数列问题的题型与方法

第90－93课时课题：数列问题的题型与方法一．复习目标：1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法． 二．考试要求：1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题。

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。

三．教学过程：（Ⅰ）基础知识详析1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法：①若=+（n-1）d=+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；②若，则{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法：验证都成立。

3.在等差数列{}n a 中,有关S n的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当10a >,d<0时，满足的项数m 使得m S 取最大值.(2)当10a <,d>0时，满足的项数m 使得m S 取最小值。

2在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

5．注意事项：⑴证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或11-+=n n n n a aa a 而得。

⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。

⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

⑷注意一些特殊数列的求和方法。

⑸注意n s 与n a 之间关系的转化。

如：n a =,,11--n n s s s 21≥=n n ，n a =∑=--+nk k k a a a 211)(． ⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．（Ⅱ）2004年高考数学数列综合题选1．（2004年高考数学北京卷，18）函数f x ()是定义在［0，1］上的增函数，满足f x f x()()=22且f ()11=，在每个区间(,]12121ii -（i =1，2……）上，y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。

（I ）求f ()0及f ()12，f ()14的值，并归纳出f i i()(,,)1212= 的表达式; （II ）设直线x i =12，x i =-121，x 轴及y f x =()的图象围成的矩形的面积为a i （i =1，2……），记S k a a a n n ()lim()=+++→∞12 ，求S k ()的表达式，并写出其定义域和最小值。

分析：本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 解：（I ）由f f ()()020=，得f ()00= 由f f ()()1212=及f ()11=，得f f ()()1212112==. 同理，f f ()()1412124==1. 归纳得f i i i ()(,,)121212== . （II ）当12121i i x <≤-时, f x k x i i ()()=+---121211a k i i i i i i i =++------121212121212121111[()]()=-1=-()(,,)1421221k i i .所以{}a n 是首项为1214()-k ，公比为14的等比数列,第90－93课时 课题：数列问题的题型与方法3所以S k a a a k k n n ()lim()()()=+++=--=-→∞1212141142314. S k ()的定义域为0<≤k 1，当k =1时取得最小值12.2．（2004年高考数学北京卷，20）给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50且总和L ＝1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r 1与所有可能的其他选择相比是最小的，r 1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r 2；如此继续构成第三组（余差为r 3）、第四组（余差为r 4）、……，直至第N 组（余差为r N ）把这些数全部分完为止.（I ）判断r r r N 12,,, 的大小关系，并指出除第N 组外的每组至少含有几个数; （II ）当构成第n （n<N ）组后，指出余下的每个数与r n 的大小关系，并证明r n Ln n ->--11501;（III ）对任何满足条件T 的有限个正数，证明：N ≤11.分析：本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.解：（I ）r r r N 12≤≤≤ 。

除第N 组外的每组至少含有150503=个数 （II ）当第n 组形成后，因为n N <，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r n ，余下数之和也大于第n 组的余差r n ，即L r r r r n n --+-++->[()()()]150******** , 由此可得r r r n L n 121150+++>-- . 因为()n r r r r n n -≥+++--11121 ，所以r n Ln n ->--11501.（III ）用反证法证明结论，假设N >11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I ）和（II ）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r 11，且r r 1110≥, 故余下的每个数>≥>⨯-=r r 111015011127510375. . （*）因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37531125..⨯=. 此时第11组的余差r 11150150112537511=-<-=第组数之和..这与（*）式中r 11375>.矛盾，所以N ≤11.3．（2004年高考数学重庆卷，22）设数列{}n a 满足1112,,(1,2,3.......)n n na a a n a +==+= （1）证明n a >n 成立；（2）令1,2,3......)n b n ==,判断1n n b b +与的大小，并说明理由。

（I ）证法一：当,1122,11+⨯>==a n 时不等式成立.4221221,.111,2232(1) 1.1,.k k k k kk n k a n k a a k k a a n k a ++=>=+=++>++>++∴=+>假设时当时时 综上由数学归纳法可知，12+>n a n 对一切正整数成立.证法二：当n=1时，112321+⨯=>=a .结论成立.假设n=k 时结论成立，即 .12+>k a k当)1(1)(,1>+=+=x xx x f k n 由函数时的单增性和归纳假设有.012132)12112(.3212112:.12112121显然成立而这等价于因此只需证≥+⇔+≥++++≥++++++>+=+k k k k k k k k k a a a k k k 所以当n=k+1时，结论成立. 因此，12+>n a n 对一切正整数n 均成立.证法三：由递推公式得 ,1221212--++=n n n a a a21212222222112,12a a a a a a n n n ++=++=---上述各式相加并化简得 )1(2211)1(222121212-+>+++-+=-n a a n a a n n).,2,1(12,12,1).2(1222 =+>+>=≥+>+=n n a n a n n n n n n 故明显成立时又 （II ）解法一：1)1211(1)11(1211+++<++=+=++n nn n n a n a n a b b n n n n n..12141)21(12)1(21)12()1(212n n b b n n n n n n n n n <<+-+=++=+++=+故解法二：na a a n na n ab b n n n n n n n -++=-+=-++)1(1111121]1)](())(21)](1)]0..nn nannnb b+=≤+=-+=+=<<由的结论所以解法三：nanabb nnnn2212211-+=-++222221111(2)(2)111121111(2)()0121121n nnn na aan a n n a nnn n n n n n=++-=+-+++<+-=-<++++故nnnnbbbb<<++1221,因此.4．（2004年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n.(Ⅰ)若首项=1a32，公差1=d，求满足2)(2kkSS=的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n}，使得对于一切正整数k都有2)(2kkSS=成立.分析：本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.解：（I）当1,231==da时，nnnnndnnnaSn+=-+=-+=21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2kkkkSSkk+=+=得，即0)141(3=-kk又4,0=≠kk所以.（II）设数列{a n}的公差为d，则在2)(2nnSS=中分别取k=1,2,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(dadaaaSSSS即由（1）得.111==aa或当,6)2(,1===dda或得代入时I（1）（2）第90－93课时课题：数列问题的题型与方法56若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所得数列不符合题意. 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== . 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…；③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，（Ⅲ）范例分析例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．例2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。