图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <>在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x <<1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；指数与指数函数练习题一、选择题：1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ） A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( )A 、 1(1)2x +B 、14x + C 、2x D 、2x -6、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限7、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)na b -8、若103,104x y ==，则10x y -= 。
指数函数与对数函数例题和知识点总结
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
（一）指数函数的图像和性质当$a ＞ 1$时，指数函数是单调递增的；当$0 ＜ a ＜ 1$时，指数函数是单调递减的。
指数函数的图像恒过点$（0, 1)＄。
当$x ＞ 0$时，若$a ＞ 1$，则$a^x ＞ 1$；若$0 ＜ a ＜ 1$，则$0 ＜a^x ＜ 1$。
当$x ＜ 0$时，若$a ＞ 1$，则$0 ＜ a^x ＜ 1$；若$0 ＜ a ＜ 1$，则$a^x ＞ 1$。
（二）指数运算的基本法则1、＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）5、＄a^｛n} ＝＼frac{1}｛a^n}＄例题 1若$2^x ＝ 8$，求$x$的值。
解：因为$8 ＝ 2^3$，所以$2^x ＝ 2^3$，则$x ＝ 3$。
例题 2计算：＄3^2 × 3^4$解：根据指数运算法则，＄3^2 × 3^4 ＝ 3^｛2 ＋ 4} ＝ 3^6 ＝ 729$例题 3化简：＄＼frac{5^8}｛5^5}＄解：＄＼frac{5^8}｛5^5} ＝ 5^｛8 5} ＝ 5^3 ＝ 125$二、对数函数对数函数的一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
（一）对数函数的图像和性质当$a ＞ 1$时，对数函数在$（0, ＋∞）＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，对数函数在$（0, ＋∞）＄上单调递减。
对数函数的图像恒过点$（1, 0)＄。
当$x ＞ 1$时，若$a ＞ 1$，则$＼log_a x ＞ 0$；若$0 ＜ a ＜ 1$，则$＼log_a x ＜ 0$。
当$0 ＜ x ＜ 1$时，若$a ＞ 1$，则$＼log_a x ＜ 0$；若$0 ＜ a ＜1$，则$＼log_a x ＞ 0$。
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指数函数知识要点：1．根式的两条基本性质(1)性质1：(na)n ＝a (n>1，n ∈N *，当n 为奇数时，a ∈R ； 当n 为偶数时，a ≥0)．当n 为奇数时，n a 表示a 的n 次方根，由n 次方根的定义，得(na )n ＝a ；当n 为偶数时，na 表示正数a 的正的n 次方根或0的n 次方根，由n 次方根的定义，得(na )n ＝a .若a <0，n 为偶数，则na 没有意义．如(－2)2≠－2.(2)性质2：n a n ＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数|a |，n 为偶数(n >1，n ∈N *)．当n 为奇数时，∵a n ＝a n ， ∴a 是a n 的n 次方根，即a ＝na n ；当n 为偶数时，(|a |)n＝a n≥0， ∴|a |是a n的n 次方根，即|a |＝na n＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数r ，s ，均有(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )(指数相加律)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R ) (指数相乘律)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )(指数分配律)要注意上述运算性质中，底数大于0的要求。
3．分数指数幂(1) 我们规定正数的分数指数幂的意义为：*(0,,)m n m na a a m n N =>∈ (2) 正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)m nm naa m n N a -=>∈(3) 0的正分数指数幂为 0 。
0的负分数指数幂没有意义． 例题1 求值:① 2327= ② 4316-= ③ 33()5-= ④ 2325()49-=练习1 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：2b b = ; 533b b = ;34b b = ;2. 计算：122121(2)()248n n n ++-⋅的结果习题练习：1、下列运算结果中，正确的是（）A ．632a a a =⋅B ．()()2332a a-=- C ．()110=-aD ．()632a a -=-2、化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为（） A ．5 B ．5 C ．5-D ．-5 4、b x 21+=，b y -+=21，那么y 等于（） A ．11-+x xB ．xx 1- C ．11+-x xD ．1-x x5、计算：()14323112325671027.0-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-----=___________________。
6、()()=+----+-k k k 21212222（）A ．k 22-B ．()122--kC ．()122+--kD ．27、已知9,12==+xy y x ，且y x <，求21212121yx y x +-的值是_________________。
8、6351,9,2===c b a ，试比较c b a ,,的大小。
9、()[]2122--等于（ ）A ．2B ．2-C ．22 D ．22-10、下列各式中成立的是（）A ．7177m n m n =⎪⎭⎫ ⎝⎛ B ．()312433-=- C ．()43433y x y x +=+D ．3339=11、当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果为（）A ．52-xB ．12--xC ．1-D ．x 25-12、已知31=+aa 。
则2121-+a a 等于（）A ．2B ．5C ．5-D ．5±13、化简xx3-的结果是（）A．x--B．x C．x-D．x-14、化简625625++-=______________________。
15、计算下列各式：（1）()5.021201.04122432-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛--（2）()0,05354215658≠≠÷⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛--bababa2．1指数函数及其性质1．y＝a x (a>0，a≠1)的图象图象0<a<1 a>1性质定义域(－∞，＋∞)值域(0，＋∞)过定点a>0且a≠1，无论a取何值恒过点(0,1)各区间取值当x>0时，0<y<1当x<0时，y>1当x>0时，y>1当x<0时，0<y<1单调性定义域上单调递减定义域上单调递增2．利用指数函数的单调性可以比较幂的大小和指数值的大小(1)比较同底数幂大小的方法：选定指数函数——比较指数大小——用指数函数单调性作出结论．(2)比较异底数幂的大小一般采用“化成同底数幂”或采用“中间量法”，或采用“作商法”．例题1判断下列函数是否是指数函数（1）xy2.0=；（2）()xy2-=；（3）x ey=；（4）xy⎪⎭⎫⎝⎛=31；如图是指数函数①y=a^x，②y=b^x，③y=c^x，④y=d^x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为() A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c练2.比较下列各题中两个值的大小：（1）35.27.1,7.1； （2）2.01.08.0,8.0--； （3）.9.0,7.11.33.0.注：在利用指数函数的性质比较大小时，要注意以下几点： (1)同底数幂比较大小，可直接根据指数函数的单调性比较；(2)同指数幂比较大小，可利用作商和指数函数的性质判定商大于1还是小于1，从而得出结论；(3)既不同底也不同指数幂比较大小，可找中间媒介(通常是1或0)，或用作差法，作商法来比较大小．例3.求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y (3)y 12x＝＝＝-+---213321x x2.比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()3.求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的单调区间.家庭作业：1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ） A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2、44366399a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a3、若1,0a b ><,且22b ba a -+=,则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2<a C 、2a <D 、12a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( )A 、 1(1)2x +B 、14x +C 、2xD 、2x - 6、下列2()(1)x xf x a a -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、函数121x y =-的值域是（ ）A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞8、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限9、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数10、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]na b - D 、(1%)n a b - 11、若103,104x y==，则10x y -= _____________。
12、函数22811(31)3x x y x --+⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤的值域是_____________。
13、若21(5)2x f x -=-，则(125)f =_____________。
17、设01a <<，解关于x 的不等式22232223xx xx aa -++->。
18、已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域。
19、已知函数1()(1)1x x a f x a a -=>+,(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明()f x 是R 上的增函数。