2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 三角函数y=Asin(ωx+ψ)图象领学案新人教A版必修4.doc
(全国通用版)新2020-2020高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 第1课时 画函数y=As
第一章 1.5 第1课时 画函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象A 级 基础巩固一、选择题1．为了得到y ＝cos x4的图象，只需把y ＝cos x 的图象上的所有点( A )A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的14，横坐标不变[解析] 由图象的周期变换可知，A 正确． 2．下列命题正确的是( B ) A ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位得y ＝cos x 的图象 B ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位得y ＝sin x 的图象 C ．当φ>0时，y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位可得y ＝sin(x ＋φ)的图象 D ．当φ<0时，y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位可得y ＝sin(x －φ)的图象 3．要得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，只需将函数y ＝3sin2x 的图象( C )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位[解析] 由y ＝3sin2(x ＋φ)＝3sin(2x ＋π4)，得∴2φ＝π4，φ＝π8.故向左平移π8个单位．4．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象( B )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位[解析] 由y ＝sin(2x ＋π6)――→x →x ＋φy ＝sin[2(x ＋φ)＋π6]＝sin(2x －π3)，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个长度单位，故选B ． 5．将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 向右平移φ个单位后，得到g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，∴不妨令2x 1＝π2＋2k π，k ∈Z,2x 2－2φ＝－π2＋2m π，m ∈Z ，∴x 1－x 2＝π2－φ＋(k －m )π，k ，m∈Z ，又|x 1－x 2|min ＝π3，∴π2－φ＝π3，∴φ＝π6，故选D ．6．要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( B ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位[解析] y ＝sin(4x －π3)＝sin4(x －π12)，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位．故选B ．二、填空题7．将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π5个单位，所得图象对应的解析式为 y ＝cos(2x ＋2π5) ． 8．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得__y ＝sin4x __的图象．三、解答题9．将函数y ＝12sin2x 的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图象的函数解析式．[解析] y ＝12sin2x ――→横坐标变为原来的2倍y ＝12sin2(12x )＝12sin x ． y ＝12sin x ――→纵坐标变为原来的一半y ＝14sin x ． 即所得图象的解析式为y ＝14sin x ．10．已知函数y ＝3sin(12x －π4)．(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的． [解析] (1)列表：12x －π40 π2 π 3π2 2π x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 y3－3描点：在坐标系中描出下列各点(π2，0)，(3π2，3)，(5π2，0)，(7π2，－3)，(9π2，0)．连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如右图所示． 这样就得到了函数y ＝3sin(12x －π4)在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4k π(k ∈Z )个单位长度，得函数y ＝3sin(12x －π4)的图象．(2)①把y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π4个单位长度，得到y ＝sin(x －π4)的图象；②把y ＝sin(x －π4)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(12x －π4)的图象；③将y ＝sin(12x －π4)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin(12x －π4)的图象．B 级 素养提升一、选择题1．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( C )A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)[解析] 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin(x －π10)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin(12x －π10)的图象，所以所求函数的解析式是y ＝sin(12x －π10)．2．把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( B )[解析] 把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向右平移1个单位长度得：y 2＝cos(x －1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x －1)．令x ＝0，得：y 3>0；x ＝π2＋1，得：y 3＝0；观察即得答案．3．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π4 5π12 7π12 3π4 y2－2则有( C )A ．A ＝2，ω＝π12，φ＝0B ．A ＝2，ω＝3，φ＝π12C ．A ＝2，ω＝3，φ＝－π4D ．A ＝1，ω＝2，φ＝－π12[解析] 由表格得A ＝2，34π－π12＝2πω，∴ω＝3.∴ωx ＋φ＝3x ＋φ．当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4．4．将函数y ＝f (x )图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 的图象相同，则y ＝f (x )的函数表达式为( D )A ．y ＝12sin(12x －π2)B ．y ＝12sin2(x ＋π2)C ．y ＝12sin(12x ＋π2)D ．y ＝12sin(2x －π2)[解析] 根据题意，y ＝12sin x 的图象沿x 轴向右平移π2个单位后得到y ＝12sin(x －π2)，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到y ＝12sin(2x －π2)，此即y ＝f (x )的解析式．∴应选D ．二、填空题5．把函数y ＝sin(2x －π3)的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得图象对应的解析式为 y ＝sin(4x －5π6) ．[解析] 将函数y ＝sin(2x －π3)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π4)－π3]＝sin(2x －5π6)的图象，再将所得函数y ＝sin(2x －5π6)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin(4x －5π6)的图象．6．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1 ． [解析] 将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1． 三、解答题7．已知函数f (x )＝3sin(12x －π4)，x ∈R ．(1)列表并画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？[解析] (1)函数f (x )的周期T ＝2π12＝4π．由12x －π4＝0，π2，π，3π2，2π， 解得x ＝π2，3π2，5π2，7π2，9π2．列表如下：xπ2 3π2 5π2 7π2 9π2 12x －π4 0 π2 π 3π2 2π 3sin(12x －π4)3－3描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图． 图象如下：(2)方法一：先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．方法二：先把y ＝sin x 的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图象向右平移π2个单位，得到f (x )的图象．8．将函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos(2x －π6)的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图象． (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象； (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．[解析] 函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos(2x －π6)的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝cos[2(x ＋π12)－π6]＝cos2x 的图象，即图象C 2．(1)画出图象C 1和C 2的图象如图(2)由图象可知：两个图象共有7个交点． 即方程f (x )＝g (x )解的个数为7．C 级 能力拔高(2016·北京理)将函数y ＝sin(2x －π3)图象上的点P (π4，t )向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( A )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3[解析] 因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6 或s ＝－k π－π6，k ∈Z ，又s >0，故s 的最小值为π6，故选A ．。
2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.1.2弧度制课件苏教版必修4
1．将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
[解] (1)20°＝2108π0 rad＝π9 rad.
(2)－15°＝－1158π0 rad＝－1π2 rad.
7π (3)12
rad＝172×180°＝105°.
(4)－115π rad＝－151×180°＝－396°.
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是 72°，半径等于 20 cm”， 求扇形的面积．
[解] 设扇形弧长为 l，因为 72°＝72×1π80＝25π(rad)， 所以 l＝αr＝25π×20＝8π(cm)， 所以 S＝12lr＝12×8π×20＝80π(cm2)．
1．角度制：规定周角的_3_6_0__为 1 度的角，用度作为单位来度量角的
单位制叫做角度制．
2．弧度制：把长度等于半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，
记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
思考 1：“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [提示] “1 弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
[解] (1)∵180°＝π rad， ∴α1＝－570°＝－570×1π80＝－196π ＝－2×2π＋56π， α2＝750°＝750×1π80＝256π＝2×2π＋π6. ∴α1 的终边在第二象限，α2 的终边在第一象限．
(2)β1＝35π＝35π×1π80°＝108°， 设 θ＝108°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k·360°＜0°， 得 k＝－2，或 k＝－1. 故在[－720°，0°)范围内，与 β1 终边相同的角是－612°和－252°.
(浙江专用版)2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+
§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)学习目标 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω，φ，A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．知识点一 φ(φ≠0)对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 思考1 如何由y ＝f (x )的图象变换得到y ＝f (x ＋a )的图象？ 答案 向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位长度．思考2 如何由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象？答案 向左平移π6个单位长度．梳理 如图所示，对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．知识点二 ω(ω＞0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的周期分别是什么？答案 2π，π，4π.思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？答案 当三个函数的函数值相同时，y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12，y ＝sin12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍． 思考3 函数y ＝sin ωx 的图象是否可以通过y ＝sin x 的图象得到？ 答案 可以，只要“伸”或“缩”y ＝sin x 的图象即可．梳理 如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．知识点三 A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考 对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？答案 对于同一个x ，y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的12.梳理 如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到．知识点四 函数y ＝sin x 的图象与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象关系 正弦曲线y ＝sin x 到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程：y ＝sin x 的图象――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象―――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍 纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．1．把函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．( × )提示 得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象．2．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π3的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向左平移π3个单位长度得到．( × )提示 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，故要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π3的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向右平移π3个单位长度．3．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝sin 2x 的图象．( × )提示 应得到y ＝sin 12x 的图象．4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象是由函数y ＝cos x 的图象向右平移π3个单位长度得到的．( √ )提示 由平移的规律可知其正确.类型一 平移变换例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？ 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换解 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的． 引申探究1．若将本例中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6改为y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，其它不变，又该怎样变换？解 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，可以看作是把y ＝sin x 上所有的点向左平移π3个单位长度得到．2．若将本例改为：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象可由y ＝sin 2x 的图象经过怎样变换得到？ 解 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，可由y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度得到．反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x 前系数，当x 前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx →ωx ＋φ的平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度． 跟踪训练1 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π8 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 A解析 依题意将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.类型二 伸缩变换例2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的伸缩变换答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －π3 引申探究若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其它条件不变，则可得到函数解析式为________．答案 y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 反思与感悟 对于函数y ＝sin x ，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y ＝sinxω.若纵坐标伸长为原来的A (A >1)倍，则得到函数y ＝A sin x ，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换．跟踪训练2 (2017·合肥高一检测)把y ＝sin 12x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得到的解析式是________． 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的伸缩变换 答案 y ＝sin 2x类型三 图象变换的综合应用例3 把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3―――――――――→向左平移π6个单位长度 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x .所以f (x )＝3cos x .反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪训练3 将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 B解析 因为函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m ，所以π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z .又m >0，所以m 的最小值为π6，故选B.1．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 D解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为T ＝2π2＝π，向右平移14个周期，即向右平移π4个单位长度后，得到图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.2．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x 2的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C3．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 A解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12.由题意知，要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度．4．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的解析式为__________________．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x )――――――――――→左移π4个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－cos 2x .5．将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 －2 3解析 将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的解析式为y ＝23cos 2x ，则g (x )＝23cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝－2 3.1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位长度，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到.一、选择题1．(2017·湖州期末)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 A解析 因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， 所以只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度即可．2．若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向右平移m (m >0)个单位长度后，得到y ＝sin x 的图象，则m 的最小值为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C解析 依题意，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π3＝sin x ，∴m －π3＝2k π(k ∈Z )，∴m ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又m >0，∴m 的最小值为π3.3．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度．4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 D解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．5．(2017·荆州高一检测)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 B解析 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y 1＝cos x ＋1，向右平移1个单位长度，得y 2＝cos(x －1)＋1，再向下平移1个单位长度，得y 3＝cos(x －1)．令x ＝0，得y 3>0，令x ＝π2＋1，得y 3＝0，观察即得答案．6．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 B解析 对于B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象． 7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 C解析 先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象． 二、填空题8．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 右 π89．将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的解析式为________． 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3 解析 由题意得所得图象对应的解析式为y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.10．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 22解析 y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再对每一点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝22. 11．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x 2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 11π3解析 cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋φ2＋π2的图象． 令φ2＋π2＝2k π＋π3，k ∈Z .∴φ＝4k π－π3，k ∈Z . ∴当k ＝1时，φ＝11π3是φ的最小正值． 12．某同学给出了以下判断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度而得到的． 其中正确的结论是______．(将所有正确结论的序号都填上)考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 ①③三、解答题13．使函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用解 方法一 (正向变换)y ＝f (x )―――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝f (2x )――――――→沿x 轴向左平移π6个单位长度 y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3， ∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3. 方法二 (逆向变换)根据题意，y ＝sin 2x ―――――→沿x 轴向右平移π6个单位长度 y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. 四、探究与拓展14．(2017·绍兴柯桥区期末)将函数f (x )＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π3对称，则|φ|的最小值为________．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 π6解析 f (x )＝12sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位长度后得到12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ，此函数图象关于x ＝π3对称，所以令x ＝π3得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1， 所以2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋k π，k ∈Z ，则|φ|的最小值为π6. 15．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ －π4ω≥－π2，2π3ω≤π2，解得0<ω≤34. 所以ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. (2)由题意知f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1， 由g (x )＝0得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12， 解得x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
DL教育 最新高考 高中数学课件(可改) 第一章 三角函数 1.5
要得到函数 y＝sin 2x 的图象，只需将函数 y＝sin x 图象上所有点的横坐标 ________．
【解析】 要得到函数 y＝sin 2x 的图象，只需将函数 y＝sin x 图象上所有 点的横坐标缩短为原来的12倍．
【答案】 缩短为原来的12倍
教材整理 3 A(A>0)对 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
y＝Asin x 的图象．( ) π
(4)将函数 y＝sin x 的图象向左平移 2 个单位，得到函数 y＝cos x 的图 象．( )
【解析】 (1)×.将函数 y＝sin ωx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度，便
得到函数 y＝sin[ω(x－φ)]＝sin(ωx－ωφ)的图象，而不是函数 y＝sin(ωx－φ)的图
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数 y＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数 y＝
sin(ωx－φ)的图象．( )
(2)要得到函数 y＝sin ωx(ω>0)的图象，只需将函数 y＝sin x 图象上所有点
的横坐标变为原来的 ω 倍．( ) (3)将函数 y＝sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍，便得到函数
频率
1
ω
f＝_T__＝___2_π__
它是单位时间内往复运动的_次__数___
相位
ωx＋φ
其中_φ__为初相
已知函数 y＝3sin15x＋π7 ，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是 ________，________，________．
【解析】 由函数 y＝3sin15x＋π7 的解析式知，振幅为 3，最小正周期为 T
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2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的周期性与奇
第2课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性1.周期函数(1)周期函数.条件①对于函数f(x)，存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B，y＝A cos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T .( )(2)如果存在非零常数T ，使得定义域内存在一个值x ，有f (x ＋T )＝f (x )，那么这个函数的周期为T .( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．下列函数中，周期为π2的是( )A．y ＝sin x 2 B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A ，T ＝2π12＝4π，对于B ，T ＝2π2＝π，对于C ，T ＝2π14＝8π，对于D ，T ＝2π4＝π2.答案：D3．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故选A.答案：A4．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数．答案：C类型一 求三角函数的周期例1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( )A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的周期为________． 【解析】 (1)画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数．(2)方法一 因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二 函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.【答案】 (1)D (2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．方法归纳求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0)，可利用T ＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 求下列函数的周期． (1)y ＝2sin 2x ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.解析：(1)方法一 因为2sin(2x ＋2π)＝2sin 2x ，即2sin 2(x ＋π)＝2sin 2x . 由周期函数的定义，可知原函数的周期为π. 方法二 T ＝2π2＝π.(2)方法一 因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π. 方法二 T ＝2π12＝4π(1)利用周期的定义求函数周期． (2)利用公式T ＝2π|ω |求函数周期．类型二 正、余弦函数的奇偶性问题 例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f (x )＝sin(cos x )．【解析】 (1)函数的定义域为R .且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x .因为f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R .且f (－x )＝sin[cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性． 方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f (x )的定义域不关于原点对称，无论f (－x )与f (x )有何关系，f (x )仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解析：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x 的值以及x 的值，最后判断函数的奇偶性．类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．【解析】 因为f (x )的最小正周期是π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3， 因为f (x )是R 上的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.利用周期性 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，再利用奇偶性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (Aω≠0)或y ＝A cos ωx (Aω≠0)其中的一个．跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值． 解析：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12 利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．1.4.1-2.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3π C.2π3 D.3π2解析：该函数的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：因为f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数． 答案：A3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x ，f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－cos(－2 010x )＝－cos 2 010x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数． 答案：B4．函数f (x )＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (x )＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝x cos x ，所以f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．答案：A5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析：y ＝cos|2x |是偶函数；y ＝|sin x |是偶函数；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，且其最小正周期T ＝π.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数．答案：奇7．函数y ＝cos1－x π2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：48．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (8)＝________. 解析：∵f (x )的周期为2， ∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (8)＝f (2＋3×2)＝f (2)＝3. 答案：3三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的最小正周期： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6；(2)y ＝|sin x 2|. 解析：(1)利用公式T ＝2π|ω|，可得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π. (2)易知函数y ＝sin x2的最小正周期为T ＝2π12＝4π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是由函数y ＝sin x 2的图象将在x 轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为2π.10．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f (x )＝x ·cos x . 解析：(1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )，所以f (x )＝3cos 2x 是偶函数．(2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos 3－x 4＝－cos3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )， 所以f (x )＝x cos x 是奇函数．[能力提升](20分钟，40分)11．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≠sin x ，所以π6不是f (x )＝sin x 的周期B ．当x ＝5π12时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x ，所以π6是f (x )＝sin x 的一个周期C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，所以π2是y ＝cos x 的一个周期解析：若T 是f (x )的周期，则对于f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立，B ，C ，D 错误．答案：A12．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x <0，sin x ，0≤x <π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：2213．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z ，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2k ∈Z ，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.14．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．解析：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数．(2)由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.。
(全国通用版)2018-2019高中数学-第一章-三角函数-1.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图
(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－ωφ ，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图 象的升降情况找准第一个点的位置．
依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π；
[解析] ∵T＝2ωπ＝2ππ＝6，又图象过(0,1)点， 3
(1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间及最值； (3)画出函数 y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． [思路分析] 本题关键是对图象的对称轴为 x＝π8这一条件的利用，由图象一 对称轴为 x＝π8得：当 x＝π8时 2x＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)进而可求 φ 值．
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解法二：由图象知振幅 A＝3，又图象过点(π3，0)和(56π，0)，根据“五点法” 作图原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，
得5π36π·ω·ω＋＋φφ＝＝π2，π.
ω＝2， 解得φ＝π3.
解法三：由图象可得 A＝3，又 T＝56π－(－π6)＝π，图象过点(－π6，0)，可知 图象由 y＝3sin2x 向左平移π6个单位长度而得，
『规律总结』 1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程由 ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 求得，即 x＝kπ＋ωπ2－φ，k∈Z；对称中心由 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 求得，即得(kπω－φ， 0)，k∈Z．
2020高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案 新人教A版必修4
1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( )A ．3，4B ．3，π2C.π2，4 D.π2，3 解析：由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，所以振幅是3，周期是T ＝2ππ2＝4.答案：A2．(2016·四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度解析：把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．答案：A3.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝()A.－23B.－12C.23D.12解析：由图象可知所求函数的周期为23π，故ω＝3.将⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0代入解析式得114π＋φ＝π2＋2k π，所以φ＝－π4＋2(k －1)π(k ∈Ｚ).令φ＝－Ｔπ4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－A cos π4＝－23，故A ＝223.所以f (0)＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝A cos π4＝23，故选C. 答案：C4．已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1解析：由题意知π3－π12≥T 4，故T ＝2πω≤π，ω≥2.答案：A5．函数f (x )＝3sin( ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－α＝( )A ．－154 B.154 C ．±154D ．－34解析：因为f (x )的图象两个相邻最高点的距离为π， 所以T ＝π＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝3sin( 2x ＋φ)．因为f (x )＝3sin( 2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以k ＝0时，φ＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.又0＜α＜π2，故cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝154，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 53π－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－154. 答案：A 二、填空题6．把y ＝sin 12x 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为________．解析：把函数y ＝sin 12x 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 14x ，所以ω＝14.答案：147．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋3π4的图象向右平移π3个单位长度，然后把横坐标扩大到原来的3倍，则得到的函数解析式为________．解析：把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋3π4的图象向右平移π3个单位长度，则得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3π4的图象，即解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －54π，然后把横坐标扩大为原来的3倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －54π的图象，则解析式为y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ 2x －54π.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －54π8．若函数f (x )＝2sin( 2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )在[0，π]上的单调减区间是________．＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ 2x ＋π3. 因为0≤x ≤π，所以0≤2x ≤2π，π3≤2x ＋π3≤7π3，由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上为减函数，所以π2≤2x＋π3≤3π2，解得π12≤x ≤7π12. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π12，7π12⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12三、解答题9．(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin( 12x ＋π6)在长度为一个周期的闭区间的简图；(2)说明该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R)的图象经过怎栏平移和伸缩变换得到？ 解：(1)先列表，后描点并画图．(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象．或把y ＝sin x 的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象，再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12x ＋π6的图象．10．函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解：(1)因为函数f (x )的最大值为3， 所以A ＋1＝3，即A ＝2.因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12，因为0＜α＜π2，所以－π6＜α－π6＜π3，所以α－π6＝π6，故α＝π3.B 级 能力提升1．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析：因为最大值是4，故选项A 不符合题意． 又因为T ＝2πω＝π2，所以ω＝4，故排除选项B.令4x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ⇒4x ＝π6＋k π，k ∈Z ⇒x ＝π24＋k π4，k ∈Z ，令π24＋k π4＝π3，得k ＝π6∉Z ，排除选项C ，故选D. 答案：D2．函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________．解析：由题设可得T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝π⇒ω＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin( 2x ＋φ)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0⇒π3＋φ＝2k π，即φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，则φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x －π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ π－π3＝3.答案：33．已知函数f (x )＝A sin( ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，0＜φ＜π2，ω＞0的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x ，x ∈R 的图象经过怎样的变化得到．解：(1)由题设图象知，最小正周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0在f (x )的图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 5π6＋φ＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0，1)在f (x )的图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)先将函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈R 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍， 得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈R 的图象， 最后把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈R 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈R 的图象．。
精品2019高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象自主训练新人教A版必修14
1.5 函数y=Asin （ωx+ψ）的图象自主广场我夯基 我达标1,已知函数y=f(x)，将f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的是y=21sinx 的图象，那么函数y=f(x)的解析式是（ ）A.f(x)=21sin(2x 2π-) B.f(x)= 21sin(2x+2π) C.f(x)= 21sin(2x +2π) D.f(x)= 21sin(2x 2π-)思路解析：对函数y=21sinx 的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论.把y=21sinx 的图象沿x 轴向右平移2π个单位，得到解析式y=21sin(x 2π-)的图象，再使它的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的21倍，就得到解析式y=21sin(2x 2π-)的图象.答案：D2.图1-5-3是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（ ）图1-5-3A.sin(1+x)B.sin(-1-x)C.sin(x-1)D.sin(1-x) 思路解析：由图可以看出f(1)=0,f(0)＞0，从给出的四个选项中，同时满足这两个条件的函数不是sin(1+x)，因为sin(1+1)≠0；也不是sin(-1-x)，因为sin(-1-1)≠0；也不是sin(x-1)，因为sin(0-1)=sin(-1)=-sin1≠0.而sin(1-x)同时满足sin(1-1)=sin0=0和sin(1-0)=sin1＞0. 答案：D3.(2004辽宁高考卷，11)若f(x)=sin(ωx+φ)（部分）如图1-5-4所示，则ω和φ的取值是（ ）图1-5-4A.ω=1,φ=3π B.ω=1,φ=-3π C.ω=21,φ=6πD.ω=21,φ=-6π思路解析：4T =32π-(-3π)=π,∴T=4π,A=1.又T=ωπ2,∴ω=21. ∴y=sin(21x+φ).∵图象过（-3π，0），∴sin（-6π+φ)=0.∴-6π+φ=k π.由图知k=0,∴φ=6π.答案：C4.知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是（ ） A.-6π B.6π C. 12π D. 12π思路解析：将点(12π,0)代入y=tan(2x+φ)，得tan(6π+φ)=0.∴φ可以是-6π.答案：A5.(2005天津高考卷，文7)函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜2π,x∈R )的部分图象如图1-5-5所示，则函数表达式是（ ）图1-5-5A.y=-4sin(8πx+4π) B.y=4sin(8πx-4π) C.y=-4sin(8πx-4π) D.y=4sin(8πx+4π)思路解析：特殊点法.把(-2,0)、(2,-4)分别代入A 、B 、C 、D 的函数表达式检验可知.答案：A6.如图1-5-6，已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0)的一个周期的图象，则函数y 的解析式为________________.图1-5-6思路解析：由图可知，当x=-25π时，y=0；当x=47π-时，y=A ；当x=0时,y=-3. ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=+-,3sin ,0)47(,0)25(ϕϕπωϕπωA 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+===.2).3532sin(35,32A x y ππϕω故 答案：y=2sin(3532π+x ) 我综合 我发展7.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s （cm ）和时间t(s)的函数关系为s=6sin(2πt+6π).请完成（1）—（4）题. （1）作出它的图象；（2）单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？ （3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ （4）单摆来回摆动一次需要多少时间？思路分析：本题是与物理相关的题目，要正确理解三角函数f(x)=sin(ωx+φ)的物理意义. 解：（1）找出曲线上的五个特殊点，列表如下：用光滑的曲线连接这些点，得函数s=6cos(2πt+6)的图象（如下图所示）：（2）当t=0时，s=6sin 6π=3（cm ），即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm. （3）s=6sin(2πt+6π)的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm. (4)s=6sin(2πt+6π)周期T=ππ22=1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s.8.(2006广东高考卷，15)已知函数f(x)=sinx+sin(x+2π),x∈R .(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的最大值和最小值. 思路分析：三角函数的性质和三角变换的知识是高考常考的考点，应力争使这类问题全面过关.解：f(x)=sinx+sin(x+2π)=sinx+cosx =2sin(x+4π). （1）f(x)的最小正周期为T=12π=2π; （2）f(x)的最大值为2，最小值为2.9.(2005全国高考卷Ⅰ，理17)设函数f(x)=sin （2x ＋φ）（-π＜φ＜０)，y= f(x)图象的一条对称轴是x=8π. (1)求φ；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)画出函数y= f(x)在区间［0,π］上的图象.思路分析：先把2x-43π视作一个整体，当0≤x≤π时，-43π≤2x -43π≤45π.列表时先给2x-43π取值，应取区间的两个端点值，及区间内的关键点的值，即-43π、2π-、0、2π、π、45π，再求出相应的x 的值，最后依据2x-43π的值求出y.这样才能一次性做出y= f(x)在区间［0，π］上的图象.解：(1)∵x=8π是函数y=f(x)的图象的对称轴， ∴sin(2×8π+φ)=±1.∴4π+φ=k π+2π,k∈Z .∵-π＜φ＜０,∴φ=-43π. (2)由(1)知φ=-43π,因此y=sin （2x-43π）.由题意得2k π2π-≤2x -43π≤2k π+2π, k∈Z .所以函数y=sin （2x-43π）的单调增区间为［k π+8π,k π+85π］,k∈Z .(3)由y=sin （2x-3π）知。
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2019-2020学年高中数学第一章三角函数 1.5 三角函数y=Asin （ωx+ψ）图象领学案新人教A版必修4
学习
目标
1.理解ϕ对)
sin(ϕ
+
=x
y的图象的影响，ω对)
sin(ϕ
ω+
=x
y的图象的影响，)0
(>
A
A对)
sin(ϕ
ω+
=x
A
y的图象的影响.
2.会用图象变换法将sin
y x
=图象变换得到)
sin(ϕ
ω+
=x
A
y的图象,
3.会用“五点法”画出函数)
sin(ϕ
ω+
=x
A
y的简图.并能根据条件写出解析式学习
疑问
学习
建议
【相关知识点回顾】
问题1：用“五点法”做出函数sin
y x
=的图象
问题2：问题1中的“五点”为函数sin
y x
=的______点或_______点.
【知识链接】
问题3：函数sin()
y A x
ωφ
=+的图象中，相邻的两个对称轴距离为_______;相邻的两个零点距离为________.对称轴与其相邻零点的距离为______.
【预学能掌握的内容】
在描述简谐运动时，函数[)
sin()(0,0,0,)
y A x A x
ωφω
=+>>∈+∞中的A叫做这个简谐振动的______；振动的周期为________；振动的频率为_________；x
ωϕ
+为_____，ϕ为_____.
x
sin x
)
3
+)
4
-3
x
π
+
x
sin()
3
x
π
+。