§2-7 最大面积是多少(二次函数的应用)
北师大版九年级数学下册 二次函数 二次函数的应用 时
A t cm
P
B (6-t)cm
2014.12
问题解决
1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如 果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时， 窗架的面积最大？
y 1(63x)x 2
x
2014.12
问题解决
3.如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式， t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
D
C
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63 即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
Q 2t cm
由题知 24-4x>0 解得 x<6
A
D
∵x>0
∴x 的取值范围是 0<x<6
B
C
(2) ∵-4<0 ∴当 x=－2×2(4-4)＝3 时，
S 最大= -4×32+24×3=36 则当 x=3m 时，所围成的花圃面积最大，最大值为 36m2。
2014.12
变式练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中 间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的AB=xm，面积为Sm2。
225 36
∵-
7 2<0
∴当
x=
15 14
≈1.07 时，S 最大=
225 36
≈4.02
即当 x≈1.07m 时，S 最大≈4.02m2，此时窗户通过的光线最多。
2014.12
《最大面积是多少》二次函数PPT课件2
=2(x-1)² -1
∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为（1，-1）
20 2 x
x
y x(20 2 x)
y= -
2 2(x-5) +50
F
课本67页
30
D
△FAE∽△CBE
C
FA AE CB BE 30 40 AD 40 x
A
x
40
B
(40 x)
E
30 AD (40 x) 40
1 1 40 30 50 FP ∴2 2
B
G
∴ FP = 24 ∴ △DFA∽△EFG DA FQ ∴ EG FP
DA 24 x 50 24 50 DA (24 x) ∴ 24
F
A
用公式 : 当x y最大值
∴
b 12时, 2a
b2 c 300. 4a
第二章 二次函数
最大面积是多少
• • • •
教学目标 1.通过复习，进一步掌握二次函数的有关性质。 2.会用二次函数模型解决简单的实际问题 重点：梳理所学的内容，建构符合学生认知结构 的知识体系。 • 难点：建立二次函数模型解决简单的实际问题， 拓展学生的思维空间。
• 一填表：
函数 y=ax2 y=ax2 +k y=a(x-h) 2 y=a(x-h) 2 +k y=ax2+bx+c 开口方向 a>0 a<0 对称 轴 顶点坐标
∴ y AB DA
x
50 (24 x) 24 50 2 50 x x 24
∴ 当x = 12时，y的值最大， 最大面积为300m2
结束寄语
下课了!
初中二次函数知识点总结(全面)
初中二次函数知识点总结(全面)初中二次函数知识点总结(全面)二次函数知识点（一）、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（二）、二次函数yax2bxc的性质b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a4a2a 当xbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当2a2a4acb2b．x 时，y有最小值4a2a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb 时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，．当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值．4a2a（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A.B.C.D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线的对称轴是()A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A.ab>0，c>0B.ab>0，c10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.C.二、填空题1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2B.D.1（4）yx22x3x2、二次函数y2(x3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象．3、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是；14、二次函数yx22x，当x时，y0;且y随x的增大而减2小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数yx2x的对称轴是．10二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．11抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a=．12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？222213．已知抛物线y=125x－３x－22（１）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（２）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（３）画出草图（４）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.14、（20xx年宁波市）如图，已知二次函数y12xbxc2的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．[例3]如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．。
二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)
请同学们完成这个 问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框 的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题 意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？ 如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围； 例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2） 有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角
二次函数应用--几何图形的最大面积问题
F6
=-2x2 + 16x =-2（x-4）2 + 32
B
（0<x<6）
10 所以当x=4时 花园的最大面积为32
注： 1。自变量X的取值范围为一切实数，顶点处取 最 值。
2。有取值范围的在端点或顶点处取最值。
引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单
位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系 式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时
，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
∵a＜0， ∴抛物线开口向下 C
Q 1cm/秒B
∴ 当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积y最大 最大面积是 4 cm2
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6, 今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且 AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设 计，可使花园面积最大？
H
D AE
解：设花园的面积为y G C 则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）
2a
值 y 4ac b2 ． 4a
h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）
t
b 2a
2
30 （
5）
3，
h
4ac b2 4a
4 （3025） 45．
小球运动的时间是 3s 时，小球最 h/
高.小球运动中的最大高度是 45
m4 0
h= 30t - 5t
2
m．
2 0
问题 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值. 当x=18时，S有最大值是378.
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿22.过程与方法：培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，掌握建模思想，熟练掌握最值问题的解法。
23.情感态度与价值观：通过实际问题的应用，让学生感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱。
本节课的重点是最值问题的解法和建模思想的培养，难点是对实际问题的分析和建模思想的掌握。
三、教学方法的选择本节课采用“引导发现、归纳总结、启发式教学”等多种教学方法，其中引导发现法是本节课的核心教学方法，通过引导学生发现实际问题中的规律和模式，培养学生独立思考和解决问题的能力；归纳总结法是巩固知识的有效方法，通过对学生已有的知识进行梳理和总结，加深对知识的理解和记忆；启发式教学法则是在教学中采用启发式问题，激发学生的思考和求知欲，提高学生的研究兴趣和积极性。
四、教学过程的设计本节课的教学过程分为四个环节：导入、讲授、练、归纳总结。
导入环节通过引入实际问题，激发学生的兴趣和求知欲，让学生认识到最值问题的实际应用价值；讲授环节通过具体例子和图像分析，讲解最值问题的解法和建模思想；练环节则通过多种形式的练，巩固学生的知识和技能；归纳总结环节则对本节课的知识点进行总结和梳理，加深对知识的理解和记忆。
五、教学效果预测通过本节课的教学，学生将能够掌握最值问题的解法和建模思想，能够熟练应用所学知识解决实际问题，同时也能够感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱，为学生今后的研究打下坚实的理论和思想方法基础。
2、___要在一块长为20米、宽为15米的空地上建一个长方形花园，他想让花园的面积最大，你能帮他算一下最大面积是多少吗？3、某公司生产一种产品，销售价格为每个10元，生产成本为每个5元，每天能生产1000个，你能帮助他们算一下每天的最大利润是多少吗？设计思路]通过这三个问题，引导学生发现实际问题中的最值问题，从而引出二次函数的最值问题。
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做一做P 做一做 62 5
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 半部是矩形,制造窗框的材料总长( 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和) 15m.当 等于多少时, 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 0.01m)?此时 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 − 7x −πx x x 解: (1). 4y + 7x +πx =15. 得, y = 由 . 4 2 2 πx 15 − 7x −πx πx
xm
y m2
2m
xm
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想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， ABCD 其中AB AD分别在两直角边上 AB和 分别在两直角边上. 其中AB和AD分别在两直角边上. M (1).设矩形的一边 设矩形的一边AB=xm,那么 那么AD 设矩形的一边 那么 C 边的长度如何表示？ 边的长度如何表示？ D (2).设矩形的面积为 2,当x取何 设矩形的面积为ym 当 取何 设矩形的面积为 ┐ 值时,y的最大值是多少 的最大值是多少? 值时 的最大值是多少
九年级数学(下 第二章 九年级数学 下)第二章 二次函数
最大面积是多少
--二次函数的应用 --二次函数的应用
独立思考
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养 48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场, 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场 鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成, 鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并 且在与砖墙相对的一面开2米宽的门( 且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱 ),问养鸡场的边长为多少米时 问养鸡场的边长为多少米时, 笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占 地面积最大?最大面积是多少? 地面积最大?最大面积是多少?
30m
A
40m
B
N
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， ABCD 其中AB AD分别在两直角边上 AB和 分别在两直角边上. 其中AB和AD分别在两直角边上. M (1).设矩形的一边 设矩形的一边AB=xm,那么 那么AD 设矩形的一边 那么 C 边的长度如何表示？ 边的长度如何表示？ D (2).设矩形的面积为 2,当x取何 设矩形的面积为ym 当 取何 设矩形的面积为 ┐xm 值时,y的最大值是多少 的最大值是多少? 值时 的最大值是多少
N
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， ABCD 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. ,BC在斜边上 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. M C (1).设矩形的一边 设矩形的一边BC=xm,那么 那么AB 设矩形的一边 那么 H 边的长度如何表示？ 边的长度如何表示？ B 2,当x取何 D (2).设矩形的面积为 设矩形的面积为ym 当 取何 设矩形的面积为 G 值时,y的最大值是多少 的最大值是多少? 值时 的最大值是多少 P┐ A N 解: (1). 勾股 由 定理 MN = 50m, PH = 24m. 得 40m
30m
12 设AB = bm,易得 = − x + 24. b 12 2 12 25 12 2 = − (x − 25) + 300. (2).y = xb = x − x + 24 = − x + 24x 25 25 25 2 b 4ac − b 或用公式:当x = − = 25时 y最大值 = , = 300. 2a 4a
开拓创新
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养 48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场, 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场 鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成, 鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并 且在与砖墙相对的一面开2米宽的门( 且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱 ),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地 笆),问养鸡场的边长为多少米时 养鸡场占地 面积最大?最大面积是多少 最大面积是多少? 面积最大 最大面积是多少
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分析探讨
正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm, 正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm, ABCD边长5cm,等腰三角形 QR=8cm,点 在同一直线l QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两 点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向 点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l 的速度沿直线 左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形 左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形 重合部分面积为Scm 解答下列问题： 重合部分面积为Scm2，解答下列问题： (1)当t=3s时 的值； (1)当t=3s时，求S的值； B (2)当t=3s时 的值； (2)当t=3s时，求S的值； A (3)当5s≤t≤8s时，求S (3)当5s≤t≤8s时 P 的函数关系式， 与t的函数关系式，并求 M 的最大值。 S的最大值。
l D Q C R
独立 作业
P63 习题2.8
1,2题.
30m
bm
3 A B 40m 解: (1).设AD = bm,易得 = − x + 30. b 4 3 2 3 3 (2).y = xb = x − x + 30 = − x + 30x = − (x − 20)2 + 300. 4 4 4 b 4ac −b2 , 或用公式:当x = − = 20时 y最大值 = = 315 7 15 225 = − x + x = − x− + . 2 2 2 14 56 + 2
y
(2).窗户面积S = 2xy +
议一议P 议一议 63 4
“二次函数应用” 的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积” 回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解 决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本 决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本 思路吗 与同伴交流. 思路吗？与同伴交流. 1.理解问题 理解问题; 理解问题 2.分析问题中的变量和常量 以及它们之间的关系 分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 分析问题中的变量和常量 以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系 用数学的方式表示出它们之间的关系; 用数学的方式表示出它们之间的关系 4.运用数学知识求解 运用数学知识求解; 运用数学知识求解 5.检验结果的合理性 给出问题的解答 检验结果的合理性, 检验结果的合理性 给出问题的解答.